Calcul de la résistance thermique totale

Contexte : La Thermique du BâtimentBranche de la physique du bâtiment qui étudie les transferts de chaleur à travers l'enveloppe des constructions..

L'un des piliers de la conception de bâtiments écoénergétiques est la maîtrise des déperditions thermiques à travers son enveloppe. Un mur extérieur est une paroi composite, c'est-à-dire un assemblage de plusieurs couches de matériaux aux propriétés différentes. Pour évaluer la performance isolante de ce mur, il est essentiel de calculer sa résistance thermique totale. Cet exercice vous guidera pas à pas dans ce calcul fondamental.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un mur en couches, à calculer la résistance thermique de chaque couche, et à les additionner pour obtenir la performance globale de la paroi, en incluant les résistances superficielles.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la notion de résistance thermique et de conductivité thermique.
Calculer la résistance thermique d'une couche de matériau homogène.
Calculer la résistance thermique totale d'un mur composite.
Intégrer les résistances thermiques superficielles (intérieure et extérieure).

Données de l'étude

On étudie un mur extérieur d'une maison individuelle. Ce mur est constitué de l'intérieur vers l'extérieur des couches suivantes :

Composition du Mur Composite (de l'intérieur vers l'extérieur)

Couche	Épaisseur (e)	Conductivité Thermique (λ)
1. Laine de verre	120 mm	0.040 W/(m·K)
2. Béton	200 mm	1.700 W/(m·K)
3. Brique	100 mm	0.800 W/(m·K)

Questions à traiter

Calculer la résistance thermique (R) de chaque couche du mur.
Déterminer la résistance thermique totale du mur (R_total) en incluant les résistances superficielles d'échange :
- Résistance superficielle intérieure : R_si = 0.13 m²·K/W
- Résistance superficielle extérieure : R_se = 0.04 m²·K/W
Calculer le coefficient de transmission thermique (U) de la paroi. On rappelle que U = 1 / R_total.
Pour une surface de mur de 15 m² et une différence de température entre l'intérieur (20°C) et l'extérieur (-5°C), calculer le flux thermique (Φ) traversant la paroi. On rappelle que Φ = U × A × ΔT.

Les bases sur la Résistance Thermique

La performance d'une paroi à s'opposer au passage de la chaleur est quantifiée par sa résistance thermique, notée R. Plus R est grande, plus la paroi est isolante.

1. Résistance d'une couche homogène
La résistance thermique d'une couche de matériau dépend de son épaisseur (e) et de sa conductivité thermiqueCapacité d'un matériau à conduire la chaleur. Un bon isolant a une faible conductivité thermique. (λ). \[ R_{\text{couche}} = \frac{e}{\lambda} \] Où :

R est en \(\text{m}^2\cdot\text{K/W}\)
e (épaisseur) est en \(\text{m}\)
λ (lambda) est en \(\text{W/(m}\cdot\text{K)}\)

2. Résistance d'une paroi composite
Pour un mur composé de plusieurs couches, la résistance totale est la somme des résistances de chaque couche, ainsi que des résistances superficielles qui représentent l'échange de chaleur entre la surface du mur et l'air. \[ R_{\text{total}} = R_{\text{si}} + \sum R_{\text{couches}} + R_{\text{se}} \]

Correction : Calcul de la résistance thermique totale

Question 1 : Calculer la résistance thermique (R) de chaque couche

Principe

Le concept physique est que chaque matériau oppose une certaine résistance au passage de la chaleur. Cette résistance est d'autant plus grande que le matériau est épais et qu'il est peu conducteur de chaleur (faible conductivité thermique).

Mini-Cours

La résistance thermique (R) est une mesure de l'opposition d'un matériau au flux de chaleur. Elle est directement proportionnelle à l'épaisseur du matériau et inversement proportionnelle à sa conductivité thermique (λ). Un matériau avec un R élevé est un bon isolant, tandis qu'un matériau avec un R faible est un bon conducteur.

Remarque Pédagogique

Pour aborder ce type de problème, il est conseillé de toujours traiter chaque couche du mur de manière indépendante avant de les assembler. Listez chaque matériau, son épaisseur et sa conductivité, puis calculez sa résistance. Cette méthode structurée évite les erreurs.

