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Calcul des pressions de terre

Calcul des Pressions de Terre sur un Mur de Soutènement

Calcul des Pressions de Terre sur un Mur de Soutènement

Contexte : La Stabilité des Murs de Soutènement, un Enjeu Majeur en Génie Civil.

Les murs de soutènement sont des structures omniprésentes qui permettent de retenir des masses de terre. Leur dimensionnement correct est crucial pour la sécurité des infrastructures (routes, voies ferrées, quais). La principale action à considérer est la pression des terresC'est la force latérale exercée par un massif de sol sur une structure (un mur, un écran de soutènement). Elle dépend des caractéristiques du sol, de sa géométrie et des déplacements de la structure., qui est la force que le sol exerce latéralement sur le mur. Une sous-estimation de cette force peut mener à la rupture de l'ouvrage. Cet exercice vous guidera à travers le calcul des pressions de terre selon la théorie de Rankine, une méthode fondamentale en géotechnique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment les propriétés de résistance d'un sol (angle de frottement, cohésion) sont utilisées pour quantifier une action mécanique (la poussée sur un mur). Nous allons déterminer les coefficients de poussée et de butée, tracer les diagrammes de pression et calculer les efforts résultants. C'est la démarche de base de tout ingénieur géotechnicien pour le pré-dimensionnement d'un ouvrage de soutènement.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le coefficient de poussée des terres (\(K_a\)) selon la théorie de Rankine.
  • Tracer le diagramme de pression de poussée et calculer la force de poussée résultante (\(P_a\)).
  • Calculer le coefficient de butée des terres (\(K_p\)) selon la théorie de Rankine.
  • Tracer le diagramme de pression de butée et calculer la force de butée résultante (\(P_p\)).
  • Comprendre la différence fondamentale entre l'état de poussée (actif) et de butée (passif).

Données de l'étude

On étudie un mur de soutènement vertical de 5 mètres de haut. Le mur retient un massif de sable sec et homogène. Le remblai a une surface horizontale. On néglige le frottement entre le mur et le sol. Les caractéristiques du sable sont déterminées en laboratoire :

Schéma du Mur de Soutènement
Sable : γ, φ' H = 5 m Poussée (Pa)
Paramètre Symbole Valeur Unité
Hauteur du mur \(H\) 5.0 \(\text{m}\)
Poids volumique du sable \(\gamma\) 18.0 \(\text{kN/m}^3\)
Angle de frottement interne \(\phi'\) 30 \(\text{degrés}\)
Cohésion effective \(c'\) 0 \(\text{kPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient de poussée des terres (\(K_a\)).
  2. Déterminer la force de poussée totale (\(P_a\)) s'exerçant sur le mur (par mètre linéaire de mur) et sa hauteur d'application.
  3. Calculer le coefficient de butée des terres (\(K_p\)).
  4. Si le mur était enfoncé dans le sol devant lui, déterminer la force de butée totale (\(P_p\)) qui pourrait être mobilisée sur une hauteur de 1m.

Les bases de la Pression des Terres (Théorie de Rankine)

Avant la correction, revoyons les concepts de Rankine, qui décrivent l'état de contrainte dans un sol en équilibre plastique.

1. L'état Actif (Poussée) :
Cet état se produit lorsque le mur s'éloigne légèrement du sol. Le sol "accompagne" le mur en se décomprimant et entre en expansion latérale. La pression horizontale atteint alors sa valeur minimale. Le coefficient de poussée \(K_a\) relie la contrainte verticale effective \(\sigma'_v\) à la contrainte horizontale effective \(\sigma'_h\) par \(\sigma'_h = K_a \cdot \sigma'_v\). Pour un sol sans cohésion avec un remblai horizontal, la formule est : \[ K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) \]

2. L'état Passif (Butée) :
Cet état se produit lorsque le mur est poussé contre le sol. Le sol est comprimé latéralement et se "défend" en mobilisant sa résistance maximale. La pression horizontale atteint sa valeur maximale. Le coefficient de butée \(K_p\) est utilisé : \(\sigma'_h = K_p \cdot \sigma'_v\). La formule est : \[ K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) \]

3. Calcul de la Poussée et de la Butée :
Dans un sol sec, la contrainte verticale à une profondeur \(z\) est \(\sigma'_v = \gamma \cdot z\). La pression de terre est donc linéaire. La force résultante (Poussée \(P_a\) ou Butée \(P_p\)) est l'aire du diagramme de pression triangulaire, et elle s'applique au tiers de la hauteur, en partant de la base. \[ P = \frac{1}{2} \cdot K \cdot \gamma \cdot H^2 \] où K est \(K_a\) ou \(K_p\).

