Application de la Méthode des Trois Moments

Comprendre l'Application de la Méthode des Trois Moments en RDM

La méthode des trois moments, également connue sous le nom de théorème de Clapeyron, est une technique puissante en Résistance Des Matériaux (RDM) pour analyser les poutres continues, c'est-à-dire les poutres reposant sur plus de deux appuis. Ces structures sont hyperstatiques, et les équations de la statique seules ne suffisent pas à déterminer toutes les réactions d'appui et les efforts internes. La méthode des trois moments fournit les équations supplémentaires nécessaires en reliant les moments fléchissants sur trois appuis successifs.

Cet exercice a pour objectifs de :

Identifier le degré d'hyperstaticité d'une poutre continue.
Écrire et appliquer l'équation des trois moments pour déterminer les moments sur les appuis intermédiaires.
Calculer les réactions d'appui une fois les moments hyperstatiques connus.

Données de l'Exercice

On considère une poutre continue ABC reposant sur trois appuis simples A, B et C. La rigidité flexionnelle EI est constante sur toute la longueur de la poutre.

Caractéristiques de la poutre et des chargements :

Travée AB : Longueur \(L_1 = 4 \, \text{m}\), supporte une charge uniformément répartie \(w_1 = 10 \, \text{kN/m}\).
Travée BC : Longueur \(L_2 = 3 \, \text{m}\), supporte une charge concentrée \(P = 15 \, \text{kN}\) appliquée à mi-portée (\(1.5 \, \text{m}\) de B).

Les appuis A et C sont des appuis simples d'extrémité, donc les moments fléchissants en A et C sont nuls (\(M_A = 0\), \(M_C = 0\)).

Schéma de la Poutre Continue ABC

Questions à Traiter

Quel est le degré d'hyperstaticité de cette poutre continue ?
Écrire l'équation générale des trois moments de Clapeyron pour deux travées adjacentes \(i\) et \(i+1\) avec une rigidité flexionnelle EI constante et des appuis simples.
Appliquer l'équation des trois moments aux travées AB et BC pour déterminer le moment fléchissant sur l'appui intermédiaire B (\(M_B\)). (Rappel : \(M_A = 0\) et \(M_C = 0\)).
Calculer les réactions verticales aux appuis A (\(V_A\)), B (\(V_B\)), et C (\(V_C\)).

Correction : Application de la Méthode des Trois Moments en RDM

Question 1 : Degré d'hyperstaticité de la poutre

Principe :

Le degré d'hyperstaticité \(h = r - n_e\), où \(r\) est le nombre de réactions d'appui inconnues et \(n_e\) est le nombre d'équations d'équilibre statique (3 pour un problème plan).

Données de la Structure :

Appui A (simple) : 2 réactions (\(V_A, H_A\))
Appui B (simple) : 1 réaction (\(V_B\)) (car \(H_A\) reprendra les efforts horizontaux s'il y en avait)
Appui C (simple) : 1 réaction (\(V_C\))
Nombre total de réactions inconnues (\(r\)) : \(2 + 1 + 1 = 4\). (Si on considère qu'il n'y a pas de charges horizontales, \(H_A=0\), et \(r=3\). Cependant, pour une poutre continue, l'hyperstaticité est souvent comptée en considérant le nombre d'appuis surnuméraires par rapport à une poutre isostatique de référence.)
Alternativement, une poutre sur deux appuis est isostatique. Chaque appui supplémentaire ajoute une inconnue de réaction verticale et rend la poutre hyperstatique de degré 1. Ici, il y a un appui supplémentaire (B).

Calcul :

Avec \(r=4\) réactions (si \(H_A\) est comptée) et 3 équations d'équilibre : \(h = 4 - 3 = 1\).

Si on considère uniquement les réactions verticales (pas de charges horizontales, \(H_A=0\)), on a 3 réactions verticales inconnues (\(V_A, V_B, V_C\)) et 2 équations d'équilibre utiles (\(\sum F_y = 0, \sum M = 0\)). Dans ce cas, \(h = 3 - 2 = 1\).

La méthode des trois moments vise à trouver le moment sur l'appui intermédiaire, qui est l'inconnue hyperstatique.

