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Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin

Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin en RdM

Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin

Contexte : Le bois, un matériau de structure durable et performant.

Le bois est de plus en plus utilisé en construction pour ses qualités écologiques et mécaniques. Cependant, en tant que matériau naturel, sa résistance varie et doit être vérifiée avec soin. Cet exercice porte sur le dimensionnement d'un solivage de plancher en bois de pin. Une solive est une poutre qui supporte les charges du plancher (poids propre, mobilier, personnes) et les transmet aux murs ou à des poutres plus importantes. Nous allons vérifier si une solive de dimensions données peut supporter les charges prévues en toute sécurité, en respectant les critères de résistance et de déformation imposés par les normes (Eurocode 5).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous plonge au cœur du métier d'ingénieur structure bois. À partir d'un cas concret (un plancher), nous allons appliquer les formules de la RdM pour calculer les efforts internes (effort tranchant, moment fléchissant), puis les contraintes, et enfin les comparer aux valeurs admissibles pour le matériau. Nous introduirons aussi la notion cruciale de vérification de la flèche, qui est souvent le critère dimensionnant pour les structures en bois.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les efforts (effort tranchant, moment fléchissant) dus à une charge uniformément répartie.
  • Vérifier la résistance de la poutre en comparant la contrainte de flexion à la contrainte admissible du bois.
  • Vérifier la résistance au cisaillement, un mode de rupture important pour le bois.
  • Calculer la flèche maximale de la poutre.
  • Vérifier le critère de déformation (serviceabilité) en comparant la flèche à une limite normative.

Données de l'étude

On étudie une solive de plancher en bois de Pin (classe de résistance C24) de section rectangulaire, simplement appuyée à ses deux extrémités. Elle est soumise à une charge uniformément répartie 'q' qui représente les charges permanentes et d'exploitation.

Schéma de la poutre sur deux appuis avec charge répartie
q L = 4.0 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée entre appuis \(L\) 4.0 \(\text{m}\)
Largeur de la section \(b\) 75 \(\text{mm}\)
Hauteur de la section \(h\) 220 \(\text{mm}\)
Charge uniformément répartie \(q\) 2.5 \(\text{kN/m}\)
Résistance en flexion (C24) \(f_{\text{m,k}}\) 24 \(\text{MPa}\)
Résistance en cisaillement (C24) \(f_{\text{v,k}}\) 4.0 \(\text{MPa}\)
Module d'élasticité moyen (C24) \(E_{\text{0,mean}}\) 11 000 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions aux appuis \(R_A\) et \(R_B\).
  2. Déterminer l'effort tranchant maximal \(V_{\text{max}}\) et le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\).
  3. Vérifier la résistance de la poutre en flexion.
  4. Vérifier la résistance de la poutre au cisaillement.
  5. Calculer la flèche maximale \(f_{\text{max}}\) et vérifier si elle respecte la limite admissible de L/300.

Les bases de la RdM pour les Charges Réparties

Ce cas de charge est fondamental pour le calcul des planchers et des toitures.

1. Efforts sous Charge Répartie :
Pour une poutre sur deux appuis de portée \(L\) avec une charge uniforme \(q\), les efforts maximaux sont donnés par des formules standards :

  • Réactions aux appuis : \(R_A = R_B = \frac{q \cdot L}{2}\)
  • Effort tranchant maximal (aux appuis) : \(V_{\text{max}} = \frac{q \cdot L}{2}\)
  • Moment fléchissant maximal (à mi-portée) : \(M_{\text{max}} = \frac{q \cdot L^2}{8}\)

2. Contrainte de Cisaillement dans une section rectangulaire :
Contrairement à la flexion, la contrainte de cisaillement n'est pas maximale sur les bords mais au centre de la section (sur l'axe neutre). Pour une section rectangulaire, elle vaut : \[ \tau_{\text{max}} = \frac{3}{2} \frac{V}{A} = \frac{3}{2} \frac{V}{b \cdot h} \] Où V est l'effort tranchant et A est l'aire de la section.

3. Flèche sous Charge Répartie :
La déformation est également plus importante qu'avec une charge ponctuelle de même résultante. La flèche maximale à mi-portée est donnée par : \[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \] Notez la dépendance en \(L^4\), qui rend la flèche très sensible à une augmentation de la portée.

