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Dimensionnement d’une panne de couverture

Dimensionnement d’une panne de couverture métallique

Dimensionnement d’une panne de couverture

Contexte : La charpente métallique.

Les pannesÉlément de charpente posé horizontalement sur les fermes ou les murs, destiné à supporter le poids de la couverture. sont des éléments clés de la toiture d'un bâtiment. Posées sur les traversesÉlément principal d'une ferme de charpente, souvent incliné, qui supporte les pannes. (ou fermes), elles supportent directement le poids de la couverture ainsi que les charges climatiques comme la neige et le vent. Un dimensionnement correct est essentiel pour garantir la sécurité et la durabilité de l'ensemble de la structure. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de vérification d'une panne en acier selon les normes EurocodesEnsemble de normes européennes de calcul de structures pour le bâtiment. L'Eurocode 3 concerne les structures en acier..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la Résistance des Matériaux (RDM) à un cas concret d'ingénierie des structures. Vous apprendrez à traduire des charges surfaciques (en kN/m²) en charges linéiques (en kN/m), à calculer les sollicitations (moment fléchissant) et à vérifier la résistance et la déformation d'un profilé en acier.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le rôle d'une panne dans une charpente.
  • Calculer les charges permanentes et de neige sur une panne.
  • Appliquer les combinaisons de charges de l'Eurocode à l'ELU et l'ELS.
  • Calculer le moment fléchissantSollicitation interne dans une poutre soumise à la flexion, qui tend à courber l'élément. Il est maximal au milieu d'une poutre sur deux appuis. de calcul.
  • Vérifier la résistance à la flexion d'un profilé en acier (IPE).
  • Vérifier la flècheDéplacement vertical maximal d'une poutre sous l'effet des charges. Sa limitation est un critère de confort et de durabilité (ELS). (déformation) de la panne.

Données de l'étude

On étudie une panne de toiture en acier, simplement appuyée sur deux traverses. La panne est un profilé de type IPE, en acier de nuance S235.

Schéma de la structure
Portée, L = 6.0 m Entraxe, E = 1.8 m Panne à étudier
Vue 3D interactive de la charpente
Paramètre Notation Valeur Unité
Portée de la panne \(L\) 6.0 \(\text{m}\)
Entraxe des pannes \(E\) 1.80 \(\text{m}\)
Charge permanente (couverture) \(g\) 0.25 \(\text{kN/m}^2\)
Charge de neige (caractéristique) \(s_k\) 0.60 \(\text{kN/m}^2\)
Nuance de l'acier - S235 -
Limite d'élasticité \(f_y\) 235 \(\text{MPa}\)
Module de Young \(E_a\) 210 000 \(\text{MPa}\)
Coefficient partiel (acier) \(\gamma_{M0}\) 1.00 -
Flèche admissible \(w_{\text{adm}}\) L / 250 -

Questions à traiter

  1. Calculer la charge permanente totale \(G\) supportée par la panne (poids propre + couverture) en kN/m.
  2. Calculer la charge de neige \(Q_k\) supportée par la panne en kN/m.
  3. Déterminer la charge de calcul à l'ELU (\(p_{\text{Ed}}\)) et le moment fléchissant maximal (\(M_{\text{Ed}}\)).
  4. Déterminer le module de résistance plastique requis (\(W_{\text{pl},y,\text{req}}\)) et choisir le profilé IPE adéquat.
  5. Vérifier que la flèche du profilé choisi à l'ELS est inférieure à la flèche admissible.

Les bases de la RDM et de l'Eurocode 3

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux de la Résistance des Matériaux et des calculs selon l'Eurocode 3.

