Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Force de Traînée

Calcul de la Force de Traînée en Hydraulique

Comprendre la Force de Traînée

Lorsqu'un fluide (comme l'eau ou l'air) s'écoule autour d'un objet solide, ou lorsqu'un objet se déplace à travers un fluide, une force de résistance s'oppose à ce mouvement : c'est la force de traînée (\(F_D\)). Cette force est due à la combinaison des forces de frottement visqueux sur la surface de l'objet et des différences de pression créées par la forme de l'objet et la perturbation de l'écoulement. Le calcul de la force de traînée est essentiel dans de nombreux domaines de l'ingénierie, comme l'aérodynamique (avions, voitures), l'hydrodynamique (navires, structures offshore), et la conception de conduites ou de canaux où des objets peuvent être présents.

Données de l'étude

On souhaite calculer la force de traînée exercée par un courant d'eau sur une bouée sphérique ancrée.

Caractéristiques de la bouée et de l'écoulement :

  • Forme de la bouée : Sphérique
  • Diamètre de la bouée (\(D\)) : \(0.5 \, \text{m}\)
  • Vitesse du courant d'eau (\(v\)) : \(1.2 \, \text{m/s}\)
  • Fluide : Eau à \(15 \, ^\circ\text{C}\)
    • Masse volumique (\(\rho\)) : \(999.1 \, \text{kg/m}^3\)
    • Viscosité cinématique (\(\nu\)) : \(1.139 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • Coefficient de traînée pour une sphère (\(C_D\)) : \(0.47\) (supposé constant pour le régime d'écoulement considéré)
Schéma : Force de Traînée sur une Sphère
Écoulement (v) Bouée (D) F_D Force de Traînée

Illustration d'une sphère immergée dans un écoulement de fluide, subissant une force de traînée.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire frontale (ou aire projetée, \(A_f\)) de la sphère.
  2. Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\)) pour l'écoulement autour de la sphère.
  3. Calculer la force de traînée (\(F_D\)) exercée par l'eau sur la sphère.
  4. Si la vitesse de l'eau doublait (\(v' = 2v\)), quel serait l'impact sur la force de traînée (en supposant que \(C_D\) reste constant) ?

Correction : Calcul de la Force de Traînée

Question 1 : Aire frontale (\(A_f\)) de la sphère

Principe :

L'aire frontale (ou aire projetée) d'un objet est l'aire de sa section transversale perpendiculaire à la direction de l'écoulement du fluide. Pour une sphère de diamètre \(D\), cette aire projetée est celle d'un cercle de même diamètre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_f = \frac{\pi D^2}{4}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre de la bouée (\(D\)) : \(0.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_f &= \frac{\pi \times (0.5 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.25 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx \frac{3.14159 \times 0.25 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx \frac{0.7853975 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.1963 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire frontale de la sphère est \(A_f \approx 0.196 \, \text{m}^2\).

Question 2 : Nombre de Reynolds (\(Re\))

Principe :

Le nombre de Reynolds (\(Re\)) est un nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement (laminaire ou turbulent) autour de l'objet. Il est calculé en utilisant la vitesse du fluide (\(v\)), une dimension caractéristique de l'objet (ici, le diamètre \(D\) de la sphère), et la viscosité cinématique du fluide (\(\nu\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Re = \frac{v \cdot D}{\nu}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse du courant (\(v\)) : \(1.2 \, \text{m/s}\)
  • Diamètre de la bouée (\(D\)) : \(0.5 \, \text{m}\)
  • Viscosité cinématique de l'eau (\(\nu\)) : \(1.139 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.2 \, \text{m/s} \times 0.5 \, \text{m}}{1.139 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &= \frac{0.6 \, \text{m}^2/\text{s}}{1.139 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &\approx 526777.87 \\ &\approx 5.27 \times 10^5 \end{aligned} \]

Pour une sphère, un \(Re\) de cet ordre de grandeur indique un écoulement turbulent dans le sillage.

Résultat Question 2 : Le nombre de Reynolds est \(Re \approx 5.27 \times 10^5\).

