Dimensionnement des éléments d'un contreventement vertical en croix de Saint-André
Contexte : Assurer la Stabilité d'Ensemble
Un bâtiment, même s'il est composé de portiques robustes, peut se comporter comme un château de cartes face aux efforts horizontaux (vent, séisme) s'il n'est pas correctement stabilisé dans toutes les directions. Le contreventementSystème structurel (panneaux, croix de Saint-André) destiné à stabiliser une structure en reprenant les efforts horizontaux (vent, séisme) et en empêchant sa déformation. est le système qui assure cette stabilité "d'ensemble". La croix de Saint-André est l'un des systèmes de contreventement les plus classiques et efficaces. Elle fonctionne comme un grand treillis vertical qui reprend les efforts horizontaux et les transmet aux fondations. Cet exercice se concentre sur le calcul de l'effort dans les diagonales de ce treillis pour pouvoir les dimensionner.
Remarque Pédagogique : On fait souvent l'hypothèse que seule la diagonale tendue travaille. La diagonale qui serait comprimée est considérée comme "inactive" car, étant très élancée, elle flamberait sous un effort de compression très faible. Le dimensionnement se résume donc à choisir un tirant capable de reprendre tout l'effort diagonal.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le rôle d'un contreventement vertical.
- Calculer la force horizontale de calcul reprise par une file de contreventement.
- Déterminer par la trigonométrie l'effort de traction dans une diagonale.
- Calculer l'aire de section nécessaire pour la diagonale.
- Choisir un profilé adéquat pour réaliser la diagonale.
Données de l'étude
Schéma du contreventement
- Les diagonales sont des cornières en acier S235 (\(f_y = 235 \, \text{MPa}\)).
- Coefficient partiel de sécurité : \(\gamma_{M0} = 1.0\).
- On ne considère que la diagonale tendue pour la reprise des efforts.
Questions à traiter
- Calculer la longueur de la diagonale (\(L_{diag}\)).
- Calculer l'effort de traction de calcul (\(N_{Ed}\)) dans la diagonale tendue.
- Déterminer l'aire de section brute minimale requise (\(A_{req}\)) pour la diagonale.
- À l'aide du tableau de l'exercice précédent, choisir le profilé cornière le plus léger qui convient.
Correction : Dimensionnement d'un contreventement vertical en croix de Saint-André
Question 1 : Longueur de la Diagonale (\(L_{diag}\))
Principe :
La diagonale, la hauteur et la largeur de la travée de contreventement forment un triangle rectangle. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer facilement la longueur de la diagonale (l'hypoténuse).
Remarque Pédagogique :
La géométrie avant tout : Avant tout calcul de résistance, il est indispensable de bien définir la géométrie du système. Une erreur sur une longueur ou un angle se répercutera sur tous les calculs d'efforts qui suivent.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Largeur de la travée \(L = 7.0 \, \text{m}\)
- Hauteur de la travée \(H = 6.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Question 2 : Effort de Traction dans la Diagonale (\(N_{Ed}\))
Principe :
La force horizontale (\(F_{w,Ed}\)) et l'effort dans la diagonale (\(N_{Ed}\)) forment un triangle de forces similaire au triangle géométrique du contreventement. Par une simple relation de proportionnalité (Thalès) ou par trigonométrie, on peut en déduire l'effort dans la diagonale.
Remarque Pédagogique :
La puissance des triangles : C'est la base de l'analyse des treillis. Le fait que le triangle des forces soit proportionnel au triangle des longueurs permet de résoudre très simplement des problèmes qui semblent complexes au premier abord. C'est une application directe de la décomposition de vecteurs.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(F_{w,Ed} = 120 \, \text{kN}\)
- \(L_{diag} = 9.22 \, \text{m}\)
- \(L = 7.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Question 3 : Aire de Section Brute Minimale Requise (\(A_{req}\))
Principe :
La résistance en traction d'une barre est son aire (\(A\)) multipliée par la résistance de calcul de l'acier. Pour que la barre résiste, son aire doit être au moins égale à l'effort de calcul divisé par la résistance de l'acier.
Remarque Pédagogique :
Le calcul le plus simple : Le dimensionnement en traction est le cas le plus simple du calcul de structure. Il n'y a pas de risque d'instabilité (flambement, déversement), la seule condition est que la section soit assez "grosse" pour ne pas casser sous l'effort.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(N_{Ed} = 158.1 \, \text{kN} = 158,100 \, \text{N}\)
- \(f_y = 235 \, \text{MPa} = 235 \, \text{N/mm}^2\)
- \(\gamma_{M0} = 1.0\)
Calcul(s) :
On convertit cette aire en cm² :
Question 4 : Choix du Profilé Optimal
Principe :
L'objectif est de choisir dans le catalogue le profilé qui satisfait la condition (\(A \ge A_{req}\)) tout en étant le plus léger possible. Le poids étant directement lié à l'aire de la section, cela revient à choisir le profilé qui a l'aire la plus petite, mais tout de même supérieure à l'aire requise.
