Études de cas pratique

EGC

Calcul de la force de précontrainte

Calcul de la Force de Précontrainte

Comprendre le Calcul de la Force de Précontrainte

L'un des objectifs du dimensionnement en béton précontraint est de déterminer la force de précontrainte (\(P\)) et son excentricité (\(e\)) nécessaires pour satisfaire des critères de contraintes dans le béton à l'État Limite de Service (ELS). Typiquement, on cherche à limiter ou annuler les tractions dans le béton sous l'effet des charges de service, tout en ne dépassant pas la contrainte admissible en compression.

Données de l'étude

On souhaite déterminer la force de précontrainte minimale (\(P_{min}\)) nécessaire pour annuler la contrainte de traction à la fibre inférieure d'une poutre rectangulaire à mi-portée, sous l'effet du moment de service maximal.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Section rectangulaire : base \(b = 35 \, \text{cm}\), hauteur \(h = 70 \, \text{cm}\)
  • Béton : C35/45
  • Excentricité visée pour le câble de précontrainte : \(e = 20 \, \text{cm}\) (vers le bas)

Sollicitations (ELS) :

  • Moment fléchissant de service maximal (combinaison fréquente) : \(M_{ser,max} = 500 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)

Critère de dimensionnement :

  • Contrainte admissible en traction à la fibre inférieure : \(\sigma_{inf,adm} = 0 \, \text{MPa}\) (pas de traction admise)

Hypothèse : On considère la section brute de béton pour le calcul des contraintes à l'ELS. On néglige les pertes de précontrainte pour ce calcul initial (on cherche la force \(P\) après pertes). Convention : compression négative, traction positive.

Schéma : Section et Contraintes Visées
Section G P b=35cm h=70cm e=20cm Contraintes ELS (\(\sigma_{inf}=0\)) \(\sigma_{sup} < 0\) \(\sigma_{inf} = 0\)

Section rectangulaire et diagramme des contraintes visé à l'ELS (\(\sigma_{inf} = 0\)).

Questions à traiter

  1. Calculer les caractéristiques géométriques de la section brute de béton : Aire (\(A_c\)), Moment d'inertie (\(I_c\)), distance à la fibre inférieure (\(y_{inf}\)) et module d'inertie inférieur (\(W_{c,inf}\)).
  2. Écrire l'équation de la contrainte à la fibre inférieure (\(\sigma_{inf}\)) en fonction de la force de précontrainte \(P\) (inconnue), de son excentricité \(e\), du moment de service \(M_{ser}\) et des caractéristiques de la section (\(A_c, W_{c,inf}\)).
  3. En posant la condition \(\sigma_{inf} = 0\), résoudre l'équation pour trouver la force de précontrainte minimale requise (\(P_{min}\)).
  4. Calculer la contrainte à la fibre supérieure (\(\sigma_{sup}\)) avec la force \(P_{min}\) trouvée.

Correction : Calcul de la Force de Précontrainte

Question 1 : Caractéristiques Géométriques de la Section

Principe :

Calcul des propriétés géométriques d'une section rectangulaire brute.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_c = b \times h\] \[I_c = \frac{b h^3}{12}\] \[y_{inf} = \frac{h}{2}\] \[W_{c,inf} = \frac{I_c}{y_{inf}} = \frac{b h^2}{6}\]

Utilisation des unités cm.

Données spécifiques :
  • \(b = 35 \, \text{cm}\)
  • \(h = 70 \, \text{cm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_c &= 35 \, \text{cm} \times 70 \, \text{cm} \\ &= 2450 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_c &= \frac{35 \, \text{cm} \times (70 \, \text{cm})^3}{12} \\ &= \frac{35 \times 343000}{12} \, \text{cm}^4 \\ &= 1000417 \, \text{cm}^4 \end{aligned} \]
\[ y_{inf} = \frac{70 \, \text{cm}}{2} = 35 \, \text{cm} \]
\[ \begin{aligned} W_{c,inf} &= \frac{1000417 \, \text{cm}^4}{35 \, \text{cm}} \\ &\approx 28583 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]

\(y_{sup} = y_{inf}\) et \(W_{c,sup} = W_{c,inf}\) car section rectangulaire.

