Application des Lois de Kirchhoff
Contexte : Les Lois de KirchhoffLes lois fondamentales qui régissent les courants et les tensions dans les circuits électriques..
Les lois de Kirchhoff sont deux principes fondamentaux en électrocinétique qui permettent d'analyser des circuits électriques complexes. La loi des nœuds (ou loi des courants) et la loi des mailles (ou loi des tensions) fournissent une méthode systématique pour déterminer les courants et les tensions en tout point d'un circuit, même lorsque les simplifications de circuits en série ou en parallèle ne sont pas possibles. Cet exercice vous guidera dans l'analyse d'un circuit à deux mailles.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est conçu pour vous apprendre à poser et à résoudre méthodiquement un système d'équations afin d'analyser un circuit électrique, une compétence essentielle pour tout ingénieur ou technicien en électronique.
Objectifs Pédagogiques
- Maîtriser l'application de la loi des nœuds pour établir des relations entre les courants.
- Savoir utiliser la loi des mailles pour établir des équations de tension.
- Être capable de résoudre un système d'équations pour analyser un circuit électrique complet.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Description |
|---|---|
| Type de circuit | Circuit en courant continu (DC) à deux mailles |
| Composants | Sources de tension idéales, Résistances |
| Objectif | Déterminer les courants \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\) |
Schéma du Circuit Électrique
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Source de tension 1 | \(V_1\) | 10 | V (Volts) |
| Source de tension 2 | \(V_2\) | 5 | V (Volts) |
| Résistance 1 | \(R_1\) | 2 | \(\Omega\) (Ohms) |
| Résistance 2 | \(R_2\) | 4 | \(\Omega\) (Ohms) |
| Résistance 3 | \(R_3\) | 6 | \(\Omega\) (Ohms) |
Questions à traiter
- Appliquer la loi des nœuds au nœud A pour établir une première équation reliant \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\).
- Appliquer la loi des mailles à la maille de gauche (contenant \(V_1\), \(R_1\) et \(R_2\)) pour obtenir une deuxième équation.
- Appliquer la loi des mailles à la maille de droite (contenant \(V_2\), \(R_3\) et \(R_2\)) pour obtenir une troisième équation.
- Résoudre le système de trois équations pour trouver les valeurs numériques de \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\).
- Calculer la tension \(U_{AB}\) aux bornes de la résistance \(R_2\).
Les bases sur les Lois de Kirchhoff
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de comprendre les deux lois fondamentales établies par Gustav Kirchhoff, qui sont la pierre angulaire de l'analyse des circuits électriques.
1. Loi des Nœuds (Première loi de Kirchhoff ou KCL)
Cette loi est basée sur le principe de conservation de la charge électrique. Elle stipule que la somme algébrique des courants électriques entrant dans un nœudPoint de connexion où au moins trois conducteurs se rencontrent. est nulle. Autrement dit, la somme des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des courants qui en repartent.
\[ \sum_{k=1}^{n} I_k = 0 \quad \text{ou} \quad \sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}} \]
2. Loi des Mailles (Deuxième loi de Kirchhoff ou KVL)
Basée sur le principe de conservation de l'énergie, cette loi énonce que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle mailleTout chemin fermé dans un circuit électrique. fermée est nulle.
\[ \sum_{k=1}^{n} V_k = 0 \]
Pour l'appliquer, on choisit un sens de parcours et on additionne les tensions : on compte positivement les tensions des générateurs si on les parcourt de - vers +, et négativement les tensions aux bornes des résistances si on les parcourt dans le sens du courant.
Correction : Application des Lois de Kirchhoff
Question 1 : Appliquer la loi des nœuds au nœud A
Principe
Le concept physique derrière cette loi est la conservation de la charge électrique. Un nœud ne peut ni stocker ni générer de charges ; par conséquent, la quantité de charge qui y entre par unité de temps (le courant) doit être égale à la quantité qui en sort.
Mini-Cours
La loi des nœuds, ou Kirchhoff's Current Law (KCL), est la première des deux lois fondamentales de Kirchhoff. Elle s'applique à n'importe quel point de jonction (nœud) d'un circuit. La convention est simple : on attribue un signe positif aux courants entrants et un signe négatif aux courants sortants (ou vice-versa), et leur somme algébrique doit être nulle.
