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Calcul des dimensions d’un terrain

Exercice : Calcul des Dimensions d’un Terrain en Topographie

Calcul des Dimensions d’un Terrain en Topographie

Contexte : Le levé topographique d'une parcelle.

Un géomètre-topographe a effectué un levé sur le terrain pour déterminer les limites d'une parcelle non bâtie. En utilisant une station totale, il a mesuré les angles et les distances entre plusieurs sommets délimitant le terrain. À partir d'un point de départ connu en coordonnées rectangulairesSystème de localisation d'un point dans un plan à l'aide de deux valeurs (X et Y) par rapport à deux axes perpendiculaires., l'objectif est de calculer les coordonnées de tous les autres sommets, puis de déterminer la superficie exacte et le périmètre de la parcelle.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à transformer des mesures de terrain brutes (angles et distances) en données juridiques et techniques exploitables (coordonnées, surface, périmètre), une compétence fondamentale en topographieTechnique de représentation sur un plan des formes et détails visibles sur un terrain..

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les gisementsAngle horizontal entre la direction du Nord et une direction donnée, mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre. à partir d'angles observés.
  • Déterminer les coordonnées rectangulaires (X, Y) des sommets d'un polygone.
  • Calculer la superficie d'une parcelle par la méthode des coordonnées.
  • Vérifier la fermeture d'un cheminement polygonal.

Données de l'étude

Un cheminement polygonal fermé (A-B-C-D-A) a été levé. Le point de départ A et le gisement de la direction A vers D sont connus.

Données Initiales
Caractéristique Valeur
Coordonnées du Point A X = 520.00 m ; Y = 1350.00 m
Gisement de départ (Gisement AD) 325.00 gon
Plan du Levé Topographique
A B C D 155.60 m 172.15 m 170.50 m 152.80 m
Station Point Visé Angle Horizontal (gon) Distance Horizontale (m)
A B 110.50 155.60
B C 85.20 172.15
C D 125.80 170.50
D A 78.50 152.80

Questions à traiter

  1. Calculer les gisements des côtés AB, BC, CD.
  2. Calculer les coordonnées (X, Y) des points B, C et D.
  3. Déterminer la superficie de la parcelle ABCDA.
  4. Calculer le périmètre du terrain.
  5. Vérifier la fermeture angulaire du polygone.

Les bases du calcul topographique

Pour passer des mesures de terrain aux coordonnées, on utilise des formules basées sur la trigonométrie. Le gisement est l'angle de référence, et les coordonnées sont calculées à partir de ce gisement et de la distance.

1. Calcul de Gisement
Le gisement d'un côté est déduit du gisement du côté précédent et de l'angle mesuré entre les deux. La formule générale est : \[ G_{n} = G_{n-1} + \alpha_{n} \pm 200 \text{ gon} \] Où \(G_n\) est le nouveau gisement, \(G_{n-1}\) le gisement précédent, et \(\alpha_n\) l'angle mesuré. On ajoute ou soustrait 200 gon pour ramener le résultat dans l'intervalle [0, 400].

2. Calcul de Coordonnées
Les coordonnées d'un point B se calculent à partir d'un point A connu via les formules : \[ \Delta X = D_{AB} \cdot \sin(G_{AB}) \quad ; \quad \Delta Y = D_{AB} \cdot \cos(G_{AB}) \] \[ X_B = X_A + \Delta X \quad ; \quad Y_B = Y_A + \Delta Y \] Attention : Les angles doivent être en radians pour les fonctions sin() et cos(). La conversion est : \(angle_{\text{rad}} = angle_{\text{gon}} \times \frac{\pi}{200}\).

Correction : Calcul des Dimensions d’un Terrain en Topographie

Question 1 : Calculer les gisements des côtés AB, BC, CD.

