Calcul des Coefficients d'Échange par Convection
Contexte : La thermique du bâtiment.
L'un des enjeux majeurs de la construction durable est la maîtrise des déperditions thermiques à travers l'enveloppe des bâtiments. Ces pertes de chaleur se font par conduction, rayonnement, et surtout par convectionTransfert de chaleur qui se produit par le mouvement macroscopique d'un fluide (liquide ou gaz).. Ce phénomène régit l'échange de chaleur entre les surfaces des murs (intérieures et extérieures) et l'air ambiant. Le calcul précis du coefficient d'échange convectifNoté 'h', il quantifie l'intensité du transfert de chaleur par convection entre une surface et un fluide. Un 'h' élevé signifie un transfert de chaleur important., noté 'h', est donc fondamental pour dimensionner correctement l'isolation et évaluer la performance énergétique d'une construction.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans le calcul des coefficients de convection interne (naturelle) et externe (forcée par le vent) pour un mur vertical, deux cas fondamentaux en thermique du bâtiment.
Objectifs Pédagogiques
- Distinguer la convection naturelle de la convection forcée.
- Calculer les nombres adimensionnels clés : Reynolds, Grashof, Prandtl, Rayleigh, Nusselt.
- Déterminer les coefficients d'échange convectif interne (h_i) et externe (h_e).
- Comprendre l'impact de la vitesse du vent sur les déperditions thermiques.
Données de l'étude
Conditions Climatiques et Géométriques
Schéma du mur et des transferts thermiques
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Hauteur du mur | \(H\) | 3.0 m |
| Température de l'air intérieur | \(T_i\) | 20 °C |
| Température de surface intérieure | \(T_{si}\) | 18 °C |
| Température de l'air extérieur | \(T_e\) | 5 °C |
| Température de surface extérieure | \(T_{se}\) | 7 °C |
| Vitesse du vent | \(v\) | 15 km/h |
Propriétés de l'air (à la température de film moyenne)
| Propriété | Symbole | Valeur (Unités SI) |
|---|---|---|
| Conductivité thermique | \(\lambda\) | 0.025 W/(m·K) |
| Viscosité cinématique | \(\nu\) | \(1.5 \times 10^{-5}\) m²/s |
| Nombre de Prandtl | \(Pr\) | 0.71 |
| Coefficient de dilatation volumique | \(\beta\) | \(3.43 \times 10^{-3}\) K⁻¹ |
Questions à traiter
- Calculer le coefficient d'échange par convection naturelle sur la face intérieure du mur (\(h_{ci}\)).
- Calculer le coefficient d'échange par convection forcée sur la face extérieure du mur (\(h_{ce}\)).
- Déterminer la résistance thermique superficielle totale (\(R_{si} + R_{se}\)).
- Calculer le flux de chaleur échangé par convection sur la face intérieure, par mètre carré.
Les bases sur la Convection Thermique
La convection est un mode de transfert de chaleur impliquant un mouvement de fluide. On utilise des nombres adimensionnels pour caractériser le type d'écoulement et en déduire l'intensité du transfert thermique.
1. Convection Naturelle
Le mouvement du fluide est dû aux variations de masse volumique créées par les gradients de température (l'air chaud, plus léger, monte). Elle est caractérisée par le nombre de Rayleigh (Ra), qui compare les forces de flottabilité aux forces visqueuses.
\[ Ra_H = \frac{g \beta (T_s - T_\infty) H^3}{\nu^2} \cdot Pr \]
2. Convection Forcée
Le mouvement du fluide est imposé par une source externe (vent, ventilateur). Elle est caractérisée par le nombre de Reynolds (Re), qui compare les forces d'inertie aux forces visqueuses.
\[ Re_H = \frac{v \cdot H}{\nu} \]
3. Nombre de Nusselt (Nu) et Coefficient h
Dans les deux cas, on calcule le nombre de Nusselt (Nu), qui représente le rapport entre le transfert convectif et le transfert conductif. Des corrélations empiriques (formules issues de l'expérience) permettent de le lier à Ra ou Re. Une fois Nu connu, on en déduit le coefficient h :
\[ h = \frac{Nu \cdot \lambda}{H} \]
Où H est la dimension caractéristique (ici, la hauteur du mur).
