Études de cas pratique

EGC

Charges, contraintes et déformations

Charges, Contraintes et Déformations d'une Barre en Traction

Comprendre les Concepts de Charges, Contraintes et Déformations

En Résistance des Matériaux (RDM), l'analyse du comportement des structures sous l'effet de charges externes est fondamentale. Une charge (\(N\)) appliquée à un élément structural, comme une barre, engendre des contraintes internes (\(\sigma\)) au sein du matériau. Ces contraintes, si elles ne dépassent pas certaines limites propres au matériau, provoquent des déformations (\(\epsilon\)), c'est-à-dire des changements de forme ou de dimensions. La relation entre ces trois grandeurs est au cœur de la RDM et permet de prédire si une structure est capable de supporter les sollicitations en toute sécurité et sans déformations excessives.

Données de l'étude

Une barre d'acier S275 de section rectangulaire est encastrée à une extrémité et soumise à une force de traction axiale \(N = 50 \, \text{kN}\) à son autre extrémité.

Caractéristiques de la barre et du matériau :

  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Section rectangulaire :
    • Largeur (\(b\)) : \(30 \, \text{mm}\)
    • Épaisseur (\(h\)) : \(10 \, \text{mm}\)
  • Module d'Young de l'acier S275 (\(E\)) : \(200 \, \text{GPa}\)
  • Limite d'élasticité de l'acier S275 (\(f_y\)) : \(275 \, \text{MPa}\)

Objectif : Calculer la contrainte normale dans la barre, la déformation axiale, l'allongement total, et vérifier si la barre reste dans son domaine élastique sous cette charge.

Schéma : Barre Rectangulaire en Traction Axiale
Barre en acier N = 50 kN L0 = 2.0 m b=30 h=10 Section (mm) ΔL

Barre rectangulaire encastrée soumise à une traction axiale N.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire (\(A\)) de la section transversale de la barre.
  2. Calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) dans la barre.
  3. Calculer la déformation axiale (\(\epsilon\)) de la barre.
  4. Déterminer l'allongement total (\(\Delta L\)) de la barre.
  5. Vérifier si la contrainte dans la barre dépasse la limite d'élasticité (\(f_y\)) de l'acier. Conclure sur le comportement du matériau.

Correction : Charges, Contraintes et Déformations

Question 1 : Calcul de l'Aire (\(A\)) de la Section Transversale

Principe :

L'aire d'une section rectangulaire est le produit de sa largeur (\(b\)) par son épaisseur (ou hauteur, \(h\)). Cette aire est utilisée pour calculer la contrainte normale induite par la force axiale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = b \cdot h\]
Données spécifiques :
  • Largeur (\(b\)) : \(30 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur (\(h\)) : \(10 \, \text{mm}\)
Calcul de l'aire :
\[ \begin{aligned} A &= 30 \, \text{mm} \cdot 10 \, \text{mm} \\ &= 300 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale est \(A = 300 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Calcul de la Contrainte Normale (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte normale (\(\sigma\)) dans une barre soumise à un effort axial \(N\) est définie comme le rapport de cet effort à l'aire \(A\) de la section transversale sur laquelle il s'applique. Elle représente l'intensité de la force interne par unité de surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma = \frac{N}{A}\]
Données spécifiques :
  • Effort axial (\(N\)) : \(50 \, \text{kN} = 50000 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A\)) : \(300 \, \text{mm}^2\)
Calcul de la contrainte normale :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{50000 \, \text{N}}{300 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 166.666... \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 166.67 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte normale dans la barre est \(\sigma \approx 166.67 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Calcul de la Déformation Axiale (\(\epsilon\))

Principe :

La déformation axiale (\(\epsilon\)), ou allongement relatif, décrit le changement de longueur par unité de longueur initiale. Dans le domaine élastique linéaire d'un matériau, elle est directement proportionnelle à la contrainte normale appliquée, selon la loi de Hooke : \(\sigma = E \epsilon\), où \(E\) est le module d'Young du matériau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon = \frac{\sigma}{E}\]
Données spécifiques :
  • Contrainte normale (\(\sigma\)) : \(\approx 166.666... \, \text{MPa}\)
  • Module d'Young (\(E\)) : \(200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^3 \, \text{MPa}\)
Calcul de la déformation axiale :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{166.666... \, \text{MPa}}{200 \times 10^3 \, \text{MPa}} \\ &\approx 0.00083333 \end{aligned} \]

La déformation est une grandeur adimensionnelle.