Normes

Les valeurs de conductivité thermique (λ) des matériaux de construction sont standardisées. Elles sont souvent fournies par les fabricants et certifiées selon des normes européennes (EN) ou internationales (ISO), comme la norme EN 12667.

Formule(s)

Formule de la résistance thermique d'une couche

R_{\text{couche}} = \frac{e}{\lambda}

Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

Le transfert de chaleur est unidimensionnel, perpendiculaire à la surface du mur.
Chaque couche de matériau est homogène et isotrope (ses propriétés sont les mêmes en tout point et dans toutes les directions).
Il n'y a pas de ponts thermiques (zones de moindre résistance thermique).

Donnée(s)

Couche	Épaisseur (e)	Conductivité (λ)
Laine de verre	120 mm	0.040 W/(m·K)
Béton	200 mm	1.700 W/(m·K)
Brique	100 mm	0.800 W/(m·K)

Astuces

Pour vérifier rapidement vos calculs, souvenez-vous qu'un isolant (λ faible) aura une résistance thermique bien plus élevée qu'un matériau structurel comme le béton (λ élevé), même à épaisseur égale.

Schéma (Avant les calculs)

Composition du Mur

Calcul(s)

Conversion de l'épaisseur de l'isolant

e_{\text{isolant}} = 120 \text{ mm} = 0.120 \text{ m}

Conversion de l'épaisseur du béton

e_{\text{béton}} = 200 \text{ mm} = 0.200 \text{ m}

Conversion de l'épaisseur de la brique

e_{\text{brique}} = 100 \text{ mm} = 0.100 \text{ m}

Calcul de la résistance de l'isolant

R_{\text{isolant}} = \frac{0.120}{0.040} = 3.00 \text{ m}^2\cdot\text{K/W}

Calcul de la résistance du béton

R_{\text{béton}} = \frac{0.200}{1.700} \approx 0.118 \text{ m}^2\cdot\text{K/W}

Calcul de la résistance de la brique

R_{\text{brique}} = \frac{0.100}{0.800} = 0.125 \text{ m}^2\cdot\text{K/W}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Résistances Thermiques par Couche

Réflexions

L'analyse des résultats montre que la laine de verre, bien que moins épaisse que le béton, a une résistance thermique plus de 25 fois supérieure. C'est la confirmation que l'isolation est assurée par les matériaux isolants spécifiques et non par les matériaux de structure.

Points de vigilance

La principale erreur à éviter est la confusion entre conductivité (λ) et résistance (R). Rappelez-vous : λ est une propriété du matériau (faible = bon), R est la performance d'une épaisseur donnée de ce matériau (élevée = bon).

Points à retenir

Pour calculer la performance d'une couche, il faut toujours deux informations : son épaisseur et sa conductivité thermique. La formule \(R = e / \lambda\) est l'une des plus fondamentales en thermique du bâtiment.

Le saviez-vous ?

La loi de Fourier, qui est à la base de ces calculs, a été établie par le mathématicien et physicien français Joseph Fourier au début du 19ème siècle. Ses travaux sur la "Théorie analytique de la chaleur" sont encore aujourd'hui le fondement de la discipline.

FAQ

Résultat Final

Les résistances thermiques des couches sont : \(R_{\text{isolant}} = 3.00 \text{ m}^2\cdot\text{K/W}\), \(R_{\text{béton}} \approx 0.118 \text{ m}^2\cdot\text{K/W}\), et \(R_{\text{brique}} = 0.125 \text{ m}^2\cdot\text{K/W}\).

A vous de jouer

Calculez la résistance thermique d'une couche de 150 mm de polystyrène (\(\lambda = 0.035 \text{ W/(m·K)}\)).

Question 2 : Déterminer la résistance thermique totale du mur (\(R_{\text{total}}\))

Principe

En thermique, lorsque les couches sont successives (en série), leurs résistances s'additionnent. C'est analogue à des résistances électriques en série. Il ne faut pas oublier les "résistances de contact" avec l'air, appelées résistances superficielles.

