Études de cas pratique

EGC

Calcul des Efforts en Béton Précontraint

Calcul des Efforts en Béton Précontraint

Comprendre le Calcul des Efforts en Béton Précontraint

L'analyse d'une poutre en béton précontraint vise à déterminer les contraintes (efforts internes par unité de surface) dans le béton et l'acier sous l'effet combiné de la force de précontrainte et des charges externes. La précontrainte introduit une compression initiale qui s'oppose aux tractions induites par les charges, permettant ainsi de mieux maîtriser la fissuration et d'optimiser l'utilisation des matériaux. Cet exercice se concentre sur le calcul des contraintes dans une section à l'État Limite de Service (ELS).

Données de l'étude

On étudie les contraintes à mi-portée d'une poutre en I en béton précontraint par post-tension, simplement appuyée.

Caractéristiques géométriques de la section en I :

  • Largeur des membrures supérieure et inférieure (\(b_f\)) : \(600 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur des membrures supérieure et inférieure (\(h_f\)) : \(200 \, \text{mm}\)
  • Hauteur totale de la poutre (\(h\)) : \(1200 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de l'âme (\(b_w\)) : \(200 \, \text{mm}\)
  • Aire de la section brute (\(A_c\)) : \(400000 \, \text{mm}^2\) (donnée)
  • Moment d'inertie de la section brute (\(I_c\)) : \(4.8 \times 10^{10} \, \text{mm}^4\) (donné)
  • Distances du centre de gravité aux fibres extrêmes : \(y_{sup} = y_{inf} = 600 \, \text{mm}\) (section symétrique)

Précontrainte et Sollicitations (ELS) :

  • Force de précontrainte utile (après pertes) : \(P_k = 2500 \, \text{kN}\)
  • Excentricité constante du câble : \(e = 400 \, \text{mm}\) (vers le bas)
  • Moment fléchissant de service (combinaison fréquente) : \(M_{ser} = 1000 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)

Hypothèse : On calcule les contraintes à l'ELS, en considérant la section brute de béton (non fissurée sous l'effet combiné P+M). Convention : compression négative, traction positive.

Schéma : Section en I et Diagramme des Contraintes
Section en I G P bf=600 h=1200 bw=200 hf=200 hf=200 e=400 Contraintes ELS \(\sigma_{sup}\) \(\sigma_{inf}\)

Section en I et diagramme linéaire des contraintes à l'ELS (section non fissurée).

Questions à traiter

  1. Calculer le module d'inertie de la section brute pour la fibre supérieure (\(W_{c,sup}\)) et inférieure (\(W_{c,inf}\)).
  2. Calculer la contrainte uniforme de compression due à la précontrainte (\(\sigma_{P/A}\)).
  3. Calculer la contrainte de flexion due à l'excentricité de la précontrainte (\(\sigma_{P \cdot e}\)) aux fibres supérieure et inférieure.
  4. Calculer la contrainte de flexion due au moment de service (\(\sigma_{M_{ser}}\)) aux fibres supérieure et inférieure.
  5. Calculer les contraintes totales (\(\sigma_{sup}\) et \(\sigma_{inf}\)) aux fibres supérieure et inférieure en combinant tous les effets. Vérifier si la section reste entièrement comprimée.

Correction : Calcul des Efforts en Béton Précontraint

Question 1 : Modules d'Inertie (\(W_{c,sup}, W_{c,inf}\))

Principe :

Le module d'inertie (ou module de section) est le rapport entre le moment d'inertie et la distance du centre de gravité à la fibre considérée. Pour une section symétrique, \(W_{c,sup} = W_{c,inf}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_c = \frac{I_c}{y_{max}}\]

Où \(y_{max} = y_{sup} = y_{inf}\) pour une section symétrique.

