Études de cas pratique

EGC

Calcul d’Azimuts et Distances

Calcul d’Azimuts (Gisements) et Distances en Topographie

Introduction aux Azimuts et Distances

En topographie, la détermination précise de la position des points sur la surface terrestre est fondamentale. Deux des éléments clés pour définir la relation entre des points sont la distance qui les sépare et l'orientation de la ligne qui les joint. L'azimut (ou gisement) d'une direction est l'angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir d'une direction de référence (généralement le Nord géographique ou le Nord de la projection cartographique) jusqu'à cette direction. La distance est généralement la distance horizontale entre les points. Ces calculs sont essentiels pour la création de plans, le positionnement d'ouvrages, les levés de terrain et de nombreuses autres applications géomatiques.

Données de l'étude

Soient deux points A et B dont les coordonnées rectangulaires planes sont connues :

Point X (Est) (m) Y (Nord) (m)
A5230.752150.40
B5385.202280.95

Un troisième point C a pour coordonnées :

Point X (Est) (m) Y (Nord) (m)
C5150.602310.25
Schéma Illustratif d'un Azimut et d'une Distance
Azimut et Distance entre A et B X (Est) Y (Nord) A B Distance AB N Gis AB ΔX = XB - XA ΔY = YB - YA

Schéma illustrant la distance et l'azimut (gisement) entre deux points A et B.

Questions à traiter

  1. Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{AB}}\)) entre les points A et B.
  2. Calculer le gisement (azimut en gon) de la direction AB (\(G_{\text{AB}}\)).
  3. Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{BC}}\)) entre les points B et C.
  4. Calculer le gisement (azimut en gon) de la direction BC (\(G_{\text{BC}}\)).
  5. (Optionnel) Calculer l'angle intérieur \(\widehat{ABC}\) en gon.

Correction : Calcul d’Azimuts et Distances

Question 1 : Distance horizontale (\(D_{\text{AB}}\))

Principe :

La distance horizontale entre deux points A(\(X_{\text{A}}, Y_{\text{A}}\)) et B(\(X_{\text{B}}, Y_{\text{B}}\)) est donnée par la formule de la distance euclidienne.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta X_{\text{AB}} = X_{\text{B}} - X_{\text{A}}\]
\[\Delta Y_{\text{AB}} = Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}\]
\[D_{\text{AB}} = \sqrt{(\Delta X_{\text{AB}})^2 + (\Delta Y_{\text{AB}})^2}\]
Données et Calcul :
  • A: \(X_{\text{A}} = 5230.75 \, \text{m}\), \(Y_{\text{A}} = 2150.40 \, \text{m}\)
  • B: \(X_{\text{B}} = 5385.20 \, \text{m}\), \(Y_{\text{B}} = 2280.95 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{AB}} &= 5385.20 - 5230.75 = 154.45 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{AB}} &= 2280.95 - 2150.40 = 130.55 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D_{\text{AB}} &= \sqrt{(154.45)^2 + (130.55)^2} \\ &= \sqrt{23854.7025 + 17043.3025} \\ &= \sqrt{40898.005} \\ &\approx 202.2325 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Q1 : La distance horizontale \(D_{\text{AB}} \approx 202.233 \, \text{m}\).

Question 2 : Gisement (azimut) de AB (\(G_{\text{AB}}\))

Principe :

Le gisement \(G_{\text{AB}}\) est l'angle orienté dans le sens horaire depuis l'axe des Y (Nord) vers la direction AB. Il se calcule à l'aide de la fonction arc tangente des variations de coordonnées \(\Delta X_{\text{AB}}\) et \(\Delta Y_{\text{AB}}\), avec une correction de quadrant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[G'_{\text{AB}} = \arctan\left(\frac{|\Delta X_{\text{AB}}|}{|\Delta Y_{\text{AB}}|}\right)\]

Ajustement du quadrant (en gon) :