Remarque Pédagogique
Avant d'écrire l'équation, identifiez clairement le nœud et "fléchez" les courants sur votre schéma. Choisissez arbitrairement un sens pour chaque courant inconnu. Si le calcul final donne une valeur négative, cela signifie simplement que le courant réel circule dans le sens opposé à votre flèche.
Normes
Les lois de Kirchhoff ne sont pas des normes au sens industriel (comme les normes ISO ou CE), mais des lois physiques fondamentales de l'électricité. Elles constituent la base sur laquelle reposent toutes les normes d'analyse de circuits, comme celles de la Commission Électrotechnique Internationale (CEI).
Formule(s)
Formulation de la loi des nœuds
Hypothèses
On applique cette loi en supposant que les fils de connexion sont des conducteurs parfaits (résistance nulle) et qu'on est en régime stationnaire (les courants sont constants dans le temps).
Donnée(s)
Les seules données nécessaires sont les noms et les sens des courants tels que définis sur le schéma du circuit.
Astuces
Pour éviter les erreurs de signe, placez toujours les courants entrants d'un côté de l'équation et les courants sortants de l'autre côté. C'est souvent plus intuitif que la somme algébrique égale à zéro.
Schéma (Avant les calculs)
Focalisons-nous sur le nœud A et les courants qui y sont connectés.
Zoom sur le Nœud A
Calcul(s)
Application de la loi des nœuds au point A
Schéma (Après les calculs)
La relation entre les courants a été établie, le schéma physique reste le même.
Zoom sur le Nœud A
Réflexions
Cette première équation nous montre qu'aucun courant n'est indépendant des autres. Si l'on en détermine deux, le troisième est automatiquement connu. C'est une équation de contrainte qui lie les variables de notre problème.
Points de vigilance
Assurez-vous de bien identifier TOUS les courants connectés au nœud. Omettre une branche est une erreur courante. Appliquez la même logique au nœud B pour vérifier : \(I_2 + I_3 = I_1\), ce qui donne la même équation et confirme sa validité.
Points à retenir
La loi des nœuds est la première étape essentielle de l'analyse d'un circuit. Elle permet de réduire le nombre de courants inconnus à résoudre dans les équations de mailles.
Le saviez-vous ?
Gustav Kirchhoff a formulé ses lois en 1845, alors qu'il n'était qu'un étudiant de 21 ans. Ces lois ont généralisé les travaux de Georg Ohm et restent aujourd'hui la base de l'ingénierie des circuits.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si un quatrième fil était connecté au nœud A avec un courant sortant \(I_4\), quelle serait la nouvelle équation du nœud ?
Question 2 : Appliquer la loi des mailles à la maille de gauche
Principe
Le concept physique est la conservation de l'énergie. L'énergie fournie par la source de tension (\(V_1\)) dans la maille est entièrement dissipée sous forme de chaleur dans les résistances (\(R_1\) et \(R_2\)) de cette même maille.
Mini-Cours
La loi des mailles, ou Kirchhoff's Voltage Law (KVL), stipule que la somme des tensions le long d'un chemin fermé est nulle. On définit une "hausse" de tension (en traversant une source de - à +) et des "chutes" de tension (en traversant une résistance dans le sens du courant, selon la loi d'Ohm \(U=RI\)). La somme de toutes ces hausses et chutes doit s'annuler.
Remarque Pédagogique
La clé est la cohérence. Choisissez un point de départ et un sens de parcours (horaire ou anti-horaire) et tenez-vous-y pour toute la maille. Listez chaque composant rencontré et ajoutez ou soustrayez sa tension selon les conventions.
Normes
Comme pour la loi des nœuds, il s'agit d'une loi physique fondamentale qui sous-tend les normes de conception et d'analyse de circuits électriques.
Formule(s)
Loi des mailles (KVL)
Loi d'Ohm
Hypothèses
On suppose que les sources de tension sont idéales (pas de résistance interne) et que les résistances sont parfaitement ohmiques (leur valeur ne dépend pas du courant ou de la température).
Donnée(s)
Les données pertinentes pour cette maille sont :
| \(V_1\) | 10 V |
| \(R_1\) | 2 \(\Omega\) |
| \(R_2\) | 4 \(\Omega\) |
Astuces
Pour mémoriser la convention de signe : si vous parcourez une résistance dans le même sens que la flèche du courant, la tension "chute", donc c'est un signe MOINS. Si vous allez à contre-courant, c'est un signe PLUS.
