Études de cas pratique

EGC

Calcul de l’Effort Sismique sur une Structure

Calcul de l’Effort Sismique sur une Structure en Ingénierie Sismique

Calcul de l’Effort Sismique sur une Structure

Comprendre le Calcul de l’Effort Sismique

L'ingénierie sismique vise à concevoir des structures capables de résister aux tremblements de terre sans effondrement, assurant la sécurité des occupants et la limitation des dommages. Une étape clé de cette conception est l'évaluation des forces sismiques que la structure devra supporter. La méthode de la force statique équivalente est une approche simplifiée, couramment utilisée pour les bâtiments réguliers, qui convertit l'action dynamique complexe d'un séisme en un ensemble de forces statiques appliquées à la structure. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de base pour calculer l'effort sismique de base sur une structure simple, en s'inspirant des principes de l'Eurocode 8.

Données de l'étude

On étudie un portique en béton armé à un seul niveau, représentant une structure simple.

Caractéristiques de la Structure :

  • Masse totale de la structure (\(M\)) : \(200 \, \text{tonnes} = 200000 \, \text{kg}\)
  • Période fondamentale de vibration de la structure (\(T_1\)) : \(0.5 \, \text{s}\)

Paramètres Sismiques (basés sur l'Eurocode 8, Type 1, 5% d'amortissement) :

  • Accélération maximale de référence au sol pour le type de roche A (\(a_{gR}\)) : \(0.25g\) (où \(g\) est l'accélération due à la gravité)
  • Type de sol : Classe C
  • Paramètre de sol (\(S\)) pour sol de classe C : \(1.15\)
  • Périodes délimitant les branches du spectre de réponse élastique horizontal pour sol de classe C :
    • \(T_B = 0.20 \, \text{s}\)
    • \(T_C = 0.60 \, \text{s}\)
    • \(T_D = 2.0 \, \text{s}\)
  • Facteur d'importance (\(I \text{ ou } \gamma_I\)) : \(1.0\) (bâtiment de catégorie d'importance II, courant)
  • Coefficient de comportement (\(q\)) : \(3.0\) (pour un portique en béton armé de ductilité moyenne)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Facteur de correction d'amortissement (\(\eta\)) : \(1.0\) (pour 5% d'amortissement)
  • Facteur de correction pour la masse modale effective (\(\lambda\)) : \(1.0\) (pour un bâtiment à un seul niveau ou pour le mode fondamental si \(T_1 < 2T_C\))
Schéma : Structure Soumise à un Effort Sismique
Sol Masse (M) Fb Mouvement sismique Portique Simple et Effort Sismique

Illustration d'un portique simple et de l'application de la force sismique de base.

Questions à traiter

  1. Calculer l'accélération de calcul au sol (\(a_g = a_{gR} \times S\)). (Note: Dans l'Eurocode 8, \(S\) est un facteur qui modifie le spectre, \(a_g\) est souvent \(a_{gR}\) directement et \(S\) est appliqué aux ordonnées spectrales. Pour simplifier ici, nous considérerons \(a_g\) comme l'accélération de pic effective pour le site).
  2. Déterminer l'ordonnée du spectre de réponse élastique horizontal, \(S_e(T_1)\), pour la période fondamentale \(T_1\) de la structure.
    • Si \(0 \le T_1 \le T_B\): \(S_e(T_1) = a_g \cdot S \cdot \left[1 + \frac{T_1}{T_B} (2.5 \eta - 1)\right]\)
    • Si \(T_B \le T_1 \le T_C\): \(S_e(T_1) = a_g \cdot S \cdot 2.5 \eta\)
    • Si \(T_C \le T_1 \le T_D\): \(S_e(T_1) = a_g \cdot S \cdot 2.5 \eta \cdot \left[\frac{T_C}{T_1}\right]\)
    • Si \(T_D \le T_1\): \(S_e(T_1) = a_g \cdot S \cdot 2.5 \eta \cdot \left[\frac{T_C T_D}{T_1^2}\right]\)
    (Utiliser \(a_{gR}\) pour \(a_g\) dans ces formules, car \(S\) est déjà inclus).
  3. Calculer l'ordonnée du spectre de calcul pour le dimensionnement, \(S_d(T_1)\).
  4. Calculer la force sismique de base (\(F_b\)) agissant sur la structure.
  5. Exprimer cette force sismique de base en pourcentage du poids de la structure (\(P = M \cdot g\)).