Résultat Question 1 : La poutre est hyperstatique de degré \(h = 1\). L'inconnue hyperstatique est le moment sur l'appui B.

Question 2 : Équation générale des trois moments

Principe :

L'équation des trois moments de Clapeyron pour deux travées adjacentes \(i\) (gauche) et \(i+1\) (droite), d'appuis \(i-1\), \(i\), \(i+1\), avec EI constant et sans tassement d'appui, s'écrit :

Formule(s) utilisée(s) :

M_{i-1}L_i + 2M_i(L_i + L_{i+1}) + M_{i+1}L_{i+1} = -6 \left( \frac{A_i \bar{x}_i}{L_i} + \frac{A'_{i+1} \bar{x}'_{i+1}}{L_{i+1}} \right)

où :

\(M_{i-1}, M_i, M_{i+1}\) sont les moments fléchissants aux appuis \(i-1, i, i+1\).
\(L_i, L_{i+1}\) sont les longueurs des travées \(i\) et \(i+1\).
\(A_i \bar{x}_i / L_i\) est le terme de charge pour la travée \(i\), où \(A_i\) est l'aire du diagramme des moments fléchissants de la travée \(i\) considérée comme isostatique sur deux appuis simples, et \(\bar{x}_i\) est la distance du centroïde de cette aire à l'appui de gauche de la travée \(i\).
\(A'_{i+1} \bar{x}'_{i+1} / L_{i+1}\) est le terme de charge pour la travée \(i+1\), où \(\bar{x}'_{i+1}\) est la distance du centroïde de l'aire \(A'_{i+1}\) à l'appui de droite de la travée \(i+1\).

Pour une charge uniformément répartie \(w\) sur une travée \(L\): \(\frac{A \bar{x}}{L} = \frac{wL^3}{24}\) (valable pour \(\bar{x}\) par rapport à l'appui de gauche et \(\bar{x}'\) par rapport à l'appui de droite grâce à la symétrie du chargement).

Pour une charge concentrée \(P\) au milieu d'une travée \(L\): \(\frac{A \bar{x}}{L} = \frac{PL^2}{16}\) (valable pour \(\bar{x}\) et \(\bar{x}'\) grâce à la symétrie).

Résultat Question 2 : L'équation générale est donnée ci-dessus.

Question 3 : Calcul du moment \(M_B\)

Principe :

On applique l'équation des trois moments aux appuis A, B, C. Ici, l'appui \(i-1\) est A, l'appui \(i\) est B, et l'appui \(i+1\) est C. La travée \(i\) est AB (\(L_1\)) et la travée \(i+1\) est BC (\(L_2\)).

On sait que \(M_A = 0\) et \(M_C = 0\) (appuis simples d'extrémité).

Application de la formule :

M_A L_1 + 2M_B(L_1 + L_2) + M_C L_2 = -6 \left( \frac{w_1 L_1^3}{24 EI} \cdot \frac{EI}{L_1} + \frac{P L_2^2}{16 EI} \cdot \frac{EI}{L_2} \right) \times EI

Les termes de charge sont souvent donnés sous la forme \( \frac{6 A \bar{x}}{L} \) ou \( \frac{S_i \omega_i}{L_i} \) où \(S_i \omega_i\) est le moment statique de l'aire des moments isostatiques. Pour simplifier, on utilise les formules directes des termes de charge :