Schéma (Avant les calculs)
Mettons en évidence la maille de gauche et le sens de parcours choisi (horaire).
Maille de Gauche (Parcours Horaire)
Calcul(s)
Équation littérale de la maille
En partant du coin inférieur gauche et en parcourant la maille dans le sens horaire :
1. On traverse \(V_1\) de - à + \(\Rightarrow +V_1\)
2. On traverse \(R_1\) dans le sens de \(I_1\) \(\Rightarrow -R_1 I_1\)
3. On traverse \(R_2\) dans le sens de \(I_2\) \(\Rightarrow -R_2 I_2\)
La somme est nulle :
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
La relation mathématique pour la maille de gauche est établie. Le schéma physique reste le même.
Maille de Gauche (Parcours Horaire)
Réflexions
Cette deuxième équation établit une relation entre \(I_1\) et \(I_2\). Combinée à la loi des nœuds, elle nous rapproche de la solution. Elle représente l'équilibre des potentiels dans la première partie du circuit.
Points de vigilance
L'erreur la plus classique est d'oublier la loi d'Ohm et d'écrire \(-R_1\) au lieu de \(-R_1 \cdot I_1\). La loi des mailles est une somme de TENSIONS (en Volts), pas de résistances.
Points à retenir
Pour chaque résistance dans une maille, la tension à ses bornes est \(U=RI\). Le signe de cette tension dans l'équation de la maille dépend du sens de parcours choisi par rapport au sens du courant \(I\).
Le saviez-vous ?
La loi des mailles est une application directe, dans le contexte des circuits, d'une des équations de Maxwell, plus précisément l'équation de Maxwell-Faraday en régime stationnaire, qui stipule que le champ électrique est à circulation conservative.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la tension \(V_1\) était de 15V au lieu de 10V, quelle serait la nouvelle équation de cette maille ?
Question 3 : Appliquer la loi des mailles à la maille de droite
Principe
De même que pour la maille de gauche, nous appliquons le principe de conservation de l'énergie. L'énergie potentielle gagnée ou perdue en parcourant la boucle de droite doit être nulle.
Mini-Cours
La méthode est identique à celle de la question précédente. La seule particularité ici est que la résistance \(R_2\) est partagée entre les deux mailles. Il est crucial de faire attention au sens du courant \(I_2\) par rapport au sens de parcours choisi pour cette nouvelle maille.
Remarque Pédagogique
Pour cette maille, essayons un parcours anti-horaire pour nous entraîner. Cela démontrera que le choix du sens n'impacte pas le résultat final, à condition d'appliquer les règles de signe correctement.
Normes
Comme précédemment, il s'agit de l'application de lois physiques fondamentales.
Formule(s)
Loi des mailles (KVL)
Loi d'Ohm
Hypothèses
Les hypothèses d'idéalité des composants (sources et résistances) sont maintenues.
Donnée(s)
Les données pertinentes pour cette maille sont :
| \(V_2\) | 5 V |
| \(R_2\) | 4 \(\Omega\) |
| \(R_3\) | 6 \(\Omega\) |
Astuces
Lorsque vous traitez une résistance partagée (\(R_2\) ici), ignorez complètement l'autre maille. Concentrez-vous uniquement sur votre sens de parcours actuel et le sens du courant dans cette résistance (\(I_2\)).
Schéma (Avant les calculs)
Mettons en évidence la maille de droite et le sens de parcours choisi (anti-horaire).
Maille de Droite (Parcours Anti-horaire)
Calcul(s)
Équation littérale de la maille
En partant du coin inférieur droit et en parcourant en sens anti-horaire :
1. On traverse \(V_2\) de - à + \(\Rightarrow +V_2\)
2. On traverse \(R_3\) dans le sens de \(I_3\) \(\Rightarrow -R_3 I_3\)
3. On traverse \(R_2\) dans le sens opposé à \(I_2\) \(\Rightarrow +R_2 I_2\)
L'équation est :
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
La relation mathématique pour la maille de droite est établie. Le schéma physique reste le même.
Maille de Droite (Parcours Anti-horaire)
Réflexions
Cette équation lie \(I_2\) et \(I_3\). Nous avons maintenant trois équations distinctes pour nos trois inconnues. Le problème est mathématiquement bien posé et prêt à être résolu.