Correction : Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin

Question 1 : Calculer les réactions aux appuis

Principe (le concept physique)

Les réactions aux appuis sont les forces verticales que les supports exercent sur la poutre pour la maintenir en équilibre statique. Selon le principe fondamental de la statique, la somme des forces verticales appliquées à la poutre doit être nulle. Pour une charge symétrique, cette charge totale est répartie équitablement entre les deux appuis.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul des réactions est la première étape de toute analyse de structure isostatique. Il repose sur les équations d'équilibre : \(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\), et \(\sum M = 0\). Pour notre poutre simplement appuyée, la symétrie du chargement et des appuis simplifie grandement la résolution : on sait d'emblée que \(R_A = R_B\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous et un ami portez une planche chargée de livres. Si les livres sont bien répartis, vous sentirez tous les deux le même poids. C'est exactement ce qui se passe ici : la charge totale (\(q \times L\)) est simplement divisée par deux.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des réactions d'appui est une application directe des principes de la statique, qui sont à la base de toutes les normes de calcul de structure, y compris l'Eurocode 5 pour les structures en bois.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La charge totale sur la poutre est la charge par unité de longueur \(q\) multipliée par la longueur \(L\). Par symétrie, chaque appui reprend la moitié de cette charge totale.

\[ R_A = R_B = \frac{q \cdot L}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est parfaitement horizontale, que les appuis sont des appuis simples parfaits (une rotule et un rouleau) et que la charge est parfaitement uniforme sur toute la portée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge répartie, \(q = 2.5 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 4.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! Il est plus simple de tout convertir dans un système cohérent avant de commencer. Utilisons le Newton (N) et le millimètre (mm).
\(q = 2.5 \, \text{kN/m} = 2500 \, \text{N/m} = 2.5 \, \text{N/mm}\).
\(L = 4.0 \, \text{m} = 4000 \, \text{mm}\).

Schéma (Avant les calculs)
Poutre avec charges et réactions inconnues
q = 2.5 kN/mRA?RB?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec les unités converties (N et mm).

\[ \begin{aligned} R_A = R_B &= \frac{(2.5 \, \text{N/mm}) \cdot (4000 \, \text{mm})}{2} \\ &= \frac{10000 \, \text{N}}{2} \\ &= 5000 \, \text{N} \quad (\text{ou } 5 \, \text{kN}) \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Poutre avec réactions calculées
q = 2.5 kN/m5 kN5 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Chaque appui doit être capable de supporter une charge de 5000 N (environ 500 kg). Cette valeur est essentielle pour dimensionner non seulement la poutre elle-même, mais aussi les éléments qui la supportent (murs, poteaux, fondations).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est une mauvaise gestion des unités. Si vous mélangez des kN/m et des mm, votre résultat sera incorrect. Convertissez toujours tout dans un système cohérent (N, mm ou kN, m) avant de commencer le calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul des réactions est la première étape de l'analyse.
  • Pour un cas symétrique, chaque appui reprend la moitié de la charge totale.
  • La charge totale est \(q \times L\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les structures hyperstatiques (avec plus d'appuis que nécessaire), on ne peut pas calculer les réactions par la simple statique. Il faut prendre en compte la déformation de la structure et la rigidité des éléments, ce qui rend les calculs beaucoup plus complexes et nécessite souvent des logiciels spécialisés.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la charge n'était pas uniforme ?

Si la charge était triangulaire, par exemple, le centre de gravité de la charge ne serait plus au milieu de la poutre. Les réactions ne seraient plus égales. Il faudrait utiliser les équations complètes de la statique, notamment la somme des moments par rapport à un appui, pour trouver les deux réactions inconnues.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les réactions aux appuis sont \(R_A = R_B = 5000 \, \text{N}\) (ou 5 kN).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge était de 4 kN/m, quelle serait la valeur d'une réaction d'appui en N ?

