Études de cas pratique

EGC

Calcul des dimensions d’une poutre

Calcul des Dimensions d’une Poutre en Ingénierie Mécanique

Calcul des Dimensions d’une Poutre

Comprendre le Dimensionnement des Poutres

Le dimensionnement des poutres est une tâche fondamentale en ingénierie mécanique et en génie civil. Il consiste à déterminer les dimensions de la section transversale d'une poutre pour qu'elle puisse résister en toute sécurité aux charges qui lui sont appliquées, sans dépasser les limites de contrainte ou de déformation admissibles pour le matériau utilisé. Cet exercice se concentre sur le dimensionnement d'une poutre simple en acier soumise à des charges, en vérifiant sa résistance à la flexion.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner une poutre en acier, sur deux appuis simples, soumise à une charge uniformément répartie et à une charge concentrée en son milieu.

Caractéristiques de la Poutre et des Charges :

  • Longueur de la poutre entre appuis (\(L\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
  • Charge uniformément répartie (\(q\)) : \(10 \, \text{kN/m}\) (incluant le poids propre estimé de la poutre)
  • Charge concentrée appliquée au milieu de la portée (\(P\)) : \(25 \, \text{kN}\)

Propriétés du Matériau (Acier S235) :

  • Limite d'élasticité (\(f_y \text{ ou } \sigma_e\)) : \(235 \, \text{MPa} = 235 \, \text{N/mm}^2\)

Hypothèses de Conception :

  • La poutre aura une section rectangulaire de hauteur \(h\) et de base \(b\).
  • On impose la condition que la hauteur soit le double de la base (\(h = 2b\)).
  • Un coefficient de sécurité (\(\gamma_s\)) de \(1.15\) sera appliqué à la limite d'élasticité pour déterminer la contrainte admissible.
  • On ne considère que la vérification à la flexion pour cet exercice.
Schéma : Poutre sur Appuis Simples avec Charges
RA RB Charge q Charge P Longueur L Poutre Chargée

Schéma d'une poutre sur deux appuis avec charge répartie et charge concentrée.

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions aux appuis (\(R_A\) et \(R_B\)).
  2. Déterminer la position et la valeur du moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\)) dans la poutre.
  3. Calculer la contrainte admissible en flexion pour l'acier (\(\sigma_{\text{adm}}\)).
  4. Déterminer le module de flexion minimal requis (\(W_{\text{req}}\) ou \(I/v_{\text{req}}\)) pour la section de la poutre.
  5. En considérant une section rectangulaire avec \(h = 2b\), exprimer le module de flexion \(W\) en fonction de \(b\).
  6. Calculer les dimensions minimales \(b\) et \(h\) de la section rectangulaire. Arrondir aux 5 mm supérieurs.
  7. Avec les dimensions choisies, recalculer le module de flexion réel et vérifier la contrainte maximale de flexion.

Correction : Calcul des Dimensions d’une Poutre

Question 1 : Calculer les réactions aux appuis (\(R_A\) et \(R_B\))

Principe :

Pour une poutre sur appuis simples et chargée symétriquement, les réactions aux appuis sont égales et leur somme est égale à la somme des charges appliquées. Dans ce cas, la charge répartie et la charge concentrée sont symétriques.

Formule(s) utilisée(s) :

Somme des forces verticales : \(\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - qL - P = 0\)

En raison de la symétrie : \(R_A = R_B\)

\[R_A = R_B = \frac{qL + P}{2}\]
Données spécifiques :
  • Charge répartie (\(q\)) : \(10 \, \text{kN/m} = 10000 \, \text{N/m}\)
  • Longueur (\(L\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
  • Charge concentrée (\(P\)) : \(25 \, \text{kN} = 25000 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_A = R_B &= \frac{(10000 \, \text{N/m} \times 6.0 \, \text{m}) + 25000 \, \text{N}}{2} \\ &= \frac{60000 \, \text{N} + 25000 \, \text{N}}{2} \\ &= \frac{85000 \, \text{N}}{2} \\ &= 42500 \, \text{N} = 42.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les réactions aux appuis sont \(R_A = 42.5 \, \text{kN}\) et \(R_B = 42.5 \, \text{kN}\).