Résultat Question 1 : \(A_c = 2450 \, \text{cm}^2\), \(I_c \approx 1000417 \, \text{cm}^4\), \(y_{inf} = 35 \, \text{cm}\), \(W_{c,inf} \approx 28583 \, \text{cm}^3\).

Question 2 : Équation de la Contrainte à la Fibre Inférieure (\(\sigma_{inf}\))

Principe :

La contrainte à la fibre inférieure est la somme des contraintes dues à la force de précontrainte centrée, à l'excentricité de la précontrainte, et au moment fléchissant externe.

Convention : Compression négative, Traction positive.

Effet de P : \(-P/A_c\)

Effet de l'excentricité e (positive vers le bas) : \(- (P \cdot e) / W_{c,inf}\)

Effet du moment Mser (positif) : \(+ M_{ser} / W_{c,inf}\)

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{inf} = \frac{-P}{A_c} - \frac{P \cdot e}{W_{c,inf}} + \frac{M_{ser}}{W_{c,inf}}\]
Données spécifiques :
  • \(A_c = 2450 \, \text{cm}^2\)
  • \(W_{c,inf} \approx 28583 \, \text{cm}^3\)
  • \(e = 20 \, \text{cm}\)
  • \(M_{ser} = 500 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 50000 \, \text{kN} \cdot \text{cm}\)
  • \(P\) est l'inconnue (en kN)
Équation (en kN et cm) :
\[ \sigma_{inf} = \frac{-P}{2450} - \frac{P \times 20}{28583} + \frac{50000}{28583} \]
\[ \sigma_{inf} \approx -0.000408 P - 0.000699 P + 1.749 \]
\[ \sigma_{inf} \approx -0.001107 P + 1.749 \quad (\text{avec } \sigma \text{ en } kN/cm^2) \]

Pour obtenir \(\sigma\) en MPa (N/mm²), il faut utiliser les unités N et mm :

\[\sigma_{inf} = \frac{-P \times 10^3}{245000} - \frac{(P \times 10^3) \times 200}{28583 \times 10^3} + \frac{500 \times 10^6}{28583 \times 10^3}\]
\[\sigma_{inf} = \frac{-P}{245} - \frac{200 P}{28583} + \frac{500000}{28583}\]
\[ \sigma_{inf} \approx -0.00408 P - 0.00699 P + 17.49 \quad (\text{avec } \sigma \text{ en } MPa, P \text{ en } kN) \]
\[ \sigma_{inf} \approx -0.01107 P + 17.49 \]
Résultat Question 2 : L'équation de la contrainte à la fibre inférieure est \(\sigma_{inf} \approx -0.01107 P + 17.49\) (avec \(\sigma_{inf}\) en MPa et \(P\) en kN).

Question 3 : Force de Précontrainte Minimale Requise (\(P_{min}\))

Principe :

On cherche la force P telle que la contrainte à la fibre inférieure soit nulle (\(\sigma_{inf} = 0\)) sous l'effet du moment de service maximal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{inf} = 0 \implies -0.01107 P_{min} + 17.49 = 0\]
Calcul :
\[ 0.01107 P_{min} = 17.49 \]
\[ \begin{aligned} P_{min} &= \frac{17.49}{0.01107} \\ &\approx 1579.9 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Vérification avec la formule initiale : \(\frac{P}{A_c} + \frac{P \cdot e}{W_{c,inf}} = \frac{M_{ser}}{W_{c,inf}}\)

\[ P \left( \frac{1}{A_c} + \frac{e}{W_{c,inf}} \right) = \frac{M_{ser}}{W_{c,inf}} \]
\[ P \left( \frac{1}{2450} + \frac{20}{28583} \right) = \frac{50000}{28583} \]
\[ P (0.000408 + 0.000699) \approx 1.749 \]
\[ P \times 0.001107 \approx 1.749 \]
\[ P \approx \frac{1.749}{0.001107} \approx 1579.9 \, \text{kN} \]
Résultat Question 3 : La force de précontrainte minimale requise pour annuler la traction en fibre inférieure est \(P_{min} \approx 1580 \, \text{kN}\).