Correction : Calcul des Pressions de Terre sur un Mur de Soutènement

Question 1 : Calculer le coefficient de poussée des terres (\(K_a\))

Principe (le concept physique)

Le coefficient de poussée, \(K_a\), est un nombre sans dimension qui quantifie la réduction de la pression horizontale par rapport à la pression verticale lorsque le sol est en état de rupture "actif". C'est un état de décompression latérale minimale. Plus l'angle de frottement du sol (\(\phi'\)) est élevé, plus le sol est "solide" et capable de se tenir lui-même, et donc plus \(K_a\) sera faible, ce qui signifie moins de poussée sur le mur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La théorie de Rankine (1857) suppose un état d'équilibre plastique limite dans le massif de sol. L'état actif correspond au point où le cercle de Mohr des contraintes devient tangent à la critère de rupture de Mohr-Coulomb, avec la plus petite contrainte principale (\(\sigma'_3\)) étant horizontale et la plus grande (\(\sigma'_1\)) étant verticale. La formule de \(K_a\) est directement dérivée de la géométrie de ce cercle de Mohr.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour un sol sans frottement (\(\phi'=0\)), \(K_a = \tan^2(45) = 1\), la pression horizontale est égale à la pression verticale (comme dans un liquide). Pour un sable typique avec \(\phi'=30^\circ\), \(K_a = \tan^2(30) = 1/3\). Mémoriser cette valeur de 1/3 pour \(\phi'=30^\circ\) est un excellent réflexe pour vérifier rapidement ses calculs.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de conception géotechnique, comme l'Eurocode 7, fournissent des cadres pour le calcul des pressions de terre. Elles spécifient les hypothèses à utiliser (par exemple, la théorie de Rankine ou de Coulomb), les angles de frottement à considérer et les coefficients de sécurité à appliquer sur les forces calculées pour assurer la stabilité de l'ouvrage.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour un sol pulvérulent (\(c'=0\)), avec un remblai horizontal et un mur vertical sans frottement, la formule de Rankine est :

\[ K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On applique les hypothèses de Rankine : le mur est vertical, le remblai est horizontal, il n'y a pas de frottement entre le sol et le mur, et le sol est homogène.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Angle de frottement interne, \(\phi' = 30^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La formule peut aussi s'écrire \(K_a = (1-\sin\phi')/(1+\sin\phi')\). Parfois, cette forme est plus rapide à calculer et moins sujette à des erreurs de mode (degrés/radians) sur la calculatrice. Pour \(\phi'=30^\circ\), \(\sin\phi'=0.5\), donc \(K_a = (1-0.5)/(1+0.5) = 0.5/1.5 = 1/3\).

Schéma (Avant les calculs)
État de Contrainte Actif (Cercle de Mohr)
σ'τσ'h = Ka·σ'vσ'v
Calcul(s) (l'application numérique)

On insère directement la valeur de \(\phi'\) dans la formule.

\[ \begin{aligned} K_a &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(45^\circ - 15^\circ) \\ &= \tan^2(30^\circ) \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ &= \frac{1}{3} \approx 0.333 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Relation entre Pressions Verticale et Horizontale
σ'vx (1/3)σ'h
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un coefficient de 1/3 signifie que la pression horizontale exercée par le sable sur le mur ne représente qu'un tiers de la pression verticale (due au poids des terres). C'est grâce au frottement interne entre les grains que le sol peut "se tenir" et réduire la poussée latérale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "degrés". Une erreur de mode est la cause la plus fréquente d'un résultat incorrect. De plus, n'oubliez pas d'élever la tangente au carré. Une omission de ce carré est une erreur classique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La poussée est l'état de pression minimale.
  • Le coefficient de poussée est \(K_a\).
  • Pour un sable (\(c'=0\)), \(K_a = \tan^2(45^\circ - \phi'/2)\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour qu'un état de poussée active se développe pleinement, il faut un très faible déplacement du mur (de l'ordre de 0.1% à 0.4% de sa hauteur). C'est pourquoi, pour les structures très rigides qui ne peuvent pas bouger (comme les sous-sols de bâtiments), on utilise souvent un coefficient de pression des terres "au repos" (\(K_0\)), qui est plus élevé que \(K_a\).