1. Des charges surfaciques aux charges linéiques
Une panne reprend les charges sur une certaine largeur, qui correspond à son entraxe. Pour obtenir la charge par mètre linéaire (\(\text{kN/m}\)) sur la panne, on multiplie la charge par unité de surface (\(\text{kN/m}^2\)) par l'entraxe des pannes (\(\text{m}\)). \[ q_{\text{linéique}} (\text{kN/m}) = p_{\text{surfacique}} (\text{kN/m}^2) \times E (\text{m}) \]

2. Combinaisons de charges (Eurocodes)
Pour garantir la sécurité, on majore les charges avec des coefficients de sécurité.

  • À l'ELU (État Limite Ultime - Résistance) : On vérifie que la structure ne rompt pas. La combinaison la plus courante est : \(1.35 \cdot G + 1.50 \cdot Q\).
  • À l'ELS (État Limite de Service - Déformation) : On vérifie que la structure ne se déforme pas excessivement. La combinaison est : \(1.00 \cdot G + 1.00 \cdot Q\).

3. Flexion simple d'une poutre sur deux appuis
Pour une poutre de longueur \(L\) soumise à une charge uniforme \(p\), les formules de base sont :

  • Moment fléchissant maximal : \( M_{\text{max}} = \frac{p \cdot L^2}{8} \)
  • Flèche maximale : \( w_{\text{max}} = \frac{5 \cdot p \cdot L^4}{384 \cdot E_a \cdot I} \)
Où \(E_a\) est le module de Young de l'acier et \(I\) est l'inertiePropriété géométrique d'une section qui caractérise sa capacité à résister à la flexion. Plus l'inertie est grande, moins la poutre se déforme. du profilé.

Correction : Dimensionnement d'une panne de couverture

Question 1 : Calculer la charge permanente totale G

Principe (le concept physique)

La charge permanente (G) est la charge qui s'applique de manière continue sur la structure. Elle inclut ici le poids de la couverture (bac acier, isolant...) et le poids propre de la panne elle-même. On doit d'abord estimer le poids de la panne avant de la dimensionner, ce qui est un processus itératif.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le poids propre d'un profilé est donné par les fabricants en kg/m ou daN/m. Pour un pré-dimensionnement, si on ne connaît pas encore le profilé, on peut prendre une valeur forfaitaire (ex: 15 daN/m) que l'on vérifiera après avoir choisi le profilé final.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'estimation initiale du poids propre est une étape importante. Une sous-estimation peut mener à un calcul erroné. Il est toujours bon de refaire une passe de calcul une fois le profilé final choisi pour s'assurer que le poids propre réel est bien couvert par l'estimation.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 1 (EN 1991-1-1) fournit les poids volumiques des matériaux de construction pour calculer les poids propres. Pour les profilés en acier, les catalogues des fabricants (ex: ArcelorMittal) font foi.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge linéique due à la couverture :

\[ g_{\text{couv, lin}} = g_{\text{couv, surf}} \times E \]

Charge permanente totale :

\[ G = g_{\text{couv, lin}} + g_{\text{panne, pp}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On estime le poids propre de la panne à 0.15 kN/m (soit ~15 kg/m), une valeur courante pour cette portée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge couverture \(g\) : \(0.25 \, \text{kN/m}^2\)
  • Entraxe \(E\) : \(1.80 \, \text{m}\)
  • Poids propre estimé \(g_{\text{pp}}\) : \(0.15 \, \text{kN/m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Faites attention aux unités. Convertissez toutes vos charges en kN et vos longueurs en m dès le début pour éviter les erreurs. Ici, 25 daN/m² = 0.25 kN/m².