Points de vigilance
Le signe de la tension aux bornes de \(R_2\) est positif dans cette équation car on la parcourt "à contre-courant" de \(I_2\). C'est le point qui demande le plus d'attention dans les circuits à plusieurs mailles.
Points à retenir
Une branche commune à deux mailles (comme celle avec \(R_2\)) apparaîtra dans les deux équations de maille, potentiellement avec des signes opposés selon les sens de parcours choisis.
Le saviez-vous ?
La méthode d'analyse par les lois de Kirchhoff est universelle et fonctionne pour n'importe quel circuit linéaire, peu importe sa complexité. D'autres méthodes, comme le théorème de superposition ou le théorème de Thévenin, sont souvent plus rapides mais dérivent toutes de ces lois fondamentales.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la source \(V_2\) était inversée (pôle + en bas), quelle serait la nouvelle équation de cette maille (en gardant un parcours anti-horaire) ?
Question 4 : Résoudre le système d'équations
Principe
Le concept ici est purement mathématique : résoudre un système d'équations linéaires consiste à trouver l'unique jeu de valeurs pour les inconnues (\(I_1, I_2, I_3\)) qui satisfait simultanément les trois équations.
Mini-Cours
Plusieurs méthodes existent. La méthode par substitution, utilisée ici, consiste à exprimer une variable en fonction des autres à partir d'une équation, puis à remplacer ("substituer") cette expression dans les autres équations. On répète le processus jusqu'à obtenir une seule équation avec une seule inconnue.
Remarque Pédagogique
Soyez organisé ! Numérotez vos équations et notez clairement chaque étape de substitution. Commencez par l'équation la plus simple pour isoler une variable (ici, la loi des nœuds est idéale pour exprimer \(I_1\) ou \(I_3\)).
Normes
Cette section relève des mathématiques appliquées. Il n'y a pas de norme d'ingénierie, mais des règles et des théorèmes d'algèbre linéaire bien établis.
Formule(s)
Système d'équations à résoudre
Hypothèses
On suppose que le système a une solution unique, ce qui est généralement le cas pour un circuit physique bien défini.
Donnée(s)
Les données sont les trois équations obtenues lors des questions précédentes.
Astuces
Avant de vous lancer dans les substitutions, simplifiez les équations si possible. Par exemple, l'équation (2) peut être divisée par 2 pour donner \(I_1 + 2 I_2 = 5\), ce qui simplifie les calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Le système d'équations mathématiques est dérivé du schéma physique du circuit complet.
Circuit à analyser
Calcul(s)
Étape 1 : Substitution de \(I_1\)
De (1), on a \(I_1 = I_2 + I_3\). On substitue dans (2) (simplifiée en \(I_1 + 2 I_2 = 5\)) :
Étape 2 : Création d'un système 2x2
Nous avons maintenant un système plus simple avec \(I_2\) et \(I_3\) :
Étape 3 : Résolution du système 2x2
De (A), on isole \(I_3\):
On substitue dans (B) et on résout pour \(I_2\):
Étape 4 : Calcul des autres courants
On remonte en arrière pour trouver \(I_3\):
Puis on trouve \(I_1\):
Schéma (Après les calculs)
Le schéma final montre le circuit avec les valeurs des courants calculées. Toutes les valeurs étant positives, les flèches indiquent le sens réel du courant.
Circuit Résolu avec Valeurs des Courants
Réflexions
Toutes les valeurs de courant calculées sont positives. Cela signifie que les sens que nous avions arbitrairement choisis au début pour les courants étaient corrects. Si l'une des valeurs était négative, cela signifierait simplement que le courant correspondant circule en réalité dans le sens opposé.
Points de vigilance
La résolution de systèmes d'équations est une source fréquente d'erreurs d'inattention (signes, erreurs de multiplication...). Prenez le temps de vérifier chaque étape de calcul.
Points à retenir
La méthode de substitution est une technique robuste pour résoudre n'importe quel système d'équations linéaires. La clé est de réduire progressivement le nombre de variables.
Le saviez-vous ?
Pour des circuits très complexes avec de nombreuses mailles, les ingénieurs utilisent des logiciels qui résolvent ces systèmes d'équations en utilisant des méthodes matricielles (comme l'inversion de matrice ou la règle de Cramer), qui sont beaucoup plus rapides à calculer par un ordinateur.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Vérifiez le résultat : remplacez les valeurs de \(I_1, I_2, I_3\) dans les trois équations de départ. Sont-elles toutes satisfaites ?