Remarque Pédagogique :
L'art de l'optimisation : Un bon ingénieur ne choisit pas un profilé "au hasard" qui serait très surdimensionné. Il cherche le profilé "juste suffisant". Sur un grand projet avec des centaines de tirants, choisir systématiquement le profilé optimal peut représenter des économies de plusieurs tonnes d'acier, avec un impact financier et environnemental significatif.
Formule(s) utilisée(s) :
Comparaison directe des valeurs du tableau avec le besoin calculé.
Donnée(s) :
- Aire requise \(A_{req} \ge 6.73 \, \text{cm}^2\)
- Tableau des profilés L (cornières à ailes égales) de l'exercice précédent.
Calcul(s) :
On examine le tableau pour trouver le profilé le plus léger (plus faible masse) dont l'aire est supérieure à 6.73 cm² :
Le premier profilé de la liste qui convient est le L 80x80x8. Comme la liste est implicitement triée par masse croissante, c'est le choix optimal.
Points de vigilance :
Section nette et assemblages : Ce calcul ne vérifie que la section courante de la barre. Il est impératif de vérifier également la résistance de la section nette au niveau des trous de boulons, ainsi que la résistance des boulons eux-mêmes en cisaillement et en pression diamétrale. L'assemblage est souvent le point faible.
Le saviez-vous ?
Simulation Interactive : Effort dans la Diagonale
Faites varier les paramètres géométriques de la travée et la force du vent pour voir leur influence sur l'effort de traction dans la diagonale.
Paramètres du Contreventement
Résultats du Calcul
Pour Aller Plus Loin : Contreventement par Portiques
Une alternative aux croix de Saint-André est d'utiliser les portiques principaux de la structure comme système de contreventement. Cela nécessite que les assemblages poteau-traverse et les pieds de poteaux soient rigides et capables de reprendre les moments générés par les efforts horizontaux. Cette solution est plus coûteuse en termes de profilés (poteaux et traverses plus lourds) et de complexité des assemblages, mais elle offre l'avantage de laisser les travées entièrement libres, sans diagonales.
Le Saviez-Vous ?
Le Centre Pompidou à Paris est un exemple célèbre de structure où le contreventement est visible en façade. Les grandes croix rouges et blanches ne sont pas décoratives ; ce sont les croix de Saint-André qui assurent la stabilité de l'ensemble du bâtiment face au vent et aux autres efforts horizontaux, laissant les plateaux intérieurs totalement libres.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi la diagonale comprimée ne travaille-t-elle pas ?
Une barre longue et fine, comme une cornière ou un rond plein, a une très faible résistance à la compression car elle flambe immédiatement. Imaginez essayer de pousser sur une ficelle : elle se plie sans opposer de résistance. C'est la même chose pour la diagonale comprimée. Tout l'effort est donc repris par la diagonale tendue, qui elle, travaille très efficacement.
Et si l'on veut que les deux diagonales travaillent ?
Il faudrait utiliser des profilés capables de résister à la compression sans flamber, comme des tubes carrés ou ronds de forte section. Dans ce cas, l'effort horizontal se répartirait entre les deux diagonales : une serait tendue et l'autre comprimée. Le calcul est plus complexe mais cela peut être nécessaire pour des efforts très importants ou des contraintes architecturales.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si l'on augmente la hauteur (H) de la travée de contreventement, l'effort dans la diagonale tendue :
2. Le dimensionnement d'une diagonale de contreventement en croix de Saint-André est principalement un problème de :
Glossaire
- Contreventement
- Système structurel (panneaux, croix de Saint-André) destiné à stabiliser une structure en reprenant les efforts horizontaux (vent, séisme) et en empêchant sa déformation.
- Treillis
- Structure composée de barres droites assemblées en nœuds pour former des triangles. Cette triangulation la rend très rigide et efficace pour reprendre les charges.
- Méthode des Nœuds
- Méthode d'analyse des treillis qui consiste à isoler chaque nœud (point de connexion des barres) et à appliquer les équations de l'équilibre statique pour trouver les efforts inconnus dans les barres.
- Isostatique
- Se dit d'une structure pour laquelle le nombre d'inconnues (efforts dans les barres et réactions d'appui) est exactement égal au nombre d'équations d'équilibre disponibles. La structure est stable et calculable par la statique seule.
D’autres exercices de structure métallique:
0 commentaires