Calcul des Charges sur une Fondation Superficielle
Contexte : L'interface Bâtiment-Sol, un enjeu majeur en Génie Civil.
En géotechnique, la fondation est l'ouvrage qui transmet les charges d'une structure (bâtiment, pont, etc.) vers le sol. Un dimensionnement correct est essentiel pour garantir la stabilité de l'ensemble. L'objectif est de s'assurer que le sol peut supporter ces charges sans subir de rupture (effondrement) ni de tassements excessifs qui pourraient endommager la structure. Cet exercice vous guide à travers la démarche de base pour dimensionner une semelle filanteType de fondation superficielle de faible largeur mais de grande longueur, généralement située sous un mur porteur ou une ligne de poteaux. sous un mur, en utilisant les concepts des états limites (ELU et ELS) définis par les normes Eurocodes.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre le dialogue constant entre le génie des structures (qui calcule les charges descendantes) et la géotechnique (qui détermine la capacité du sol à les recevoir). Nous allons appliquer des coefficients de sécurité aux charges pour vérifier la sécurité (ELU) et utiliser les charges réelles pour vérifier le confort et la durabilité (ELS).
Objectifs Pédagogiques
- Différencier les charges permanentes (G) et les charges d'exploitation (Q).
- Appliquer les combinaisons d'actions à l'État Limite Ultime (ELU) et à l'État Limite de Service (ELS).
- Calculer la largeur d'une semelle de fondation pour respecter la portance du sol.
- Vérifier la contrainte dans le sol sous sollicitations ultimes.
- Se familiariser avec les unités en géotechnique (kN, m, kPa).
Données de l'étude
Schéma de la fondation et des charges
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charges permanentes | \(G\) | 250 | \(\text{kN/m}\) |
| Charges d'exploitation | \(Q\) | 120 | \(\text{kN/m}\) |
| Contrainte admissible du sol (ELS) | \(q_{\text{adm, ELS}}\) | 150 | \(\text{kPa}\) |
| Capacité portante ultime du sol (ELU) | \(q_{\text{ult, ELU}}\) | 220 | \(\text{kPa}\) |
Questions à traiter
- Calculer la charge de calcul à l'État Limite Ultime (ELU) par mètre linéaire.
- Calculer la charge de calcul à l'État Limite de Service (ELS) par mètre linéaire.
- Déterminer la largeur minimale \(B\) de la semelle pour que la contrainte à l'ELS ne dépasse pas la contrainte admissible.
- Avec la largeur \(B\) choisie, vérifier que la contrainte à l'ELU ne dépasse pas la capacité portante ultime du sol.
Les bases du calcul de fondations
Avant de commencer, revoyons les concepts fondamentaux des Eurocodes pour les fondations.
1. Les États Limites :
Le calcul se fait selon deux "états" :
- L'État Limite Ultime (ELU) : Concerne la sécurité et la stabilité. On vérifie que la structure ne s'effondre pas. Pour cela, on majore les charges avec des coefficients de sécurité. La combinaison de base est : \( P_{\text{ELU}} = 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q \)
- L'État Limite de Service (ELS) : Concerne le confort des usagers et la durabilité de l'ouvrage. On vérifie que les déformations (tassements) restent acceptables. On utilise les charges réelles, sans majoration : \( P_{\text{ELS}} = G + Q \)
2. Le Principe de Vérification :
Le but est de s'assurer que la contrainte appliquée par la fondation sur le sol (\(\sigma_{\text{sol}}\)) est inférieure à la capacité du sol à la supporter (\(q\)).
\[ \sigma_{\text{sol}} = \frac{\text{Charge (P)}}{\text{Surface (A)}} \le q \]
On dimensionne généralement la fondation à l'ELS pour limiter les tassements, puis on vérifie que cette dimension est sécuritaire à l'ELU.