Correction : Calcul de l’Effort Sismique sur une Structure

Question 1 : Accélération de calcul au sol (\(a_g\))

Principe :

L'accélération de calcul au sol (\(a_g\)) est l'accélération maximale de référence au sol (\(a_{gR}\)) modifiée par le paramètre de sol (\(S\)) pour tenir compte de l'amplification due aux conditions locales du site. Dans l'Eurocode 8, \(a_g = \gamma_I \cdot a_{gR}\). Le facteur \(S\) est appliqué directement aux ordonnées spectrales. Pour cet exercice, nous suivrons la formulation de l'énoncé où \(a_g\) est l'accélération de pic pour le site, mais il est plus standard de calculer \(a_g = \gamma_I \cdot a_{gR}\) et d'appliquer \(S\) dans le calcul du spectre. Pour clarifier et suivre une approche plus standard de l'Eurocode 8, calculons \(a_g = \gamma_I \cdot a_{gR}\). Le facteur \(S\) sera utilisé dans le calcul de \(S_e(T_1)\) comme indiqué dans les formules de l'énoncé.

Formule(s) utilisée(s) :
\[a_g = \gamma_I \cdot a_{gR}\]

(Note : \(\gamma_I\) est le facteur d'importance, noté \(I\) dans l'énoncé)

Données spécifiques :
  • Facteur d'importance (\(I\)) : \(1.0\)
  • Accélération maximale de référence au sol (\(a_{gR}\)) : \(0.25g\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a_{gR} &= 0.25 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 2.4525 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} a_g &= 1.0 \times 2.4525 \, \text{m/s}^2 \\ &= 2.4525 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'accélération de calcul au sol est \(a_g = 2.4525 \, \text{m/s}^2\).

Question 2 : Ordonnée du spectre de réponse élastique horizontal (\(S_e(T_1)\))

Principe :

L'ordonnée du spectre de réponse élastique \(S_e(T_1)\) donne l'accélération maximale qu'une structure ayant une période fondamentale \(T_1\) et un amortissement de 5% subirait si elle répondait de manière élastique au mouvement sismique de référence. Sa valeur dépend de la période \(T_1\) par rapport aux périodes caractéristiques du site \(T_B, T_C, T_D\).

Données spécifiques :
  • \(a_g = 2.4525 \, \text{m/s}^2\) (calculé comme \(a_{gR}\) car \(I=1\), et \(S\) est dans la formule du spectre)
  • \(S = 1.15\) (paramètre de sol pour classe C)
  • \(T_1 = 0.5 \, \text{s}\)
  • \(T_B = 0.20 \, \text{s}\)
  • \(T_C = 0.60 \, \text{s}\)
  • \(T_D = 2.0 \, \text{s}\)
  • \(\eta = 1.0\)
Calcul :

On compare \(T_1\) aux périodes \(T_B\) et \(T_C\) :
\(T_B = 0.20 \, \text{s}\) et \(T_C = 0.60 \, \text{s}\).
Puisque \(0.20 \, \text{s} \le T_1 = 0.5 \, \text{s} \le 0.60 \, \text{s}\), on est dans la branche \(T_B \le T_1 \le T_C\).

Formule applicable : \(S_e(T_1) = a_g \cdot S \cdot 2.5 \eta\)

\[ \begin{aligned} S_e(0.5 \, \text{s}) &= (0.25 \times 9.81 \, \text{m/s}^2) \times 1.15 \times 2.5 \times 1.0 \\ &= 2.4525 \, \text{m/s}^2 \times 1.15 \times 2.5 \\ &= 2.4525 \, \text{m/s}^2 \times 2.875 \\ &\approx 7.0509 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]

On arrondit à \(S_e(T_1) \approx 7.05 \, \text{m/s}^2\).

Résultat Question 2 : L'ordonnée du spectre de réponse élastique est \(S_e(T_1) \approx 7.05 \, \text{m/s}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la période fondamentale \(T_1\) de la structure était de \(0.1 \, \text{s}\), quelle branche du spectre serait utilisée ?

Question 3 : Ordonnée du spectre de calcul pour le dimensionnement (\(S_d(T_1)\))

Principe :

Le spectre de calcul \(S_d(T_1)\) est obtenu en divisant le spectre élastique \(S_e(T_1)\) par le coefficient de comportement \(q\). Ce coefficient \(q\) tient compte de la capacité de la structure à dissiper de l'énergie par comportement non linéaire (ductilité).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_d(T_1) = \frac{S_e(T_1)}{q}\]
Données spécifiques :
  • \(S_e(T_1) \approx 7.05 \, \text{m/s}^2\)
  • Coefficient de comportement (\(q\)) : \(3.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_d(0.5 \, \text{s}) &\approx \frac{7.05 \, \text{m/s}^2}{3.0} \\ &\approx 2.35 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'ordonnée du spectre de calcul est \(S_d(T_1) \approx 2.35 \, \text{m/s}^2\).