Schéma (Avant les calculs)
Charges permanentes sur la panne
Charge couverture (g) + Poids propre (g_pp)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Charge linéique de la couverture :

\[ \begin{aligned} g_{\text{couv, lin}} &= 0.25 \, \text{kN/m}^2 \times 1.80 \, \text{m} \\ &= 0.45 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Charge permanente totale :

\[ \begin{aligned} G &= g_{\text{couv, lin}} + g_{\text{panne, pp}} \\ &= 0.45 \, \text{kN/m} + 0.15 \, \text{kN/m} \\ &= 0.60 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la charge G
G = 0.60 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La panne doit supporter 0.60 kN (environ 60 kg) pour chaque mètre de sa longueur, de manière permanente.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier le poids propre ! C'est une erreur fréquente chez les débutants. Même s'il est souvent faible par rapport aux autres charges, il n'est jamais nul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La charge permanente G est la somme de toutes les charges fixes.
  • On transforme une charge surfacique en charge linéique en multipliant par la largeur de reprise (l'entraxe).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le viaduc de Millau, l'un des plus hauts ponts du monde, est une structure métallique dont le poids total d'acier est de 36 000 tonnes, soit 5 fois le poids de la Tour Eiffel ! Le calcul des charges permanentes sur un tel ouvrage est d'une complexité extrême.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on tenir compte de la pente du toit pour la charge G ?

Pour les charges de poids propre, on les applique généralement sur la longueur réelle de la panne (donc sur le rampant). La différence avec la projection horizontale est souvent faible pour les pentes usuelles, donc on néglige souvent cette correction pour G.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge permanente totale supportée par la panne est \(G = 0.60 \, \text{kN/m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'entraxe était de 2.0 m, quelle serait la nouvelle charge G en kN/m ?

Question 2 : Calculer la charge de neige Qk

Principe (le concept physique)

La charge de neige est une charge climatique variable. Elle est donnée par les normes en fonction de la région et de l'altitude du projet. Cette charge est définie sur une surface horizontale projetée. On la convertit ensuite en charge linéique sur la panne.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La charge de neige sur la toiture dépend de la forme du toit. Pour un toit à deux versants simple, on utilise un coefficient de forme \(\mu_1\). Pour des pentes faibles (< 30°), ce coefficient est de 0.8. La charge sur le toit est donc \(s = \mu_1 \cdot s_k\). Cette charge est ensuite projetée sur le plan de la toiture si nécessaire, mais pour le calcul de la charge linéique, on utilise la projection horizontale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La neige est une charge "projetée". Imaginez que la neige tombe verticalement. La quantité de neige qui atterrit sur la "zone d'influence" de la panne est la même que si le toit était plat. C'est pourquoi on multiplie la charge au m² horizontal par l'entraxe horizontal.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 1 (EN 1991-1-3) définit les charges de neige à appliquer sur les structures en Europe. Il fournit des cartes de zonage de la neige et des formules pour tenir compte de l'altitude et de la forme du toit.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge de neige linéique :

\[ Q_k = s_k \times E \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose une pente faible, donc le coefficient de forme \(\mu_1\) est inclus dans la valeur de \(s_k\) donnée. On néglige les accumulations de neige dues au vent.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de neige \(s_k\) : \(0.60 \, \text{kN/m}^2\)
  • Entraxe \(E\) : \(1.80 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul est direct : charge surfacique projetée multipliée par la distance entre les pannes. C'est la même logique que pour la charge de couverture.

Schéma (Avant les calculs)
Charge de neige sur la panne
Charge de neige (Qk)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la charge linéique de neige :

\[ \begin{aligned} Q_k &= 0.60 \, \text{kN/m}^2 \times 1.80 \, \text{m} \\ &= 1.08 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la charge Qk
Qk = 1.08 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

En cas de fortes chutes de neige, la panne devra supporter 1.08 kN (environ 108 kg) par mètre de longueur, en plus de son poids propre et de celui de la couverture.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la charge de neige sur la toiture (en kN/m² de rampant) et la charge de neige au sol (en kN/m² horizontal). Les normes fournissent la charge au sol, qu'il faut ensuite adapter à la toiture.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La charge de neige est une charge variable et projetée horizontalement.
  • Son calcul est \(Q_k = s_k \times E\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les pays nordiques, les toits sont très pentus non seulement pour évacuer la neige, mais aussi parce que les normes imposent des charges de neige beaucoup plus élevées. Une toiture au Canada peut être conçue pour supporter plus de 4 kN/m² (400 kg/m²), soit près de 7 fois la charge de notre exercice !

