Calcul des dimensions d’un terrain

Comprendre le Calcul des dimensions d’un terrain

Vous êtes un ingénieur topographe travaillant sur un projet de développement routier. Votre tâche est de déterminer les dimensions exactes d’un terrain triangulaire où la route doit être construite. Le terrain est délimité par trois points: A, B, et C.

Pour comprendre la Division d’un Terrain en Topographie, cliquez sur le lien.

Données:

L’angle au point A (angle \(\angle BAC\)) est de \(53^\circ\).
L’angle au point B (angle \(\angle ABC\)) est de \(78^\circ\).
La distance entre les points A et B est de \(350\) mètres.

Questions:

1. Calcul de l’angle au point C:

Utilisez la somme des angles dans un triangle pour déterminer l’angle au point C.

2. Application de la loi des sinus:

Utilisez la loi des sinus pour trouver les longueurs des côtés AC et BC.

3. Calcul de la superficie du triangle:

Utilisez la formule de l’aire d’un triangle à partir des côtés et d’un angle, souvent appelée la formule de l’aire de Heron.

Correction : Calcul des dimensions d’un terrain

1. Calcul de l’angle au point C

Dans tout triangle, la somme des trois angles intérieurs est égale à 180°. Ici, nous connaissons deux angles :

∠A = 53°

∠B = 78°

Formule

\[ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \]

Données

∠A = 53°

∠B = 78°

Calcul

\[ \angle C = 180^\circ - (53^\circ + 78^\circ) \] \[ \angle C = 180^\circ - 131^\circ \] \[ \angle C = 49^\circ \]

2. Application de la loi des sinus pour déterminer les longueurs des côtés AC et BC

La loi des sinus dans un triangle établit que le rapport entre la longueur d’un côté et le sinus de l’angle opposé est constant :
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
Ici, nous avons les points A, B et C. La distance donnée est celle entre A et B, c’est-à-dire le côté opposé à l’angle en C.
On définit :

\( c = AB = 350 \, \text{m} \) (côté opposé à \(\angle C\))

\( a = BC \) (côté opposé à \(\angle A\))

\( b = AC \) (côté opposé à \(\angle B\))

Nous utilisons les rapports suivants pour trouver \( b \) (AC) et \( a \) (BC) :

Formule et Calcul pour AC

Pour trouver \( b \) (AC) :
\[ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{\sin B}{\sin C} \times c \]

Données pour AC

\(\angle B = 78^\circ\), \(\sin(78^\circ) \approx 0.9781\)

\(\angle C = 49^\circ\), \(\sin(49^\circ) \approx 0.7547\)

\( c = AB = 350 \, \text{m} \)

Calcul pour AC

\[ AC = b = \frac{0.9781}{0.7547} \times 350 \, \text{m} \]
Calcul intermédiaire :
\[ \frac{0.9781}{0.7547} \approx 1.296 \]
Puis :
\[ AC \approx 1.296 \times 350 \, \text{m} \] \[ AC \approx 453.6 \, \text{m} \]

Formule et Calcul pour BC

Pour trouver \( a \) (BC) :
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{\sin A}{\sin C} \times c \]

Données pour BC

\(\angle A = 53^\circ\), \(\sin(53^\circ) \approx 0.7986\)

\(\angle C = 49^\circ\), \(\sin(49^\circ) \approx 0.7547\)

\( c = AB = 350 \, \text{m} \)

Calcul pour BC

\[ BC = a = \frac{0.7986}{0.7547} \times 350 \, \text{m} \]
Calcul intermédiaire :
\[ \frac{0.7986}{0.7547} \approx 1.0577 \]
Puis :
\[ BC \approx 1.0577 \times 350 \, \text{m} \] \[ BC \approx 370.2 \, \text{m} \]

3. Calcul de la superficie du triangle

Il existe plusieurs méthodes pour calculer l’aire d’un triangle. Ici, nous utiliserons la formule de l’aire utilisant deux côtés et l’angle compris, qui est souvent confondue avec la méthode de Heron mais ici plus directe, car nous connaissons deux côtés et l’angle compris en C.

Formule

\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times (\text{côté}_1) \times (\text{côté}_2) \times \sin(\text{angle compris}) \]

Données

AC ≈ 453.6 m

BC ≈ 370.2 m

\(\angle C = 49^\circ\), \(\sin(49^\circ) \approx 0.7547\)

Calcul

\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times 453.6 \, \text{m} \times 370.2 \, \text{m} \times 0.7547 \]
Calcul intermédiaire :

Produit des côtés : \(453.6 \times 370.2 \approx 167976.72 \, \text{m}^2\)

Multiplication par 0.5 : \(\frac{1}{2} \times 167976.72 \approx 83988.36 \, \text{m}^2\)

Aire finale : \(83988.36 \times 0.7547 \approx 63342 \, \text{m}^2\)

Donc,
\[ \text{Aire} \approx 63\,342 \, \text{m}^2 \]

Vérification avec la formule de Heron (optionnelle)

Pour s’assurer de l’exactitude, utilisons la formule de Heron qui requiert le calcul du demi-périmètre \( s \) et l’aire :
\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]
avec :

\( a = BC \approx 370.2 \, \text{m}\),
\( b = AC \approx 453.6 \, \text{m}\),
\( c = 350 \, \text{m}\).

Calcul du demi-périmètre :
\[ s = \frac{370.2 + 453.6 + 350}{2} \] \[ s = \frac{1173.8}{2} \] \[ s \approx 586.9 \, m \]
Puis, l’aire est :
\[ \text{Aire} = \sqrt{s (s-a)(s-b)(s-c)} \]
Substitution :
\[ \text{Aire} \approx \sqrt{586.9 \times (586.9-370.2) \times (586.9-453.6) \times (586.9-350)} \]
\[ \text{Aire} \approx \sqrt{586.9 \times 216.7 \times 133.3 \times 236.9} \]
\[ \text{Aire} \approx \sqrt{4\,023\,000 \, m^2} \] \[ \approx 63\,435 \, m^2 \]
Ce résultat est cohérent avec le calcul utilisant la formule avec l’angle.

Calcul des dimensions d’un terrain

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