Correction : Calcul des Coefficients d'Échange par Convection
Question 1 : Calcul du coefficient de convection interne (\(h_{ci}\))
Principe
La face intérieure du mur est plus froide que l'air ambiant (18°C < 20°C). L'air à son contact se refroidit, devient plus dense et descend le long de la paroi. Ce mouvement, généré uniquement par la différence de température, est appelé convection naturelle.
Mini-Cours
En convection naturelle, le moteur du mouvement est la force de flottabilité d'Archimède. Le nombre de Rayleigh (Ra) est crucial car il nous indique si ce mouvement est calme et ordonné (laminaire) ou chaotique et intense (turbulent), ce qui change radicalement l'efficacité du transfert de chaleur.
Remarque Pédagogique
La démarche est toujours la même : 1. Identifier le type de convection (ici, naturelle). 2. Calculer le nombre adimensionnel pertinent (ici, Rayleigh). 3. Choisir la bonne formule (corrélation) pour le nombre de Nusselt. 4. En déduire le coefficient h.
Normes
Les calculs de thermique du bâtiment s'appuient sur des normes comme la NF EN ISO 6946, qui donne des valeurs forfaitaires pour les résistances superficielles. Ici, nous faisons le calcul détaillé pour comprendre l'origine de ces valeurs.
Formule(s)
Nombre de Rayleigh
Corrélation de Nusselt (Turbulent, \(Ra > 10^9\))
Coefficient de convection
Hypothèses
- L'air est un gaz parfait.
- Les propriétés de l'air sont considérées comme constantes.
- L'écoulement est bidimensionnel et le régime est stationnaire.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Accélération de la pesanteur | g | 9.81 | m/s² |
| Hauteur du mur | H | 3.0 | m |
| Écart de température | \(\Delta T_i\) | 2 | K |
| Propriétés de l'air | \(\beta, \nu, Pr, \lambda\) | (voir énoncé) | SI |
Astuces
Le calcul de Rayleigh implique des puissances élevées et de très petits nombres. Utilisez la notation scientifique sur votre calculatrice pour éviter les erreurs de saisie et de lecture.
Schéma (Avant les calculs)
Mouvement de l'air en convection naturelle (face intérieure)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du nombre de Rayleigh (Ra)
Étape 2 : Calcul du nombre de Nusselt (Nu)
Comme \(Ra > 10^9\), le régime est turbulent.
Étape 3 : Calcul du coefficient \(h_{ci}\)
Schéma (Après les calculs)
Profil de la couche limite thermique (naturelle)
Réflexions
La valeur obtenue est relativement faible. C'est typique de la convection naturelle dans un espace clos où les mouvements d'air sont lents. Cette faible valeur de 'h' se traduira par une résistance thermique superficielle élevée, ce qui est favorable pour limiter les déperditions.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de se tromper de corrélation pour le calcul de Nusselt. Il est impératif de toujours calculer Rayleigh (ou Reynolds) d'abord pour identifier le régime d'écoulement (laminaire, turbulent, ou mixte).
Points à retenir
- La convection naturelle est pilotée par le nombre de Rayleigh.
- Le régime (laminaire/turbulent) dépend de la valeur de Ra.
- Le coefficient h est proportionnel à \( (\Delta T)^{1/3} \) en régime turbulent.
Le saviez-vous ?
Le phénomène de convection naturelle est responsable des courants océaniques, des vents, de la tectonique des plaques, et même du refroidissement de votre tasse de café ! C'est un principe universel en physique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'écart de température \(\Delta T_i\) passait à 4K, que deviendrait \(h_{ci}\) ? (Astuce: pas besoin de tout recalculer !)
