Effet de la Distance sur l’Intensité Sonore
Comprendre l’effet de la distance sur l’intensité sonore
Un haut-parleur diffuse un son à intensité constante. On mesure, à 1 mètre de la source, un niveau d’intensité sonore (NIS) de 90 dB. On vous donne également les informations suivantes :
- Seuil d’audibilité :
\( I_0 = 10^{-12}\, \text{W/m}^2 \) - Relation entre intensité sonore et distance :
La loi de l’inverse du carré s’exprime par
\[
I \propto \frac{1}{d^2}
\] - Formule du Niveau d’Intensité Sonore (NIS) :
\[
\text{NIS} = 10 \times \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) \quad \text{(en dB)}
\]

Questions :
1. Calcul de l’intensité sonore à 2 mètres :
- Déterminez l’intensité \( I_1 \) à 1 mètre à partir du niveau de 90 dB.
- Utilisez la loi de l’inverse du carré pour calculer l’intensité \( I_2 \) à 2 mètres.
- Calculez ensuite le niveau sonore en dB correspondant à \( I_2 \).
2. Détermination de la distance pour obtenir 70 dB :
- Trouvez l’intensité sonore \( I_d \) correspondant à un niveau de 70 dB.
- À l’aide de la relation \( I \propto 1/d^2 \) et des données connues à 1 mètre, calculez la distance \( d \) à laquelle le niveau sonore sera de 70 dB.
Instructions :
Justifiez chacune des étapes en substituant les valeurs numériques dans les formules. Présentez vos calculs de manière détaillée et structurée pour démontrer l’impact de la distance sur l’intensité sonore.
Correction : effet de la distance sur l’intensité sonore
Partie 1 : Calculer l’intensité sonore à 2 mètres de distance
Étape 1 : Détermination de l’intensité à 1 mètre
À 1 mètre, le niveau d’intensité sonore est donné par :
\[ NIS_1 = 10 \times \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_0}\right) = 90\, \text{dB}. \]
Isolons \( I_1 \) :
1. Diviser par 10 :
\[ \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_0}\right) = \frac{90}{10} = 9. \]
2. Passer à l’exponentielle (base 10) :
\[ \frac{I_1}{I_0} = 10^9. \]
3. En multipliant par \( I_0 \) :
\[ I_1 = I_0 \times 10^9 \] \[ I_1 = 10^{-12}\,\text{W/m}^2 \times 10^9 \] \[ I_1 = 10^{-3}\,\text{W/m}^2. \]
Étape 2 : Calcul de l’intensité à 2 mètres
D’après la loi de l’inverse du carré :
\[ I(d) = I_1 \times \left(\frac{1}{d^2}\right). \]
Pour \( d = 2\, \text{m} \) :
\[ I_2 = I_1 \times \left(\frac{1}{2^2}\right) = I_1 \times \frac{1}{4}. \]
En substituant \( I_1 = 10^{-3}\,\text{W/m}^2 \) :
\[ I_2 = \frac{10^{-3}}{4} = 2.5 \times 10^{-4}\,\text{W/m}^2. \]
Étape 3 : Calcul du niveau d’intensité sonore à 2 mètres
Utilisons la formule du NIS :
\[ NIS_2 = 10 \times \log_{10}\left(\frac{I_2}{I_0}\right). \]
Substituons \( I_2 = 2.5 \times 10^{-4}\,\text{W/m}^2 \) et \( I_0 = 10^{-12}\,\text{W/m}^2 \) :
\[ NIS_2 = 10 \times \log_{10}\left(\frac{2.5 \times 10^{-4}}{10^{-12}}\right) \] \[ NIS_2 = 10 \times \log_{10}\left(2.5 \times 10^8\right). \]
On sépare le logarithme en deux parties :
\[ \log_{10}\left(2.5 \times 10^8\right) = \log_{10}(2.5) + \log_{10}(10^8) \] \[ = \log_{10}(2.5) + 8. \]
En utilisant \( \log_{10}(2.5) \approx 0.39794 \) :
\[ NIS_2 \approx 10 \times (0.39794 + 8) \] \[ NIS_2 = 10 \times 8.39794 \] \[ NIS_2 \approx 83.98\, \text{dB}. \]
Conclusion Partie 1 :
À 2 mètres, le niveau d’intensité sonore est d’environ 84 dB.
Partie 2 : Calculer la distance pour obtenir 70 dB
Étape 1 : Détermination de l’intensité correspondant à 70 dB
Utilisons la formule du NIS pour \( NIS = 70\, \text{dB} \) :
\[ 70 = 10 \times \log_{10}\left(\frac{I_d}{I_0}\right). \]
Isolons \( I_d \) :
1. Diviser par 10 :
\[ \log_{10}\left(\frac{I_d}{I_0}\right) = 7. \]
2. Exponentiation :
\[ \frac{I_d}{I_0} = 10^7. \]
3. En multipliant par \( I_0 \) :
\[ I_d = I_0 \times 10^7 \] \[ I_d = 10^{-12}\,\text{W/m}^2 \times 10^7 \] \[ I_d = 10^{-5}\,\text{W/m}^2. \]
Étape 2 : Calcul de la distance correspondante
Nous connaissons déjà \( I_1 = 10^{-3}\,\text{W/m}^2 \) à \( d_1 = 1\, \text{m} \).
La loi de l’inverse du carré nous donne :
\[ \frac{I_d}{I_1} = \left(\frac{d_1}{d}\right)^2. \]
Substituons les valeurs :
\[ \frac{10^{-5}}{10^{-3}} = \left(\frac{1}{d}\right)^2 \quad \Longrightarrow \quad 10^{-2} = \frac{1}{d^2}. \]
En inversant :
\[ d^2 = \frac{1}{10^{-2}} = 100. \]
Donc :
\[ d = \sqrt{100} = 10\, \text{m}. \]
Conclusion Partie 2 :
Pour obtenir un niveau d’intensité sonore de 70 dB, il faut se placer à 10 mètres du haut-parleur.
Effet de la distance sur l’intensité sonore
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