Principe (le concept physique)

L'orientation est la clé en topographie. Le gisement est notre "boussole" mathématique. Pour connaître l'orientation de chaque côté du terrain, on "transporte" cette orientation de point en point. On part d'une direction connue (le gisement AD) et on la fait pivoter à chaque sommet selon l'angle qu'on a mesuré sur le terrain.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul de gisement est une application directe de la géométrie euclidienne. Chaque fois que nous nous déplaçons vers un nouveau sommet (de A vers B), nous devons d'abord déterminer le gisement "inverse" (de B vers A) pour pouvoir appliquer le nouvel angle mesuré. Le gisement inverse est simplement le gisement initial plus ou moins 200 gon (l'équivalent de 180°). Cette opération permet de conserver une référence d'orientation cohérente par rapport au Nord tout au long du parcours.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La plus grande source d'erreur dans ce calcul est de se tromper dans le signe de l'addition des 200 gon. Imaginez-vous sur le point B, regardant vers A (gisement BA). Vous tournez ensuite vers la droite (sens horaire) pour viser C. L'opération est donc : Gisement(BA) + Angle(B) = Gisement(BC). Le Gisement(BA) est Gisement(AB) + 200 gon. Faites toujours un petit croquis pour visualiser le sens de rotation.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de "norme" au sens strict pour cette formule mathématique, mais elle est la base de tous les calculs de polygonales décrits dans les manuels de topographie et les recommandations des ordres de géomètres. La précision des angles mesurés sur le terrain, elle, est soumise à des tolérances réglementaires en fonction de la nature de la mission (bornage, plan de corps de rue, etc.).

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ G_{\text{suivant}} = G_{\text{précédent}} + 200 + \text{Angle mesuré à droite} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les angles ont été mesurés dans le sens horaire ("à droite").
  • Le gisement de départ et les angles mesurés sont considérés comme exacts pour cette question.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Gisement de départ\(G_{AD}\)325.00gon
Angle en A\(\alpha_A\)110.50gon
Angle en B\(\alpha_B\)85.20gon
Angle en C\(\alpha_C\)125.80gon
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour éviter les additions/soustractions de 400, vous pouvez utiliser la fonction "modulo" (MOD) de votre calculatrice. Le calcul serait : G_suivant = MOD(G_précédent + 200 + Angle, 400).

Schéma (Avant les calculs)
Transmission de Gisement au sommet A
NDBAαA
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul du Gisement AB (\(G_{AB}\))

\[ \begin{aligned} G_{AB} &= G_{AD} + \text{Angle en A} \\ &= 325.00 + 110.50 \\ &= 435.50 \text{ gon} \\ \end{aligned} \]

On ramène le résultat dans l'intervalle [0, 400[ gon :

\[ \begin{aligned} G_{AB} &= 435.50 - 400 \\ &= 35.50 \text{ gon} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul du Gisement BC (\(G_{BC}\))

\[ \begin{aligned} G_{BC} &= G_{AB} + 200 + \text{Angle en B} \\ &= 35.50 + 200 + 85.20 \\ &= 320.70 \text{ gon} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul du Gisement CD (\(G_{CD}\))

\[ \begin{aligned} G_{CD} &= G_{BC} + 200 + \text{Angle en C} \\ &= 320.70 + 200 + 125.80 \\ &= 646.50 \text{ gon} \end{aligned} \]

On ramène le résultat dans l'intervalle [0, 400[ gon :

\[ \begin{aligned} G_{CD} &= 646.50 - 400 \\ &= 246.50 \text{ gon} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des Gisements Calculés
NNNABCD35.50g320.70g246.50g
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les valeurs obtenues sont logiques par rapport au schéma. \(G_{AB}\) (35.50 gon) est bien dans le quadrant Nord-Est. \(G_{BC}\) (320.70 gon) est dans le Nord-Ouest et \(G_{CD}\) (246.50 gon) est dans le Sud-Ouest, ce qui correspond visuellement à l'orientation des côtés de la parcelle.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier de ramener le gisement final dans l'intervalle [0, 400[ gon. Un gisement de 435.50 gon n'a pas de sens physique ; il faut lui soustraire un tour complet (400 gon).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La maîtrise de la transmission de gisement est la première étape indispensable de tout calcul topographique. Retenez la logique : Gisement inverse (+200 gon), puis ajout de l'angle mesuré à droite.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le "gon" ou "grade" a été introduit en France après la Révolution, en même temps que le système métrique. L'idée était de diviser l'angle droit en 100 unités au lieu de 90, pour faciliter les calculs décimaux. C'est pourquoi il est très utilisé en topographie et en géodésie, notamment en Europe.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si l'angle avait été mesuré "à gauche" (sens anti-horaire) ?

Dans ce cas, la formule s'inverse. On aurait fait : Gisement(suivant) = Gisement(précédent) + 200 - Angle(gauche).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les gisements calculés sont : \(G_{AB}\) = 35.50 gon, \(G_{BC}\) = 320.70 gon, \(G_{CD}\) = 246.50 gon.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'angle en C avait été de 130.00 gon, quel aurait été le nouveau gisement \(G_{CD}\) ?

