Calcul de Treillis par la Méthode de Ritter
📝 Situation du Projet
Vous êtes ingénieur structure principal au sein du bureau d'études "Metal & Civil Engineering". Dans le cadre de la rénovation de la ligne ferroviaire secondaire du Val-de-Seine, SNCF Réseau a mandaté notre cabinet pour auditer la capacité portante d'un ancien pont en treillis métallique de type "Pratt". Cet ouvrage d'art, datant du début du XXe siècle, doit supporter le passage de nouvelles rames de fret plus lourdes que celles prévues à l'origine.
La structure est un système réticulé isostatique plan. Votre tâche spécifique concerne la travée centrale, zone critique soumise aux moments fléchissants maximaux. Contrairement aux méthodes informatiques par éléments finis, le client exige une note de calcul manuelle explicite pour valider les ordres de grandeur et s'assurer de l'absence de "boîte noire". Vous utiliserez la Méthode de Ritter (ou méthode des sections) pour déterminer les efforts internes dans les barres les plus sollicitées sans avoir à résoudre l'équilibre de tous les nœuds précédents.
En tant que Calculateur Structure, vous devez isoler et déterminer les efforts normaux (Traction ou Compression) dans les barres coupées par une section fictive \(\Sigma\) traversant le panneau central, afin de vérifier leur résistance au flambement et à la plastification.
"Attention, pour la méthode de Ritter, le choix de la section de coupure est crucial. Elle ne doit pas couper plus de 3 barres dont les efforts sont inconnus, sinon le système devient hyperstatique localement et la résolution par les seules équations de la statique plane devient impossible. Vérifiez bien la convergence des moments."
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel du projet, conformément aux Eurocodes 3 (Calcul des structures en acier). Les hypothèses de modélisation considèrent les nœuds comme des rotules parfaites (pas de transmission de moment). Les nuances d'acier sélectionnées (S355) sont adaptées aux ouvrages d'art soumis à des charges dynamiques, offrant un bon compromis entre ductilité et haute résistance.
📚 Référentiel Normatif
Eurocode 0 (Bases)Eurocode 3 (Acier)| GÉOMÉTRIE DU TREILLIS | |
| Portée totale (L) | 16.00 m (4 panneaux de 4m) |
| Hauteur du treillis (h) | 3.00 m |
| Longueur d'un panneau (a) | 4.00 m |
| CHARGEMENT & MATÉRIAU | |
| Charge ponctuelle par nœud (P) | 120 kN (Charge d'exploitation pondérée) |
| Acier de construction | S355 (Limite élastique \(f_y = 355 \text{ MPa}\)) |
| Section des barres (A) | 25 cm² (Profilé IPE/HEA équivalent) |
📐 Géométrie et Notation des Nœuds
Le treillis est composé de 4 panneaux de largeur \(a = 4m\). Les nœuds inférieurs sont notés A, B, C, D, E de gauche à droite. Les nœuds supérieurs sont notés F, G, H, I, J de gauche à droite (F au-dessus de A, J au-dessus de E). Cependant, le treillis est de type Pratt : il n'y a pas de montant vertical aux extrémités, les diagonales partent de A vers G.
- Nœud A : Appui double (Rotule)
- Nœud E : Appui simple (Rouleau)
- Chargement : Des charges verticales \(P\) sont appliquées aux nœuds B, C et D.
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charge Nœud B | \(P_B\) | 120 | kN |
| Charge Nœud C | \(P_C\) | 120 | kN |
| Charge Nœud D | \(P_D\) | 120 | kN |
| Angle Diagonale | \(\theta\) | \(\arctan(3/4) \approx 36.87\) | Degrés |
E. Protocole de Résolution
Voici la méthodologie séquentielle recommandée pour mener à bien cette étude. L'ordre des opérations est vital pour éviter des systèmes d'équations complexes.
Équilibre Global (Réactions)
Avant toute coupe, nous devons déterminer les réactions aux appuis A et E en isolant l'ensemble de la structure et en appliquant le Principe Fondamental de la Statique (PFS).
Définition de la Section de Ritter
Nous définirons géométriquement la coupe \(\Sigma\) traversant les barres ciblées (GH, GC, BC) et choisirons le tronçon (gauche ou droite) à isoler pour simplifier les calculs.
Calcul des Efforts Internes
C'est le cœur de la méthode. Nous écrirons les équations de moment en des points stratégiques (Points de Ritter) où deux des trois forces inconnues concourent, annulant ainsi leurs moments.
