Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Fréquence Sonore dans une Salle

Calcul de la Fréquence Sonore dans une Salle en Acoustique

Calcul des Fréquences Propres d'une Salle

Comprendre les Fréquences Propres (Modes Propres)

Les fréquences propres, ou modes propres, d'une salle sont les fréquences auxquelles le son a tendance à résonner naturellement. Ces résonances sont dues aux dimensions de la salle et aux réflexions des ondes sonores sur les parois. Lorsque la fréquence d'un son émis dans la salle coïncide avec une fréquence propre, l'intensité sonore à cette fréquence peut être considérablement amplifiée, conduisant à une réponse en fréquence inégale et à une coloration du son. Les modes axiaux, qui se forment entre deux parois parallèles, sont souvent les plus problématiques aux basses fréquences.

Cet exercice se concentre sur le calcul des premières fréquences des modes axiaux d'une salle parallélépipédique.

Données de l'étude

On étudie une petite salle d'écoute de forme parallélépipédique.

Dimensions de la salle et caractéristiques du milieu :

  • Longueur de la salle (\(L_x\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la salle (\(L_y\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la salle (\(L_z\)) : \(2.8 \, \text{m}\)
  • Célérité du son dans l'air (\(c\)) : \(340 \, \text{m/s}\)
Schéma de la Salle et des Modes Axiaux
{/* */} Salle d'Écoute {/* */} Lx = 5m Ly = 4m Lz = 2.8m {/* */} Mode axial (ex: \(f_{100}\))

Salle parallélépipédique et illustration schématique d'un mode axial.

Questions à traiter

  1. Calculer les fréquences des trois premiers modes axiaux pour la longueur \(L_x\) de la salle (\(f_{100}, f_{200}, f_{300}\)).
  2. Calculer les fréquences des trois premiers modes axiaux pour la largeur \(L_y\) de la salle (\(f_{010}, f_{020}, f_{030}\)).
  3. Calculer les fréquences des trois premiers modes axiaux pour la hauteur \(L_z\) de la salle (\(f_{001}, f_{002}, f_{003}\)).
  4. Identifier la fréquence du mode fondamental de la salle (le plus bas mode axial).
  5. Discuter brièvement de l'importance de connaître ces fréquences pour l'aménagement acoustique d'une salle d'écoute.

Correction : Calcul des Fréquences Propres d'une Salle

Question 1 : Modes axiaux selon la longueur \(L_x\)

Principe :

La fréquence d'un mode axial est donnée par \(f_{n,0,0} = \frac{n \cdot c}{2L_x}\), où \(n\) est l'ordre du mode (1, 2, 3,...), \(c\) est la célérité du son, et \(L_x\) est la dimension concernée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f_{n,0,0} = \frac{n \cdot c}{2L_x} \]
Données spécifiques :
  • Célérité du son (\(c\)) : \(340 \, \text{m/s}\)
  • Longueur (\(L_x\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
Calcul :

Pour \(n=1\) (\(f_{100}\)) :

\[ f_{100} = \frac{1 \times 340 \, \text{m/s}}{2 \times 5.0 \, \text{m}} = \frac{340}{10} = 34 \, \text{Hz} \]

Pour \(n=2\) (\(f_{200}\)) :

\[ f_{200} = \frac{2 \times 340 \, \text{m/s}}{2 \times 5.0 \, \text{m}} = \frac{680}{10} = 68 \, \text{Hz} \]

Pour \(n=3\) (\(f_{300}\)) :

\[ f_{300} = \frac{3 \times 340 \, \text{m/s}}{2 \times 5.0 \, \text{m}} = \frac{1020}{10} = 102 \, \text{Hz} \]
Résultat Question 1 :
\(f_{100} = 34 \, \text{Hz}\)
\(f_{200} = 68 \, \text{Hz}\)
\(f_{300} = 102 \, \text{Hz}\)

Question 2 : Modes axiaux selon la largeur \(L_y\)

Principe :

Similaire à la question 1, mais avec la dimension \(L_y\). \(f_{0,n,0} = \frac{n \cdot c}{2L_y}\).

Données spécifiques :
  • Célérité du son (\(c\)) : \(340 \, \text{m/s}\)
  • Largeur (\(L_y\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
Calcul :

Pour \(n=1\) (\(f_{010}\)) :

\[ f_{010} = \frac{1 \times 340 \, \text{m/s}}{2 \times 4.0 \, \text{m}} = \frac{340}{8} = 42.5 \, \text{Hz} \]

Pour \(n=2\) (\(f_{020}\)) :

\[ f_{020} = \frac{2 \times 340 \, \text{m/s}}{2 \times 4.0 \, \text{m}} = \frac{680}{8} = 85 \, \text{Hz} \]

Pour \(n=3\) (\(f_{030}\)) :

\[ f_{030} = \frac{3 \times 340 \, \text{m/s}}{2 \times 4.0 \, \text{m}} = \frac{1020}{8} = 127.5 \, \text{Hz} \]
Résultat Question 2 :
\(f_{010} = 42.5 \, \text{Hz}\)
\(f_{020} = 85 \, \text{Hz}\)
\(f_{030} = 127.5 \, \text{Hz}\)

Question 3 : Modes axiaux selon la hauteur \(L_z\)

Principe :

Similaire aux questions précédentes, mais avec la dimension \(L_z\). \(f_{0,0,n} = \frac{n \cdot c}{2L_z}\).