Question 3 : Force de traînée (\(F_D\))

Principe :

La force de traînée (\(F_D\)) est la force de résistance exercée par le fluide sur l'objet. Elle est calculée à l'aide de la formule de la traînée, qui fait intervenir la masse volumique du fluide (\(\rho\)), la vitesse du fluide (\(v\)), l'aire frontale de l'objet (\(A_f\)), et le coefficient de traînée (\(C_D\)). Ce coefficient \(C_D\) est un nombre sans dimension qui dépend de la forme de l'objet et du nombre de Reynolds.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_D = \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A_f\]

Unités : \(F_D\) en Newtons (N), \(\rho\) en \(\text{kg/m}^3\), \(v\) en \(\text{m/s}\), \(A_f\) en \(\text{m}^2\), \(C_D\) sans dimension.

Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(999.1 \, \text{kg/m}^3\)
  • Vitesse du courant (\(v\)) : \(1.2 \, \text{m/s}\)
  • Coefficient de traînée (\(C_D\)) : \(0.47\)
  • Aire frontale (\(A_f\)) : \(\approx 0.1963 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_D &= \frac{1}{2} \times 999.1 \, \text{kg/m}^3 \times (1.2 \, \text{m/s})^2 \times 0.47 \times 0.1963 \, \text{m}^2 \\ &= 0.5 \times 999.1 \times 1.44 \times 0.47 \times 0.1963 \, \text{N} \\ &= 499.55 \times 1.44 \times 0.092261 \, \text{N} \\ &\approx 499.55 \times 0.13285584 \, \text{N} \\ &\approx 66.37 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La force de traînée exercée sur la bouée est \(F_D \approx 66.4 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le coefficient de traînée \(C_D\) d'un objet diminue, la force de traînée (autres paramètres constants) :

Question 4 : Impact d'un doublement de la vitesse

Principe :

La force de traînée est proportionnelle au carré de la vitesse (\(v^2\)). Si la vitesse double, et que les autres facteurs (masse volumique, \(C_D\), aire frontale) restent constants, la force de traînée sera multipliée par \(2^2 = 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_D' = \frac{1}{2} \rho (2v)^2 C_D A_f = \frac{1}{2} \rho (4v^2) C_D A_f = 4 \times \left(\frac{1}{2} \rho v^2 C_D A_f\right) = 4 F_D\]
Données spécifiques :
  • Force de traînée initiale (\(F_D\)) : \(\approx 66.37 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_D' &= 4 \times 66.37 \, \text{N} \\ &\approx 265.48 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Si la vitesse de l'eau double, la force de traînée serait multipliée par 4, devenant environ \(F_D' \approx 265.5 \, \text{N}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La force de traînée sur un objet immergé dépend :

2. Le coefficient de traînée (\(C_D\)) d'une sphère :

3. Si la masse volumique du fluide augmente, la force de traînée (autres paramètres constants) :

Glossaire

Force de Traînée (\(F_D\))
Force de résistance exercée par un fluide sur un objet en mouvement relatif par rapport à ce fluide, ou sur un objet stationnaire dans un écoulement de fluide. Elle s'oppose au mouvement.
Coefficient de Traînée (\(C_D\))
Nombre sans dimension qui caractérise la résistance aérodynamique ou hydrodynamique d'un objet dans un fluide. Il dépend de la forme de l'objet et du nombre de Reynolds.
Aire Frontale (ou Aire Projetée, \(A_f\))
Aire de la projection de l'objet sur un plan perpendiculaire à la direction de l'écoulement du fluide.
Masse Volumique (\(\rho\))
Masse d'un fluide par unité de volume. Unité SI : \(\text{kg/m}^3\).
Vitesse du Fluide (\(v\))
Vitesse relative entre le fluide et l'objet. Unité SI : \(\text{m/s}\).
Nombre de Reynolds (\(Re\))
Nombre sans dimension qui caractérise le type d'écoulement d'un fluide (laminaire, transitoire, turbulent). Il est défini comme \(Re = \frac{vL}{\nu}\), où \(L\) est une longueur caractéristique et \(\nu\) la viscosité cinématique.
Viscosité Cinématique (\(\nu\))
Rapport de la viscosité dynamique à la masse volumique du fluide. Unité SI : \(\text{m}^2/\text{s}\).
Calcul de la Force de Traînée en Hydraulique - Exercice d'Application

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