Calcul de la force de précontrainte
📝 Situation du Projet
Le projet concerne la construction d'un ouvrage d'art de franchissement stratégique sur la route départementale D902, axe vital desservant les stations de haute altitude (Tignes, Val d'Isère). Le franchissement du vallon du Nant nécessite un ouvrage robuste, durable et rapide à mettre en œuvre pour limiter l'impact sur le trafic touristique estival.
La solution technique retenue est un Pont VIPP (Viaduc à Travées Indépendantes à Poutres Précontraintes). Ce choix structurel est particulièrement pertinent pour les franchissements de brèches moyennes (30 à 45m) où l'étaiement au sol est impossible ou trop coûteux. Le tablier est constitué de poutres en béton préfabriquées en usine ou sur une aire de préfabrication proche du site, ce qui garantit une maîtrise parfaite de la qualité du béton (C45/55) et des conditions de mise en précontrainte. Ces poutres sont ensuite lancées ou levées à la grue, puis solidarisées par un hourdis coulé en place.
En tant qu'Ingénieur au sein du Bureau d'Études Techniques (BET), vous intervenez en phase PRO (Projet) pour valider le prédimensionnement des câbles de précontrainte. Votre objectif est double : assurer la sécurité structurale et garantir la durabilité de l'ouvrage.
Concrètement, vous devez déterminer la force de précontrainte initiale P0 nécessaire pour satisfaire les critères de l'Eurocode 2, notamment la limitation de la traction en fibre inférieure (Classe 2). Une précontrainte insuffisante entraînerait une fissuration précoce du béton sous les charges de trafic, exposant les aciers à la corrosion et réduisant drastiquement la durée de vie du pont (fixée à 100 ans). À l'issue de cette étude, vous devrez définir le "câblage" précis (nombre et type de torons) à mettre en œuvre sur chantier.
- Localisation
Séez (73) - Route des Grandes Alpes - Maître d'Ouvrage
Conseil Départemental de la Savoie - Type d'Ouvrage
Pont à Poutres Précontraintes (VIPP) - Durée de Service
Catégorie 4 (100 ans) - Trafic
Classe 1 (Trafic lourd important)
"Attention, nous sommes en Classe 2 (Précontrainte limitée). Cela signifie que nous tolérons des tractions dans le béton sous les charges rares, mais que nous exigeons une décompression totale (aucune traction) sous la combinaison quasi-permanente des charges. C'est ce critère précis qui va dimensionner ta quantité de câbles."
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif, matériel et géométrique du projet. Ces données sont extraites du CCTP (Cahier des Clauses Techniques Particulières) et des normes Eurocodes en vigueur.
📚 Référentiel Normatif & Réglementaire
Le calcul doit impérativement respecter la hiérarchie des normes européennes :
- NF EN 1990 (Eurocode 0) : Bases de calcul des structures. Définit les combinaisons d'actions (ELU, ELS Caractéristique, Fréquente, Quasi-permanente).
- NF EN 1991-2 (Eurocode 1 - Partie 2) : Actions sur les ponts (Trafic). Définit les modèles de charges routières (LM1 avec tandems et charges réparties UDL).
- NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) : Règles générales pour le béton armé et précontraint.
- NF EN 1992-2 (Eurocode 2 - Partie Ponts) : Règles spécifiques aux ouvrages d'art (enrobages, durabilité, classes de vérification).
[Art. 3.2] BÉTON DE STRUCTURE
Classe de résistance : C45/55 (fck = 45 MPa).
Justification : Béton haute performance nécessaire pour supporter les fortes contraintes de compression à la mise en tension des câbles.
[Art. 3.4] ACIERS DE PRÉCONTRAINTE
Type : Torons T15S (Super) 7 fils.
Classe : 1860 TBR (Très Basse Relaxation).
Section nominale d'un toron : 150 mm².
Justification : La classe TBR est cruciale pour limiter les pertes de force différées dans le temps (fluage/relaxation).
[Art. 4.1] HYPOTHÈSES DE PERTES
Pour le prédimensionnement en phase PRO, le bureau d'études adoptera les valeurs forfaitaires suivantes :
- Pertes instantanées (frottements, recul d'ancrage, raccourcissement) : 10%.