Données spécifiques (unités mm) :
  • \(I_c = 4.8 \times 10^{10} \, \text{mm}^4\)
  • \(y_{sup} = y_{inf} = 600 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{c,sup} = W_{c,inf} &= \frac{4.8 \times 10^{10} \, \text{mm}^4}{600 \, \text{mm}} \\ &= 80 \times 10^6 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Conversion en cm³ : \(W_c = 80000 \, \text{cm}^3\)

Résultat Question 1 : Les modules d'inertie sont \(W_{c,sup} = W_{c,inf} = 80 \times 10^6 \, \text{mm}^3\).

Question 2 : Contrainte Uniforme due à \(P_k\) (\(\sigma_{P/A}\))

Principe :

La force de précontrainte appliquée au centre de gravité de l'acier induit une contrainte de compression uniforme sur la section brute de béton.

Convention : Compression négative.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{P/A} = \frac{-P_k}{A_c}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(P_k = 2500 \, \text{kN} = 2500000 \, \text{N}\)
  • \(A_c = 400000 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{P/A} &= \frac{-2500000 \, \text{N}}{400000 \, \text{mm}^2} \\ &= -6.25 \, \text{N/mm}^2 \, (\text{MPa}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte uniforme de compression due à \(P_k\) est \(\sigma_{P/A} = -6.25 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Contraintes de Flexion dues à l'Excentricité (\(\sigma_{P \cdot e}\))

Principe :

L'excentricité \(e\) de la force de précontrainte \(P_k\) crée un moment interne \(M_p = P_k \cdot e\). Ce moment induit des contraintes de flexion.

Convention : Compression négative, Traction positive. Une excentricité positive (vers le bas) crée une compression supplémentaire en bas et une décompression (ou traction) en haut.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{P \cdot e} = \pm \frac{M_p}{W_c} = \pm \frac{P_k \cdot e}{W_c}\]

Fibre supérieure (décomprimée/tendue) : \(\sigma_{P \cdot e, sup} = + \frac{P_k \cdot e}{W_{c,sup}}\)

Fibre inférieure (comprimée) : \(\sigma_{P \cdot e, inf} = - \frac{P_k \cdot e}{W_{c,inf}}\)

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(P_k = 2500000 \, \text{N}\)
  • \(e = 400 \, \text{mm}\)
  • \(W_c = 80 \times 10^6 \, \text{mm}^3\)
Calcul :

Moment dû à l'excentricité :

\[ M_p = P_k \cdot e = 2500000 \, \text{N} \times 400 \, \text{mm} = 1 \times 10^{12} \, \text{N} \cdot \text{mm} \]

Contrainte de flexion :

\[ \begin{aligned} |\sigma_{P \cdot e}| &= \frac{1 \times 10^{12} \, \text{N} \cdot \text{mm}}{80 \times 10^6 \, \text{mm}^3} \\ &= 12.5 \, \text{N/mm}^2 \, (\text{MPa}) \end{aligned} \]

Donc :

\[ \sigma_{P \cdot e, sup} = +12.5 \, \text{MPa} \]
\[ \sigma_{P \cdot e, inf} = -12.5 \, \text{MPa} \]
Résultat Question 3 : Les contraintes de flexion dues à l'excentricité sont \(\sigma_{P \cdot e, sup} = +12.5 \, \text{MPa}\) et \(\sigma_{P \cdot e, inf} = -12.5 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Contraintes de Flexion dues au Moment (\(\sigma_{M_{ser}}\))

Principe :

Le moment fléchissant externe \(M_{ser}\) induit également des contraintes de flexion.