Question 2 : Déterminer la position et la valeur du moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\))

Principe :

Pour une poutre sur appuis simples avec des charges symétriques (charge répartie sur toute la longueur et charge concentrée au milieu), le moment fléchissant maximal se produit au milieu de la portée (\(x = L/2\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Moment dû à la charge répartie au milieu : \(M_q(L/2) = \frac{qL^2}{8}\)

Moment dû à la charge concentrée au milieu : \(M_P(L/2) = \frac{PL}{4}\)

\[M_{\text{max}} = M_q(L/2) + M_P(L/2) = \frac{qL^2}{8} + \frac{PL}{4}\]
Données spécifiques :
  • \(q = 10000 \, \text{N/m}\)
  • \(L = 6.0 \, \text{m}\)
  • \(P = 25000 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{max}} &= \frac{10000 \, \text{N/m} \times (6.0 \, \text{m})^2}{8} + \frac{25000 \, \text{N} \times 6.0 \, \text{m}}{4} \\ &= \frac{10000 \times 36}{8} \, \text{N} \cdot \text{m} + \frac{150000}{4} \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &= \frac{360000}{8} \, \text{N} \cdot \text{m} + 37500 \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &= 45000 \, \text{N} \cdot \text{m} + 37500 \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &= 82500 \, \text{N} \cdot \text{m} = 82.5 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

La position du moment maximal est au milieu de la poutre, à \(x = L/2 = 6.0 \, \text{m} / 2 = 3.0 \, \text{m}\) de l'appui A.

Résultat Question 2 : Le moment fléchissant maximal est \(M_{\text{max}} = 82.5 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) et se situe au milieu de la portée.

Quiz Intermédiaire 1 : Si la charge concentrée P était appliquée à \(L/4\) au lieu du milieu, le moment maximal serait-il toujours au milieu ?

Question 3 : Calculer la contrainte admissible en flexion (\(\sigma_{\text{adm}}\))

Principe :

La contrainte admissible est la limite d'élasticité du matériau divisée par un coefficient de sécurité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{\text{adm}} = \frac{f_y}{\gamma_s}\]
Données spécifiques :
  • Limite d'élasticité (\(f_y\)) : \(235 \, \text{MPa} = 235 \, \text{N/mm}^2\)
  • Coefficient de sécurité (\(\gamma_s\)) : \(1.15\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{adm}} &= \frac{235 \, \text{N/mm}^2}{1.15} \\ &\approx 204.3478 \, \text{N/mm}^2 \end{aligned} \]

On arrondit à \(\sigma_{\text{adm}} \approx 204.35 \, \text{MPa}\).

Résultat Question 3 : La contrainte admissible en flexion est \(\sigma_{\text{adm}} \approx 204.35 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Déterminer le module de flexion minimal requis (\(W_{\text{req}}\))

Principe :

Le module de flexion requis est calculé à partir de la contrainte de flexion maximale (\(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{max}} / W\)) qui doit être inférieure ou égale à la contrainte admissible (\(\sigma_{\text{adm}}\)). Donc, \(W_{\text{req}} \ge M_{\text{max}} / \sigma_{\text{adm}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{\text{req}} = \frac{M_{\text{max}}}{\sigma_{\text{adm}}}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{\text{max}} = 82.5 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 82.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(\sigma_{\text{adm}} \approx 204.35 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{\text{req}} &\approx \frac{82.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{204.35 \, \text{N/mm}^2} \\ &\approx 403719.11 \, \text{mm}^3 \\ &\approx 403.72 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le module de flexion minimal requis est \(W_{\text{req}} \approx 403.72 \, \text{cm}^3\).

Question 5 : Exprimer le module de flexion \(W\) en fonction de \(b\) pour \(h=2b\)

Principe :

Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), le moment d'inertie par rapport à l'axe neutre principal est \(I = \frac{bh^3}{12}\). La distance de la fibre la plus éloignée à l'axe neutre est \(v = h/2\). Le module de flexion est \(W = I/v\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W = \frac{I}{v} = \frac{bh^3/12}{h/2} = \frac{bh^2}{6}\]

Avec \(h=2b\) :

\[W = \frac{b(2b)^2}{6} = \frac{b(4b^2)}{6} = \frac{4b^3}{6} = \frac{2b^3}{3}\]
Résultat Question 5 : Pour une section rectangulaire avec \(h=2b\), le module de flexion est \(W = \frac{2b^3}{3}\).

Question 6 : Calculer les dimensions minimales \(b\) et \(h\)

Principe :

On utilise le module de flexion requis et l'expression de \(W\) en fonction de \(b\) pour trouver la dimension \(b\), puis \(h\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{\text{req}} = \frac{2b^3}{3} \Rightarrow b = \sqrt[3]{\frac{3 W_{\text{req}}}{2}}\]
\[h = 2b\]
Données spécifiques :
  • \(W_{\text{req}} \approx 403719.11 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} b &= \sqrt[3]{\frac{3 \times 403719.11 \, \text{mm}^3}{2}} \\ &= \sqrt[3]{\frac{1211157.33 \, \text{mm}^3}{2}} \\ &= \sqrt[3]{605578.665 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 84.596 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Arrondir \(b\) aux 5 mm supérieurs : \(b = 85 \, \text{mm}\).

\[h = 2b = 2 \times 85 \, \text{mm} = 170 \, \text{mm}\]
Résultat Question 6 : Les dimensions minimales arrondies sont \(b = 85 \, \text{mm}\) et \(h = 170 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si on choisissait \(h=b\) (section carrée), pour le même \(W_{\text{req}}\), la dimension \(b\) serait-elle plus grande ou plus petite que dans le cas \(h=2b\)?