  • Si \(\Delta X_{\text{AB}} > 0\) et \(\Delta Y_{\text{AB}} > 0\) (Quadrant 1) : \(G_{\text{AB}} = G'_{\text{AB}}\)
  • Si \(\Delta X_{\text{AB}} > 0\) et \(\Delta Y_{\text{AB}} < 0\) (Quadrant 2) : \(G_{\text{AB}} = 200 \, \text{gon} - G'_{\text{AB}}\)
  • Si \(\Delta X_{\text{AB}} < 0\) et \(\Delta Y_{\text{AB}} < 0\) (Quadrant 3) : \(G_{\text{AB}} = 200 \, \text{gon} + G'_{\text{AB}}\)
  • Si \(\Delta X_{\text{AB}} < 0\) et \(\Delta Y_{\text{AB}} > 0\) (Quadrant 4) : \(G_{\text{AB}} = 400 \, \text{gon} - G'_{\text{AB}}\)
  • Cas particuliers : Si \(\Delta Y_{\text{AB}} = 0\), \(G_{\text{AB}} = 100 \, \text{gon}\) si \(\Delta X_{\text{AB}} > 0\), ou \(300 \, \text{gon}\) si \(\Delta X_{\text{AB}} < 0\). Si \(\Delta X_{\text{AB}} = 0\), \(G_{\text{AB}} = 0 \, \text{gon}\) si \(\Delta Y_{\text{AB}} > 0\), ou \(200 \, \text{gon}\) si \(\Delta Y_{\text{AB}} < 0\).

Convertir le résultat de \(\arctan\) (souvent en radians ou degrés) en gon si nécessaire (\(180^\circ = 200 \, \text{gon}\), \(\pi \, \text{rad} = 200 \, \text{gon}\)).

Données et Calcul :
  • \(\Delta X_{\text{AB}} = 154.45 \, \text{m}\) (> 0)
  • \(\Delta Y_{\text{AB}} = 130.55 \, \text{m}\) (> 0)

Nous sommes dans le Quadrant 1.

\[ \begin{aligned} G'_{\text{AB}} &= \arctan\left(\frac{154.45}{130.55}\right) \\ &\approx \arctan(1.18307) \\ &\approx 0.86896 \, \text{radians} \end{aligned} \]

Conversion en gon : \(G'_{\text{AB,gon}} = 0.86896 \times \frac{200}{\pi} \approx 0.86896 \times 63.66198 \approx 55.3239 \, \text{gon}\)

\[G_{\text{AB}} = G'_{\text{AB,gon}} \approx 55.3239 \, \text{gon}\]
Résultat Q2 : Le gisement \(G_{\text{AB}} \approx 55.3239 \, \text{gon}\).

Quiz Intermédiaire : Si \(\Delta X < 0\) et \(\Delta Y < 0\), dans quel quadrant se situe la direction ?

Question 3 : Distance horizontale (\(D_{\text{BC}}\))

Données et Calcul :
  • B: \(X_{\text{B}} = 5385.20 \, \text{m}\), \(Y_{\text{B}} = 2280.95 \, \text{m}\)
  • C: \(X_{\text{C}} = 5150.60 \, \text{m}\), \(Y_{\text{C}} = 2310.25 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{BC}} &= 5150.60 - 5385.20 = -234.60 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{BC}} &= 2310.25 - 2280.95 = 29.30 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D_{\text{BC}} &= \sqrt{(-234.60)^2 + (29.30)^2} \\ &= \sqrt{55037.16 + 858.49} \\ &= \sqrt{55895.65} \\ &\approx 236.4226 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Q3 : La distance horizontale \(D_{\text{BC}} \approx 236.423 \, \text{m}\).

Question 4 : Gisement (azimut) de BC (\(G_{\text{BC}}\))

Données et Calcul :
  • \(\Delta X_{\text{BC}} = -234.60 \, \text{m}\) (< 0)
  • \(\Delta Y_{\text{BC}} = 29.30 \, \text{m}\) (> 0)

Nous sommes dans le Quadrant 4 (\(\Delta X < 0, \Delta Y > 0\)).

\[ \begin{aligned} G'_{\text{BC}} &= \arctan\left(\frac{|-234.60|}{|29.30|}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{234.60}{29.30}\right) \\ &= \arctan(8.0068) \\ &\approx 1.4467 \, \text{radians} \end{aligned} \]

Conversion en gon : \(G'_{\text{BC,gon}} = 1.4467 \times \frac{200}{\pi} \approx 1.4467 \times 63.66198 \approx 92.1026 \, \text{gon}\)

\[ \begin{aligned} G_{\text{BC}} &= 400 \, \text{gon} - G'_{\text{BC,gon}} \\ &= 400 - 92.1026 \\ &= 307.8974 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Résultat Q4 : Le gisement \(G_{\text{BC}} \approx 307.8974 \, \text{gon}\).