Question 2 : Calcul du coefficient de convection externe (\(h_{ce}\))
Principe
À l'extérieur, le vent impose un écoulement d'air le long du mur. Le mouvement du fluide n'est plus dû aux différences de température mais à une cause externe. C'est un cas de convection forcée, beaucoup plus efficace pour transférer la chaleur.
Mini-Cours
En convection forcée, le nombre de Reynolds (Re) est le paramètre clé. Il compare les forces d'inertie (liées à la vitesse du fluide) aux forces visqueuses (qui freinent l'écoulement). Un Re élevé indique un écoulement turbulent, où les particules de fluide ont des trajectoires chaotiques qui favorisent intensément le mélange et donc le transfert de chaleur.
Remarque Pédagogique
Même démarche que pour la question 1, mais en remplaçant le nombre de Rayleigh par le nombre de Reynolds. C'est le changement fondamental entre convection naturelle et forcée.
Normes
Les réglementations thermiques (comme la RE2020 en France) tiennent compte de l'exposition au vent des bâtiments pour moduler les calculs de déperditions, reconnaissant ainsi l'importance de la convection forcée.
Formule(s)
Nombre de Reynolds
Corrélation de Nusselt (Régime mixte)
Coefficient de convection
Hypothèses
- Le vent est parallèle à la surface du mur.
- Le mur est considéré comme une plaque plane lisse.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse du vent | v | 15 | km/h |
| Hauteur du mur | H | 3.0 | m |
| Propriétés de l'air | \(\nu, Pr, \lambda\) | (voir énoncé) | SI |
Astuces
La conversion des km/h en m/s est une source d'erreur fréquente. Retenez qu'il faut diviser par 3.6. Pour vérifier, 36 km/h (une vitesse courante) correspond bien à 10 m/s.
Schéma (Avant les calculs)
Écoulement du vent sur la face extérieure
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de la vitesse
Étape 2 : Calcul du nombre de Reynolds (Re)
Étape 3 : Calcul du nombre de Nusselt (Nu)
Comme \(Re > 5 \times 10^5\), on utilise la corrélation pour un régime mixte laminaire/turbulent.
Étape 4 : Calcul du coefficient \(h_{ce}\)
Schéma (Après les calculs)
Profil de la couche limite thermique (forcée)
Réflexions
La valeur de \(h_{ce}\) (8.48 W/m²K) est plus de 5 fois supérieure à celle de \(h_{ci}\) (1.49 W/m²K). Cela démontre l'impact majeur du vent sur les déperditions d'un bâtiment. La résistance à l'écoulement de la chaleur est bien plus faible à l'extérieur qu'à l'intérieur.
Points de vigilance
Attention à la dimension caractéristique. Pour une plaque plane, c'est la longueur dans le sens de l'écoulement. Ici, on a supposé un vent horizontal, mais la hauteur H est souvent prise par convention pour un mur vertical.
Points à retenir
- La convection forcée est pilotée par le nombre de Reynolds.
- Le coefficient h est fortement dépendant de la vitesse du fluide.
- La convection forcée est généralement beaucoup plus efficace que la convection naturelle.
Le saviez-vous ?
La sensation de froid que l'on ressent par temps venteux (le "refroidissement éolien") est une manifestation directe de l'augmentation du coefficient d'échange par convection forcée sur notre peau, qui accélère la perte de chaleur de notre corps.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le vent soufflait à 30 km/h (le double), le coefficient \(h_{ce}\) doublerait-il ? Calculez sa nouvelle valeur.
Question 3 : Calcul de la résistance thermique superficielle totale
Principe
La résistance thermique superficielle représente l'opposition au passage de la chaleur entre la surface d'un matériau et le fluide environnant. C'est l'inverse du coefficient d'échange convectif 'h'. Plus 'h' est grand, plus la résistance est faible, et plus la chaleur passe facilement.