Question 2 : Déterminer Vmax et Mmax

Principe (le concept physique)

L'effort tranchant \(V\) représente la tendance de la poutre à cisailler verticalement. Il est maximal aux appuis (où la réaction est la plus forte) et diminue linéairement pour s'annuler au centre. Le moment fléchissant \(M\) représente la tendance de la poutre à fléchir. Il est nul aux appuis (qui sont des rotules) et maximal là où l'effort tranchant s'annule, c'est-à-dire à mi-portée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les diagrammes d'efforts internes sont essentiels. Le diagramme de l'effort tranchant \(V(x)\) est la primitive de l'opposé de la charge \(q(x)\). Le diagramme du moment fléchissant \(M(x)\) est la primitive de l'effort tranchant \(V(x)\). C'est pourquoi le moment est maximal (sa dérivée est nulle) lorsque l'effort tranchant \(V(x)\) est nul.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une corde à sauter que vous tenez. L'effort tranchant est la force verticale que vous exercez avec vos mains. Le moment fléchissant est la "courbure" de la corde, maximale au milieu. Pour une poutre, c'est la même idée, mais à l'intérieur du matériau.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules \(qL/2\) et \(qL^2/8\) sont des résultats fondamentaux de la RdM, répertoriés dans tous les formulaires de conception et utilisés comme base pour les calculs de l'Eurocode.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une poutre sur appuis simples avec une charge uniformément répartie :

\[ V_{\text{max}} = \frac{q \cdot L}{2} \quad \text{et} \quad M_{\text{max}} = \frac{q \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour le calcul des réactions : poutre isostatique, appuis parfaits, charge uniforme.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge répartie, \(q = 2.5 \, \text{N/mm}\)
  • Portée, \(L = 4000 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vous avez déjà calculé \(qL/2\) pour les réactions. L'effort tranchant maximal est simplement égal à cette valeur. Pour le moment, une erreur fréquente est de diviser par 4 (cas de la charge ponctuelle) au lieu de 8. Retenez "8 pour répartie".

Schéma (Avant les calculs)
Diagrammes des Efforts (Forme attendue)
Effort Tranchant (V)+Vmax?-Vmax?Moment Fléchissant (M)+Mmax?
Calcul(s) (l'application numérique)

L'effort tranchant maximal est égal aux réactions.

\[ V_{\text{max}} = R_A = 5000 \, \text{N} \]

Calcul du moment fléchissant maximal :

\[ \begin{aligned} M_{\text{max}} &= \frac{(2.5 \, \text{N/mm}) \cdot (4000 \, \text{mm})^2}{8} \\ &= \frac{2.5 \cdot 16000000}{8} \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 5000000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \quad (\text{ou } 5 \, \text{kN} \cdot \text{m}) \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagrammes des Efforts (Valeurs calculées)
Effort Tranchant (V)+5 kN-5 kNMoment Fléchissant (M)+5 kN.m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces deux valeurs, \(V_{\text{max}}\) et \(M_{\text{max}}\), sont les sollicitations maximales que la poutre subit. C'est à partir de ces valeurs que nous allons vérifier si la section choisie (75x220 mm) est suffisamment résistante.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser la bonne formule pour le bon cas de charge. Le moment maximal pour une charge répartie est en \(L^2\), ce qui le rend très sensible à la portée. Une petite augmentation de la portée a un effet quadratique sur le moment.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • \(V_{\text{max}}\) se produit aux appuis.
  • \(M_{\text{max}}\) se produit à mi-portée.
  • La formule du moment est \(qL^2/8\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans une poutre continue (passant sur plus de deux appuis), le moment maximal n'est plus à mi-travée mais sur les appuis intermédiaires, où il devient négatif (les fibres supérieures sont tendues). C'est pourquoi on voit souvent des renforts d'armatures sur le dessus des poutres en béton au niveau des poteaux.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le moment est-il maximal quand l'effort tranchant est nul ?

C'est une relation mathématique fondamentale. Puisque \(V = dM/dx\), le maximum d'une fonction (M) est atteint lorsque sa dérivée (V) est égale à zéro. Physiquement, cela correspond au point où la "pente" de la déformée change le moins vite, c'est-à-dire au sommet de la courbe.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort tranchant maximal est de 5 000 N et le moment fléchissant maximal est de 5 000 000 N·mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée était de 5 m (5000 mm), quel serait le moment maximal en N·mm ?