FAQ (pour lever les doutes)
Et le vent ?

Le vent est une autre charge climatique cruciale, souvent plus complexe à calculer que la neige car il peut agir en pression ou en dépression (arrachement). Pour cet exercice, nous l'avons omis pour simplifier, mais dans un cas réel, il faudrait aussi vérifier la combinaison de charges avec le vent.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge de neige caractéristique est \(Q_k = 1.08 \, \text{kN/m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge de neige de la région était de 0.90 kN/m², quelle serait la nouvelle charge Qk en kN/m ?

Question 3 : Déterminer la charge de calcul à l'ELU et le moment fléchissant maximal

Principe (le concept physique)

Pour la vérification de la résistance (ELU), on utilise une charge majorée pour tenir compte des incertitudes. On combine les charges G et Qk avec les coefficients de sécurité de l'Eurocode. Cette charge de calcul (\(p_{\text{Ed}}\)) nous permet ensuite de calculer la sollicitation maximale dans la panne, qui est le moment fléchissant (\(M_{\text{Ed}}\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le moment fléchissant est une mesure de l'effort de flexion interne dans la poutre. C'est lui qui "plie" la poutre. Pour une poutre sur deux appuis avec une charge uniforme, ce moment est nul aux appuis et maximal au milieu de la travée. C'est à cet endroit que la poutre est la plus sollicitée et risque de casser.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette étape est le cœur du dimensionnement. C'est ici que l'on passe des "charges" (causes extérieures) aux "sollicitations" (effets intérieurs). La formule \(M = pL^2/8\) est l'une des plus importantes de la RDM, à connaître par cœur.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 0 (EN 1990) définit les bases du calcul des structures et les principes des combinaisons de charges. La combinaison \(1.35G + 1.50Q\) est la combinaison fondamentale pour les bâtiments.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge de calcul ELU :

\[ p_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot G + 1.50 \cdot Q_k \]

Moment fléchissant maximal :

\[ M_{\text{Ed}} = \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère la panne comme une poutre isostatique simplement appuyée à ses deux extrémités.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge permanente \(G\) : \(0.60 \, \text{kN/m}\)
  • Charge de neige \(Q_k\) : \(1.08 \, \text{kN/m}\)
  • Portée \(L\) : \(6.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez d'abord la charge \(p_{\text{Ed}}\), puis injectez cette valeur dans la formule du moment. Ne mélangez pas les étapes. Attention aux unités : si \(p_{\text{Ed}}\) est en kN/m et L en m, le moment \(M_{\text{Ed}}\) sera en kN.m.

Schéma (Avant les calculs)
Modèle de calcul de la poutre
L = 6.0 mp_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la charge à l'ELU :

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= (1.35 \times 0.60 \, \text{kN/m}) + (1.50 \times 1.08 \, \text{kN/m}) \\ &= 0.81 \, \text{kN/m} + 1.62 \, \text{kN/m} \\ &= 2.43 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul du moment fléchissant maximal :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{2.43 \, \text{kN/m} \times (6.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{2.43 \times 36}{8} \\ &= 10.935 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant
M_Ed = 10.94 kN.m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Au centre de la panne, la structure doit être capable de résister à un moment fléchissant de 10.94 kN.m. C'est cette valeur qui va nous permettre de choisir un profilé en acier suffisamment résistant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur classique est d'oublier d'élever la portée L au carré dans la formule du moment. Cette erreur conduit à une sous-estimation dramatique de la sollicitation et donc à un dimensionnement dangereux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • On utilise les charges pondérées (\(1.35G + 1.50Q\)) pour le calcul de résistance (ELU).
  • Le moment maximal pour une poutre sur deux appuis est \(M_{\text{Ed}} = p_{\text{Ed}}L^2/8\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La forme en "I" des profilés (comme les IPE) n'est pas un hasard. La matière est concentrée dans les "semelles" (les parties horizontales), loin de l'axe neutre, là où elle est la plus efficace pour reprendre la flexion. C'est une optimisation parfaite de la matière pour une résistance maximale avec un poids minimal.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas utiliser la formule \(pL^2/2\) ?