Mini-Cours
Tout comme les résistances électriques en série s'additionnent, les résistances thermiques en série (de l'air intérieur, à travers le mur, vers l'air extérieur) s'additionnent pour donner la résistance totale. Ici, on ne s'intéresse qu'aux résistances superficielles, à l'interface air/mur.
Remarque Pédagogique
Pensez à la résistance thermique comme à une "difficulté de passage" pour la chaleur. Un bon isolant a une grande résistance, un conducteur a une faible résistance. Un vent fort diminue la résistance de surface extérieure.
Normes
La norme NF EN ISO 6946 définit des valeurs forfaitaires pour \(R_{si}\) (résistance superficielle intérieure) et \(R_{se}\) (extérieure). Pour un mur vertical, les valeurs typiques sont \(R_{si} = 0.13\) et \(R_{se} = 0.04\) \(\text{m²·K/W}\). Nos calculs permettent de retrouver l'ordre de grandeur de ces valeurs.
Formule(s)
Résistance thermique superficielle
Résistance totale
Hypothèses
- Le transfert de chaleur est unidimensionnel, perpendiculaire au mur.
- On ne considère que les résistances convectives (on ignore le rayonnement pour ce calcul).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coefficient interne | \(h_{ci}\) | 1.49 | W/(m²·K) |
| Coefficient externe | \(h_{ce}\) | 8.48 | W/(m²·K) |
Astuces
L'unité de la résistance thermique, le \(\text{m²·K/W}\), peut sembler complexe. Elle signifie simplement "Pour chaque Watt de flux thermique traversant 1m² de surface, de combien de degrés Kelvin (ou Celsius) sera la différence de température ?".
Schéma (Avant les calculs)
Analogie du circuit thermique
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la résistance interne (\(R_{si}\))
Étape 2 : Calcul de la résistance externe (\(R_{se}\))
Étape 3 : Calcul de la résistance totale
Schéma (Après les calculs)
Résistances superficielles combinées
Réflexions
La résistance interne (0.671) est beaucoup plus grande que la résistance externe (0.118). Cela signifie que la couche d'air "calme" à l'intérieur du bâtiment isole beaucoup mieux que la couche d'air agitée par le vent à l'extérieur. La surface intérieure contribue donc majoritairement à la résistance superficielle totale.
Points de vigilance
Ne pas confondre résistance thermique (en K/W) et résistance thermique surfacique (en m²·K/W). La première s'applique à un composant entier (un radiateur), la seconde à un matériau sur une surface de 1m².
Points à retenir
- La résistance est l'inverse du coefficient d'échange : \(R = 1/h\).
- Les résistances thermiques en série s'additionnent.
- Le vent diminue fortement la résistance thermique superficielle extérieure.
Le saviez-vous ?
L'analogie entre les circuits thermiques et électriques a été développée par le physicien américain Irving Langmuir au début du 20ème siècle. Cette approche a grandement simplifié la résolution de problèmes complexes de transfert de chaleur.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les valeurs normatives (\(R_{si}=0.13, R_{se}=0.04\)), quelle serait la résistance totale ?
Question 4 : Calcul du flux de chaleur convectif intérieur
Principe
Le flux de chaleur (\(\phi\)) est la quantité de chaleur transférée par unité de surface et par unité de temps. Il se calcule avec la loi de Newton pour la convection, qui stipule que le flux est proportionnel à la différence de température entre la surface et le fluide, le facteur de proportionnalité étant le coefficient h.
Mini-Cours
La loi de Newton sur la convection, \(\phi = h \cdot \Delta T\), est l'équivalent de la loi d'Ohm en électricité (\(I = V/R\)). Ici, le flux \(\phi\) est l'équivalent du courant, la différence de température \(\Delta T\) est l'équivalent de la tension (la "force motrice"), et la résistance \(R_s = 1/h\) est l'équivalent de la résistance électrique.