Quiz Intermédiaire : Un gisement de 250 gon correspond à une direction :

Question 5 : (Optionnel) Angle intérieur \(\widehat{ABC}\)

Principe :

L'angle intérieur \(\widehat{ABC}\) au sommet B peut être calculé à partir des gisements des segments BA et BC. Le gisement de BA est l'inverse du gisement de AB : \(G_{\text{BA}} = G_{\text{AB}} \pm 200 \, \text{gon}\) (choisir le signe pour obtenir une valeur entre 0 et 400 gon). L'angle à droite \(\widehat{ABC}\) (orienté de BA vers BC) est \(G_{\text{BC}} - G_{\text{BA}}\). Si le résultat est négatif, ajouter 400 gon.

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{\text{BA}} = G_{\text{AB}} + 200 \, \text{gon} \quad (\text{si } G_{\text{AB}} < 200 \, \text{gon})\]
\[G_{\text{BA}} = G_{\text{AB}} - 200 \, \text{gon} \quad (\text{si } G_{\text{AB}} \ge 200 \, \text{gon})\]
\[\widehat{ABC} = G_{\text{BC}} - G_{\text{BA}}\]

(Ajouter 400 gon si le résultat est négatif)

Calculs :
  • \(G_{\text{AB}} \approx 55.3239 \, \text{gon}\)
  • \(G_{\text{BC}} \approx 307.8974 \, \text{gon}\)
\[ \begin{aligned} G_{\text{BA}} &= 55.3239 + 200 \\ &= 255.3239 \, \text{gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \widehat{ABC} &= G_{\text{BC}} - G_{\text{BA}} \\ &= 307.8974 - 255.3239 \\ &= 52.5735 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Résultat Q5 : L'angle intérieur \(\widehat{ABC} \approx 52.5735 \, \text{gon}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. L'azimut (ou gisement) d'une direction est mesuré :

2. Si \(\Delta X = -50 \, \text{m}\) et \(\Delta Y = +100 \, \text{m}\), dans quel quadrant se trouve le gisement ?

3. La distance entre A(10,10) et B(40,50) est :

Glossaire

Azimut (ou Gisement)
Angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire) à partir d'une direction de référence (généralement le Nord) jusqu'à la direction d'un point ou d'une ligne. Exprimé en degrés (0-360°) ou en grades/gons (0-400 gon).
Distance Horizontale (\(D_{\text{h}}\))
Distance entre deux points projetée sur un plan horizontal. C'est la distance utilisée pour les calculs planimétriques.
Coordonnées Rectangulaires (Planes)
Système de localisation de points dans un plan à l'aide de deux axes orthogonaux : X (Est ou abscisse) et Y (Nord ou ordonnée).
\(\Delta X\) (Delta X)
Différence des coordonnées X entre deux points (\(X_{\text{final}} - X_{\text{initial}}\)).
\(\Delta Y\) (Delta Y)
Différence des coordonnées Y entre deux points (\(Y_{\text{final}} - Y_{\text{initial}}\)).
Quadrant
Chacune des quatre régions définies par les axes X et Y dans un système de coordonnées cartésien. L'identification du quadrant est cruciale pour déterminer correctement l'azimut à partir de la fonction arc tangente.
Gon (ou Grade)
Unité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 400 gon. \(100 \, \text{gon}\) équivalent à \(90^\circ\).
Topographie
Science et technique de la représentation graphique et détaillée de la surface terrestre, incluant le relief et les objets naturels ou artificiels qui s'y trouvent.
Calcul d’Azimuts et Distances - Exercice d'Application en Topographie

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