Question 2 : Calculer les coordonnées (X, Y) des points B, C et D.

Principe (le concept physique)

Connaissant un point de départ, une direction (gisement) et une distance, on peut localiser sans ambiguïté le point d'arrivée. C'est le même principe que de dire "marchez 100m vers le Nord-Est". On transforme ces informations polaires (angle + distance) en informations cartésiennes (déplacement horizontal X et vertical Y) grâce à la trigonométrie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce calcul projette le vecteur distance sur les axes X (Est) et Y (Nord) du système de coordonnées. Le sinus du gisement donne la composante sur l'axe des X, et le cosinus donne la composante sur l'axe des Y. Il est crucial que les fonctions trigonométriques de la calculatrice soient réglées sur la bonne unité d'angle (degrés, radians ou grades). La plupart des calculatrices standards n'ont pas le mode "gon", d'où la nécessité de convertir en radians.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Avant de calculer, ayez le réflexe de vérifier le quadrant de votre gisement pour anticiper le signe de ΔX et ΔY.

  • [0-100 gon]: ΔX > 0, ΔY > 0
  • [100-200 gon]: ΔX > 0, ΔY < 0
  • [200-300 gon]: ΔX < 0, ΔY < 0
  • [300-400 gon]: ΔX < 0, ΔY > 0
Cela vous évitera beaucoup d'erreurs d'inattention.

Normes (la référence réglementaire)

Les calculs doivent être menés avec une précision suffisante pour garantir que les coordonnées finales respectent les tolérances légales de la classe de point (par ex. quelques centimètres pour un sommet de propriété). On utilise généralement plus de décimales dans les calculs intermédiaires qu'on en garde pour le résultat final.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ X_{\text{arrivée}} = X_{\text{départ}} + D \cdot \sin(G_{\text{rad}}) \]
\[ Y_{\text{arrivée}} = Y_{\text{départ}} + D \cdot \cos(G_{\text{rad}}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • On travaille dans un système de projection plan (les distances mesurées sont des distances projetées à l'horizontale).
  • Les gisements calculés à la question 1 sont considérés comme exacts.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
SegmentDistance (m)Gisement (gon)Point Départ (X,Y)
AB155.6035.50A(520.00, 1350.00)
BC172.15320.70B(602.62, 1481.84)
CD170.50246.50C(433.74, 1515.24)
Astuces (Pour aller plus vite)

De nombreuses calculatrices programmables ou logiciels permettent de faire ces calculs en une seule fois ("polaire vers rectangulaire"). Apprenez à utiliser cette fonction pour gagner du temps et réduire les risques d'erreur de frappe.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul des Coordonnées d'un Point
ABNG ABΔXΔYD AB
Calcul(s) (l'application numérique)

Point B (depuis A)

\[ \begin{aligned} \Delta X_{AB} &= 155.60 \cdot \sin(35.50 \cdot \pi/200) \\ &= +82.62 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y_{AB} &= 155.60 \cdot \cos(35.50 \cdot \pi/200) \\ &= +131.84 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} X_B &= 520.00 + 82.62 \\ &= 602.62 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_B &= 1350.00 + 131.84 \\ &= 1481.84 \text{ m} \end{aligned} \]

Point C (depuis B)

\[ \begin{aligned} \Delta X_{BC} &= 172.15 \cdot \sin(320.70 \cdot \pi/200) \\ &= -168.88 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y_{BC} &= 172.15 \cdot \cos(320.70 \cdot \pi/200) \\ &= +33.40 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} X_C &= 602.62 - 168.88 \\ &= 433.74 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_C &= 1481.84 + 33.40 \\ &= 1515.24 \text{ m} \end{aligned} \]