Résultat Question 3 : La déformation axiale est \(\epsilon \approx 0.000833\).

Question 4 : Calcul de l'Allongement Total (\(\Delta L\))

Principe :

L'allongement total (\(\Delta L\)) d'une barre est le produit de sa déformation axiale (\(\epsilon\)) par sa longueur initiale (\(L_0\)). Il représente le changement absolu de la longueur de la barre. On peut aussi le calculer directement par la formule \(\Delta L = \frac{NL_0}{AE}\), qui combine les étapes précédentes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta L = \epsilon \cdot L_0 \quad \text{ou} \quad \Delta L = \frac{N L_0}{A E}\]
Données spécifiques :
  • Déformation axiale (\(\epsilon\)) : \(\approx 0.00083333\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(2.0 \, \text{m} = 2000 \, \text{mm}\)
Calcul de l'allongement total :
\[ \begin{aligned} \Delta L &= 0.00083333 \cdot 2000 \, \text{mm} \\ &\approx 1.66666 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'allongement total de la barre est \(\Delta L \approx 1.67 \, \text{mm}\).

Question 5 : Vérification du Domaine Élastique

Principe :

Pour s'assurer que la barre se comporte de manière élastique (c'est-à-dire qu'elle reprendra sa forme initiale après suppression de la charge et que la loi de Hooke est applicable), la contrainte normale (\(\sigma\)) calculée doit être inférieure ou égale à la limite d'élasticité (\(f_y\)) du matériau. Si \(\sigma > f_y\), le matériau subit une déformation plastique permanente.

Données spécifiques :
  • Contrainte normale calculée (\(\sigma\)) : \(\approx 166.67 \, \text{MPa}\)
  • Limite d'élasticité de l'acier S275 (\(f_y\)) : \(275 \, \text{MPa}\)
Vérification :
\[\sigma \approx 166.67 \, \text{MPa}\] \[f_y = 275 \, \text{MPa}\] \[166.67 \, \text{MPa} \leq 275 \, \text{MPa}\]

La contrainte calculée est inférieure à la limite d'élasticité.

Résultat Question 5 : La barre reste dans le domaine élastique car \(\sigma < f_y\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le module d'Young \(E\) du matériau était plus faible, l'allongement \(\Delta L\) pour la même charge \(N\) et les mêmes dimensions serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. La contrainte normale est une mesure de :

7. La déformation axiale (\(\epsilon\)) est :

8. Si la contrainte appliquée à un matériau dépasse sa limite d'élasticité, le matériau :

Glossaire

Charge Axiale (\(N\))
Force appliquée le long de l'axe longitudinal d'un élément structural.
Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne agissant perpendiculairement par unité de surface d'une section transversale. En traction, elle est positive ; en compression, elle est négative (par convention).
Déformation Axiale (\(\epsilon\))
Mesure du changement relatif de longueur d'un corps sous l'effet d'une contrainte axiale (\(\epsilon = \Delta L / L_0\)).
Loi de Hooke
Relation linéaire entre la contrainte et la déformation pour un matériau élastique : \(\sigma = E \epsilon\).
Module d'Young (\(E\))
Module d'élasticité longitudinale, mesurant la rigidité d'un matériau.
Limite d'Élasticité (\(f_y\) ou \(\sigma_e\))
Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans subir de déformation permanente.
Allongement / Raccourcissement (\(\Delta L\))
Variation absolue de la longueur d'un objet due à une sollicitation.
Domaine Élastique
Plage de contrainte dans laquelle un matériau reprend sa forme initiale après suppression de la charge.
Domaine Plastique
Plage de contrainte au-delà de la limite d'élasticité où le matériau subit des déformations permanentes.
Charges, Contraintes et Déformations - Exercice d'Application

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