- Pertes différées (retrait du béton, fluage, relaxation de l'acier) : 15%.
La poutre est de type "T inversé" ou "I asymétrique". Cette forme est optimisée pour la flexion : le large talon inférieur permet de loger les nombreux câbles de précontrainte (là où la traction est maximale), tandis que l'âme fine allège la structure.
| SECTION TRANSVERSALE À MI-TRAVÉE | |
| Aire de la section (\(B\)) | 0.75 m² |
| Moment d'Inertie (\(I\)) | 0.28 m⁴ |
| Hauteur totale (\(h\)) | 1.50 m |
| FIBRES EXTRÊMES & MODULES | |
| Dist. Fibre Supérieure (\(v\)) | 0.65 m (CDG proche du haut) |
| Dist. Fibre Inférieure (\(v'\)) | 0.85 m (Fibre la plus sollicitée) |
📐 Géométrie Globale & Hypothèses de Calcul
Pour cet exercice, nous isolons une poutre intermédiaire représentative.
- Portée de calcul (\(L\)): 30.00 m (Distance entre appareils d'appui).
- Excentricité du câble à mi-travée (\(e_0\)): 0.70 m.
Note : Le câble est placé le plus bas possible (en respectant l'enrobage) pour maximiser le bras de levier. - Rendement géométrique (\(\rho\)): ~ 0.51. Indicateur de l'efficacité de la section.
⚖️ Chargements (Valeurs ELS Caractéristiques)
Charges ramenées à une seule poutre (après répartition transversale par entretoises ou hourdis) :
Densité BA = 25 kN/m³ 18.75 kN/m
Superstructures : Corniches, écrans, étanchéité, chaussée 6.50 kN/m
Système AL (Tandem + UDL) simplifié pour l'exercice 25.00 kN/m
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Moment d'inertie | \(I\) | 0.28 | m⁴ |
| Fibre inf. | \(v'\) | 0.85 | m |
E. Protocole de Résolution
Voici la méthodologie séquentielle recommandée pour mener à bien cette étude de précontrainte.
Calcul des Sollicitations
Déterminer le Moment fléchissant maximum à mi-travée sous la combinaison ELS Quasi-Permanente (G + 0.3Q).
Critère de Contrainte
Établir l'inéquation de non-traction en fibre inférieure selon la théorie des poutres (Navier-Bernoulli).
Calcul de la Force P
Résoudre l'inéquation pour trouver la force de précontrainte minimale requise (après pertes).
Détermination du Câblage
Calculer le nombre de torons/câbles nécessaires en tenant compte des caractéristiques de l'acier et des pertes.
Calcul de la force de précontrainte
🎯 Objectif
L'objectif fondamental de cette première étape est de quantifier l'effort maximal de flexion que la structure subira en service courant. En béton précontraint, et particulièrement pour la Classe 2 (précontrainte limitée), le critère dimensionnant est souvent la "non-décompression" ou la limitation de la traction sous une combinaison fréquente ou quasi-permanente de charges. Concrètement, nous cherchons la valeur du moment fléchissant qui "tire" le plus sur le bas de la poutre pour dimensionner la contre-force nécessaire.
📚 Référentiel
EN 1990 (Bases de Calcul)EN 1991-2 (Charges Trafic)Imaginez la poutre comme une règle flexible posée sur deux appuis. Sous son propre poids (\(g\)), celui des équipements (\(g'\)) et celui des véhicules (\(q\)), elle fléchit vers le bas. Cette flexion crée de la compression en haut et de la traction en bas. C'est cette traction en fibre inférieure qui est notre ennemie, car le béton ne la supporte pas. Nous devons calculer le moment maximum généré par ces charges pour savoir "combien" il faut comprimer le béton en retour. Nous utiliserons la combinaison caractéristique rare (\(p_{\text{ser}} = g + g' + q\)) pour être du côté de la sécurité maximale dans cet exercice, bien que les Eurocodes permettent parfois des pondérations (\(\psi\)) sur les charges d'exploitation pour la vérification de la décompression.