Données spécifiques :
  • Célérité du son (\(c\)) : \(340 \, \text{m/s}\)
  • Hauteur (\(L_z\)) : \(2.8 \, \text{m}\)
Calcul :

Pour \(n=1\) (\(f_{001}\)) :

\[ f_{001} = \frac{1 \times 340 \, \text{m/s}}{2 \times 2.8 \, \text{m}} = \frac{340}{5.6} \approx 60.71 \, \text{Hz} \]

Pour \(n=2\) (\(f_{002}\)) :

\[ f_{002} = \frac{2 \times 340 \, \text{m/s}}{2 \times 2.8 \, \text{m}} = \frac{680}{5.6} \approx 121.43 \, \text{Hz} \]

Pour \(n=3\) (\(f_{003}\)) :

\[ f_{003} = \frac{3 \times 340 \, \text{m/s}}{2 \times 2.8 \, \text{m}} = \frac{1020}{5.6} \approx 182.14 \, \text{Hz} \]
Résultat Question 3 :
\(f_{001} \approx 60.71 \, \text{Hz}\)
\(f_{002} \approx 121.43 \, \text{Hz}\)
\(f_{003} \approx 182.14 \, \text{Hz}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Le premier mode axial (n=1) correspond à une longueur d'onde égale à :

Question 4 : Fréquence du mode fondamental de la salle

Principe :

Le mode fondamental de la salle est la plus basse fréquence de résonance. Pour les modes axiaux, c'est la plus petite des fréquences \(f_{100}, f_{010}, f_{001}\).

Comparaison :
  • \(f_{100} = 34 \, \text{Hz}\)
  • \(f_{010} = 42.5 \, \text{Hz}\)
  • \(f_{001} \approx 60.71 \, \text{Hz}\)

La plus petite de ces fréquences est \(f_{100}\).

Résultat Question 4 : La fréquence du mode fondamental (axial) de la salle est \(f_{100} = 34 \, \text{Hz}\).

Question 5 : Importance des fréquences propres pour l'aménagement

Discussion :

La connaissance des fréquences propres est cruciale pour l'aménagement acoustique d'une salle d'écoute pour plusieurs raisons :

  • Réponse en fréquence inégale : Les modes propres créent des pics et des creux dans la réponse en fréquence de la salle. Certaines fréquences sont amplifiées (ventres de pression) tandis que d'autres sont atténuées (nœuds de pression) à différents endroits de la pièce. Cela conduit à une reproduction sonore non fidèle.
  • Coloration du son : Les résonances peuvent "colorer" le son, en accentuant certaines notes ou composantes spectrales, ce qui altère le timbre des instruments ou des voix.
  • Temps de réverbération excessif aux basses fréquences : Les modes axiaux, en particulier, sont prédominants aux basses fréquences et peuvent contribuer à un temps de réverbération long et "traînant" dans ces fréquences, rendant le son boueux ou confus.
  • Positionnement des auditeurs et des enceintes : Connaître les modes permet d'éviter de placer les auditeurs ou les enceintes dans des zones de forte accumulation modale (ventres) ou d'annulation (nœuds) pour les fréquences critiques.
  • Conception du traitement acoustique : Des traitements acoustiques spécifiques (comme les absorbeurs de Helmholtz, les panneaux poreux épais, les bass traps) peuvent être conçus et placés stratégiquement pour atténuer l'énergie des modes problématiques et obtenir une réponse acoustique plus neutre et équilibrée.

Pour une salle d'écoute, on cherche généralement à avoir une distribution des modes aussi uniforme que possible et à contrôler leur amplitude pour éviter une coloration excessive et assurer une bonne clarté.

Résultat Question 5 : La connaissance des fréquences propres permet d'anticiper les problèmes acoustiques (réponse inégale, coloration) et de guider le positionnement des éléments et le traitement acoustique pour optimiser la qualité sonore.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Les modes axiaux dans une salle parallélépipédique se forment :

2. Si la longueur d'une salle double, la fréquence de son premier mode axial (\(f_{100}\)) :

3. Les modes propres sont plus problématiques aux :

Glossaire

Fréquence Propre (Mode Propre)
Fréquence à laquelle un système (comme une salle) oscille naturellement avec une amplitude maximale lorsqu'il est excité. Dans une salle, cela correspond à des ondes stationnaires.
Mode Axial
Mode propre d'une salle parallélépipédique impliquant des réflexions entre deux parois parallèles opposées (ex: \(f_{n00}\) entre les murs de longueur \(L_x\)).
Mode Tangentiel
Mode propre impliquant des réflexions sur quatre parois (ex: \(f_{nm0}\)).
Mode Oblique
Mode propre impliquant des réflexions sur les six parois de la salle (ex: \(f_{nmp}\)).
Célérité du Son (\(c\))
Vitesse de propagation de l'onde sonore dans un milieu. Dans l'air à 20°C, \(c \approx 343 \, \text{m/s}\).
Onde Stationnaire
Onde résultant de la superposition d'une onde incidente et de son onde réfléchie, caractérisée par des points fixes d'amplitude nulle (nœuds) et d'amplitude maximale (ventres).
Calcul de la Fréquence Sonore dans une Salle en Acoustique - Exercice d'Application

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