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule est-elle toujours valable ?

Non, la formule de Rankine est une simplification. Si le remblai est incliné, si le mur est incliné, ou s'il y a du frottement entre le mur et le sol, il faut utiliser des formules plus complexes, comme celles de la théorie de Coulomb, qui prennent en compte ces paramètres supplémentaires.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de poussée des terres \(K_a\) est de 1/3 (environ 0.333).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour un sable plus anguleux avec \(\phi' = 36^\circ\), quel serait le nouveau coefficient \(K_a\) ? (arrondi à 3 décimales)

Question 2 : Déterminer la force de poussée totale (\(P_a\))

Principe (le concept physique)

La pression de poussée n'est pas uniforme sur la hauteur du mur. Elle est nulle en surface et augmente linéairement avec la profondeur, car le poids des terres au-dessus (\(\sigma'_v = \gamma \cdot z\)) augmente. La force totale, ou "poussée" (\(P_a\)), est la résultante de toutes ces pressions. Elle correspond à l'aire du diagramme de pression, qui a une forme triangulaire dans ce cas simple.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La force résultante est l'intégrale de la distribution de pression sur la hauteur du mur : \(P_a = \int_0^H \sigma'_h(z) dz\). Comme \(\sigma'_h(z) = K_a \cdot \gamma \cdot z\), l'intégrale devient \(K_a \cdot \gamma \int_0^H z dz = K_a \cdot \gamma \cdot [z^2/2]_0^H\), ce qui donne la formule finale \((1/2) \cdot K_a \cdot \gamma \cdot H^2\). Le point d'application de la force correspond au centre de gravité de l'aire du diagramme (le triangle), qui se situe à H/3 de la base.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'unité de la poussée est une force par unité de longueur (kN/m) car on raisonne sur une "tranche" de 1 mètre de long du mur. Notez la dépendance en \(H^2\). Si vous doublez la hauteur du mur, vous multipliez la poussée totale par 4 ! C'est pourquoi les très hauts murs de soutènement sont des ouvrages complexes et coûteux.

Normes (la référence réglementaire)

Lors du dimensionnement d'un mur de soutènement, cette force \(P_a\) est utilisée pour vérifier deux stabilités principales : la stabilité au glissement (la poussée ne doit pas dépasser la force de frottement à la base du mur) et la stabilité au renversement (le moment créé par la poussée ne doit pas dépasser le moment stabilisant créé par le poids du mur).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La pression à la base du mur (\(z=H\)) est : \(\sigma'_{h,max} = K_a \cdot \gamma \cdot H\). La force de poussée totale est l'aire du triangle :

\[ P_a = \frac{1}{2} \cdot \sigma'_{h,max} \cdot H = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2 \]

Le point d'application est à \(H/3\) depuis la base du mur.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On continue avec les hypothèses de Rankine. De plus, on suppose que le sol est sec (pas de nappe phréatique), car la présence d'eau modifierait les contraintes et donc la poussée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Coefficient de poussée, \(K_a = 1/3\) (du calcul Q1)
  • Poids volumique du sable, \(\gamma = 18.0 \, \text{kN/m}^3\)
  • Hauteur du mur, \(H = 5.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez d'abord la pression maximale à la base (\(K_a \cdot \gamma \cdot H\)). Puis multipliez par \(H/2\). Cela décompose le calcul en deux étapes simples et réduit les risques d'erreur en manipulant la formule complète.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Pression de Poussée
σ'_h,max = ?Pa = ?à H/3
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la poussée totale \(P_a\) :

\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} K_a \gamma H^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) \cdot (18.0 \, \text{kN/m}^3) \cdot (5.0 \, \text{m})^2 \\ &= \frac{1}{6} \cdot 18.0 \cdot 25.0 \, \text{kN/m} \\ &= 3.0 \cdot 25.0 \, \text{kN/m} \\ &= 75.0 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul de la hauteur d'application \(h_a\) depuis la base :