Correction : Calcul des Charges sur une Fondation Superficielle
Question 1 : Calculer la charge de calcul à l'ELU
Principe (le concept physique)
L'État Limite Ultime (ELU) représente les scénarios les plus défavorables qui pourraient mener à la ruine de l'ouvrage. Pour se prémunir contre ces risques (matériaux moins résistants que prévu, charges exceptionnelles), on majore les charges par des coefficients de sécurité. Le coefficient est plus grand pour les charges d'exploitation (Q), plus incertaines, que pour les charges permanentes (G), mieux connues.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La combinaison \(1.35G + 1.5Q\) est la combinaison fondamentale de l'Eurocode 0 pour les bâtiments. Elle représente le cas de charge le plus courant pour le dimensionnement à la rupture. D'autres combinaisons existent (accidentelles, sismiques), mais celle-ci est la base du calcul de résistance.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à l'ELU comme à la vérification de la solidité d'un sac de courses. Vous ne le remplissez pas seulement avec le poids des articles (ELS), mais vous vérifiez qu'il peut résister à une charge bien plus grande (ELU) au cas où vous devriez courir ou le cogner, pour être sûr qu'il ne se déchire pas.
Normes (la référence réglementaire)
Ce calcul est directement tiré de la norme NF EN 1990 (Eurocode 0 : Bases de calcul des structures) qui définit les principes et les exigences en matière de sécurité, d'aptitude au service et de durabilité des structures.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La charge de calcul à l'ELU par mètre linéaire de mur est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les valeurs de G et Q fournies sont les valeurs caractéristiques (représentatives) et que la combinaison fondamentale est la plus défavorable.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Charges permanentes, \(G = 250 \, \text{kN/m}\)
- Charges d'exploitation, \(Q = 120 \, \text{kN/m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Faites attention aux unités. Les charges sont en kN/m (kilonewtons par mètre linéaire). Le résultat sera également en kN/m. Cela représente la force que chaque "tranche" de 1 mètre de mur transmet au sol.
Schéma (Avant les calculs)
Combinaison des charges à l'ELU
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule de combinaison :
Schéma (Après les calculs)
Charge ultime résultante
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La charge de 517.5 kN/m est une valeur "fictive" majorée qui sera utilisée pour vérifier la résistance de la fondation et du sol. Elle n'est pas la charge réelle que subira la fondation en service normal, mais la charge qu'elle doit être capable de supporter sans rupture.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'inverser les coefficients 1.35 et 1.5. Souvenez-vous que l'incertitude la plus grande (et donc le coefficient le plus élevé) est toujours sur les charges variables Q.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'ELU concerne la sécurité.
- On majore les charges pour tenir compte des incertitudes.
- La formule de base est \(P_{\text{ELU}} = 1.35G + 1.5Q\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Ces coefficients de sécurité ne sont pas arbitraires. Ils sont issus de décennies d'études statistiques et probabilistes sur la variabilité des résistances des matériaux et des actions (charges) pour atteindre un niveau de fiabilité cible pour les constructions en Europe.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la charge d'exploitation Q était de 150 kN/m, quelle serait la nouvelle charge ELU en kN/m ?
Question 2 : Calculer la charge de calcul à l'ELS
Principe (le concept physique)
L'État Limite de Service (ELS) s'intéresse au comportement de la structure dans des conditions d'utilisation normales. L'objectif est de garantir le confort des occupants et l'aspect de l'ouvrage (pas de fissures disgracieuses, pas de tassements différentiels importants). Pour ces vérifications, on utilise les charges les plus probables, sans coefficients de majoration.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Il existe plusieurs combinaisons de charges à l'ELS (caractéristique, fréquente, quasi-permanente) pour vérifier différents phénomènes. La combinaison caractéristique \(G+Q\) est la plus simple et la plus couramment utilisée pour le dimensionnement initial des fondations vis-à-vis de la portance admissible du sol, car elle représente la charge maximale probable en service.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Si l'ELU vérifie que la voiture ne s'écrase pas contre un mur, l'ELS vérifie que la suspension est assez bonne pour que le trajet soit confortable et que les portières continuent de bien se fermer après des milliers de kilomètres. On ne s'attend pas à ce que la voiture soit chargée au maximum (ELU) tous les jours.
Normes (la référence réglementaire)
Les combinaisons à l'ELS sont également définies dans l'Eurocode 0 (NF EN 1990). Le choix de la combinaison (caractéristique, fréquente ou quasi-permanente) dépend de la vérification à effectuer (tassements, vibrations, ouverture de fissures).