Question 4 : Force sismique de base (\(F_b\))

Principe :

La force sismique de base est la force horizontale totale que la structure doit être capable de reprendre à sa base. Elle est calculée en multipliant l'ordonnée du spectre de calcul par la masse de la structure et un facteur de correction \(\lambda\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_b = S_d(T_1) \cdot M \cdot \lambda\]
Données spécifiques :
  • \(S_d(T_1) \approx 2.35 \, \text{m/s}^2\)
  • Masse (\(M\)) : \(200000 \, \text{kg}\)
  • Facteur de correction (\(\lambda\)) : \(1.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_b &\approx 2.35 \, \text{m/s}^2 \times 200000 \, \text{kg} \times 1.0 \\ &= 470000 \, \text{N} \\ &= 470 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La force sismique de base est \(F_b \approx 470 \, \text{kN}\).

Question 5 : Force sismique de base en pourcentage du poids de la structure

Principe :

Il est souvent utile d'exprimer la force sismique de base en pourcentage du poids total de la structure pour avoir une idée de son ampleur relative.

Formule(s) utilisée(s) :

Poids de la structure : \(P = M \cdot g\)

\[\text{Pourcentage du poids} = \frac{F_b}{P} \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • \(F_b \approx 470000 \, \text{N}\)
  • Masse (\(M\)) : \(200000 \, \text{kg}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :

Calcul du poids de la structure :

\[ \begin{aligned} P &= 200000 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 1962000 \, \text{N} \end{aligned} \]

Calcul du pourcentage :

\[ \begin{aligned} \text{Pourcentage du poids} &= \frac{470000 \, \text{N}}{1962000 \, \text{N}} \times 100\% \\ &\approx 0.23955 \times 100\% \\ &\approx 23.96\% \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La force sismique de base représente environ \(23.96\%\) du poids de la structure.

Quiz Intermédiaire 2 : Un coefficient de comportement (\(q\)) plus élevé :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La période fondamentale (\(T_1\)) d'une structure dépend principalement de :

2. Le spectre de réponse élastique :

3. Le coefficient de comportement (\(q\)) est introduit pour :

Glossaire

Période Fondamentale (\(T_1\))
Période naturelle de vibration la plus longue d'une structure. Elle dépend de sa masse et de sa rigidité.
Spectre de Réponse Élastique (\(S_e(T)\))
Graphique représentant l'accélération (ou le déplacement, ou la vitesse) maximale d'un oscillateur simple à un degré de liberté, de période \(T\) et d'amortissement donné, soumis à un mouvement sismique spécifique. Il caractérise le contenu fréquentiel du séisme pour le dimensionnement.
Spectre de Calcul (\(S_d(T)\))
Spectre utilisé pour le dimensionnement sismique des structures. Il est généralement dérivé du spectre de réponse élastique en le divisant par le coefficient de comportement \(q\) pour tenir compte de la ductilité de la structure.
Force Sismique de Base (\(F_b\))
Force horizontale totale équivalente à l'action sismique, appliquée à la base de la structure pour les calculs de dimensionnement selon la méthode de la force statique équivalente.
Coefficient de Comportement (\(q\))
Facteur qui réduit les forces sismiques élastiques pour tenir compte de la capacité d'une structure à dissiper l'énergie par des déformations inélastiques (ductilité) sans s'effondrer. Une valeur de \(q\) plus élevée correspond à une plus grande ductilité attendue.
Facteur d'Importance (\(I\) ou \(\gamma_I\))
Coefficient qui ajuste le niveau de l'action sismique en fonction de la catégorie d'importance de la structure (hôpitaux, écoles, bâtiments courants, etc.).
Accélération Maximale de Référence au Sol (\(a_{gR}\))
Accélération de pic du mouvement du sol sur un type de sol rocheux (type A selon l'Eurocode 8) pour une probabilité de dépassement donnée sur une période de référence.
Paramètre de Sol (\(S\))
Coefficient qui modifie le spectre de réponse pour tenir compte de l'influence des conditions locales du sol sur le mouvement sismique.
Calcul de l’Effort Sismique sur une Structure - Exercice d'Application

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