C'est le scénario de chargement "total" sans pondération de sécurité ultime (ELU), car nous vérifions ici l'état de service (ELS).
Pour une poutre reposant simplement sur deux appuis A et B (système isostatique), soumise à une charge linéique uniforme \(p\) (en kN/m) sur toute sa longueur \(L\) :
1. La réaction aux appuis est \(R_A = R_B = pL/2\).
2. L'effort tranchant varie linéairement de \(+pL/2\) à \(-pL/2\).
3. Le moment fléchissant décrit une parabole. Il est nul aux appuis et maximal au centre (\(x = L/2\)).
Étape 1 : Sommation des Charges (ELS Caractéristique)
| Type de Charge | Valeur (kN/m) | Explication |
|---|---|---|
| Poids propre (g) | 18.75 | Poutre préfabriquée béton |
| Équipements (g') | 6.50 | Corniches, glissières, enrobés |
| Surcharges (q) | 25.00 | Modèle de trafic routier |
| TOTAL (\(p_{\text{ser}}\)) | 50.25 | Charge de service totale |
Vérifiez toujours l'unité de la charge linéique. Si l'énoncé donne une charge surfacique en \(kN/m^2\) (par exemple pour l'asphalte), il faut impérativement la multiplier par la largeur d'influence ou l'entraxe des poutres pour obtenir des \(kN/m\). Ici, les valeurs sont déjà linéiques.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous appliquons la formule du moment parabolique en utilisant la charge totale \(p_{\text{ser}} = 50.25 \, \text{kN/m}\) et la portée \(L = 30.00 \, \text{m}\).
1. Calcul du Moment Fléchissant en kN.mLe terme \(L^2\) a un impact majeur. La portée est de 30m, donc \(30^2 = 900\). La charge totale est de \(50.25 \, \text{kN/m}\). On multiplie donc \(50.25 \times 900\), puis on divise par 8 (coefficient de la parabole sur appuis simples).
Pour la suite des calculs de contraintes (souvent en MPa = MN/m²), il est crucial de convertir les kN en MN. Rappel : \(1 \, \text{MN} = 1000 \, \text{kN}\). Pour passer de kN.m à MN.m, on divise par 1000 (ou on multiplie par \(10^{-3}\)).
Interprétation Physique : Ce moment de 5.65 MN.m agit comme un levier géant qui tente de casser la poutre en deux par le bas. La fibre inférieure est étirée avec une force considérable. La précontrainte devra fournir une "contre-flexion" d'au moins cette intensité pour annuler l'effet.
Pour un pont routier d'une portée de 30 mètres, un moment de l'ordre de 5 à 6 MN.m est tout à fait cohérent. Un calcul rapide "de coin de table" : \(p \approx 50\), \(L^2 \approx 1000\), donc \(M \approx 50000/8 \approx 6000\) kN.m. Nous sommes dans le bon ordre de grandeur.
1. Unités : L'erreur la plus fréquente est d'oublier la conversion kN -> MN ou m -> mm. Gardez tout en Unités SI (m, MN) ou en (mm, N). Le mélange est fatal.
2. Portée : Utilisez bien la portée de calcul (entre axes d'appareils d'appui) et non la longueur totale de la poutre préfabriquée.
❓ Question Fréquente
Pourquoi diviser par 8 ? C'est le résultat mathématique de la double intégration du diagramme de charge constante \(p(x) = p\). L'effort tranchant est \(V(x) = p(L/2 - x)\), et le moment est l'intégrale de \(V(x)\), ce qui donne une équation en \(x^2\) avec un facteur 1/8 au centre.
🎯 Objectif
L'objectif est d'écrire l'équation d'équilibre des contraintes en fibre inférieure. Nous devons exprimer la contrainte totale (\(\sigma_{\text{inf}}\)) en fonction de l'inconnue \(P\) (force de précontrainte) et imposer qu'elle reste positive (compression) ou nulle. C'est le principe de la précontrainte par post-tension en Classe 2 : on autorise la traction dans le béton sous charges rares, mais on l'interdit sous charges quasi-permanentes (ou caractéristiques pour simplification ici).