Point D (depuis C)

\[ \begin{aligned} \Delta X_{CD} &= 170.50 \cdot \sin(246.50 \cdot \pi/200) \\ &= -116.98 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y_{CD} &= 170.50 \cdot \cos(246.50 \cdot \pi/200) \\ &= -123.95 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} X_D &= 433.74 - 116.98 \\ &= 316.76 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_D &= 1515.24 - 123.95 \\ &= 1391.29 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position des Sommets dans le Repère
YXA(520,1350)B(602,1481)C(433,1515)D(316,1391)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les coordonnées obtenues sont des valeurs absolues dans le système de référence. Elles permettent de positionner la parcelle de manière unique et pérenne. Si un jour une borne disparaît, on pourra la réimplanter précisément grâce à ses coordonnées.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est la conversion d'angle. Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode RADIAN si vous utilisez la formule \(G \times \pi/200\). Une autre erreur commune est d'inverser Sinus et Cosinus entre ΔX et ΔY.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La transformation de coordonnées polaires (Distance, Gisement) en coordonnées rectangulaires (X, Y) est le cœur du métier de topographe. Maîtrisez ces deux formules et la logique des signes des ΔX/ΔY par quadrant.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En France, le système de coordonnées officiel est le RGF93 (Réseau Géodésique Français 1993) associé à la projection Lambert-93. Il divise la métropole en 9 zones pour limiter les déformations dues à la projection de la surface courbe de la Terre sur un plan.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi Y est-il l'axe "vertical" et X l'axe "horizontal" ?

C'est une convention en topographie. L'axe Y est orienté vers le Nord (similaire à la latitude) et l'axe X est orienté vers l'Est (similaire à la longitude). C'est l'inverse de la convention mathématique habituelle.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
  • Point B : (X=602.62, Y=1481.84)
  • Point C : (X=433.74, Y=1515.24)
  • Point D : (X=316.76, Y=1391.29)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Depuis le point A, si vous visez un point E avec un gisement de 250 gon et une distance de 100m, quelles seraient ses coordonnées X ?

Question 3 : Déterminer la superficie de la parcelle ABCDA.

Principe (le concept physique)

Imaginez décomposer le polygone en une série de trapèzes dont la base est sur l'axe des Y. La formule calcule l'aire de chaque trapèze (positive ou négative selon le sens de parcours) et les additionne. La somme algébrique donne au final l'aire du polygone.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette méthode, parfois appelée "méthode des lacets" (shoelace formula), est une application du théorème de Green. Elle est extrêmement puissante car elle fonctionne pour n'importe quel polygone simple (qui ne se croise pas lui-même), qu'il soit convexe ou concave. L'ordre des points est crucial : inverser l'ordre des points donnera le même résultat en valeur absolue, mais de signe opposé.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour éviter les erreurs, soyez très méthodique. Créez un tableau comme dans la correction. Listez les points dans l'ordre de parcours (A-B-C-D) et n'oubliez pas de rajouter le point de départ (A) à la fin de la liste pour bien "fermer la boucle". Calculez ensuite les deux colonnes de produits croisés avant de faire la soustraction finale.

Normes (la référence réglementaire)

La superficie calculée est la "contenance cadastrale" qui sera inscrite dans les actes de propriété. La précision de ce calcul est donc juridiquement importante. La méthode par les coordonnées est la plus précise et la seule admise pour les travaux fonciers.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ S = \frac{1}{2} \left| \sum (X_i Y_{i+1}) - \sum (X_{i+1} Y_i) \right| \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le polygone est "simple", c'est-à-dire que ses côtés ne se croisent pas.
  • Les coordonnées calculées à la question 2 sont exactes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
PointX (m)Y (m)
A520.001350.00
B602.621481.84
C433.741515.24
D316.761391.29
Schéma (Avant les calculs)
Illustration de la Méthode des Trapèzes
XYABCD
Calcul(s) (l'application numérique)
PointX (m)Y (m)XᵢYᵢ₊₁Xᵢ₊₁Yᵢ
A520.001350.00520.00 × 1481.84 = 770556.8602.62 × 1350.00 = 813537.0
B602.621481.84602.62 × 1515.24 = 913123.5433.74 × 1481.84 = 642738.4
C433.741515.24433.74 × 1391.29 = 603419.6316.76 × 1515.24 = 480132.8
D316.761391.29316.76 × 1350.00 = 427626.0520.00 × 1391.29 = 723470.8
A520.001350.00Σ = 2714725.9Σ = 2659879.0
\[ \begin{aligned} 2S &= |2714725.9 - 2659879.0| \\ &= 54846.9 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} S &= \frac{54846.9}{2} \\ &= 27423.45 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une superficie de plus de 27000 m² correspond à un terrain de bonne taille (2.74 hectares). Cette valeur est fondamentale pour l'évaluation foncière, les règles d'urbanisme (coefficient d'occupation des sols) et la fiscalité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de diviser par 2 à la fin ! Une autre est de se tromper dans l'ordre des points ou d'oublier de boucler le calcul en revenant au point de départ.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La méthode de calcul de surface par les coordonnées est universelle et précise. La mise en place rigoureuse d'un tableau de calcul est la meilleure garantie contre les erreurs.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Avant les calculatrices et les ordinateurs, les surfaces étaient calculées graphiquement sur les plans à l'aide d'un instrument appelé "planimètre". Le géomètre suivait le contour de la parcelle avec une pointe et l'instrument intégrait mécaniquement la surface.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que la formule fonctionne si les coordonnées sont négatives ?