Formule(s) (l'outil mathématique)
La combinaison de charges caractéristique à l'ELS est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les charges G et Q agissent simultanément pour produire l'effet maximal en service. On utilise la combinaison caractéristique car elle est généralement employée pour la vérification de la contrainte admissible du sol.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Charges permanentes, \(G = 250 \, \text{kN/m}\)
- Charges d'exploitation, \(Q = 120 \, \text{kN/m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
C'est le calcul le plus simple : une addition directe. L'astuce est de ne pas se laisser tenter par l'application d'un quelconque coefficient. C'est la charge "réelle" maximale attendue.
Schéma (Avant les calculs)
Combinaison des charges à l'ELS
Calcul(s) (l'application numérique)
On additionne simplement les charges caractéristiques :
Schéma (Après les calculs)
Charge de service résultante
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La charge de 370 kN/m est la charge réaliste que la fondation transmettra au sol en conditions de service. C'est cette valeur qui sert de base pour le calcul du dimensionnement de la semelle afin de limiter les tassements.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas utiliser de coefficients de sécurité pour la combinaison ELS de base. L'erreur serait de majorer les charges, ce qui conduirait à surdimensionner la fondation inutilement (et donc à un surcoût) pour les vérifications de tassement.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'ELS concerne le confort et la durabilité.
- On utilise les charges non majorées.
- La formule de base est \(P_{\text{ELS}} = G + Q\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le tassement différentiel (lorsqu'une partie d'un bâtiment s'enfonce plus qu'une autre) est souvent bien plus dommageable pour une structure que le tassement uniforme. Il peut provoquer des fissures importantes dans les murs et les dalles, et même bloquer les portes et fenêtres.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si G = 300 kN/m et Q = 100 kN/m, quelle serait la charge ELS en kN/m ?
Question 3 : Déterminer la largeur minimale B de la semelle
Principe (le concept physique)
La fondation agit comme une "raquette de neige" : elle répartit une charge concentrée sur une plus grande surface pour que la pression exercée sur le sol soit faible. La largeur B doit être suffisante pour que la pression sous la semelle, calculée avec les charges de service (ELS), ne dépasse pas ce que le sol peut supporter sans tasser de manière excessive (\(q_{\text{adm, ELS}}\)).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La contrainte admissible du sol est déterminée par le géotechnicien. Elle intègre un facteur de sécurité par rapport à la capacité portante ultime et prend en compte un critère de tassement maximal (souvent 2.5 cm pour une fondation superficielle). On suppose une répartition uniforme de la contrainte sous la semelle, ce qui est une simplification acceptable pour une charge centrée.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à la fondation comme à la "chaussure" du bâtiment. Sur un sol mou (faible \(q_{\text{adm}}\)), il faut une grande chaussure (grande largeur B) pour ne pas s'enfoncer. Sur un sol dur, une chaussure plus petite suffit. Notre travail ici est de trouver la bonne pointure pour notre bâtiment.
Normes (la référence réglementaire)
Le dimensionnement des fondations superficielles est régi par l'Eurocode 7 (NF EN 1997-1 : Calcul géotechnique). Cette norme détaille les méthodes de vérification de la portance et du tassement.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La contrainte sur le sol doit être inférieure à la contrainte admissible, ce qui nous permet d'isoler la largeur B :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la charge est centrée sur la fondation, que le sol sous la fondation est homogène et que la contrainte est répartie de manière uniforme.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Charge de service, \(P_{\text{ELS}} = 370 \, \text{kN/m}\) (du calcul Q2)
- Contrainte admissible, \(q_{\text{adm, ELS}} = 150 \, \text{kPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Attention aux unités ! La contrainte \(q_{\text{adm, ELS}}\) est en kPa (kilopascals). Il faut la convertir en kN/m² pour être cohérent avec la charge \(P_{\text{ELS}}\) en kN/m. Heureusement, la conversion est directe : 1 kPa = 1 kN/m². Vous pouvez donc utiliser la valeur de 150 directement dans la formule.
