Études de cas pratique

EGC

Calcul des pressions de terre

Calcul des Pressions de Terre en Géotechnique

Calcul des Pressions de Terre en Géotechnique

Comprendre la Pression des Terres

Lorsqu'un ouvrage de soutènement (comme un mur de sous-sol, un mur de quai, ou un tunnel) est en contact avec un massif de sol, ce dernier exerce une poussée sur l'ouvrage. Cette poussée, appelée "pression des terres", est un effort latéral que l'ingénieur géotechnicien doit calculer avec précision pour assurer la stabilité et la sécurité de la structure. Il existe différents états de pression des terres : la pression au repos (quand le mur ne bouge pas), la poussée active (quand le mur s'éloigne légèrement du sol, permettant au sol de "glisser" et de réduire la pression), et la butée passive (quand le mur est poussé contre le sol, mobilisant une résistance plus importante du sol). Cet exercice se concentrera sur le calcul de la poussée active selon la théorie de Rankine pour un sol pulvérulent (sans cohésion).

Données de l'étude

On considère un mur de soutènement vertical retenant un remblai horizontal constitué d'un sable sec.

Caractéristiques du mur et du sol :

  • Hauteur du mur de soutènement (\(H\)) : \(4.00 \, \text{m}\)
  • Poids volumique du sable (\(\gamma\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Angle de frottement interne du sable (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
  • Cohésion du sable (\(c'\)) : \(0 \, \text{kPa}\) (sol pulvérulent)
  • Angle de frottement entre le mur et le sol (\(\delta\)) : \(0^\circ\) (mur lisse, hypothèse de Rankine)
  • Surface du remblai : Horizontale (\(\beta = 0^\circ\))
  • Nappe phréatique : Absente (sol sec)
Schéma : Poussée Active des Terres (Rankine)
Mur (H) Remblai Horizontal σ'_a,base Pa (H/3) Base du mur Poussée Active des Terres

Distribution triangulaire de la pression active des terres sur un mur de soutènement (Théorie de Rankine, sol pulvérulent, remblai horizontal).

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient de poussée active des terres (\(K_a\)) selon la théorie de Rankine.
  2. Calculer la contrainte horizontale effective de poussée active à la base du mur (\(\sigma'_{\text{a,base}}\)).
  3. Calculer la résultante de la poussée active des terres (\(P_a\)) par mètre linéaire de mur.
  4. Déterminer la hauteur d'application (\(h_a\)) de la résultante \(P_a\) par rapport à la base du mur.

Correction : Calcul des Pressions de Terre

Question 1 : Coefficient de poussée active (\(K_a\))

Principe :

Le coefficient de poussée active (\(K_a\)) est un nombre sans dimension qui exprime la proportion de la pression verticale du sol qui se transforme en pression horizontale active sur le mur. Pour un sol pulvérulent (sans cohésion, comme du sable sec) avec un remblai horizontal et un mur lisse (pas de frottement entre le mur et le sol), la théorie de Rankine donne une formule simple pour \(K_a\) basée uniquement sur l'angle de frottement interne du sol (\(\phi'\)). Cet angle représente la résistance du sol au cisaillement. Plus cet angle est élevé, plus le sol est "stable" et moins il poussera sur le mur (donc \(K_a\) sera plus petit).

Formule(s) utilisée(s) (Rankine) :
\[K_a = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')} = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right)\]
Données spécifiques :
  • Angle de frottement interne du sable (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
Calcul :

En utilisant la première forme de la formule :

\[ \begin{aligned} \sin(30^\circ) &= 0.5 \\ K_a &= \frac{1 - 0.5}{1 + 0.5} \\ &= \frac{0.5}{1.5} \\ &= \frac{1}{3} \\ &\approx 0.333 \end{aligned} \]

Vérification avec la deuxième forme :

\[ \begin{aligned} K_a &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(45^\circ - 15^\circ) \\ &= \tan^2(30^\circ) \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ &= \frac{1}{3} \\ &\approx 0.333 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le coefficient de poussée active des terres est \(K_a = 1/3 \approx 0.333\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'angle de frottement interne \(\phi'\) augmente, le coefficient \(K_a\) :

Question 2 : Contrainte horizontale effective de poussée active à la base du mur (\(\sigma'_{\text{a,base}}\))

Principe :

La pression (ou contrainte) verticale effective exercée par le sol à une certaine profondeur \(z\) est simplement le poids volumique du sol (\(\gamma\)) multiplié par cette profondeur (\(z\)). C'est comme la pression de l'eau qui augmente avec la profondeur. La pression horizontale active (\(\sigma'_a\)) à cette même profondeur est alors cette pression verticale multipliée par le coefficient de poussée active \(K_a\) que nous venons de calculer. À la base du mur, la profondeur est égale à la hauteur totale du mur (\(H\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma'_{\text{v}}(z) = \gamma \cdot z\]
\[\sigma'_{\text{a}}(z) = K_a \cdot \sigma'_{\text{v}}(z) = K_a \cdot \gamma \cdot z\]