Remarque Pédagogique
Le flux de chaleur est une notion fondamentale. C'est ce que l'on cherche à minimiser avec l'isolation. Un flux de 1 W/m² signifie que chaque mètre carré de mur perd 1 Joule de chaleur par seconde.
Normes
Le calcul des déperditions totales d'un bâtiment, basé sur l'addition des flux de chaque paroi (\(U \cdot A \cdot \Delta T\)), est au cœur des diagnostics de performance énergétique (DPE) et des réglementations thermiques.
Formule(s)
Hypothèses
- Le régime est stationnaire (les températures ne varient pas dans le temps).
- Le coefficient h est constant sur toute la surface du mur.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coefficient interne | \(h_{ci}\) | 1.49 | W/(m²·K) |
| Température de surface int. | \(T_{si}\) | 18 | °C |
| Température de l'air int. | \(T_i\) | 20 | °C |
Astuces
Assurez-vous que les unités sont cohérentes. Si 'h' est en \(\text{W/(m²·K)}\) et \(\Delta T\) en K (ou °C, car c'est une différence), le flux sera bien en W/m².
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du flux de chaleur intérieur
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Pas de schéma additionnel pertinent après ce calcul.
Réflexions
Un flux de 2.98 W/m² peut sembler faible, mais pour un mur de 10 m², cela représente une perte de près de 30 Watts, soit l'équivalent d'une petite ampoule allumée en permanence. Sur l'ensemble de l'enveloppe d'une maison, ces pertes s'additionnent rapidement.
Points de vigilance
Utilisez bien la différence de température entre la SURFACE du mur et l'air (\(T_{si} - T_i\)), et non la différence de température entre l'air intérieur et l'air extérieur (\(T_i - T_e\)). Cette dernière est utilisée pour calculer le flux total à travers toute la paroi (convection + conduction).
Points à retenir
- La loi de Newton pour la convection est : \(\phi = h \cdot \Delta T\).
- Le flux s'exprime en Watts par mètre carré (W/m²).
- Le flux est dirigé de la température la plus haute vers la plus basse.
Le saviez-vous ?
Jean-Baptiste Joseph Fourier, un mathématicien et physicien français, a établi les bases de la théorie mathématique de la chaleur au début du 19ème siècle. La loi de conduction (\(\phi = -\lambda \cdot \nabla T\)) porte son nom et est le pilier de toute la thermique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le flux de chaleur sur la face EXTÉRIEURE (\(\phi_{ce}\)) en utilisant \(h_{ce}\) et les températures extérieures.
Outil Interactif : Simulateur d'Influence
Utilisez les curseurs pour visualiser l'impact de la vitesse du vent et de l'écart de température intérieur sur les coefficients de convection.
Paramètres d'Entrée
Coefficients Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel nombre adimensionnel est prédominant en convection forcée ?
2. Si la hauteur d'un mur double, comment évolue le coefficient de convection naturelle (h) ?
3. Une augmentation de la vitesse du vent va...
4. La résistance thermique superficielle est...
5. Le nombre de Nusselt représente :
- Convection
- Mode de transfert d'énergie thermique au sein d'un fluide en mouvement. On distingue la convection naturelle (mouvement dû aux différences de densité) et la convection forcée (mouvement imposé par un agent extérieur).
- Nombre de Reynolds (Re)
- Nombre adimensionnel qui caractérise un écoulement. Il représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. Il permet de déterminer si un écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent.
- Nombre de Rayleigh (Ra)
- Nombre adimensionnel utilisé en convection naturelle. Il caractérise le rapport entre les forces de flottabilité (qui génèrent le mouvement) et les forces visqueuses (qui le freinent).
- Nombre de Nusselt (Nu)
- Nombre adimensionnel qui compare le transfert thermique par convection au transfert thermique par conduction. Un Nu > 1 indique que la convection améliore le transfert de chaleur.
Calcul des coefficients d’échange par convection
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