Schéma (Avant les calculs)
Équilibre des pressions à l'ELS
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Appliquer la formule pour trouver la largeur théorique B :
2. Choisir une largeur constructive. En pratique, on arrondit toujours à une valeur supérieure, simple à réaliser sur chantier (généralement par pas de 5 cm).
Schéma (Après les calculs)
Dimensionnement final de la semelle
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une largeur de 2.50 m est nécessaire pour que la pression exercée par le mur en conditions normales ne provoque pas de tassements jugés inacceptables pour la structure. C'est une dimension significative qui montre l'importance de bien répartir les charges sur des sols de capacité moyenne.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est d'utiliser la charge ELU pour dimensionner la semelle. Cela conduirait à une fondation beaucoup plus large que nécessaire, donc plus chère, sans pour autant mieux maîtriser les tassements. On dimensionne à l'ELS, on vérifie à l'ELU.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La largeur de la fondation B répartit la charge sur le sol.
- On dimensionne B à l'ELS pour limiter les tassements.
- La formule est \(B \ge P_{\text{ELS}} / q_{\text{adm, ELS}}\).
- On choisit toujours une largeur constructive pratique et supérieure à la valeur calculée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le principe de la fondation compensée, utilisé pour les bâtiments lourds sur sol médiocre (comme les parkings souterrains), consiste à excaver un volume de terre dont le poids est équivalent au poids du bâtiment. Ainsi, la charge nette ajoutée au sol est proche de zéro, ce qui minimise les tassements.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le sol était de meilleure qualité (\(q_{\text{adm, ELS}} = 200\) kPa), quelle serait la largeur B minimale (en m) ?
Simulateur 3D : Largeur de la Fondation
Contrainte au sol (ELS) : 148.0 kPa
Question 4 : Vérifier la contrainte à l'ELU
Principe (le concept physique)
Maintenant que nous avons fixé les dimensions de la fondation (B=2.50m), nous devons effectuer une dernière vérification cruciale : est-ce que cette fondation est capable de résister aux charges ultimes (majorées) sans provoquer la rupture du sol ? On calcule donc la contrainte sous la semelle avec la charge ELU et on la compare à la capacité portante ultime du sol.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La capacité portante ultime (\(q_{\text{ult}}\)) correspond à la contrainte qui provoque la formation d'un mécanisme de rupture dans le sol (poinçonnement). Les théories de Prandtl, Terzaghi ou Meyerhof permettent de la calculer en fonction de la cohésion du sol, de son angle de frottement et de la géométrie de la fondation. La valeur fournie ici est le résultat d'une telle analyse.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est notre "ceinture et bretelles". Nous avons dimensionné la fondation pour qu'elle soit confortable en service normal (ELS). Maintenant, nous vérifions qu'elle est aussi suffisamment solide pour ne pas céder dans le pire des cas (ELU). Les deux vérifications sont indispensables et complémentaires.
Normes (la référence réglementaire)
La vérification de la résistance à la portance à l'ELU est une exigence fondamentale de l'Eurocode 7 (NF EN 1997-1). La norme stipule que la charge de calcul (\(V_d\)) doit être inférieure ou égale à la résistance de calcul (\(R_d\)). Notre calcul \(\sigma_{\text{ELU}} \le q_{\text{ult, ELU}}\) est une application directe de ce principe.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On calcule la contrainte à l'ELU et on la compare à la capacité portante ultime :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la valeur de \(q_{\text{ult, ELU}}\) fournie par l'étude de sol est une valeur de calcul fiable, qui intègre déjà les coefficients de sécurité partiels sur les propriétés du sol, comme le requiert l'Eurocode 7.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Charge ultime, \(P_{\text{ELU}} = 517.5 \, \text{kN/m}\) (du calcul Q1)
- Largeur adoptée, \(B = 2.50 \, \text{m}\) (du calcul Q3)
- Capacité portante ultime, \(q_{\text{ult, ELU}} = 220 \, \text{kPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
La vérification finale est une simple comparaison. Si \(\sigma_{\text{ELU}} > q_{\text{ult, ELU}}\), le design n'est pas valide et il faut impérativement augmenter la largeur B de la fondation, puis recalculer \(\sigma_{\text{ELU}}\) jusqu'à ce que la condition soit respectée.
Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la rupture à l'ELU
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer la contrainte sous la semelle à l'ELU :
2. Comparer à la capacité portante ultime :
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Sécurité à l'ELU
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte de 207 kPa est inférieure à la capacité ultime de 220 kPa. La condition de sécurité est respectée. La marge est faible (environ 6%), ce qui indique un dimensionnement optimisé. Si la contrainte calculée avait été supérieure à la capacité ultime, il aurait fallu augmenter la largeur B de la semelle (et donc recommencer à partir de la fin de l'étape 3) jusqu'à ce que la condition soit satisfaite.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier cette vérification ! Un dimensionnement qui ne respecterait que la condition ELS pourrait ne pas être sécuritaire à l'ELU, en particulier si les charges d'exploitation Q sont très élevées par rapport aux charges permanentes G (car le coefficient de majoration de Q est plus grand).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La vérification à l'ELU est un contrôle de non-rupture.
- On utilise la largeur B déterminée à l'ELS.
- On calcule la contrainte avec la charge majorée \(P_{\text{ELU}}\).
- On vérifie que \(\sigma_{\text{ELU}}\) est inférieure à la portance ultime \(q_{\text{ult, ELU}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La présence de la nappe phréatique a un impact majeur sur la portance. Si la nappe remonte au niveau de la fondation, elle peut réduire la capacité portante des sols granulaires (sables, graviers) de près de 50% car la poussée d'Archimède réduit le poids effectif des grains et donc leur capacité à se bloquer les uns les autres (frottement).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec B=2.50m, si la charge ELU était de 600 kN/m, quelle serait la contrainte \(\sigma_{\text{ELU}}\) en kPa ? La fondation serait-elle valide ?
Outil Interactif : Dimensionnement de Fondation
Modifiez les charges et la capacité du sol pour voir leur influence sur la largeur de la fondation.
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Le Saviez-Vous ?
Karl von Terzaghi (1883-1963) est considéré comme le "père de la mécanique des sols" et de la géotechnique moderne. Son principe de la contrainte effective, développé dans les années 1920, a révolutionné la compréhension du comportement des sols et a permis de calculer pour la première fois les tassements des fondations de manière scientifique.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si le sol est vraiment mauvais ?
Si la capacité portante du sol est très faible, les fondations superficielles (comme les semelles) peuvent devenir très grandes et coûteuses. Dans ce cas, les ingénieurs se tournent vers des fondations profondes, comme les pieux ou les barrettes, qui vont chercher un sol plus résistant à plusieurs mètres de profondeur pour y ancrer la structure.
Le poids de la fondation est-il pris en compte ?
Oui, absolument. Dans un calcul complet, le poids propre de la semelle et des terres situées au-dessus est ajouté aux charges permanentes G. Pour simplifier cet exercice, on considère que la valeur de G fournie inclut déjà ces éléments ou que la contrainte admissible est une "contrainte nette" qui en tient déjà compte.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Le dimensionnement initial de la largeur d'une fondation se fait généralement en utilisant...
2. Si la contrainte admissible du sol (\(q_{\text{adm}}\)) est divisée par deux, la largeur requise de la semelle sera...
- État Limite Ultime (ELU)
- État qui correspond à la ruine ou à un endommagement structurel majeur de l'ouvrage. Les calculs à l'ELU garantissent la sécurité des personnes.
- État Limite de Service (ELS)
- État au-delà duquel les critères d'utilisation normale (confort, aspect, fonctionnalité) ne sont plus respectés. Les calculs à l'ELS garantissent la durabilité et le bon fonctionnement de l'ouvrage.
- Capacité Portante (ou Portance)
- Contrainte maximale que le sol peut supporter avant d'atteindre un état de rupture (portance ultime) ou de tassement excessif (contrainte admissible).
- Semelle Filante
- Fondation superficielle de forme linéaire, utilisée pour supporter un mur ou une file de poteaux.
D’autres exercices de fondation :
* j’admire l’idée de commenter , vous êtes à l’essentiel pour les apprenants
Je m’intéresse beaucoup à cette optique et je trouve très super