\[ \begin{aligned} h_a &= \frac{H}{3} \\ &= \frac{5.0 \, \text{m}}{3} \\ &\approx 1.67 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultante de la Poussée
Pa = 75 kN/mh = 1.67m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une force de 75 kN/m (environ 7.5 tonnes par mètre de mur) est une charge significative. Le moment de renversement à la base du mur créé par cette force est de \(M_{renv} = P_a \cdot h_a = 75 \cdot 1.67 = 125.25\) kNm/m. Le mur doit être suffisamment lourd et large à sa base pour contrer ce moment.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez pas le facteur 1/2 dans la formule de la force (aire d'un triangle). Une erreur fréquente est aussi d'oublier de mettre H au carré. Vérifiez toujours la cohérence des unités : \(K_a\) (sans) x \(\gamma\) (kN/m³) x \(H^2\) (m²) donne bien des kN/m.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La pression de poussée est triangulaire.
  • La force de poussée est \(P_a = (1/2) K_a \gamma H^2\).
  • Elle s'applique au tiers inférieur de la hauteur (\(H/3\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'ingénieur militaire français Vauban, au XVIIe siècle, avait déjà intuitivement compris ces principes. Il construisait ses fortifications avec des murs inclinés (fruit) et des contreforts massifs, des formes qui sont structurellement très efficaces pour résister à la poussée des terres, bien avant que la théorie ne soit formalisée par Rankine ou Coulomb.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il s'il y a une surcharge (ex: une route) sur le remblai ?

Une surcharge uniforme \(q\) (en kPa) ajoute une pression rectangulaire constante sur toute la hauteur du mur, de valeur \(K_a \cdot q\). Le diagramme de pression total devient alors un trapèze (la somme du triangle dû au poids des terres et du rectangle dû à la surcharge). La force résultante et son point d'application doivent alors être recalculés pour ce diagramme trapézoïdal.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La force de poussée totale est de 75.0 kN/m, appliquée à 1.67 m au-dessus de la base du mur.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la hauteur du mur était de 6m au lieu de 5m, quelle serait la nouvelle poussée totale \(P_a\) en kN/m ?

Question 3 : Calculer le coefficient de butée des terres (\(K_p\))

Principe (le concept physique)

Le coefficient de butée, \(K_p\), est l'opposé de \(K_a\). Il quantifie l'augmentation de la pression horizontale par rapport à la pression verticale lorsque le sol est en état de rupture "passif". C'est un état de compression latérale maximale, atteint lorsque l'on pousse le mur contre le sol. Le sol mobilise toute sa résistance au frottement pour s'opposer au mouvement. \(K_p\) est toujours supérieur à 1.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

De manière similaire à l'état actif, l'état passif correspond au cas où le cercle de Mohr est tangent à la droite de Mohr-Coulomb. Mais cette fois, la contrainte principale majeure (\(\sigma'_1\)) est horizontale, et la mineure (\(\sigma'_3\)) est verticale. Cette inversion des contraintes principales explique pourquoi la formule de \(K_p\) utilise un signe "+" au lieu d'un "-". On peut d'ailleurs démontrer que \(K_p = 1/K_a\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La butée est une force de "résistance", alors que la poussée est une force "agissante". La butée est beaucoup plus grande que la poussée. Pour notre sable avec \(\phi'=30^\circ\), on s'attend à ce que \(K_p = 1/K_a = 1/(1/3) = 3\). C'est un rapport de 9 entre la butée et la poussée ! C'est pourquoi on utilise souvent des "clés de butée" ou des ancrages pour stabiliser les murs.

Normes (la référence réglementaire)

En raison des déplacements beaucoup plus importants nécessaires pour mobiliser entièrement la butée passive (jusqu'à 10% de la hauteur), les normes de conception (comme l'Eurocode 7) imposent souvent l'utilisation d'un coefficient de sécurité élevé sur la butée calculée, ou de ne prendre en compte qu'une fraction de sa valeur (par exemple, 50%) pour le dimensionnement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour les mêmes hypothèses de Rankine :

\[ K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses de Rankine restent les mêmes. On imagine simplement que le mur est poussé contre le sol.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Angle de frottement interne, \(\phi' = 30^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Si vous avez déjà calculé \(K_a\), le plus rapide est d'utiliser la relation \(K_p = 1/K_a\). C'est valable pour les conditions de Rankine (sol sans cohésion, remblai horizontal). Utiliser la formule complète permet de vérifier le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
État de Contrainte Passif (Cercle de Mohr)
σ'τσ'vσ'h = Kp·σ'v
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule de \(K_p\).

\[ \begin{aligned} K_p &= \tan^2\left(45^\circ + \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(45^\circ + 15^\circ) \\ &= \tan^2(60^\circ) \\ &= (\sqrt{3})^2 \\ &= 3 \end{aligned} \]

Vérification : \(K_p = 1/K_a = 1/(1/3) = 3\).