À la base du mur (\(z=H\)) :

\[\sigma'_{\text{a,base}} = K_a \cdot \gamma \cdot H\]
Données spécifiques :
  • Coefficient de poussée active (\(K_a\)) : \(1/3\)
  • Poids volumique du sable (\(\gamma\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Hauteur du mur (\(H\)) : \(4.00 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{a,base}} &= \frac{1}{3} \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times 4.00 \, \text{m} \\ &= 6 \, \text{kN/m}^2 \times 4.00 \, \text{m} \\ &= 24 \, \text{kN/m}^2 \quad (\text{ou } 24 \, \text{kPa}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte horizontale effective de poussée active à la base du mur est \(\sigma'_{\text{a,base}} = 24 \, \text{kPa}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La pression des terres sur un mur de soutènement :

Question 3 : Résultante de la poussée active des terres (\(P_a\))

Principe :

La pression active des terres varie linéairement avec la profondeur, de zéro en surface (pour un remblai horizontal) à sa valeur maximale (\(\sigma'_{\text{a,base}}\)) à la base du mur. Cette distribution de pression forme un triangle. La force totale exercée par cette pression sur le mur (par mètre de longueur du mur) est appelée la résultante de poussée active (\(P_a\)). Elle correspond à l'aire de ce triangle de pression. L'aire d'un triangle est calculée comme (1/2) × base × hauteur. Ici, la "base" du triangle de pression est \(\sigma'_{\text{a,base}}\) et sa "hauteur" est la hauteur du mur \(H\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_a = \frac{1}{2} \cdot \sigma'_{\text{a,base}} \cdot H\]

En remplaçant \(\sigma'_{\text{a,base}}\) par son expression :

\[P_a = \frac{1}{2} \cdot K_a \cdot \gamma \cdot H^2\]
Données spécifiques :
  • Contrainte active à la base (\(\sigma'_{\text{a,base}}\)) : \(24 \, \text{kN/m}^2\)
  • Hauteur du mur (\(H\)) : \(4.00 \, \text{m}\)
  • (Alternativement : \(K_a = 1/3\), \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} \times 24 \, \text{kN/m}^2 \times 4.00 \, \text{m} \\ &= 12 \, \text{kN/m} \times 4.00 \, \text{m} \\ &= 48 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Cela signifie que pour chaque mètre de longueur du mur, le sol exerce une poussée totale de 48 kN.

Résultat Question 3 : La résultante de la poussée active des terres est \(P_a = 48 \, \text{kN/m}\) (kilonewtons par mètre linéaire de mur).

Quiz Intermédiaire 3 : Si la pression à la base d'un mur de 3m est de 15 kPa (distribution triangulaire), la résultante de poussée est :

Question 4 : Hauteur d'application de la résultante (\(h_a\))

Principe :

La résultante de la poussée active (\(P_a\)) n'est pas appliquée au milieu de la hauteur du mur, car la pression n'est pas uniforme : elle est nulle en haut et maximale en bas (distribution triangulaire). Pour une distribution de pression triangulaire, le point d'application de la force résultante se situe au tiers de la hauteur du triangle, mesuré à partir de la base du triangle (qui correspond à la base du mur). Donc, \(P_a\) s'applique à \(H/3\) depuis la base du mur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[h_a = \frac{H}{3}\]
Données spécifiques :
  • Hauteur du mur (\(H\)) : \(4.00 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h_a &= \frac{4.00 \, \text{m}}{3} \\ &\approx 1.33 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La hauteur d'application de la résultante \(P_a\) par rapport à la base du mur est \(h_a \approx 1.33 \, \text{m}\).

Quiz Q4 : Pour une distribution de pression hydrostatique (triangulaire), la force résultante s'applique :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La poussée active des terres est généralement :

2. Le coefficient de poussée active \(K_a\) pour un sol pulvérulent dépend principalement de :

3. La résultante de la poussée active des terres (distribution triangulaire) s'applique à :

Glossaire

Pression des Terres
Force exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement (mur, écran, etc.).
Poussée Active (\(P_a\))
Pression minimale exercée par le sol lorsque le mur de soutènement se déplace légèrement en s'éloignant du sol, permettant au sol d'atteindre un état de rupture par glissement.
Butée Passive (\(P_p\))
Résistance maximale que le sol peut opposer lorsque le mur de soutènement est poussé contre le sol.
Coefficient de Poussée Active (\(K_a\))
Coefficient sans dimension utilisé pour calculer la pression horizontale active à partir de la pression verticale effective du sol.
Angle de Frottement Interne (\(\phi'\))
Paramètre du sol qui caractérise sa résistance au cisaillement due au frottement entre les grains. Crucial pour les sols pulvérulents (sables, graviers).
Cohésion (\(c'\))
Paramètre du sol qui caractérise sa résistance au cisaillement due aux forces d'attraction entre les particules. Importante pour les sols argileux, négligeable pour les sables propres.
Poids Volumique (\(\gamma\))
Poids du sol par unité de volume. Exprimé en \(\text{kN/m}^3\).
Mur de Soutènement
Ouvrage destiné à retenir un massif de terre ou d'autres matériaux.
Théorie de Rankine
Méthode de calcul de la pression des terres qui suppose un mur lisse et un état de rupture plastique dans le sol.
Contrainte Effective (\(\sigma'\))
Partie de la contrainte totale dans un sol qui est supportée par le squelette solide des grains, par opposition à la pression interstitielle de l'eau.
Calcul des Pressions de Terre en Géotechnique - Exercice d'Application

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