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Calcul de la Hauteur d’un Mur Pignon

Exercice : Calcul de la Hauteur d’un Mur Pignon

Calcul de la Hauteur d’un Mur Pignon

Contexte : Le calcul de pignon sur un chantier.

Sur un chantier de construction, le calcul précis des dimensions est une étape fondamentale avant même de poser la première pierre. Une des tâches courantes est de déterminer la hauteur totale d'un mur pignonPartie supérieure triangulaire du mur d'un bâtiment qui supporte les versants d'une toiture à deux pentes., c'est-à-dire le mur triangulaire qui supporte les versants de la toiture. Ce calcul, basé sur des principes de géométrie simples, est essentiel pour commander la bonne quantité de matériaux (briques, parpaings, bois de charpente) et pour garantir la conformité de la construction avec les plans de l'architecte.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer des notions de trigonométrieBranche des mathématiques qui traite des relations entre les distances et les angles dans les triangles. de base (théorème de PythagoreDans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés., tangenteRapport entre la longueur du côté opposé à l'angle et la longueur du côté adjacent dans un triangle rectangle.) dans un contexte très concret du bâtiment. Vous verrez comment un simple triangle rectangle est la clé pour résoudre de nombreux problèmes de chantier.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le théorème de PythagoreDans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. pour trouver une longueur de charpente.
  • Utiliser la trigonométrieBranche des mathématiques qui traite des relations entre les distances et les angles dans les triangles. (tangente) pour calculer une hauteur à partir d'un angle.
  • Décomposer un problème de construction en une figure géométrique simple.
  • Calculer la hauteur totale d'un ouvrage et la longueur d'un rampant de toiturePièce de charpente inclinée qui supporte la couverture. Sa longueur correspond à la pente du toit..

Données de l'étude

On nous demande de calculer les dimensions pour le pignon d'une maison individuelle simple. Les plans nous fournissent les informations suivantes :

Schéma de la coupe du Bâtiment
Largeur (Portée) = 8.00 m H. mur = 2.50 m H. pignon (?) Angle = 35°
Vue 3D de la Structure
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Largeur du bâtiment (portéeDistance horizontale entre les deux murs porteurs qui soutiennent la charpente.) \(L\) 8.00 m
Hauteur des murs droits \(H_{\text{mur}}\) 2.50 m
Angle de la toiture \(\alpha\) 35 degrés

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur du pignon (\(H_{\text{pignon}}\)), c'est-à-dire la hauteur de la partie triangulaire du mur.
  2. En déduire la hauteur totale du mur au niveau du faîtageLigne de rencontre haute des deux versants d'une toiture. C'est le point le plus élevé du toit. (\(H_{\text{total}}\)).
  3. Calculer la longueur de l'arbalétrierPièce de charpente inclinée qui supporte la couverture. Sa longueur correspond à la pente du toit. (le rampant de la toiture).

Les bases sur la Trigonométrie du Triangle Rectangle

Pour résoudre cet exercice, nous allons nous baser sur la géométrie d'un triangle rectangleUn triangle qui possède un angle droit (90°).. Le pignon peut être divisé en deux triangles rectangles identiques par sa hauteur.

1. La Tangente (SOH CAH TOA)
Dans un triangle rectangle, la tangenteRapport entre la longueur du côté opposé à l'angle et la longueur du côté adjacent dans un triangle rectangle. d'un angle est le rapport entre la longueur du côté opposéDans un triangle rectangle, le côté en face d'un angle donné. à l'angle et la longueur du côté adjacentDans un triangle rectangle, le côté qui touche un angle donné, mais qui n'est pas l'hypoténuse.. \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}} \]

2. Le Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuseLe côté le plus long d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit. (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. \[ \text{Hypoténuse}^2 = \text{Côté Adjacent}^2 + \text{Côté Opposé}^2 \]

Correction : Calcul de la Hauteur d’un Mur Pignon

Question 1 : Calculer la hauteur du pignon (\(H_{\text{pignon}}\))

Principe

La hauteur du pignon correspond au "côté opposé" dans le triangle rectangle formé par la demi-largeur du bâtiment, la hauteur du pignon et le rampant de la toiture. Connaissant l'angle et le côté adjacent (la demi-largeur), on peut utiliser la trigonométrieBranche des mathématiques qui traite des relations entre les distances et les angles dans les triangles. pour trouver cette hauteur.

Mini-Cours

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui traite des relations entre les distances et les angles dans les triangles. La fonction tangente (\(\tan\)) est particulièrement utile lorsque nous n'impliquons pas l'hypoténuse. Elle lie directement les deux côtés de l'angle droit.