Question 3 : Vérifier la résistance en flexion

Principe (le concept physique)

On calcule la contrainte maximale de flexion (\(\sigma_{\text{m,d}}\)) dans la poutre, causée par le moment fléchissant, et on la compare à la contrainte de résistance admissible du bois (\(f_{\text{m,d}}\)). Pour être conforme, la contrainte appliquée doit être inférieure à la résistance du matériau, en incluant des coefficients de sécurité.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En construction bois (Eurocode 5), on utilise des valeurs de calcul. La résistance de calcul \(f_{\text{m,d}}\) est obtenue à partir de la résistance caractéristique \(f_{\text{m,k}}\) (une valeur statistique) en la modifiant par un coefficient \(k_{\text{mod}}\) (qui dépend de la classe de service et de la durée de la charge) et en la divisant par un coefficient partiel de sécurité \(\gamma_M\). Pour simplifier ici, nous prendrons \(k_{\text{mod}}=0.8\) (charge de longue durée, classe de service 2) et \(\gamma_M=1.3\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette vérification est le cœur du dimensionnement. C'est comme vérifier que la charge que vous mettez sur une étagère est inférieure à la charge maximale indiquée par le fabricant. Ici, nous calculons nous-mêmes la "charge" (la contrainte) et la "limite" (la résistance de calcul).

Normes (la référence réglementaire)

La vérification \(\sigma_{\text{m,d}} \le f_{\text{m,d}}\) est la principale vérification à l'État Limite Ultime (ELU) pour la flexion selon l'Eurocode 5. Les valeurs de \(f_{\text{m,k}}\), \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_M\) sont toutes définies dans cette norme.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte de flexion :

\[ \sigma_{\text{m,d}} = \frac{M_{\text{max}}}{W_{\text{el}}} \quad \text{avec} \quad W_{\text{el}} = \frac{b \cdot h^2}{6} \]

Résistance de calcul en flexion :

\[ f_{\text{m,d}} = k_{\text{mod}} \frac{f_{\text{m,k}}}{\gamma_M} \]

Critère à vérifier :

\[ \sigma_{\text{m,d}} \le f_{\text{m,d}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le comportement du bois est linéaire-élastique jusqu'à la rupture et que l'hypothèse de Navier-Bernoulli (les sections planes restent planes) s'applique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{\text{max}} = 5000000 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(b = 75 \, \text{mm}\), \(h = 220 \, \text{mm}\)
  • \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\)
  • \(k_{\text{mod}} = 0.8\), \(\gamma_M = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le module de flexion \(W_{\text{el}}\) est une caractéristique géométrique très utile. Calculez-le une bonne fois pour toutes pour votre section. Il représente la "capacité" géométrique de la section à résister au moment.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la Contrainte
σ_m,d = ?Limite f_m,d = ?≤ ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du module de flexion \(W_{\text{el}}\) :

\[ \begin{aligned} W_{\text{el}} &= \frac{75 \, \text{mm} \cdot (220 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= 605000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

2. Calcul de la contrainte de flexion \(\sigma_{\text{m,d}}\) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,d}} &= \frac{5000000 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{605000 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 8.26 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

3. Calcul de la résistance de calcul \(f_{\text{m,d}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{m,d}} &= 0.8 \cdot \frac{24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 14.77 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

4. Vérification :

\[ 8.26 \, \text{MPa} \le 14.77 \, \text{MPa} \quad (\text{OK !}) \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Contrainte (Résultat)
σ=8.26 MPaLimite f=14.77 MPaOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte de flexion dans la poutre (8.26 MPa) est bien inférieure à la résistance de calcul du bois (14.77 MPa). Le "taux de travail" est de 8.26 / 14.77 ≈ 56%. La poutre est donc suffisamment résistante en flexion et possède une marge de sécurité confortable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais comparer la contrainte de calcul à la résistance caractéristique (\(f_{\text{m,k}}\)). Il faut impérativement utiliser la résistance de calcul (\(f_{\text{m,d}}\)) qui intègre les coefficients de sécurité réglementaires. Oublier ces coefficients est une erreur grave qui conduit à une structure dangereuse.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance est vérifiée en comparant la contrainte de calcul à la résistance de calcul.
  • La contrainte de flexion est \(\sigma = M/W\).
  • La résistance de calcul intègre des coefficients de sécurité (\(k_{\text{mod}}\), \(\gamma_M\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les poutres de grande hauteur, un phénomène d'instabilité appelé "déversement" peut se produire. La semelle comprimée de la poutre (la partie supérieure) peut "flamber" latéralement, bien avant que la résistance en flexion ne soit atteinte. Les normes imposent des vérifications spécifiques et des maintiens latéraux pour prévenir ce risque.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce qu'une classe de résistance comme "C24" ?