📚 Référentiel
RDM ClassiqueThéorie des PoutresLe béton est un matériau "asymétrique" : excellent en compression, mais très faible en traction. L'idée de la précontrainte est de tricher !
1. Le chargement extérieur (\(M_{\text{max}}\)) veut étirer le bas de la poutre (Traction).
2. Nous allons appliquer une force \(P\) excentrée qui va comprimer fortement le bas de la poutre.
3. Le but du jeu : La compression apportée par \(P\) doit être supérieure ou égale à la traction causée par \(M_{\text{max}}\).
Mathématiquement, c'est une simple addition de contraintes (Principe de Superposition).
La contrainte normale \(\sigma\) en un point situé à une distance \(y\) de l'axe neutre est la somme de la contrainte due à l'effort normal \(N\) et de celle due au moment fléchissant \(M\).
Hypothèse : Les sections planes restent planes (Bernoulli).
Étape 1 : Modèle Mécanique et Géométrique
| Paramètre | Valeur | Description |
|---|---|---|
| Inertie (\(I\)) | 0.28 m⁴ | Rigidité flexionnelle de la section |
| Fibre inf. (\(v'\)) | 0.85 m | Distance CDG -> Bas de poutre |
| Aire (\(B\)) | 0.75 m² | Surface de la section béton |
| Excentricité (\(e_0\)) | 0.70 m | Levier de la précontrainte par rapport au CDG |
Plutôt que de traîner le terme fractionnaire \(I/v'\) partout, calculez-le une bonne fois pour toutes. On l'appelle le Module de Résistance ou Module de Flexion, noté \(W_{\text{inf}}\). Il représente la capacité géométrique de la section à résister à la flexion en fibre inférieure.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous allons d'abord calculer le module \(W_{\text{inf}}\), puis poser l'inéquation fondamentale.
1. Calcul du Module de Résistance W_infLe module de flexion combine l'inertie et la distance à la fibre, représentant la 'force' géométrique de la section :
L'équation d'équilibre statique en fibre inférieure s'écrit en sommant les contraintes normales :
Cette inéquation est le cœur du dimensionnement. Elle dit : "La force P doit être assez grande pour que l'écrasement uniforme ET l'effet de levier compensent l'effet destructeur du poids du pont et des camions."
Observez les termes :
- \(\frac{P}{B}\) : C'est l'efficacité "brute" de la force. Elle est constante.
- \(\frac{P \cdot e_0}{W_{\text{inf}}}\) : C'est l'efficacité "de levier". Plus l'excentricité \(e_0\) est grande (câble bas), plus ce terme est grand et plus la précontrainte est efficace. C'est pour cela qu'on met les câbles tout en bas !
La convention de signe est cruciale. Ici :
- Compression = Positif (+)
- Traction = Négatif (-)
Le moment extérieur crée de la traction en bas, donc on met un signe MOINS devant le terme \(\frac{M}{W}\). La précontrainte crée de la compression, donc signe PLUS.
❓ Question Fréquente
Pourquoi utiliser W_inf et pas W_sup ? Parce que sous des charges gravitaires (qui appuient vers le bas), c'est la fibre inférieure qui tend à s'ouvrir (fissurer). C'est donc elle qui pilote le dimensionnement de la précontrainte.
🎯 Objectif
Résoudre mathématiquement l'inéquation posée à l'étape précédente pour isoler \(P\). Nous allons calculer la valeur numérique minimale de la force de précontrainte requise en service à long terme (notée \(P_{\text{final}}\) ou \(P_{\infty}\)), c'est-à-dire la force qui devra rester dans les câbles après toutes les pertes (fluage, retrait, relaxation).
📚 Référentiel
EC2 - Pertes de PrécontrainteNous avons une équation du type \(A \cdot P + C \cdot P \ge D\). Pour trouver \(P\), il faut factoriser : \(P(A + C) \ge D\), donc \(P \ge D / (A+C)\).
- Le terme \(D\) (\(M/W\)) est la "Demande" (la contrainte de traction à annuler).
- Le terme \((A+C)\) est la "Capacité" unitaire de notre câble à créer de la compression.