Vérification des Contraintes
Une fois les efforts normaux connus, nous vérifierons si la contrainte normale \(\sigma\) reste inférieure à la limite élastique de l'acier S355.
Calcul de Treillis par la Méthode de Ritter
🎯 Objectif
L'objectif primordial de cette première étape est de stabiliser mathématiquement notre système mécanique. Le treillis repose sur le sol via les appuis A et E. Sous l'effet des charges gravitationnelles (les convois ferroviaires), le sol exerce une résistance opposée pour maintenir l'ouvrage en place. Pour pouvoir isoler une partie du treillis par la suite (Méthode de Ritter), nous devons impérativement quantifier ces forces de réaction externes agissant aux bornes du système. Sans elles, l'équilibre statique de n'importe quel tronçon isolé serait mathématiquement insoluble, car il nous manquerait des données aux frontières.
📚 Référentiel
PFS (Principe Fondamental de la Statique)Avant de se lancer tête baissée dans les calculs, prenons le temps d'observer la topologie du problème. Nous sommes face à une structure parfaitement symétrique (géométrie rectangulaire, appuis aux extrémités) et un chargement lui aussi symétrique (trois charges identiques \(P\) centrées sur les nœuds intermédiaires B, C, D). L'intuition physique nous dicte que chaque appui va reprendre exactement la moitié de la charge totale. C'est une vérification mentale immédiate. Cependant, pour la rigueur absolue de la note de calcul (et pour couvrir le cas d'un chargement asymétrique futur), nous allons poser les équations formelles de l'équilibre statique.
Dans un repère orthonormé plan \((O, x, y)\), un solide indéformable est dit en équilibre statique si et seulement si deux conditions vectorielles sont réunies : la somme vectorielle des forces extérieures est nulle (pas de translation accélérée), et la somme des moments de ces forces calculée en n'importe quel point du plan est nulle (pas de rotation accélérée).
📐 Formule 1 : Équilibre des Forces Verticales
La somme algébrique des forces projetées sur l'axe vertical doit être nulle.
Ici : \( R_A + R_E - \sum P_i = 0 \).
📐 Formule 2 : Équilibre des Moments
La somme des moments de rotation autour d'un pivot (ici le point A) doit être nulle.
Cette équation permettra de lier les forces à leurs bras de levier.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge Totale Descendante | \(3 \times 120 = 360 \text{ kN}\) |
| Bras de levier (distances depuis A) | \(x_B=4 \text{ m}, x_C=8 \text{ m}, x_D=12 \text{ m}, x_E=16 \text{ m}\) |
Toujours vérifier la symétrie à la fin ! Si le calcul aboutit à \(R_A \neq R_E\) alors que la géométrie et le chargement sont symétriques, c'est le signe infaillible d'une erreur de calcul intermédiaire. Ici, nous nous attendons mathématiquement à ce que \(R_A\) soit égal à \(R_E\).
1. Équation de la Résultante Verticale :
La somme algébrique des forces verticales doit être nulle. Les réactions du sol (\(R_A, R_E\)) sont orientées vers le haut (positif), et les charges appliquées (\(P\)) vers le bas (négatif).
Nous obtenons ici une équation à deux inconnues. Il nous faut une seconde condition pour conclure.
2. Résolution par Symétrie :
En vertu de la symétrie parfaite du système (géométrie et répartition des charges), la charge totale se répartit équitablement entre les deux appuis.
Interprétation : Le sol pousse verticalement vers le haut avec une force de 180 kN à chaque extrémité du pont (appuis A et E). Ce résultat est physiquement cohérent car la somme des réactions (180+180=360) équilibre exactement la charge totale descendante.
✅ Interprétation Globale
Les réactions d'appui sont parfaitement équilibrées. Le système est stable et ne subit aucune rotation. Ces valeurs de 180 kN serviront de données d'entrée fondamentales pour les étapes suivantes.
L'ordre de grandeur est correct. Pour un pont ferroviaire, des réactions de plusieurs dizaines de tonnes (ici 18 tonnes par appui pour ce cas de charge simplifié) sont usuelles.
Faites attention aux unités. Si les données étaient fournies en masse (tonnes ou kg), il faudrait impérativement les convertir en force (Newtons ou kN) en multipliant par \(g \approx 9.81 m/s^2\) (ou 10 pour une estimation rapide). Ici, les données sont déjà en kN, donc pas de conversion nécessaire.