\[ \text{Terme de charge pour travée AB (UDL } w_1 \text{)} : \frac{w_1 L_1^3}{24} \] \[ \text{Terme de charge pour travée BC (Charge P au milieu)} : \frac{P L_2^2}{8} \quad (\text{Attention: la formule générale est } \frac{Pab(L+b)}{6L} \text{ pour } \bar{x} \text{ et } \frac{Pab(L+a)}{6L} \text{ pour } \bar{x}'. \text{ Pour P au milieu, } a=b=L/2, \text{ ce qui donne } \frac{PL^2}{8} \text{ pour le terme } \frac{6A\bar{x}}{L} \text{ ou } \frac{6A\bar{x}'}{L} \text{ devient } \frac{PL^2}{8} \text{ après simplification du facteur 6}). \] Correction de la formule du terme de charge pour P au milieu : \( \frac{A \bar{x}}{L} + \frac{A' \bar{x}'}{L} \) devient \( \frac{w_1 L_1^3}{24} + \frac{P L_2^2}{16} \) pour les termes de charge de Clapeyron. Donc, l'équation devient : \[ M_A L_1 + 2M_B(L_1 + L_2) + M_C L_2 = -\left( \frac{w_1 L_1^3}{4} + \frac{P L_2^2 \cdot (3/8)}{1} \right) \] L'équation correcte avec les termes de charge \( \omega_i = \frac{A_i \bar{x}_i}{L_i EI} \) et \( \omega'_{i+1} = \frac{A'_{i+1} \bar{x}'_{i+1}}{L_{i+1} EI} \) est : \[ M_{i-1}L_i + 2M_i(L_i + L_{i+1}) + M_{i+1}L_{i+1} = -6EI (\omega_i + \omega'_{i+1}) \] Pour charge répartie \(w\) sur \(L_i\), \(6EI \omega_i = \frac{w L_i^3}{4}\). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Pour charge ponctuelle \(P\) au milieu de \(L_{i+1}\), \(6EI \omega'_{i+1} = \frac{P L_{i+1}^2}{4}\). Donc l'équation devient : \[ M_A L_1 + 2M_B(L_1 + L_2) + M_C L_2 = -\left( \frac{w_1 L_1^3}{4} + \frac{P L_2^2}{4} \right) \] Données spécifiques : \(M_A = 0 \, \text{kN.m}\) \(M_C = 0 \, \text{kN.m}\) \(L_1 = 4 \, \text{m}\) \(L_2 = 3 \, \text{m}\) \(w_1 = 10 \, \text{kN/m}\) \(P = 15 \, \text{kN}\) Calcul : \[ \begin{aligned} 0 \cdot (4) + 2M_B(4 + 3) + 0 \cdot (3) &= -\left( \frac{10 \times (4)^3}{4} + \frac{15 \times (3)^2}{4} \right) \\ 2M_B(7) &= -\left( \frac{10 \times 64}{4} + \frac{15 \times 9}{4} \right) \\ 14M_B &= -\left( \frac{640}{4} + \frac{135}{4} \right) \\ 14M_B &= -\left( 160 + 33.75 \right) \\ 14M_B &= -193.75 \\ M_B &= \frac{-193.75}{14} \\ M_B &\approx -13.839 \, \text{kN.m} \end{aligned} \] Résultat Question 3 : Le moment fléchissant sur l'appui B est \(M_B \approx -13.84 \, \text{kN.m}\). Question 4 : Calcul des réactions verticales aux appuis (\(V_A, V_B, V_C\)) Principe : Une fois \(M_B\) connu, on peut isoler chaque travée et utiliser les équations de la statique pour trouver les réactions. Pour la travée AB (longueur \(L_1\)) : Soumise à \(w_1\) et aux moments \(M_A=0\) et \(M_B\). Réaction en A due aux charges sur AB : \(V'_{A} = \frac{w_1 L_1}{2}\). Réaction en A due aux moments d'extrémité : \(V''_{A} = \frac{M_A - M_B}{L_1} = \frac{0 - M_B}{L_1} = -\frac{M_B}{L_1}\). Donc, \(V_A = V'_{A} + V''_{A}\). Réaction en B due aux charges sur AB (partielle) : \(V'_{B,AB} = \frac{w_1 L_1}{2}\). Réaction en B due aux moments d'extrémité (partielle) : \(V''_{B,AB} = \frac{M_B - M_A}{L_1} = \frac{M_B}{L_1}\). Pour la travée BC (longueur \(L_2\)) : Soumise à \(P\) au milieu et aux moments \(M_B\) et \(M_C=0\). Réaction en B due aux charges sur BC (partielle) : \(V'_{B,BC} = \frac{P}{2}\). Réaction en B due aux moments d'extrémité (partielle) : \(V''_{B,BC} = \frac{M_B - M_C}{L_2} = \frac{M_B}{L_2}\). Réaction en C due aux charges sur BC : \(V'_{C} = \frac{P}{2}\). Réaction en C due aux moments d'extrémité : \(V''_{C} = \frac{M_C - M_B}{L_2} = -\frac{M_B}{L_2}\). Donc, \(V_C = V'_{C} + V''_{C}\). La réaction totale en B est \(V_B = V'_{B,AB} + V''_{B,AB} + V'_{B,BC} + V''_{B,BC}\). Formule(s) utilisée(s) : \[ V_A = \frac{w_1 L_1}{2} - \frac{M_B}{L_1} \] \[ V_C = \frac{P}{2} - \frac{M_B}{L_2} \] \[ V_B = \left(\frac{w_1 L_1}{2} + \frac{M_B}{L_1}\right) + \left(\frac{P}{2} + \frac{M_B}{L_2}\right) \] Données spécifiques : \(M_B \approx -13.84 \, \text{kN.m}\) \(L_1 = 4 \, \text{m}\), \(w_1 = 10 \, \text{kN/m}\) \(L_2 = 3 \, \text{m}\), \(P = 15 \, \text{kN}\) Calcul : \[ \begin{aligned} V_A &= \frac{10 \times 4}{2} - \frac{-13.84}{4} = 20 - (-3.46) = 20 + 3.46 = 23.46 \, \text{kN} \\ V_C &= \frac{15}{2} - \frac{-13.84}{3} = 7.5 - (-4.613) = 7.5 + 4.613 = 12.113 \, \text{kN} \\ V_B &= \left(\frac{10 \times 4}{2} + \frac{-13.84}{4}\right) + \left(\frac{15}{2} + \frac{-13.84}{3}\right) \\ &= (20 - 3.46) + (7.5 - 4.613) \\ &= 16.54 + 2.887 \\ &= 19.427 \, \text{kN} \end{aligned} \] Vérification : \(\sum F_y = V_A + V_B + V_C - w_1 L_1 - P = 23.46 + 19.427 + 12.113 - (10 \times 4) - 15 = 55 - 40 - 15 = 0\). (Aux arrondis près) Résultat Question 4 : \(V_A \approx 23.46 \, \text{kN}\) \(V_B \approx 19.43 \, \text{kN}\) \(V_C \approx 12.11 \, \text{kN}\) Quiz Intermédiaire (Q4) : Si le moment \(M_B\) était positif (convexe vers le haut), comment cela affecterait-il la réaction \(V_A\) (par rapport au cas isostatique \(M_B=0\)) ? \(V_A\) augmenterait. \(V_A\) resterait la même. \(V_A\) diminuerait (car \(M_B/L_1\) serait soustrait). Vérifier cette question