Mini-Cours

Les résistances superficielles \(R_{\text{si}}\) (intérieure) et \(R_{\text{se}}\) (extérieure) modélisent les échanges de chaleur par convection et par rayonnement entre la surface de la paroi et l'air ambiant. Leurs valeurs sont forfaitaires et dépendent de la direction du flux de chaleur (horizontal, ascendant, descendant) et des conditions de ventilation (air calme à l'intérieur, vent à l'extérieur).

Remarque Pédagogique

Une erreur fréquente est d'oublier d'inclure \(R_{\text{si}}\) et \(R_{\text{se}}\) dans le calcul de la résistance totale. Pensez toujours au parcours complet de la chaleur : de l'air intérieur, à travers le mur, jusqu'à l'air extérieur. Ce parcours inclut 5 résistances dans notre cas.

Normes

Les valeurs des résistances superficielles sont définies par des normes, comme la norme EN ISO 6946. Les valeurs de \(0.13 \text{ m}^2\cdot\text{K/W}\) (\(R_{\text{si}}\)) et \(0.04 \text{ m}^2\cdot\text{K/W}\) (\(R_{\text{se}}\)) sont les valeurs conventionnelles pour un flux horizontal.

Formule(s)

Formule de la résistance totale

R_{\text{total}} = R_{\text{si}} + R_{\text{isolant}} + R_{\text{béton}} + R_{\text{brique}} + R_{\text{se}}

Hypothèses

Nous utilisons les valeurs normalisées pour \(R_{\text{si}}\) et \(R_{\text{se}}\), ce qui suppose des conditions standards d'échange thermique en surface.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance superficielle intérieure	\(R_{\text{si}}\)	0.13	m²·K/W
Résistance superficielle extérieure	\(R_{\text{se}}\)	0.04	m²·K/W
Somme des R des couches (de Q1)	\(\sum R_{\text{couches}}\)	3.243	m²·K/W

Astuces

Pas d'astuce particulière ici, c'est une simple addition. La rigueur est la meilleure astuce !

Schéma (Avant les calculs)

Analogie Électrique des Résistances en Série

Calcul(s)

Calcul de la résistance totale

\begin{aligned} R_{\text{total}} &= R_{\text{si}} + R_{\text{isolant}} + R_{\text{béton}} + R_{\text{brique}} + R_{\text{se}} \\ &= 0.13 + 3.00 + 0.118 + 0.125 + 0.04 \\ &\Rightarrow R_{\text{total}} \approx 3.413 \text{ m}^2\cdot\text{K/W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Il n'y a pas de schéma pertinent après ce calcul simple, car il s'agit d'une valeur unique.

Réflexions

La résistance totale de 3.413 est très proche de la résistance de l'isolant seul (3.00). Cela confirme que dans un mur bien conçu, la quasi-totalité de la performance est apportée par l'isolant. Les résistances superficielles, bien que non négligeables, ont un impact modéré.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser les bonnes valeurs de \(R_{\text{si}}\) et \(R_{\text{se}}\). Elles changent pour les planchers (flux vertical) ou les toitures. Celles utilisées ici sont valables pour les murs (flux horizontal).

Points à retenir

La résistance d'une paroi multicouche est la somme des résistances de chaque couche, y compris les résistances superficielles. C'est le principe d'additivité des résistances en série.

Le saviez-vous ?

L'effet du vent augmente les échanges par convection sur la paroi extérieure. C'est pourquoi la résistance superficielle extérieure (\(R_{\text{se}} = 0.04\)) est bien plus faible que la résistance intérieure (\(R_{\text{si}} = 0.13\)) où l'air est supposé calme.

FAQ

Résultat Final

La résistance thermique totale du mur est d'environ \(3.41 \text{ m}^2\cdot\text{K/W}\).

A vous de jouer

Si on remplaçait la brique par un enduit de 2 cm (\(R = 0.02 \text{ m}^2\cdot\text{K/W}\)), quelle serait la nouvelle \(R_{\text{total}}\) ?

Question 3 : Calculer le coefficient de transmission thermique (U)

Principe

Le coefficient U est simplement l'inverse de la résistance totale. Alors que R mesure la capacité à "résister" au froid, U mesure la facilité avec laquelle la chaleur "traverse" la paroi. Un bon mur a un R élevé et un U faible.