Oui, absolument. La formule est purement algébrique, elle fonctionne quelles que soient les valeurs des coordonnées, positives ou négatives.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La superficie de la parcelle est de 27 423.45 m².
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la surface d'un triangle simple avec les sommets (0,0), (100,0) et (50,100) ?

Question 4 : Calculer le périmètre du terrain.

Principe (le concept physique)

Le périmètre représente la longueur de la clôture nécessaire pour entourer la parcelle. Il s'agit simplement de l'addition de la longueur de chaque côté du terrain.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le périmètre est une mesure linéaire (en mètres), tandis que la surface est une mesure d'aire (en mètres carrés). Deux terrains peuvent avoir le même périmètre mais des surfaces très différentes. Par exemple, un rectangle très long et fin aura un grand périmètre pour une petite surface. Pour un périmètre donné, c'est le cercle qui maximise la surface.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne confondez pas les données. Pour le périmètre, on utilise les distances mesurées directement sur le terrain. Il est aussi possible de le recalculer à partir des coordonnées des sommets avec la formule \(\sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\) pour chaque côté, ce qui est un excellent moyen de vérifier ses calculs de coordonnées !

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ P = \sum_{i=1}^{n} D_i \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(D_{AB}\) = 155.60 m
  • \(D_{BC}\) = 172.15 m
  • \(D_{CD}\) = 170.50 m
  • \(D_{DA}\) = 152.80 m
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} P &= 155.60 + 172.15 + 170.50 + 152.80 \\ &= 651.05 \text{ m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le périmètre est une donnée essentielle pour les projets d'aménagement, le coût des clôtures, la définition des alignements, etc. Une longueur de 651 mètres est significative.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus simple serait d'oublier un côté dans l'addition. Vérifiez toujours que vous avez additionné autant de distances que de sommets.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le périmètre est la somme des longueurs des côtés. C'est un calcul simple mais fondamental pour la matérialisation d'un projet.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le périmètre de la parcelle est de 651.05 mètres.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel est le périmètre d'un carré de 50m de côté ?

Question 5 : Vérifier la fermeture angulaire du polygone.

Principe (le concept physique)

Si vous marchez le long du périmètre d'un terrain et que vous revenez à votre point de départ, vous aurez effectué un certain nombre de tours sur vous-même. La géométrie nous dit que la somme des angles que vous avez tournés doit être égale à une valeur fixe, qui dépend uniquement du nombre de virages (sommets) que vous avez pris. Comparer la somme de vos virages mesurés à cette valeur théorique permet de vérifier la qualité de vos mesures.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La somme des angles intérieurs d'un polygone simple à 'n' sommets est toujours égale à \((n-2) \times 180°\) ou \((n-2) \times 200\) gon. C'est une propriété géométrique fondamentale. L'écart entre la somme des angles réellement mesurés sur le terrain et cette valeur théorique est appelé "erreur de fermeture angulaire". Cette erreur est inévitable en pratique à cause des petites imprécisions de l'instrument et de l'opérateur.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ce contrôle est le premier à effectuer après avoir terminé les mesures sur le terrain, avant même de commencer les calculs de coordonnées. Si la fermeture angulaire est trop grande (hors tolérance), cela signifie qu'une erreur grossière a été commise (mauvaise lecture, erreur de notation...) et qu'il faut retourner sur le terrain pour refaire les mesures. Ne jamais poursuivre les calculs avec une mauvaise fermeture angulaire !