Schéma (Après les calculs)
Relation entre Pressions Verticale et Horizontale
σ'vx 3σ'h
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un coefficient de 3 est une amplification considérable. Il montre la grande capacité d'un sol granulaire à résister à la compression. Cette résistance passive est une ressource précieuse en génie civil, utilisée pour ancrer des structures, stabiliser des fondations ou concevoir des butées anti-glissement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas utiliser le coefficient de butée \(K_p\) pour calculer la poussée sur un mur. C'est une erreur de conception majeure qui conduirait à une sous-estimation dangereuse des efforts. La poussée est associée à \(K_a\) (état actif), la butée à \(K_p\) (état passif).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La butée est l'état de pression maximale.
  • Le coefficient de butée est \(K_p\).
  • Pour un sable (\(c'=0\)), \(K_p = \tan^2(45^\circ + \phi'/2) = 1/K_a\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La différence entre poussée et butée explique pourquoi un simple piquet planté dans le sable peut résister à une force de traction importante. Le sol devant le piquet entre en butée, développant une grande force de résistance, tandis que le sol derrière entre en poussée, exerçant une force plus faible. La différence entre les deux forces équilibre la traction.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que la butée est toujours égale à \(1/K_a\) ?

Cette relation simple \(K_p=1/K_a\) n'est strictement vraie que pour les conditions de Rankine avec un remblai horizontal. Lorsque le frottement mur-sol et/ou l'inclinaison du remblai sont pris en compte (théorie de Coulomb), la relation n'est plus aussi simple et les deux coefficients doivent être calculés séparément.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de butée des terres \(K_p\) est de 3.0.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En utilisant la relation \(K_p = 1/K_a\), quel serait le coefficient \(K_p\) pour le sable avec \(\phi' = 36^\circ\) (\(K_a \approx 0.260\)) ? (arrondi à 2 décimales)

Question 4 : Déterminer la force de butée totale (\(P_p\)) sur 1m

Principe (le concept physique)

De la même manière que la poussée, la pression de butée est nulle en surface et augmente linéairement avec la profondeur. La force de butée totale (\(P_p\)) est la résultante de cette distribution de pression. On la calcule sur une hauteur donnée (ici, 1m) pour quantifier la force de résistance que le sol peut opposer à un déplacement du mur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul est identique à celui de la poussée, en remplaçant simplement le coefficient \(K_a\) par \(K_p\). La distribution de pression étant triangulaire, la force est l'aire du triangle, et elle s'applique au tiers de la hauteur considérée, en partant de la base de cette hauteur.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette force de butée est souvent mobilisée à la base avant d'un mur de soutènement (la "semelle") pour l'empêcher de glisser vers l'avant. Même une faible hauteur de sol devant le mur peut générer une force de résistance passive significative, contribuant grandement à la stabilité globale de l'ouvrage.

Normes (la référence réglementaire)

Comme mentionné, la mobilisation complète de la butée passive nécessite des déformations importantes. Par conséquent, les règlements de calcul (Eurocode 7) sont très prudents et appliquent des facteurs de sécurité partiels sur les résistances passives, ce qui conduit à utiliser dans les calculs de vérification une valeur de butée inférieure à la valeur théorique maximale calculée ici.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La force de butée totale sur une hauteur \(H_{butée}\) est :

\[ P_p = \frac{1}{2} K_p \gamma H_{butée}^2 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le sol devant le mur a les mêmes caractéristiques que le remblai derrière, et que les conditions pour un état de Rankine passif sont remplies.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Coefficient de butée, \(K_p = 3.0\) (du calcul Q3)
  • Poids volumique du sable, \(\gamma = 18.0 \, \text{kN/m}^3\)
  • Hauteur de butée, \(H_{butée} = 1.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour comparer Poussée et Butée, on peut noter que le rapport \(P_p/P_a\) est égal à \(K_p/K_a\), soit \(K_p^2\). Dans notre cas, \(3^2=9\). Pour une même hauteur, la force de butée est 9 fois plus grande que la force de poussée. C'est une asymétrie fondamentale du comportement des sols.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Pression de Butée
σ'_h,max = ?Pp = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule la butée sur H = 1 m.