Mini-Cours

Le coefficient U, exprimé en W/(m²·K), est la valeur de référence dans toutes les réglementations thermiques (comme la RE2020 en France). Les textes réglementaires imposent des valeurs U maximales pour les différentes parois (murs, toitures, fenêtres) afin de garantir un niveau de performance énergétique minimal pour les bâtiments neufs ou rénovés.

Remarque Pédagogique

Pensez à R et U comme les deux faces d'une même pièce. Les physiciens préfèrent souvent R car les résistances s'additionnent simplement. Les ingénieurs et les architectes utilisent plus souvent U car il est directement lié aux déperditions de chaleur.

Normes

Les réglementations thermiques, comme la RE2020 en France, fixent des exigences sur les coefficients U des parois. Par exemple, pour un mur en contact avec l'extérieur, un U de 0.29 W/(m²·K) est une valeur performante, respectant largement les exigences actuelles.

Formule(s)

Formule du coefficient de transmission thermique

U = \frac{1}{R_{\text{total}}}

Hypothèses

Ce calcul repose sur la validité du \(R_{\text{total}}\) calculé précédemment. Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance thermique totale (de Q2)	\(R_{\text{total}}\)	3.413	m²·K/W

Astuces

Pour avoir un ordre de grandeur, un mur non isolé a un U supérieur à 1.5. Une bonne isolation vise un U inférieur à 0.30. Une paroi très haute performance (passive) peut atteindre un U proche de 0.10.

Schéma (Avant les calculs)

Il n'y a pas de schéma pertinent pour cette étape de calcul.

Calcul(s)

Calcul du coefficient U

\begin{aligned} U &= \frac{1}{3.413 \text{ m}^2\cdot\text{K/W}} \\ &\Rightarrow U \approx 0.293 \text{ W/(m}^2\cdot\text{K)} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Il n'y a pas de schéma pertinent pour cette étape de calcul.

Réflexions

Un coefficient U de 0.29 W/(m²·K) indique que pour chaque degré de différence de température entre l'intérieur et l'extérieur, 0.29 Watt de chaleur s'échappent à travers chaque mètre carré de mur. C'est une bonne performance pour un mur standard.

Points de vigilance

Ne jamais additionner ou soustraire des coefficients U directement ! Si vous avez deux parois différentes, vous devez calculer leurs flux de chaleur séparément. Seules les résistances R sont additives.

Points à retenir

U et R sont inversement proportionnels (\(U = 1/R\)). U est l'indicateur de performance utilisé dans les réglementations. Plus U est faible, meilleure est l'isolation.

Le saviez-vous ?

Dans les pays anglo-saxons, on utilise parfois encore le R-value impérial, exprimé en ft²·°F·h/BTU. Pour convertir, \(1 \text{ m}^2\cdot\text{K/W}\) équivaut à environ \(5.678 \text{ ft}^2\cdot\text{°F}\cdot\text{h/BTU}\). Attention aux confusions !

FAQ

Résultat Final

Le coefficient de transmission thermique du mur est \(U \approx 0.29 \text{ W/(m}^2\cdot\text{K)}\).

A vous de jouer

Si une réglementation impose un \(U_{\text{max}}\) de 0.25 W/(m²·K), quelle serait la \(R_{\text{total}}\) minimale requise ?

Question 4 : Calculer le flux thermique (Φ) traversant la paroi

Principe

Le flux de chaleur à travers un mur est la conséquence de la différence de température entre l'intérieur et l'extérieur. Ce flux est proportionnel à la performance du mur (son coefficient U), à sa surface, et à l'écart de température. C'est la "fuite" de chaleur que l'on cherche à minimiser.

Mini-Cours

Le flux thermique Φ, exprimé en Watts (W), représente une puissance. C'est la quantité d'énergie (en Joules) qui traverse la paroi chaque seconde. Le calcul des déperditions totales d'un bâtiment (la somme des flux de toutes les parois) est l'étape cruciale pour dimensionner correctement la puissance de la chaudière ou de la pompe à chaleur.

Remarque Pédagogique

Visualisez le flux de chaleur comme un débit d'eau. La différence de température (ΔT) est la pression, la surface (A) est la taille du tuyau, et le coefficient U est la "facilité" avec laquelle l'eau passe (un tuyau lisse ou rugueux). On veut un "tuyau" très "rugueux" (U faible) pour limiter le débit.