🎯 Objectif
Nous entrons maintenant dans le cœur méthodologique de l'exercice. L'objectif est de transformer un problème de structure interne (les efforts invisibles dans les barres) en un problème d'équilibre externe classique. En réalisant une coupe fictive à travers le treillis, nous "exposons" les efforts internes des barres sectionnées. Ces efforts deviennent alors, du point de vue mathématique, des forces extérieures appliquées à la section coupée, assurant la cohésion du tronçon isolé. Nous allons isoler le tronçon de gauche, car il est soumis à moins de forces connues (seulement \(R_A\) et \(P_B\)), ce qui simplifiera grandement l'arithmétique.
📚 Référentiel
Théorème de la Coupe (Ritter)La question qui se pose est : "Où couper ?". Nous cherchons les efforts dans le panneau central, c'est-à-dire entre les abscisses \(x=4m\) et \(x=8m\). La coupe idéale, notée \(\Sigma\), doit traverser intégralement le treillis de haut en bas sans passer par un nœud. Elle doit sectionner :
1. La membrure supérieure (Barre G-H) -> Nous chercherons l'effort normal \(N_{GH}\) (que nous supposons en compression par intuition).
2. La diagonale (Barre G-C) -> Nous chercherons l'effort normal \(N_{GC}\) (supposé en traction).
3. La membrure inférieure (Barre B-C) -> Nous chercherons l'effort normal \(N_{BC}\) (supposé en traction).
En isolant la partie gauche du pont (comprenant les nœuds A, B et G), nous remplaçons toute la partie droite supprimée par ces trois vecteurs forces.
La méthode de Ritter repose sur le principe qu'un sous-ensemble d'une structure en équilibre est lui-même en équilibre. Pour résoudre le système statiquement, la coupe ne doit pas traverser plus de 3 barres dont les efforts sont inconnus (car nous ne disposons que de 3 équations d'équilibre statique dans le plan : \(\sum F_x, \sum F_y, \sum M\)). Si nous coupions 4 barres, le système serait localement hyperstatique et insoluble par cette méthode seule.
📐 Formules Géométriques (Trigonométrie)
Calcul des composantes vectorielles de la diagonale.
L'hypoténuse est \(L_{\text{diag}} = \sqrt{a^2+h^2}\).
📋 Données d'Entrée
| Force | Type | Valeur | Bras de levier / G | Bras de levier / C |
|---|---|---|---|---|
| \(R_A\) | Réaction (Connue) | +180 kN | \(x_G = 4 \text{ m}\) | \(x_C = 8 \text{ m}\) |
| \(P_B\) | Charge (Connue) | -120 kN | \(0 \text{ m}\) (Verticale) | \(4 \text{ m}\) |
| \(N_{GH}\) | Inconnue (Horiz.) | ? | 0 (Passe par G) | \(h=3 \text{ m}\) |
| \(N_{BC}\) | Inconnue (Horiz.) | ? | \(h=3 \text{ m}\) | 0 (Passe par C) |
| \(N_{GC}\) | Inconnue (Oblique) | ? | 0 (Passe par G) | 0 (Passe par C) |
Toute la puissance et l'élégance de la méthode réside dans le choix stratégique du "Point de Ritter". C'est le point d'intersection de deux des trois forces inconnues. En écrivant l'équation des moments en ce point précis, les moments de ces deux forces s'annulent (car leur bras de levier est nul), nous laissant face à une équation triviale à une seule inconnue.
Calculs Préliminaires : Trigonométrie
1. Calcul de l'hypoténuse (Longueur Diagonale) :
Théorème de Pythagore dans le panneau de 4m x 3m.
2. Calcul du Sinus (Composante Verticale) :
Côté opposé (hauteur) sur hypoténuse.
Interprétation : Ce facteur 0.6 signifie que 60% de l'effort dans la diagonale agit verticalement pour contrer le cisaillement.
✅ Interprétation Globale
Nous avons parfaitement défini le système isolé. Nous connaissons toutes les forces externes et la géométrie précise des forces internes inconnues. Nous sommes prêts à résoudre l'équilibre.
Le triangle 3-4-5 est un classique du génie civil ("Triangle Égyptien"). Obtenir des valeurs rondes pour le sinus et le cosinus confirme que l'exercice est bien posé pour faciliter le calcul manuel.
Ne confondez pas le sinus (vertical) et le cosinus (horizontal). Une inversion ici fausserait tous les calculs de la diagonale.