C'est une classification normalisée (norme EN 338) pour les bois de structure résineux ("C" pour Coniferous). Le nombre "24" correspond à la valeur de la résistance caractéristique à la flexion en MPa. D'autres classes communes sont C18 et C30. Plus le chiffre est élevé, plus le bois est résistant.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La poutre est validée en flexion (\(8.26 \, \text{MPa} \le 14.77 \, \text{MPa}\)).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la poutre était en bois C18 (\(f_{\text{m,k}}=18\) MPa), quel serait son taux de travail en flexion en % ?

Question 4 : Vérifier la résistance au cisaillement

Principe (le concept physique)

De la même manière que pour la flexion, on calcule la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_d\)) due à l'effort tranchant et on la compare à la résistance au cisaillement admissible du bois (\(f_{\text{v,d}}\)). C'est une vérification importante pour les poutres en bois, surtout si elles sont courtes et hautes ou si elles présentent des entailles près des appuis.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte de cisaillement dans une section rectangulaire a une distribution parabolique, nulle en haut et en bas, et maximale au centre (sur l'axe neutre). La formule \(\tau_{\text{max}} = 1.5 \cdot V/A\) est une simplification de cette distribution parabolique, donnant directement la valeur maximale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le cisaillement, c'est ce qui se passe quand vous coupez une feuille de papier avec des ciseaux. Pour une poutre, c'est l'effort qui tend à faire "glisser" les fibres du bois les unes sur les autres. Le bois y est relativement faible, d'où l'importance de cette vérification.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification au cisaillement \(\tau_d \le f_{\text{v,d}}\) est une autre vérification essentielle à l'ELU selon l'Eurocode 5. La résistance de calcul \(f_{\text{v,d}}\) est déterminée de la même manière que pour la flexion, en utilisant la résistance caractéristique au cisaillement \(f_{\text{v,k}}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte de cisaillement de calcul :

\[ \tau_d = \frac{3}{2} \frac{V_{\text{max}}}{A} \quad \text{avec} \quad A = b \cdot h \]

Résistance de calcul au cisaillement :

\[ f_{\text{v,d}} = k_{\text{mod}} \frac{f_{\text{v,k}}}{\gamma_M} \]

Critère à vérifier :

\[ \tau_d \le f_{\text{v,d}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est pleine et rectangulaire et que l'effort tranchant est repris sur toute la section efficace.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(V_{\text{max}} = 5000 \, \text{N}\)
  • \(A = 75 \times 220 = 16500 \, \text{mm}^2\)
  • \(f_{\text{v,k}} = 4.0 \, \text{MPa}\)
  • \(k_{\text{mod}} = 0.8\), \(\gamma_M = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le facteur 3/2 (ou 1.5) est spécifique aux sections rectangulaires. Pour d'autres formes comme un I ou un cercle, ce facteur change. Pour un profilé en I, on simplifie souvent en considérant que seule l'âme reprend le cisaillement.

Schéma (Avant les calculs)
Distribution de la Contrainte de Cisaillement
τ_max?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la contrainte de cisaillement \(\tau_d\) :

\[ \begin{aligned} \tau_d &= \frac{3}{2} \cdot \frac{5000 \, \text{N}}{75 \, \text{mm} \cdot 220 \, \text{mm}} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{5000}{16500} \\ &\approx 0.45 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Calcul de la résistance de calcul \(f_{\text{v,d}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{v,d}} &= 0.8 \cdot \frac{4.0 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 2.46 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

3. Vérification :

\[ 0.45 \, \text{MPa} \le 2.46 \, \text{MPa} \quad (\text{OK !}) \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification du Cisaillement (Résultat)
τ=0.45 MPaLimite f=2.46 MPaOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le taux de travail au cisaillement est très faible (0.45 / 2.46 ≈ 18%). Cela confirme que pour cette poutre relativement élancée, la flexion est le mode de défaillance prépondérant, et non le cisaillement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur 3/2 pour une section rectangulaire. Une simple division de V par A sous-estimerait la contrainte maximale de 33%, ce qui pourrait être dangereux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le cisaillement est maximal au centre de la section.
  • La contrainte est \(\tau = 1.5 \cdot V/A\) pour une section rectangulaire.
  • C'est une vérification importante, même si elle est rarement dimensionnante pour les poutres élancées.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les poutres en bois lamellé-collé sont fabriquées en assemblant de petites lamelles de bois. Ce processus permet de purger les défauts du bois (comme les nœuds), d'obtenir des poutres de très grandes dimensions et de formes courbes, et d'optimiser la résistance en plaçant les meilleures lamelles dans les zones les plus sollicitées (en haut et en bas pour la flexion).