Question 5 : Calculer la tension \(U_{\text{AB}}\)
Principe
Le concept physique est la loi d'Ohm, qui stipule que la différence de potentiel (tension) aux bornes d'une résistance est directement proportionnelle au courant qui la traverse.
Mini-Cours
La tension \(U_{\text{AB}}\) représente la différence de potentiel \(V_A - V_B\). Selon la convention récepteur, si le courant \(I\) circule de A vers B à travers une résistance R, alors \(V_A - V_B = R \cdot I\). Le point d'entrée du courant est toujours à un potentiel plus élevé que le point de sortie.
Remarque Pédagogique
Il est important de bien noter l'ordre des lettres. \(U_{\text{AB}}\) n'est pas la même chose que \(U_{\text{BA}}\). On a toujours la relation \(U_{\text{BA}} = -U_{\text{AB}}\).
Normes
La loi d'Ohm est, comme les lois de Kirchhoff, une loi physique fondamentale de l'électricité.
Formule(s)
Loi d'Ohm appliquée à \(R_2\)
Hypothèses
On suppose que la résistance \(R_2\) est un composant idéal respectant parfaitement la loi d'Ohm.
Donnée(s)
Nous utilisons les données du problème et le résultat de la question précédente :
| \(R_2\) | 4 \(\Omega\) |
| \(I_2\) | \(\frac{25}{22}\) A |
Astuces
Une fois la tension calculée, vous pouvez l'utiliser pour vérifier les équations de maille. Par exemple, pour la maille de gauche, on doit avoir \(V_1 - R_1 I_1 - U_{\text{AB}} = 0\). C'est un excellent moyen de vérifier l'ensemble de vos calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Isolons la branche centrale contenant la résistance \(R_2\) entre les nœuds A et B.
Branche Centrale
Calcul(s)
Calcul de \(U_{AB}\)
Le courant \(I_2\) circule de A vers B. Donc, le potentiel en A est supérieur à celui en B. La tension \(U_{\text{AB}} = V_A - V_B\) est positive et vaut :
Schéma (Après les calculs)
On peut maintenant ajouter la valeur de la tension sur le schéma de la branche.
Branche Centrale avec Tension
Réflexions
La tension de 4.55V aux bornes de \(R_2\) est une valeur clé du circuit. Elle représente la différence de potentiel qui "pilote" le courant à travers la branche centrale. C'est une conséquence directe des tensions des sources et de la configuration des résistances.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser le bon courant pour le calcul (\(I_2\) pour \(R_2\)). Dans un circuit plus complexe, une résistance peut être dans une branche portant un autre courant. Vérifiez toujours votre schéma.
Points à retenir
La tension aux bornes d'un composant est l'une des grandeurs les plus importantes d'un circuit. Savoir la calculer à partir du courant (via la loi d'Ohm) est une compétence fondamentale.
Le saviez-vous ?
Le Voltmètre, l'appareil qui mesure la tension, se branche toujours "en parallèle" aux bornes du composant dont on veut mesurer la tension. Il possède une très grande résistance interne pour ne pas perturber le circuit en déviant le courant.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la puissance \(P_2\) dissipée par la résistance \(R_2\) en utilisant la formule \(P = U \cdot I\).
Outil Interactif : Simulateur de Circuit
Utilisez cet outil pour voir comment les courants dans le circuit changent lorsque vous modifiez la valeur de la tension \(V_1\) et de la résistance \(R_1\).
Paramètres d'Entrée
Courants Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que stipule la loi des nœuds de Kirchhoff ?
2. La loi des mailles de Kirchhoff est une conséquence du principe de conservation de...
3. Dans une maille, en parcourant une résistance dans le sens opposé du courant, la différence de potentiel est considérée comme...
Glossaire
- Nœud
- Un point de connexion dans un circuit électrique où trois conducteurs ou plus se rejoignent.
- Maille
- Tout chemin fermé dans un circuit électrique. On parcourt une maille en partant d'un point et en y revenant sans passer deux fois par le même chemin.
- Loi d'Ohm
- Une loi fondamentale qui relie la tension (\(U\)), le courant (\(I\)) et la résistance (\(R\)) dans un circuit : \(U = R \cdot I\).
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