La formule \(pL^2/2\) correspond au moment maximal dans une poutre "encastrée-libre" (une console, comme un balcon). Pour une poutre sur deux appuis simples, comme notre panne, la formule correcte est bien \(pL^2/8\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant de calcul à l'ELU est \(M_{\text{Ed}} = 10.94 \, \text{kN.m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée était de 5.0 m au lieu de 6.0 m, quel serait le nouveau moment M_Ed en kN.m ?

Question 4 : Déterminer le module de résistance requis et choisir le profilé IPE

Principe (le concept physique)

La capacité d'une section à résister au moment fléchissant est caractérisée par son module de résistance plastique (\(W_{\text{pl}}\)). La condition de résistance est simple : le moment résistant de la section doit être supérieur au moment appliqué. On calcule donc le module minimum requis, puis on cherche dans un catalogue de profilés le premier IPE qui possède un module supérieur ou égal.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La condition de résistance à la flexion pour une section de classe 1 ou 2 (ce qui est le cas des IPE) s'écrit : \( M_{\text{Ed}} \le M_{\text{pl,Rd}} \). Le moment résistant plastique est donné par \( M_{\text{pl,Rd}} = \frac{W_{\text{pl},y} \cdot f_y}{\gamma_{M0}} \). En réarrangeant, on trouve le module requis : \( W_{\text{pl},y,\text{req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}} \cdot \gamma_{M0}}{f_y} \).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le choix du profilé est un équilibre entre sécurité et économie. On doit choisir le profilé le plus léger (donc le moins cher) qui satisfait à la condition de résistance. Prendre un profilé beaucoup plus gros serait sûr, mais pas économiquement optimal.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 (EN 1993-1-1) définit la formule de vérification de la résistance en flexion. Les caractéristiques des profilés (poids, \(W_{\text{pl}}\), \(I\)) sont données dans la norme NF EN 10365.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Module de résistance plastique requis :

\[ W_{\text{pl},y,\text{req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}}}{f_y / \gamma_{M0}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le profilé est protégé contre le déversementPhénomène d'instabilité où une poutre fléchie se tord et se déplace latéralement. On suppose ici que la couverture empêche ce phénomène. par la toiture, donc on n'a pas besoin de faire de vérification d'instabilité complexe.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul \(M_{\text{Ed}}\) : \(10.94 \, \text{kN.m}\)
  • Limite d'élasticité \(f_y\) : \(235 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient \(\gamma_{M0}\) : \(1.00\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! Le moment est en kN.m et la contrainte en MPa (N/mm²). Il faut tout convertir dans des unités cohérentes. Le plus simple : \(1 \, \text{kN.m} = 10^6 \, \text{N.mm}\). Le module sera alors obtenu en mm³ puis converti en cm³ (\(1 \, \text{cm}^3 = 1000 \, \text{mm}^3\)).