Remarque Pédagogique

Face à un problème de géométrie en construction, le premier réflexe doit toujours être de dessiner la situation. Isoler le triangle rectangle et nommer ses côtés (opposé, adjacent, hypoténuse) par rapport à l'angle connu simplifie grandement le choix de la bonne formule.

Normes

Ce calcul relève de la géométrie euclidienne pure. Cependant, dans un contexte professionnel, les dimensions finales et les méthodes de construction seraient régies par les Documents Techniques Unifiés (DTU)Normes françaises qui définissent les conditions techniques d'exécution des ouvrages du bâtiment., notamment la série 20 pour la maçonnerie et la série 31 pour la charpente.

Formule(s)

On part de la définition de la tangente pour isoler la hauteur du pignon, qui est le côté opposé à l'angle \(\alpha\).

\[ H_{\text{pignon}} = \left(\frac{L}{2}\right) \times \tan(\alpha) \]
Hypothèses

Pour ce calcul, on admet que :

  • La base du mur est parfaitement horizontale.
  • Le faîtage est parfaitement centré, divisant le pignon en deux triangles rectangles identiques.
  • Les angles sont précis et les murs parfaitement droits.
Donnée(s)

On reprend les chiffres de l'énoncé.

  • Largeur totale (\(L\)) = 8.00 m
  • Angle de la toiture (\(\alpha\)) = 35°
Astuces

Avant tout calcul trigonométrique, vérifiez que votre calculatrice est bien en mode "Degrés" (DEG) et non en "Radians" (RAD) ou "Grades" (GRAD). C'est l'une des erreurs les plus courantes !

Schéma (Avant les calculs)
Triangle rectangle à résoudre
Adjacent = L/2 = 4.00 mOpposé = H_pignon (?)Hypoténuse35°
Calcul(s)

On déroule l'application numérique étape par étape.

Étape 1 : Calcul du côté adjacent (demi-portée)

\[ \begin{aligned} \text{Côté Adjacent} &= \frac{8.00 \text{ m}}{2} \\ &= 4.00 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Application de la formule et résultat

\[ \begin{aligned} H_{\text{pignon}} &= 4.00 \text{ m} \times \tan(35^\circ) \\ &\approx 4.00 \times 0.7002 \\ &\approx 2.80 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Triangle rectangle résolu
4.00 m2.80 m35°
Réflexions

Une hauteur de pignon de 2.80 m pour une demi-portée de 4.00 m correspond à une pente de 70% (\(2.80 / 4.00\)). C'est une pente courante pour les toitures en tuiles, assurant un bon écoulement des eaux de pluie. Ce résultat est donc cohérent.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'utiliser la largeur totale (8.00 m) dans le calcul au lieu de la demi-largeur (4.00 m). Le triangle rectangle ne concerne que la moitié du pignon.

Points à retenir

Pour trouver un côté d'un triangle rectangle à partir d'un angle et d'un autre côté, la trigonométrie (sin, cos, tan) est votre meilleure alliée. Retenez l'acronyme SOH CAH TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.

Le saviez-vous ?

Le mot "pignon" vient du latin "pinnio", qui désignait les créneaux d'une forteresse. Par analogie de forme, le terme a été appliqué à la partie triangulaire des murs, qui "crénelle" le ciel.

FAQ
Pourquoi ne pas utiliser le sinus ou le cosinus ?

Nous aurions pu, mais cela aurait nécessité de calculer d'abord l'hypoténuse (l'arbalétrier). La tangente est la fonction la plus directe car elle relie les deux longueurs que nous connaissons (ou cherchons) : le côté adjacent (connu) et le côté opposé (recherché).

Résultat Final

La hauteur de la partie triangulaire du mur est donc d'environ 2.80 mètres.

\[ H_{\text{pignon}} \approx 2.80 \text{ m} \]
A vous de jouer

Si la pente du toit était de 45°, quelle serait la hauteur du pignon pour la même largeur de 8m ?

Question 2 : En déduire la hauteur totale du mur (\(H_{\text{total}}\))

Principe

La hauteur totale du mur au faîtageLigne de rencontre haute des deux versants d'une toiture. C'est le point le plus élevé du toit. est une simple addition. C'est la somme de la hauteur de la partie droite du mur (partie rectangulaire) et de la hauteur du pignon (partie triangulaire) que nous venons de calculer.

Mini-Cours

En lecture de plan et en construction, les cotes sont souvent décomposées. On additionne des cotes partielles (hauteur sous plafond, épaisseur de plancher, hauteur de pignon) pour obtenir une cote totale. Cette méthode de "cumul de cotes" permet de vérifier chaque étape de la construction.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de bien identifier sur le plan à quoi correspond chaque cote. La hauteur \(H_{\text{mur}}\) est généralement la hauteur "finie" du mur droit, avant que la charpente ne soit posée. La hauteur totale est une information clé, notamment pour les règles d'urbanisme.