FAQ (pour lever les doutes)
La résistance au cisaillement est-elle la même dans toutes les directions ?

Non, le bois est un matériau anisotrope. Sa résistance au cisaillement est bien plus faible lorsque l'effort est parallèle au fil du bois (cisaillement longitudinal, le cas dans une poutre) que lorsqu'il est perpendiculaire. C'est pourquoi une bûche se fend facilement dans le sens de la longueur.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La poutre est validée au cisaillement (\(0.45 \, \text{MPa} \le 2.46 \, \text{MPa}\)).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la poutre était deux fois moins haute (h=110 mm), quel serait son taux de travail au cisaillement en % ?

Question 5 : Vérifier la flèche

Principe (le concept physique)

La vérification de la flèche n'est pas un critère de résistance (rupture) mais de service (confort et aptitude à l'emploi). Un plancher qui fléchit trop peut être inconfortable (sensation de souplesse), endommager les cloisons ou les carrelages. On compare donc la flèche calculée à une limite fixée par la norme, souvent une fraction de la portée (ex: L/300).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette vérification est un "État Limite de Service" (ELS), par opposition aux vérifications de résistance qui sont des "États Limites Ultimes" (ELU). Les calculs à l'ELS se font généralement avec les charges de service (non pondérées) et les propriétés moyennes des matériaux (comme \(E_{\text{0,mean}}\)), car on s'intéresse au comportement de la structure en conditions normales d'utilisation.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est souvent ce calcul qui détermine la hauteur d'une poutre en bois. On pourrait avoir une poutre qui résiste très bien à la rupture, mais qui serait trop "souple" pour être confortable. Augmenter la hauteur de la poutre est le moyen le plus efficace de réduire la flèche, car l'inertie \(I\) augmente avec le cube de la hauteur.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 propose différentes limites de flèche en fonction de l'usage du bâtiment. Une limite de L/300 est une valeur courante pour les planchers afin d'éviter les dommages aux éléments non structuraux. Des limites plus strictes (ex: L/500) peuvent être utilisées pour des cas sensibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Flèche maximale pour une charge répartie :

\[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \quad \text{avec} \quad I = \frac{b \cdot h^3}{12} \]

Limite admissible :

\[ f_{\text{adm}} = \frac{L}{300} \]

Critère à vérifier :

\[ f_{\text{max}} \le f_{\text{adm}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise le module d'élasticité moyen et on suppose un comportement élastique. On néglige la déformation due au cisaillement, qui est généralement faible pour les poutres élancées.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(q = 2.5 \, \text{N/mm}\), \(L = 4000 \, \text{mm}\)
  • \(E_{\text{0,mean}} = 11000 \, \text{MPa}\)
  • \(b = 75 \, \text{mm}\), \(h = 220 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La puissance 4 sur la portée (\(L^4\)) dans la formule de la flèche est un point crucial. Une petite erreur sur la portée aura un impact énorme sur le résultat. Vérifiez bien vos conversions d'unités !

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la Déformation
f_max?Limite admissible = L/300 = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment quadratique I :

\[ \begin{aligned} I &= \frac{75 \, \text{mm} \cdot (220 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= 66550000 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul de la flèche maximale \(f_{\text{max}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} &= \frac{5 \cdot (2.5 \, \text{N/mm}) \cdot (4000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (11000 \, \text{MPa}) \cdot (66550000 \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{3.2 \times 10^{15}}{2.805 \times 10^{14}} \, \text{mm} \\ &\approx 11.4 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de la flèche admissible \(f_{\text{adm}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{adm}} &= \frac{4000 \, \text{mm}}{300} \\ &\approx 13.3 \, \text{mm} \end{aligned} \]