Question 7 : Vérification de la contrainte maximale de flexion

Principe :

Avec les dimensions choisies (arrondies), on recalcule le module de flexion réel (\(W_{\text{réel}}\)) et on vérifie que la contrainte de flexion (\(\sigma = M_{\text{max}} / W_{\text{réel}}\)) est inférieure ou égale à la contrainte admissible (\(\sigma_{\text{adm}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{\text{réel}} = \frac{b h^2}{6}\]
\[\sigma_{\text{calculée}} = \frac{M_{\text{max}}}{W_{\text{réel}}}\]
Données spécifiques :
  • \(b = 85 \, \text{mm}\)
  • \(h = 170 \, \text{mm}\)
  • \(M_{\text{max}} = 82.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(\sigma_{\text{adm}} \approx 204.35 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{\text{réel}} &= \frac{85 \, \text{mm} \times (170 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= \frac{85 \times 28900}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= \frac{2456500}{6} \, \text{mm}^3 \\ &\approx 409416.67 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{calculée}} &= \frac{82.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{409416.67 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 201.505 \, \text{N/mm}^2 \end{aligned} \]

Comparaison : \(\sigma_{\text{calculée}} \approx 201.51 \, \text{MPa}\) et \(\sigma_{\text{adm}} \approx 204.35 \, \text{MPa}\).

Puisque \(201.51 \, \text{MPa} \le 204.35 \, \text{MPa}\), la condition de résistance à la flexion est vérifiée.

Résultat Question 7 : Le module de flexion réel est \(W_{\text{réel}} \approx 409416.67 \, \text{mm}^3\). La contrainte de flexion calculée est \(\sigma_{\text{calculée}} \approx 201.51 \, \text{MPa}\), ce qui est inférieur à \(\sigma_{\text{adm}} \approx 204.35 \, \text{MPa}\). La section est donc acceptable.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le moment fléchissant maximal dans une poutre sur appuis simples soumise à une charge uniformément répartie se situe généralement :

2. Le module de flexion (\(W\)) d'une section caractérise :

3. Si la contrainte calculée dans une poutre dépasse la contrainte admissible, cela signifie que :

Glossaire

Poutre
Élément de structure, généralement horizontal, conçu pour résister à des charges appliquées transversalement à son axe principal, ce qui induit principalement de la flexion et de l'effort tranchant.
Appui Simple
Type de support qui permet la rotation de la poutre mais empêche la translation dans une direction (appui fixe) ou dans toutes les directions perpendiculaires à l'axe de rotation (appui mobile ou à rouleau).
Charge Uniformément Répartie (\(q\))
Charge dont l'intensité est constante sur une longueur donnée de la poutre (ex: poids propre, charge de neige).
Charge Concentrée (\(P\))
Charge appliquée en un point spécifique de la poutre.
Réaction d'Appui (\(R_A, R_B\))
Forces exercées par les appuis sur la poutre pour maintenir son équilibre sous l'effet des charges.
Moment Fléchissant (\(M\))
Moment interne dans une poutre résultant des forces externes qui tendent à la courber. Il est maximal là où l'effort tranchant est nul (pour les charges réparties).
Effort Tranchant (\(V\))
Force interne dans une poutre, agissant perpendiculairement à son axe, résultant des forces externes qui tendent à la cisailler.
Limite d'Élasticité (\(f_y \text{ ou } \sigma_e\))
Contrainte au-delà de laquelle un matériau commence à se déformer de manière permanente (plastification).
Contrainte Admissible (\(\sigma_{\text{adm}}\))
Contrainte maximale qu'un matériau est autorisé à supporter en service, calculée en divisant une contrainte caractéristique (comme la limite d'élasticité) par un coefficient de sécurité.
Module de Flexion (\(W\))
Propriété géométrique d'une section transversale qui caractérise sa résistance à la flexion. \(W = I/v\), où \(I\) est le moment d'inertie de la section et \(v\) est la distance de la fibre la plus éloignée à l'axe neutre.
Moment d'Inertie (\(I\))
Propriété géométrique d'une section qui décrit comment ses points sont distribués par rapport à un axe. Il influence la résistance à la flexion et à la torsion.
Calcul des Dimensions d’une Poutre - Exercice d'Application

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