Normes

La hauteur totale d'une construction est une donnée réglementée par le Plan Local d'Urbanisme (PLU) de chaque commune. Le calcul précis de \(H_{\text{total}}\) est donc une obligation légale pour obtenir le permis de construire.

Formule(s)

L'outil mathématique est l'addition.

\[ H_{\text{total}} = H_{\text{mur}} + H_{\text{pignon}} \]
Hypothèses

On suppose que la cote \(H_{\text{mur}}\) est prise à partir du même niveau de référence que la base du pignon, ce qui est la pratique standard sur un chantier.

Donnée(s)

On utilise le résultat précédent et les données de l'énoncé.

  • Hauteur du mur droit, \(H_{\text{mur}}\) = 2.50 m
  • Hauteur du pignon, \(H_{\text{pignon}}\) ≈ 2.80 m
Astuces

Pour éviter les erreurs d'arrondi, il est conseillé de garder en mémoire de la calculatrice la valeur la plus précise possible de \(H_{\text{pignon}}\) pour ce calcul, même si on l'écrit avec deux décimales.

Schéma (Avant les calculs)
Composition de la hauteur totale
H_pignonH_mur2.50m2.80m
Calcul(s)

On effectue la simple addition.

\[ \begin{aligned} H_{\text{total}} &= 2.50 \text{ m} + 2.80 \text{ m} \\ &= 5.30 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Hauteur totale au faîtage
H_total = 5.30 m
Réflexions

Une hauteur de 5.30 m est une hauteur très classique pour une maison individuelle simple. Cette cote sera utilisée par le maçon pour monter le mur pignon et par le charpentier pour positionner la poutre de faîtage.

Points de vigilance

Assurez-vous que les unités sont cohérentes. Si une cote est en centimètres et l'autre en mètres, une conversion est nécessaire avant l'addition. Ici, tout est en mètres, donc le calcul est direct.

Points à retenir

La résolution de problèmes complexes en BTP passe souvent par leur décomposition en étapes simples. Ici : 1. Calculer une partie (le triangle). 2. L'additionner à une autre partie (le rectangle). C'est une méthode universelle.

Le saviez-vous ?

Le faîtage n'est pas qu'une simple ligne de rencontre. Il doit assurer l'étanchéité et la ventilation de la toiture. On y installe des tuiles spéciales appelées "faîtières" et souvent un "closoir" ventilé pour permettre à la charpente de respirer.

FAQ
Cette hauteur inclut-elle l'épaisseur de la toiture (tuiles, etc.) ?

Non. En général, la hauteur calculée ici est la hauteur "hors-tout" de la structure du mur. L'épaisseur de la couverture (chevrons, liteaux, tuiles) viendra se rajouter au-dessus de cette cote.

Résultat Final

La hauteur totale du bâtiment au point le plus haut de la toiture est de 5.30 mètres.

\[ H_{\text{total}} = 5.30 \text{ m} \]
A vous de jouer

Avec \(H_{\text{pignon}} = 2.80\) m, si la hauteur des murs droits (\(H_{\text{mur}}\)) était de 3.00 m, quelle serait la hauteur totale ?

Question 3 : Calculer la longueur de l'arbalétrier

Principe

L'arbalétrierPièce de charpente inclinée qui supporte la couverture. Sa longueur correspond à la pente du toit. (le rampant) est l'hypoténuseLe côté le plus long d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit. du triangle rectangle que nous avons étudié. Connaissant la longueur des deux autres côtés (la demi-portée et la hauteur du pignon), le théorème de PythagoreDans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. nous donne directement sa longueur.

Mini-Cours

Le théorème de Pythagore est une pierre angulaire de la géométrie. Il énonce que dans un triangle rectangle, la somme des aires des carrés construits sur les deux côtés de l'angle droit est égale à l'aire du carré construit sur l'hypoténuse. C'est une relation fondamentale en menuiserie et charpente, connue depuis l'antiquité.

Remarque Pédagogique

Bien que nous puissions aussi utiliser le cosinus ou le sinus pour trouver l'hypoténuse, utiliser Pythagore est une excellente manière de vérifier la cohérence de notre calcul précédent de \(H_{\text{pignon}}\). Si le résultat est logique, nos deux calculs (trigonométrie et Pythagore) se valident mutuellement.