Plus notre section est optimisée (grand \(e_0\), petit \(B\)), plus ce terme capacitif est grand, et moins on a besoin de force \(P\) (économie d'acier).
La force \(P\) calculée ici est une valeur minimale théorique. Dans la pratique, on arrondira toujours à l'unité de câble supérieure. De plus, il ne faut pas oublier que la force installée au vérin (\(P_0\)) devra être plus grande pour anticiper les pertes.
Étape 1 : Récapitulatif des Valeurs
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Moment Max (\(M_{\text{max}}\)) | 5.65 | MN.m |
| Module Flexion (\(W_{\text{inf}}\)) | 0.3294 | m³ |
| Section Béton (\(B\)) | 0.75 | m² |
| Excentricité (\(e_0\)) | 0.70 | m |
Calculez séparément le numérateur (Contrainte de traction fictive) et le dénominateur (Coefficient d'efficacité géométrique) pour éviter les erreurs de parenthèses sur la calculatrice.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous procédons terme par terme pour la clarté.
1. Calcul du Terme de Charge (Numérateur)C'est la contrainte de traction qu'il y aurait en bas de la poutre sans précontrainte. On divise le moment (5.65) par le module (0.3294).
C'est la contrainte de compression générée par 1 MN de précontrainte. On additionne l'effet normal (\(1/B\)) et l'effet de flexion (\(e_0/W\)).
On divise la contrainte à vaincre (17.152) par l'efficacité de la précontrainte (3.458).
Conclusion : Il faut qu'il reste au moins 4.96 MN de force dans les câbles à la fin de la vie de l'ouvrage pour éviter la traction en fibre inférieure.
Attention ! La valeur calculée (5.00 MN) est la force finale. Or, entre la mise en tension et l'infini, l'acier se relâche et le béton raccourcit (pertes). On estime généralement les pertes totales à 20-25% pour un avant-projet.
Si on perd 25% de la force, il ne reste que 75% (\(0.75 \times P_0\)).
Donc il faut tirer au départ : \(P_0 = P_{\text{final}} / (1 - \text{pertes}) = 5.00 / 0.75 = \mathbf{6.66 \, \text{MN}}\).
Ne confondez jamais \(P_0\) (force au vérin) et \(P_{\text{final}}\) (force de service). Dimensionner les câbles avec \(P_{\text{final}}\) conduirait à une sous-estimation dangereuse et à la fissuration de l'ouvrage.
❓ Question Fréquente
Pourquoi le dénominateur est en \(m^{-2}\) ?
Le terme \(1/B\) est en \(1/m^2\). Le terme \(e_0/W\) est en \(m / m^3 = 1/m^2\). L'addition est homogène. Et \(MN/m^2\) divisé par \(1/m^2\) donne bien des MN (Force).
🎯 Objectif
L'objectif final est purement pratique : convertir une force théorique abstraite (6.66 MN) en une réalité physique de chantier (nombre de gaines, nombre de torons d'acier, type d'ancrages). C'est l'étape de "ferraillage" de la précontrainte. Nous devons choisir une configuration qui fournit la force requise tout en respectant les limites de sécurité de l'acier (ne pas le casser à la mise en tension).
📚 Référentiel
Agrément ETA (Européen)EC2 - Limitation TensionOn ne peut pas tendre un câble d'acier à 100% de sa capacité, sinon il risquerait de rompre au moindre aléa ou de fluer excessivement. Les normes imposent une limitation stricte de la tension lors de la mise en œuvre (au vérin).
La règle d'or est : "On ne dépasse jamais environ 80% de la charge de rupture, ni 90% de la limite élastique". C'est cette force unitaire "bridée" qui sert à calculer le nombre de torons.
Le standard mondial actuel est le toron "T15 Super" (T15S) de classe 1860.
- Diamètre nominal : 15.7 mm
- Section métallique (\(A_p\)) : 150 mm²
- Résistance à la rupture (\(f_{\text{pk}}\)) : 1860 MPa
- Limite élastique à 0.1% (\(f_{\text{p0.1k}}\)) : ~1670 MPa (souvent pris à 1860/1.12 ou donnée fournisseur).