🎯 Objectif
Cette étape est la résolution effective du problème. Nous allons déterminer quantitativement et qualitativement (traction ou compression) les efforts \(N_{GH}\), \(N_{BC}\) et \(N_{GC}\). Nous appliquerons méthodiquement le théorème des moments en des points choisis intelligemment (les points de Ritter identifiés à l'étape précédente : C et G).
📚 Référentiel
Équilibre des MomentsPour chaque inconnue, nous allons chercher l'équation "tueuse" qui élimine les deux autres.
- Pour \(N_{GH}\) : Les deux autres forces (\(N_{BC}, N_{GC}\)) passent par le point C. Nous ferons donc la somme des moments en C.
- Pour \(N_{BC}\) : Les deux autres forces (\(N_{GH}, N_{GC}\)) passent par le point G. Nous ferons donc la somme des moments en G.
- Pour \(N_{GC}\) : Les deux autres forces (\(N_{GH}, N_{BC}\)) sont parallèles (horizontales). Elles se coupent à l'infini. Cela signifie que nous utiliserons une projection de force (somme des forces verticales) pour isoler la composante verticale de la diagonale.
Le moment d'une force \(\vec{F}\) par rapport à un point \(P\) est la capacité de cette force à faire tourner le système autour de ce point. Sa valeur scalaire est \(M = F \times d\), où \(d\) est le bras de levier (distance perpendiculaire entre le point et la ligne d'action de la force). Convention de signe : rotation anti-horaire = positif (+), rotation horaire = négatif (-).
📐 Formule 1 : Équilibre du Moment
Somme algébrique des moments nulle.
📐 Formule 2 : Équilibre Vertical
Somme des forces en Y nulle.
📋 Données d'Entrée (Rappel)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Réaction \(R_A\) | 180 kN |
| Charge \(P_B\) | 120 kN |
| Hauteur \(h\) | 3 m |
| Largeur Panneau \(a\) | 4 m |
Dessinez toujours le sens de rotation présumé. Si le signe final est négatif, c'est que la force va dans le sens opposé à votre flèche initiale.
Résolution Analytique
A. Calcul de l'Effort dans la Membrure Supérieure \(N_{GH}\) :
Nous nous plaçons au point C (Point de Ritter). Les forces \(N_{BC}\) et \(N_{GC}\) y passant, leurs moments sont nuls.
- \(R_A\) (bras de levier 8m) tourne en sens horaire (-).
- \(P_B\) (bras de levier 4m) tourne en sens anti-horaire (+).
- \(N_{GH}\) (bras de levier 3m), supposé traction (vers la droite), tourne en sens anti-horaire (+).
Correction conventionnelle : Si \(N_{GH}\) tire vers la gauche (compression du nœud G), le moment est positif. Si \(N_{GH}\) tire vers la droite (traction du nœud G), autour de C, le bras de levier est au-dessus... Le sens de rotation est anti-horaire. Donc \(3 N_{GH} = 960 \Rightarrow N_{GH} = +320\). ATTENTION : Pour les membrures supérieures, la convention veut souvent que l'on trouve de la compression. Vérifions l'équilibre global : Le moment fléchissant est positif (la poutre sourit), donc la fibre supérieure est comprimée. Mon calcul de moment a supposé une force vers la droite (Traction). Si le moment de RA (1440) est supérieur au moment de PB (480), le reste doit compenser. 1440 > 480. Donc le moment manquant est de 960. La force doit créer un moment de 960. Pour créer un moment positif (anti-horaire) autour de C, une force en H doit pousser vers la Gauche. Or pousser vers la gauche = Compression. Donc l'effort est bien de la compression.
Interprétation Physique : La barre G-H est comprimée à 320 kN. C'est logique pour une membrure supérieure de pont sur appuis simples.
B. Calcul de l'Effort dans la Membrure Inférieure \(N_{BC}\) :
Nous nous plaçons au point G.
- \(R_A\) (bras 4m) tourne en sens horaire (-).
- \(P_B\) passe par G -> Moment nul.
- \(N_{BC}\) (bras 3m), supposé traction (vers la droite), tourne en sens anti-horaire (+).
Interprétation Physique : Signe positif = Traction. La membrure inférieure est tendue, ce qui est normal.
C. Calcul de l'Effort dans la Diagonale \(N_{GC}\) :
Projection verticale.
- \(R_A\) monte (+180).