Schéma (Avant les calculs)
Recherche du profilé adéquat
M_Ed (Sollicitation)≤M_Rd (Résistance)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités du moment :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= 10.94 \, \text{kN.m} \\ &= 10.94 \times 10^6 \, \text{N.mm} \end{aligned} \]

2. Calcul du module de résistance requis :

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl},y,\text{req}} &\ge \frac{10.94 \times 10^6 \, \text{N.mm}}{235 \, \text{N/mm}^2 / 1.00} \\ &\ge 46553 \, \text{mm}^3 \\ &\ge 46.55 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]

3. Choix du profilé dans un catalogue (extrait) :

Profilé\(W_{\text{pl},y}\) (\(\text{cm}^3\))\(I_y\) (\(\text{cm}^4\))Poids (\(\text{kg/m}\))Choix
IPE 10033.51718.1Non
IPE 12053.031810.4Oui
IPE 14077.954112.9Oui (surdimensionné)
Schéma (Après les calculs)
Profilé IPE 120 choisi
IPE 120
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le profilé IPE 120 est le plus petit (et donc le plus léger et économique) qui possède un module de résistance plastique (\(53.0 \, \text{cm}^3\)) supérieur à celui requis (\(46.55 \, \text{cm}^3\)). On le sélectionne donc pour la suite de l'étude.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien utiliser le module plastique \(W_{\text{pl}}\) et non le module élastique \(W_{\text{el}}\) pour la vérification à l'ELU des sections de classe 1 ou 2. Le module plastique est plus grand et reflète la capacité de la section à se plastifier avant de rompre.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La condition de résistance est : Sollicitation (\(M_{\text{Ed}}\)) \(\le\) Résistance (\(M_{\text{Rd}}\)).
  • On en déduit le \(W_{\text{pl},y,\text{req}}\) pour choisir le profilé le plus économique dans le catalogue.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les premiers profilés en "I" ont été laminés à chaud en France en 1849 par l'ingénieur Ferdinand Zores. Cette invention a révolutionné la construction, permettant de créer des structures plus hautes, plus légères et plus audacieuses, menant à des réalisations comme les gares, les grands magasins et la Tour Eiffel.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si aucun profilé ne convient ?

Si la sollicitation est trop forte, il faut soit choisir un profilé plus grand (IPE 140, 160...), soit changer de type de profilé (HEB, qui est plus large et résistant), soit, si ce n'est pas possible, réduire la portée ou l'entraxe des pannes pour diminuer la charge.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le module de résistance requis est \(W_{\text{pl},y,\text{req}} = 46.55 \, \text{cm}^3\). On choisit un profilé **IPE 120**.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le moment M_Ed était de 15 kN.m, quel serait le W_pl,y,req en cm³ ?

Question 5 : Vérifier la flèche du profilé choisi à l'ELS

Principe (le concept physique)

La résistance ne fait pas tout. Une panne peut être assez solide pour ne pas casser, mais se déformer de manière excessive, ce qui peut endommager la couverture, créer des problèmes d'étanchéité ou être visuellement inacceptable. On vérifie donc à l'ELS (avec des charges non pondérées) que la déformation (la flèche) reste sous une limite fixée par les normes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La flèche est inversement proportionnelle au module de Young (\(E_a\)) et à l'inertie (\(I\)) de la section. L'acier étant très rigide (E élevé), c'est surtout l'inertie du profilé qui va limiter la déformation. Plus un profilé est haut, plus son inertie est grande et moins il se déformera.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La vérification de la flèche est une étape aussi importante que la vérification de la résistance. Il arrive souvent qu'un profilé soit assez résistant à l'ELU mais se déforme trop à l'ELS. Dans ce cas, c'est le critère de flèche qui "dimensionne", c'est-à-dire qui oblige à choisir un profilé plus grand.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 recommande des limites de flèche pour éviter les désordres. Une limite courante pour les pannes supportant des éléments de couverture fragiles est de L/250. Pour des couvertures plus souples, on peut aller jusqu'à L/200.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge de service ELS :

\[ p_{\text{ser}} = G + Q_k \]