4. Vérification :

\[ 11.4 \, \text{mm} \le 13.3 \, \text{mm} \quad (\text{OK !}) \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Déformation (Résultat)
f=11.4 mmLimite admissible = 13.3 mmOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche calculée est de 11.4 mm, ce qui est inférieur à la limite de 13.3 mm. Le critère de déformation est donc respecté. On remarque que le "taux de travail" en déformation (11.4 / 13.3 ≈ 86%) est plus élevé que celui en résistance (56%). C'est très fréquent pour les poutres en bois, où la rigidité (le contrôle de la déformation) est souvent plus contraignante que la résistance pure.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre les vérifications ELU (résistance) et ELS (service). Les coefficients de sécurité et les propriétés des matériaux utilisés sont différents. Une poutre peut être conforme à l'ELU mais pas à l'ELS, et inversement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la flèche est un critère de confort et de serviceabilité (ELS).
  • La formule de la flèche est en \(L^4\), la rendant très sensible à la portée.
  • La flèche est inversement proportionnelle à E et I (la rigidité de flexion).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le fluage est un phénomène où un matériau continue de se déformer lentement sous une charge constante. Le bois est particulièrement sensible au fluage, surtout en milieu humide. Les normes de calcul en tiennent compte en majorant la flèche à long terme avec un coefficient \(k_{\text{def}}\).

FAQ (pour lever les doutes)
La limite de flèche est-elle toujours L/300 ?

Non, cela dépend de nombreux facteurs. Pour une toiture visible, on peut prendre L/400 ou L/500 pour des raisons esthétiques. Pour un plancher supportant des cloisons fragiles, la limite sur la flèche additionnelle (après pose des cloisons) peut être encore plus stricte. La norme donne des valeurs recommandées que l'ingénieur adapte au projet.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La poutre est validée en déformation (\(11.4 \, \text{mm} \le 13.3 \, \text{mm}\)).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la limite de flèche était plus stricte (L/400), la poutre serait-elle toujours conforme ? (L/400 = 10 mm)

Outil Interactif : Dimensionnement d'une Solive

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur les taux de travail en résistance et en déformation.

Paramètres d'Entrée
2.5 kN/m
4.0 m
220 mm
Résultats Clés (Taux de travail)
Résistance en Flexion (\(\sigma / f_m\)) -
Déformation (\(f / f_{\text{adm}}\)) -
Verdict -

Le Saviez-Vous ?

Le bois a un excellent rapport résistance/poids. À poids égal, le bois de construction est plus résistant que l'acier. C'est l'une des raisons pour lesquelles il est utilisé depuis des millénaires et connaît un renouveau dans la construction de bâtiments de grande hauteur, comme la tour Mjøstårnet en Norvège, qui culmine à 85.4 mètres.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la vérification de la flèche est-elle si importante pour le bois ?

Le bois a un module d'élasticité (E) bien plus faible que celui de l'acier (environ 11 GPa contre 210 GPa). Cela signifie qu'à géométrie et charge égales, une poutre en bois se déformera beaucoup plus qu'une poutre en acier. C'est pourquoi la conception des structures en bois est très souvent dictée par les limites de déformation plutôt que par les limites de résistance.

Qu'est-ce que le coefficient k_mod dans l'Eurocode 5 ?

Le \(k_{\text{mod}}\) est un facteur de modification qui tient compte de l'effet de la durée de la charge et de la teneur en humidité du bois sur sa résistance. Le bois peut supporter des charges élevées pendant une courte durée (comme un coup de vent), mais sa résistance diminue pour des charges appliquées en permanence (comme le poids propre d'une structure). Le \(k_{\text{mod}}\) ajuste la résistance caractéristique du matériau pour refléter ces conditions d'usage réelles.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour une poutre soumise à une charge répartie, où la contrainte de cisaillement est-elle maximale ?

2. Si on double la portée (L) d'une poutre sous charge répartie, le moment fléchissant maximal est...

Charge Uniformément Répartie (q)
Une charge qui s'applique de manière continue et avec la même intensité sur toute la longueur d'un élément structurel. Ex: le poids d'un plancher, la pression de la neige sur une toiture.
Effort Tranchant (V)
Effort interne qui tend à faire glisser verticalement les sections d'une poutre les unes par rapport aux autres. Il est associé à la contrainte de cisaillement.
Serviceabilité
Aptitude d'une structure à remplir sa fonction dans des conditions normales d'utilisation. Pour un plancher, cela inclut des critères de déformation (flèche) et de vibration pour assurer le confort des utilisateurs.
Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin

D’autres exercices de structure en bois:

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