Normes

La longueur de l'arbalétrier est une donnée d'entrée pour le dimensionnement de sa section en bois, qui est calculée selon les règles des EurocodesEnsemble de normes européennes de calcul de dimensionnement des structures du bâtiment. (notamment l'Eurocode 5 pour les structures en bois), en prenant en compte le poids de la couverture, la neige et le vent.

Formule(s)

La formule découle directement du théorème de Pythagore : \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).

\[ \text{Arbalétrier} = \sqrt{\left(\frac{L}{2}\right)^2 + (H_{\text{pignon}})^2} \]
Hypothèses

On suppose que l'arbalétrier est une ligne droite parfaite, sans prendre en compte les assemblages ou les légères flexions du bois.

Donnée(s)

On se base sur les résultats et données des questions précédentes.

  • Demi-portée (\(L/2\)) = 4.00 m
  • Hauteur du pignon (\(H_{\text{pignon}}\)) ≈ 2.80 m
Astuces

Une autre façon de trouver le résultat est d'utiliser le cosinus : \(\begin{aligned} \text{Arbalétrier} &= \frac{\text{Adjacent}}{\cos(\alpha)} \\ &= \frac{4.00}{\cos(35^\circ)} \end{aligned}\). Faire le calcul des deux manières (Pythagore et cosinus) est une méthode de vérification professionnelle.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul de l'hypoténuse
a = 4.00 mb = 2.80 mc = ?
Calcul(s)

On applique le théorème de Pythagore.

Étape 1 : Application du théorème

\[ \begin{aligned} \text{Arbalétrier}^2 &= (4.00)^2 + (2.80)^2 \\ &= 16 + 7.84 \\ &= 23.84 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la longueur

\[ \begin{aligned} \text{Arbalétrier} &= \sqrt{23.84} \\ &\approx 4.88 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Dimensions finales du triangle
4.00 m2.80 m4.88 m
Réflexions

La longueur de l'arbalétrier (4.88 m) est logiquement supérieure à celle des deux autres côtés (4.00 m et 2.80 m), comme attendu pour une hypoténuse. Cette longueur est la cote de "débit" minimale pour commander le bois de charpente.

Points de vigilance

N'oubliez pas de prendre la racine carrée à la fin ! Une erreur fréquente est de s'arrêter au résultat de \(c^2\) (23.84) au lieu de calculer \(c\).

Points à retenir

Le théorème de Pythagore (\(a^2 + b^2 = c^2\)) est un outil fondamental pour passer des dimensions horizontales et verticales à une dimension en pente (ou diagonale), et vice-versa.

Le saviez-vous ?

La "corde à 13 nœuds" des bâtisseurs égyptiens était un outil basé sur le principe de Pythagore. En formant un triangle de côtés 3, 4 et 5 (car \(3^2+4^2=5^2\)), ils pouvaient créer un angle droit parfait pour la construction des pyramides, des milliers d'années avant que Pythagore ne formalise le théorème.

FAQ
Le résultat de 4.88 m est-il la longueur exacte du bois à commander ?

Non. C'est la longueur géométrique. En pratique, le charpentier ajoutera les longueurs nécessaires pour les débords de toiture au niveau de la gouttière et pour les assemblages au niveau du faîtage.

Résultat Final

La longueur de chaque rampant de la toiture (arbalétrier) est d'environ 4.88 mètres.

\[ \text{Longueur de l'arbalétrier} \approx 4.88 \text{ m} \]
A vous de jouer

Si la demi-portée est de 3m et la hauteur du pignon de 2m, quelle serait la longueur de l'arbalétrier ?

Outil Interactif : Simulateur de Pignon

Utilisez les curseurs ci-dessous pour voir comment la hauteur du pignon et la longueur de l'arbalétrier changent en fonction de la largeur du bâtiment et de la pente du toit.

Paramètres d'Entrée
8.0 m
35 °
Résultats Clés
Hauteur du Pignon (m) -
Longueur Arbalétrier (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la pente du toit (l'angle \(\alpha\)) tout en gardant la même largeur de bâtiment, que se passe-t-il ?

2. Quel théorème mathématique est indispensable pour calculer la longueur de l'arbalétrier une fois que l'on connaît la hauteur du pignon ?

Pignon
Partie supérieure triangulaire du mur d'un bâtiment qui supporte les versants d'une toiture à deux pentes.
Faîtage
Ligne de rencontre haute des deux versants d'une toiture. C'est le point le plus élevé du toit.
Arbalétrier (ou rampant)
Pièce de charpente inclinée qui supporte la couverture (tuiles, ardoises...). Sa longueur correspond à la pente du toit.
Portée (ou largeur)
Distance horizontale entre les deux murs porteurs qui soutiennent la charpente.
Exercice : Calcul de la Hauteur d’un Mur Pignon

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