Convention : Compression négative, Traction positive. Un moment positif (fléchissant la poutre vers le bas) crée de la compression en haut et de la traction en bas.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{M_{ser}} = \pm \frac{M_{ser}}{W_c}\]

Fibre supérieure (comprimée) : \(\sigma_{M,sup} = - \frac{M_{ser}}{W_{c,sup}}\)

Fibre inférieure (tendue) : \(\sigma_{M,inf} = + \frac{M_{ser}}{W_{c,inf}}\)

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{ser} = 1000 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 1000 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(W_c = 80 \times 10^6 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} |\sigma_{M_{ser}}| &= \frac{1000 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{80 \times 10^6 \, \text{mm}^3} \\ &= 12.5 \, \text{N/mm}^2 \, (\text{MPa}) \end{aligned} \]

Donc :

\[ \sigma_{M,sup} = -12.5 \, \text{MPa} \]
\[ \sigma_{M,inf} = +12.5 \, \text{MPa} \]
Résultat Question 4 : Les contraintes de flexion dues au moment externe sont \(\sigma_{M,sup} = -12.5 \, \text{MPa}\) et \(\sigma_{M,inf} = +12.5 \, \text{MPa}\).

Question 5 : Contraintes Totales (\(\sigma_{sup}, \sigma_{inf}\))

Principe :

Les contraintes totales sont la somme algébrique des contraintes dues à la force de précontrainte centrée, à l'excentricité de la précontrainte, et au moment externe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{total} = \sigma_{P/A} + \sigma_{P \cdot e} + \sigma_{M_{ser}} \]
Données spécifiques :
  • \(\sigma_{P/A} = -6.25 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_{P \cdot e, sup} = +12.5 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_{P \cdot e, inf} = -12.5 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_{M,sup} = -12.5 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_{M,inf} = +12.5 \, \text{MPa}\)
Calcul :

Fibre supérieure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{sup} &= \sigma_{P/A} + \sigma_{P \cdot e, sup} + \sigma_{M,sup} \\ &= (-6.25) + (+12.5) + (-12.5) \\ &= -6.25 \, \text{MPa} \quad (\text{Compression}) \end{aligned} \]

Fibre inférieure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{inf} &= \sigma_{P/A} + \sigma_{P \cdot e, inf} + \sigma_{M,inf} \\ &= (-6.25) + (-12.5) + (+12.5) \\ &= -6.25 \, \text{MPa} \quad (\text{Compression}) \end{aligned} \]

Vérification : Les deux fibres restent comprimées (\(\sigma < 0\)). La section est entièrement comprimée sous cette combinaison de charges.

Résultat Question 5 : Les contraintes totales à mi-portée sont \(\sigma_{sup} = -6.25 \, \text{MPa}\) (Compression) et \(\sigma_{inf} = -6.25 \, \text{MPa}\) (Compression). La section reste entièrement comprimée.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. La force de précontrainte \(P_k\) appliquée avec une excentricité \(e\) crée :

2. Dans les calculs de contraintes en béton précontraint à l'ELS, on utilise généralement :

3. Si la contrainte calculée à la fibre inférieure \(\sigma_{inf}\) est positive, cela signifie que :

Glossaire

Béton Précontraint
Béton dans lequel des contraintes de compression initiales sont introduites pour compenser les tractions futures.
Post-tension
Technique de précontrainte où les tendons sont mis en tension après durcissement du béton.
Force de Précontrainte Utile (\(P_k\) ou \(P_{m,t}\))
Force résiduelle dans les tendons après prise en compte de toutes les pertes (instantanées et différées), utilisée pour les calculs à l'ELS.
Excentricité (e)
Distance entre l'axe neutre de la section de béton et le centre de gravité des aciers de précontrainte.
Contrainte (\(\sigma\))
Force par unité de surface (MPa). Négative en compression, positive en traction.
Fibre Supérieure / Inférieure
Points extrêmes de la section dans la direction verticale.
Moment d'Inertie (\(I_c\))
Caractéristique géométrique mesurant la résistance d'une section à la flexion.
Module d'Inertie (\(W_c\))
Rapport \(I_c / y_{max}\), utilisé pour calculer les contraintes de flexion.
Moment Fléchissant de Service (\(M_{ser}\))
Moment fléchissant calculé sous une combinaison de charges de service (ELS).
État Limite de Service (ELS)
État limite relatif aux conditions d'utilisation normale (confort, fissuration, déformations).
Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint - Exercice d'Application

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