Question 4 : Contrainte à la Fibre Supérieure (\(\sigma_{sup}\))

Principe :

On calcule la contrainte à la fibre supérieure en utilisant la force \(P_{min}\) déterminée.

Effet de P : \(-P/A_c\)

Effet de l'excentricité e (positive vers le bas) : \(+ (P \cdot e) / W_{c,sup}\)

Effet du moment Mser (positif) : \(- M_{ser} / W_{c,sup}\)

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{sup} = \frac{-P_{min}}{A_c} + \frac{P_{min} \cdot e}{W_{c,sup}} - \frac{M_{ser}}{W_{c,sup}}\]
Données spécifiques (unités kN, cm, kN/cm²) :
  • \(P_{min} \approx 1580 \, \text{kN}\)
  • \(A_c = 2450 \, \text{cm}^2\)
  • \(e = 20 \, \text{cm}\)
  • \(W_{c,sup} \approx 28583 \, \text{cm}^3\)
  • \(M_{ser} = 50000 \, \text{kN} \cdot \text{cm}\)
Calcul :

Contrainte due à Pmin centrée :

\[ \sigma_{P/A} = \frac{-1580}{2450} \approx -0.645 \, \text{kN/cm}^2 = -6.45 \, \text{MPa} \]

Contrainte due à l'excentricité :

\[ \sigma_{P \cdot e, sup} = + \frac{1580 \times 20}{28583} \approx +1.106 \, \text{kN/cm}^2 = +11.06 \, \text{MPa} \]

Contrainte due au moment externe :

\[ \sigma_{M,sup} = - \frac{50000}{28583} \approx -1.749 \, \text{kN/cm}^2 = -17.49 \, \text{MPa} \]

Contrainte totale supérieure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{sup} &\approx (-6.45) + (+11.06) + (-17.49) \, \text{MPa} \\ &= -12.88 \, \text{MPa} \quad (\text{Compression}) \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La contrainte à la fibre supérieure est \(\sigma_{sup} \approx -12.88 \, \text{MPa}\) (Compression). Cette valeur devrait être comparée à la contrainte admissible en compression à l'ELS.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. L'excentricité \(e\) de la force de précontrainte est définie comme :

2. Dans une poutre simplement appuyée, un moment fléchissant positif \(M_{ser}\) dû aux charges externes tend à créer :

3. Si l'on augmente la force de précontrainte \(P\) (en gardant l'excentricité constante et positive vers le bas), comment évoluent les contraintes à l'ELS sous Mser ?

Glossaire

Précontrainte (Force, P)
Force de compression appliquée au béton par les aciers tendus. \(P_k\) est souvent utilisée pour la force caractéristique (ELS).
Excentricité (e)
Distance entre le centre de gravité de la section de béton et le centre de gravité des aciers de précontrainte.
Centre de Gravité (G)
Point d'application de la résultante des forces de gravité ou centre géométrique d'une section.
Moment Fléchissant de Service (\(M_{ser}\))
Moment agissant sur la section sous les combinaisons de charges de service (ELS).
Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface (MPa). Négative en compression, positive en traction.
Fibre Supérieure / Inférieure
Points extrêmes de la section dans la direction verticale.
Aire de la Section (\(A_c\))
Surface de la section transversale brute du béton.
Moment d'Inertie (\(I_c\))
Caractéristique géométrique mesurant la résistance d'une section à la flexion.
Module d'Inertie (\(W_c\))
Rapport \(I_c / y_{max}\), utilisé pour calculer les contraintes de flexion (\(\sigma = M/W\)).
État Limite de Service (ELS)
État limite relatif aux conditions normales d'utilisation (fissuration, déformations, contraintes admissibles).
Calcul de la Force de Précontrainte - Exercice d'Application

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