Normes (la référence réglementaire)

Les tolérances de fermeture angulaire sont fixées par des arrêtés, comme l'arrêté de 2003 en France sur les classes de précision des levés. Par exemple, pour un levé de bornage, la tolérance pourrait être de l'ordre de \(T = k \sqrt{n}\), où 'n' est le nombre de sommets et 'k' est une constante. Si \(|f_{\alpha}| > T\), le levé est refusé.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \Sigma_{\text{théorique}} = (n - 2) \times 200 \text{ gon} \]
\[ f_{\alpha} = \left( \sum \alpha_{\text{mesurés}} \right) - \Sigma_{\text{théorique}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le polygone est bien un quadrilatère fermé (n=4).
  • Les angles fournis sont les angles intérieurs du polygone.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\alpha_A\) = 110.50 gon
  • \(\alpha_B\) = 85.20 gon
  • \(\alpha_C\) = 125.80 gon
  • \(\alpha_D\) = 78.50 gon
  • n = 4 sommets
Schéma (Avant les calculs)
Angles Intérieurs du Polygone
αAαBαCαD
Calcul(s) (l'application numérique)

Somme des angles mesurés

\[ \begin{aligned} \Sigma_{\text{mesuré}} &= 110.50 + 85.20 + 125.80 + 78.50 \\ &= 400.00 \text{ gon} \end{aligned} \]

Somme théorique des angles

\[ \begin{aligned} \Sigma_{\text{théorique}} &= (4 - 2) \times 200 \\ &= 2 \times 200 \\ &= 400.00 \text{ gon} \end{aligned} \]

Erreur de fermeture angulaire

\[ \begin{aligned} f_{\alpha} &= 400.00 - 400.00 \\ &= 0.00 \text{ gon} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une fermeture nulle est un cas d'école parfait. En réalité, une petite erreur (par exemple 0.02 gon) serait acceptable. Cette erreur serait alors "compensée", c'est-à-dire répartie sur tous les angles mesurés (par exemple en retirant 0.005 gon à chaque angle) avant de calculer les gisements, afin de respecter la condition géométrique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas se tromper dans le calcul de la somme théorique. C'est bien (n-2) et non pas 'n' ou '(n-1)'. Une erreur ici fausserait toute l'analyse de la qualité du levé.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La vérification de la fermeture angulaire est le contrôle qualité fondamental de tout cheminement polygonal. C'est la première barrière contre les erreurs de mesure grossières.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les très longs cheminements (plusieurs kilomètres), les géomètres doivent prendre en compte la courbure de la Terre. La somme des angles d'un polygone tracé sur une sphère est supérieure à la somme théorique plane. Cet "excès sphérique" doit être calculé et retiré de la somme mesurée avant de la comparer à la somme théorique plane.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si la fermeture n'est pas nulle mais reste dans la tolérance ?

On "compense" l'erreur. La méthode la plus simple est de répartir l'erreur de manière égale sur chaque angle. Si l'erreur est de -0.04 gon pour 4 sommets, on ajoutera 0.01 gon à chaque angle mesuré avant de poursuivre les calculs.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'erreur de fermeture angulaire est de 0.00 gon. Le levé est géométriquement parfait.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour un hexagone (6 sommets), quelle serait la somme théorique des angles intérieurs en gon ?

Outil Interactif : Calcul de Coordonnées

Utilisez les curseurs pour faire varier la distance et le gisement d'un point et observez en temps réel ses coordonnées relatives (ΔX, ΔY) et sa position sur le graphique.

Paramètres d'Entrée
150 m
50 gon
Coordonnées Relatives
ΔX (m) -
ΔY (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce qu'un gisement en topographie ?

2. Si le gisement AB est de 50 gon, quel est le gisement BA ?

3. Dans quel quadrant un gisement de 120 gon se situe-t-il ?

4. La somme théorique des angles intérieurs d'un pentagone (5 côtés) est de :

5. Pour calculer ΔX (variation en X), quelle fonction trigonométrique du gisement utilise-t-on ?

Gisement
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction de référence Nord. Il est généralement exprimé en grades (gon) en topographie (400 gon = 360°).
Cheminement (ou Polygonale)
Suite de segments de droite reliant des points (stations) dont on mesure les longueurs et les angles qu'ils forment entre eux pour déterminer les coordonnées des stations.
Coordonnées Rectangulaires
Système de localisation d'un point dans un plan (par exemple, Lambert 93 en France) à l'aide d'une abscisse (X) et d'une ordonnée (Y) par rapport à une origine et deux axes perpendiculaires.
Calcul des Dimensions d’un Terrain en Topographie

D’autres exercices de topographie:

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