- \(P_B\) descend (-120).
- \(N_{GC}\) vertical = \(N_{GC} \sin(0.6)\) vers le bas (si traction).
Interprétation Physique : La diagonale est tendue à 100 kN.
✅ Interprétation Globale
Nous avons déterminé tous les efforts. La membrure supérieure reprend le maximum d'effort (Compression), suivie par la membrure inférieure (Traction). La diagonale reprend un effort moindre, correspondant au cisaillement.
Observons les ordres de grandeur : L'effort de compression dans la membrure supérieure (320 kN) est plus élevé que celui de traction dans la membrure inférieure (240 kN). C'est cohérent avec l'équilibre des moments.
Une erreur fréquente consiste à oublier de projeter l'effort de la diagonale (utiliser \(N_{GC}\) au lieu de \(N_{GC} \sin \theta\)) lors de la somme des forces verticales.
🎯 Objectif
L'obtention des efforts internes bruts (en kN) n'est pas une fin en soi ; c'est une étape intermédiaire. Pour valider la pérennité de l'ouvrage, nous devons confronter ces sollicitations à la résistance matérielle de l'acier. Il s'agit de vérifier si la section d'acier choisie (25 cm²) est suffisante pour encaisser ces efforts sans subir de dommages irréversibles.
📚 Référentiel
Eurocode 3 - Clause 6.2 (Résistance des sections)Le critère de ruine le plus simple est le dépassement de la limite élastique. Nous allons calculer la contrainte normale moyenne \(\sigma = N / A\) dans la barre la plus sollicitée.
La contrainte normale \(\sigma\) (sigma) représente l'intensité de la force répartie sur la surface de la section. Elle s'exprime en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa).
📐 Formule : Contrainte Normale
Force divisée par l'Aire.
📋 Données d'Entrée
| Type | Valeur Initiale | Valeur Convertie (SI) |
|---|---|---|
| Section (A) | \(25 \text{ cm}^2\) | \(2500 \text{ mm}^2\) |
| Limite élastique (\(f_y\)) | \(355 \text{ MPa}\) | \(355 \text{ N/mm}^2\) |
| Effort Max (Absolu) | \(320 \text{ kN}\) | \(320 \, 000 \text{ N}\) |
Travaillez toujours en Newtons (N) et en millimètres (mm). La division \(N / mm^2\) donne directement des MégaPascals (MPa).
Calcul de Vérification
1. Calcul de la Contrainte Réelle \(\sigma\) :
On applique la formule de la contrainte normale simple.
2. Calcul du Taux de Travail (Ratio) :
Nous comparons la contrainte réelle à la limite admissible.
Interprétation : L'acier travaille à environ 36% de sa capacité élastique. Cela signifie que nous avons une marge de sécurité très confortable.
✅ Interprétation Globale
La section choisie est largement suffisante pour résister à la plastification. Le profilé pourrait même être optimisé (réduit) si ce critère était le seul.
Le taux de travail de 36% peut sembler faible (surdimensionné). Cependant, c'est classique pour compenser le flambement.
Ne concluez jamais hâtivement sur la sécurité d'une barre comprimée ! La barre GH est comprimée sur 4 mètres. Le risque de flambement est réel.
📄 Livrable Final (Note de Synthèse)
CONFORME
14 Avenue de l'Europe, Lyon
NOTE DE SYNTHÈSE STATIQUE (MÉTHODE RITTER)
| Critère Analysé | Valeur Calculée | Conclusion |
|---|---|---|
| 1. SOLLICITATIONS INTERNES (PANNEAU CENTRAL) | ||
| Membrure Supérieure (G-H) Effort Normal de Compression |
- 320 kN | Sollicitation Max. |
| Membrure Inférieure (B-C) Effort Normal de Traction |
+ 240 kN | - |
| Diagonale (G-C) Effort Normal de Traction |
+ 100 kN | Reprise Tranchant |
| 2. VÉRIFICATION DES SECTIONS (S355 - 25 cm²) | ||
| Contrainte Normale Max (\(\sigma\)) | 128 MPa | OK (< 355 MPa) |
| Taux de travail (Plastification) |
36 % de capacité utilisée
|
|
La présente note valide la résistance des sections à la plastification (ELS/ULS). Cependant, la barre comprimée G-H présente un élancement important. La stabilité au flambement n'est PAS validée par cette note simplifiée et nécessite un calcul complémentaire impératif selon l'Eurocode 3.
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