Normes

Les calculs de déperditions pour le dimensionnement du chauffage sont encadrés par des normes comme la EN 12831. Cette norme définit les températures de base à utiliser pour les calculs (par exemple, -5°C, -7°C, etc., selon la région géographique).

Formule(s)

Formule du flux thermique

\Phi = U \times A \times \Delta T

Hypothèses

Nous supposons que les températures intérieure et extérieure sont stables et uniformes sur toute la surface du mur.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coefficient de transmission (de Q3)	U	0.293	W/(m²·K)
Surface du mur	A	15	m²
Température intérieure	\(T_{\text{int}}\)	20	°C
Température extérieure	\(T_{\text{ext}}\)	-5	°C

Astuces

Une différence de température en degrés Celsius (Δ°C) est numériquement égale à une différence en Kelvin (ΔK). Vous n'avez donc pas besoin de convertir les températures en Kelvin pour calculer le ΔT.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du Flux Thermique

Calcul(s)

Calcul de l'écart de température \(\Delta T\)

\begin{aligned} \Delta T &= T_{\text{int}} - T_{\text{ext}} \\ &= 20 - (-5) \\ &= 25 \text{ °C} = 25 \text{ K} \end{aligned}

Calcul du flux thermique \(\Phi\)

\begin{aligned} \Phi &= U \times A \times \Delta T \\ &= 0.293 \times 15 \times 25 \\ &\Rightarrow \Phi \approx 109.88 \text{ W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Il n'y a pas de schéma pertinent après ce calcul.

Réflexions

Le mur étudié engendre une déperdition de 110 W dans ces conditions hivernales. Pour estimer l'énergie perdue sur une période, il faudrait multiplier cette puissance par la durée (par exemple, sur 24h, l'énergie perdue serait de \(110 \text{ W} \times 24 \text{ h} = 2.64 \text{ kWh}\)).

Points de vigilance

Attention aux unités ! Le flux Φ est une puissance en Watts (W). Ne le confondez pas avec une énergie en Wattheures (Wh) ou en Joules (J). Pour obtenir une énergie, il faut multiplier la puissance par le temps.

Points à retenir

Les déperditions thermiques (flux Φ) sont la conséquence directe de la performance de l'enveloppe (U), de sa taille (A) et des conditions climatiques (ΔT). Agir sur U (en isolant) est le levier le plus efficace pour les réduire.

Le saviez-vous ?

Pour calculer les besoins de chauffage sur toute une saison, les thermiciens utilisent les "Degrés Jours Unifiés" (DJU). C'est un indicateur qui représente la "rigueur" de l'hiver d'une région, en sommant les écarts de température journaliers par rapport à un seuil de confort.

FAQ

Résultat Final

Le flux thermique traversant le mur est d'environ \(110 \text{ W}\).

A vous de jouer

Si la température extérieure descend à -10°C, quel serait le nouveau flux thermique ?

Outil Interactif : Simulateur d'Isolation

Utilisez les curseurs pour faire varier l'épaisseur de l'isolant et du béton et observez en temps réel l'impact sur la résistance thermique totale du mur.

Paramètres d'Entrée

Épaisseur Isolant (mm) 120 mm

Épaisseur Béton (mm) 200 mm

Résultats Clés

R Isolant (m²·K/W) -

R Total Mur (m²·K/W) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'unité de la résistance thermique ?

W/(m·K)
m²·K/W
W/m²

2. Si on double l'épaisseur d'un isolant, sa résistance thermique...

Est divisée par deux.
Reste la même.
Double.

3. Un matériau est un bon isolant si sa conductivité thermique (λ) est...

Faible.
Élevée.
Nulle.

Glossaire

Résistance Thermique (R): Capacité d'un matériau ou d'une paroi à résister au passage de la chaleur. Elle est exprimée en m²·K/W.
Conductivité Thermique (λ): Propriété intrinsèque d'un matériau à conduire la chaleur. Un bon isolant a une faible conductivité. Elle est exprimée en W/(m·K).
Résistances Superficielles (\(R_{\text{si}}\), \(R_{\text{se}}\)): Résistances dues à l'échange de chaleur par convection et rayonnement entre la surface d'une paroi et l'air ambiant (intérieur ou extérieur).