\[ \begin{aligned} P_p &= \frac{1}{2} K_p \gamma H_{butée}^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot (3.0) \cdot (18.0 \, \text{kN/m}^3) \cdot (1.0 \, \text{m})^2 \\ &= 1.5 \cdot 18.0 \cdot 1.0 \, \text{kN/m} \\ &= 27.0 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultante de la Butée
Pp = 27 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Même sur une faible hauteur de 1 mètre, le sol peut mobiliser une force de résistance de 27 kN/m (environ 2.7 tonnes). Cette force est très efficace pour empêcher le mur de glisser. Comparée à la poussée totale de 75 kN/m, elle peut sembler modeste, mais elle est souvent suffisante pour assurer la stabilité au glissement, en combinaison avec le frottement à la base du mur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utilisez bien la hauteur sur laquelle la butée est mobilisée (\(H_{butée}\)), qui n'est pas forcément la hauteur totale du mur. Dans les calculs de stabilité, cette hauteur est souvent la hauteur de la "fiche" du mur dans le sol. Ne confondez pas les différentes hauteurs.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La pression de butée est triangulaire.
  • La force de butée est \(P_p = (1/2) K_p \gamma H^2\).
  • La butée est une force de résistance bien plus grande que la poussée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La notion de butée est aussi à la base du calcul de la capacité portante des fondations profondes (pieux). La résistance de pointe d'un pieu est en grande partie due à la mobilisation de la butée du sol sous sa base, qui s'oppose à l'enfoncement.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi faut-il un plus grand déplacement pour mobiliser la butée que la poussée ?

Pour mobiliser la poussée, il suffit de "laisser" le sol se décomprimer jusqu'à son état de rupture naturel, ce qui demande peu de mouvement. Pour mobiliser la butée, il faut "forcer" le sol à se comprimer, à réarranger ses grains, et à soulever le massif de sol situé au-dessus de la surface de rupture. Ce processus de compression et de soulèvement demande beaucoup plus d'énergie, et donc un déplacement plus important.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La force de butée mobilisable sur 1m de hauteur est de 27.0 kN/m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la force de butée \(P_p\) sur une hauteur de 2m en kN/m ?

Outil Interactif : Paramètres de Pression des Terres

Modifiez les paramètres du mur et du sol pour voir leur influence sur la poussée et la butée.

Paramètres d'Entrée
5.0 m
30 °
Résultats Clés
Coefficient de Poussée (\(K_a\)) -
Force de Poussée Totale (\(P_a\)) -
Coefficient de Butée (\(K_p\)) -

Le Saviez-Vous ?

L'ingénieur et physicien écossais William Rankine (1820-1872) était un esprit brillant de l'ère victorienne. En plus de sa théorie sur la pression des terres, il a été un pionnier de la thermodynamique, a défini l'échelle de température absolue qui porte son nom, et a écrit des manuels de génie civil qui ont fait autorité pendant des décennies.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre la théorie de Rankine et celle de Coulomb ?

La principale différence est que la théorie de Coulomb (1776), plus ancienne, prend en compte le frottement entre le mur et le sol. Elle analyse l'équilibre d'un "coin" de sol qui glisse le long d'une surface de rupture plane. La méthode de Coulomb est plus générale mais aussi plus complexe à appliquer. Rankine est une simplification de Coulomb pour le cas où le frottement mur-sol est négligé.

Que se passe-t-il s'il y a de l'eau dans le sol (nappe phréatique) ?

La présence d'eau change tout. Il faut raisonner en contraintes effectives. Sous le niveau de la nappe, la pression de l'eau (pression interstitielle \(u\)) s'ajoute à la pression horizontale effective (\(\sigma'_h\)). Le diagramme de pression devient la somme de la pression due au sol déjaugé et de la pression hydrostatique de l'eau (\(u\)), ce qui augmente considérablement la poussée totale. C'est pourquoi le drainage derrière les murs est absolument essentiel.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'angle de frottement du sol \(\phi'\) augmente (le sol est de meilleure qualité)...

2. Pour stabiliser un mur contre le glissement, il est plus efficace de mobiliser :

Poussée des terres
État de contrainte et force minimale exercée par un sol sur un soutènement qui s'écarte du massif. On parle d'état "actif".
Butée des terres
État de contrainte et force maximale de résistance opposée par un sol à un soutènement qui se déplace contre lui. On parle d'état "passif".
Angle de frottement interne (\(\phi'\))
Caractéristique intrinsèque d'un sol qui mesure sa résistance au cisaillement due au frottement entre les grains.
Calcul des Pressions de Terre en Géotechnique

D’autres exercices de Géotechnique:

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