Glossaire

Poutre Continue: Poutre reposant sur plus de deux appuis, ce qui la rend généralement hyperstatique.
Méthode des Trois Moments (Théorème de Clapeyron): Méthode d'analyse des poutres continues qui établit une relation entre les moments fléchissants sur trois appuis consécutifs et les charges appliquées sur les deux travées adjacentes.
Degré d'Hyperstaticité (\(h\)): Nombre d'inconnues de liaison (réactions ou efforts internes) en excès par rapport aux équations d'équilibre de la statique.
Moment Fléchissant (\(M\)): Effort interne dans une poutre qui tend à la faire fléchir. Par convention, un moment qui tend à rendre la fibre inférieure tendue (convexe vers le bas) est positif.
Réaction d'Appui: Force ou moment exercé par un appui sur la structure pour la maintenir en équilibre.
Travée: Portion d'une poutre comprise entre deux appuis consécutifs.
Charge Uniformément Répartie (\(w\)): Charge dont l'intensité est constante sur une certaine longueur de la poutre (ex: kN/m).
Charge Concentrée (\(P\)): Charge appliquée en un point spécifique de la poutre (ex: kN).
Rigidité Flexionnelle (EI): Produit du module d'Young (\(E\)) du matériau par le moment d'inertie (\(I\)) de la section transversale de la poutre. Elle caractérise la résistance de la poutre à la flexion.