Étape 1 : Données Techniques Acier
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Limite rupture | \(f_{\text{pk}}\) | 1860 MPa |
| Limite élastique | \(f_{\text{p0.1k}}\) | 1670 MPa |
| Section unitaire | \(A_p\) | 150 mm² |
Un ingénieur précontrainte retient souvent la valeur magique : "Un toron T15S tire environ 22 tonnes (220 kN) à la mise en tension max." Cela permet de vérifier mentalement les calculs.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Calculons d'abord la force admissible par un seul toron, puis divisons la force totale \(P_0\) par cette valeur.
1. Contrainte admissible à la mise en tension (\(\sigma_{P0,\text{max}}\))La contrainte maximale autorisée est la plus petite des deux valeurs limites imposées par l'Eurocode :
La force maximale transmissible par un seul toron se déduit de sa section :
Enfin, le nombre théorique de torons s'obtient en rapportant la force totale requise à la capacité unitaire :
Résultat : Il nous faut mathématiquement 29.83 torons. Comme on ne peut pas mettre de fraction de toron, on arrondit à l'entier supérieur : 30 torons minimum.
Nous avons besoin de 30 torons. Nous devons les regrouper dans des gaines (câbles). Les ancrages standards existent en 4, 7, 12, 19, 27, 37 torons.
Solutions possibles :
- 2 câbles de 19 torons (38 torons) -> Trop surdimensionné.
- 3 câbles de 10 torons (impossible car 10 n'est pas standard, on prend des ancrages 12T15 et on met 10 torons dedans, ou on utilise 3 unités de 12 pleines).
- Choix retenu : 3 unités de 12T15 = 36 torons installés.
Cela permet d'avoir 6 torons de marge (soit ~20% de réserve), ce qui est excellent pour compenser des frottements plus élevés que prévu ou pour tendre moins fort chaque toron (augmentant la sécurité).
Encombrement : 3 gaines de 12T15 (diamètre gaine ~70-80mm) doivent tenir dans le talon de la poutre avec l'espacement requis pour le bétonnage. Dans une poutre VIPP de 1.50m de haut, c'est généralement large.
❓ Question Fréquente
Pourquoi pas 2 câbles de 15 ? Les ancrages 15T15 sont des standards "bâtards" (souvent des 19T sous-utilisés). Le 12T15 est le standard "roi" des ponts courants en France, les vérins sont disponibles partout.
📄 Livrable Final : Note de Synthèse EXE
73700 BOURG-SAINT-MAURICE
Tel : 04 79 00 00 00 | Email : bet@structures-alpines.fr
Note de Calculs N°4-2
Dimensionnement de la Précontrainte Longitudinale
| Désignation | Valeur / Description | Réf. |
|---|---|---|
| 1. HYPOTHÈSES GÉNÉRALES | ||
| Matériau Béton | C45/55 (\(f_{ck} = 45 \text{ MPa}\)) | CCTP |
| Acier de Précontrainte | T15S - Classe 1860 TBR (Relaxation Classe 2) | ETA |
| Pertes Estimées | Totales = 25% (10% inst. + 15% diff.) | EC2 |
| 2. SOLLICITATIONS & CRITÈRES (ELS Quasi-Perm) | ||
| Moment Max (\(M_{\text{max}}\)) | 5.65 MN.m (à \(x=L/2\)) | Calc. |
| Contrainte de Traction Fictive | \(17.15 \text{ MPa}\) (Fibre Inf.) | RDM |
| 3. RÉSULTATS & CHOIX TECHNIQUE | ||
| Force Finale Requise (\(P_{\infty}\)) | > 4.96 MN | OK |
| Force Initiale Requise (\(P_0\)) | 6.66 MN (au vérin) | - |
| SOLUTION RETENUE | 3 Unitées de 12 Torons T15S (36 Torons) | ✅ |
Le dimensionnement de la précontrainte par post-tension pour la poutre VIPP de 30m conduit à la mise en place de 3 câbles 12T15S. Cette disposition permet de compenser intégralement le moment de flexion sous combinaison quasi-permanente (décompression assurée) tout en respectant les limites de tension de l'acier à la mise en œuvre. Une vérification aux ELU (Rupture) devra compléter cette note.
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