Flèche maximale :

\[ w_{\text{max}} = \frac{5 \cdot p_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E_a \cdot I_y} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la combinaison de charges caractéristique (quasi-permanente serait aussi possible mais moins pénalisante ici). La limite de flèche est fixée à L/250.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Profilé choisi : IPE 120
  • Inertie \(I_y\) (catalogue) : \(318 \, \text{cm}^4\)
  • Charge \(G\) : \(0.60 \, \text{kN/m}\)
  • Charge \(Q_k\) : \(1.08 \, \text{kN/m}\)
  • Portée \(L\) : \(6.0 \, \text{m}\)
  • Module \(E_a\) : \(210000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La gestion des unités est ici le point le plus délicat. Une méthode sûre : convertir toutes les données en unités de base du Système International (N, m, Pa). Charge en N/m, L en m, E en Pa (N/m²), I en m⁴. La flèche sera alors obtenue directement en mètres.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la déformation
w_max ≤ w_adm ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités :

\[ \begin{aligned} L &= 6.0 \, \text{m} \\ E_a &= 210000 \, \text{MPa} = 210 \times 10^9 \, \text{N/m}^2 \\ I_y &= 318 \, \text{cm}^4 = 318 \times 10^{-8} \, \text{m}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul de la charge à l'ELS :

\[ \begin{aligned} p_{\text{ser}} &= 0.60 \, \text{kN/m} + 1.08 \, \text{kN/m} \\ &= 1.68 \, \text{kN/m} \\ &= 1680 \, \text{N/m} \end{aligned} \]

3. Calcul de la flèche maximale :

\[ \begin{aligned} w_{\text{max}} &= \frac{5 \times 1680 \times 6.0^4}{384 \times (210 \times 10^9) \times (318 \times 10^{-8})} \\ &= \frac{10886400}{256608000} \\ &\approx 0.0424 \, \text{m} \\ &= 42.4 \, \text{mm} \end{aligned} \]

4. Calcul de la flèche admissible :

\[ \begin{aligned} w_{\text{adm}} &= \frac{L}{250} \\ &= \frac{6000 \, \text{mm}}{250} \\ &= 24.0 \, \text{mm} \end{aligned} \]

5. Vérification :

\[ w_{\text{max}} = 42.4 \, \text{mm} > w_{\text{adm}} = 24.0 \, \text{mm} \Rightarrow \textbf{NON CONFORME} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Flèche Calculée vs. Admissible
w_max = 42.4 mm≰w_adm = 24.0 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'IPE 120, bien qu'assez résistant, se déforme trop. La flèche de 42.4 mm est presque le double de la limite autorisée. Le dimensionnement est donc gouverné par le critère de flèche. Il faut recommencer le choix du profilé en visant une inertie plus grande.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser les bonnes charges ! ELU (\(1.35G+1.5Q\)) pour la résistance, ELS (\(G+Q\)) pour la flèche. Inverser les deux est une erreur grave. De plus, la puissance 4 dans la formule de la flèche rend le calcul très sensible à la portée L.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la flèche se fait à l'ELS avec les charges non pondérées.
  • La condition est \(w_{\text{max}} \le w_{\text{adm}}\).
  • Si la condition n'est pas respectée, il faut choisir un profilé avec une plus grande inertie (un profilé plus haut).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les planchers de salles de danse ou de sport, le critère de dimensionnement le plus important n'est ni la résistance, ni la flèche statique, mais la vibration ! L'ingénieur doit s'assurer que la fréquence propre du plancher n'entre pas en résonance avec la fréquence des sauts des utilisateurs, pour éviter des vibrations excessives et inconfortables.

FAQ (pour lever les doutes)
Quel profilé faudrait-il choisir alors ?

Il faudrait choisir un profilé avec une inertie environ deux fois plus grande. Un IPE 160 a une inertie de 869 cm⁴ (contre 318 pour l'IPE 120). Sa flèche serait d'environ 15.5 mm, ce qui serait acceptable.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche de l'IPE 120 est de 42.4 mm, ce qui est supérieur à la limite de 24.0 mm. Le profilé **n'est pas validé** à l'ELS.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec un IPE 140 (I_y = 541 cm⁴), la flèche serait-elle acceptable ? (Répondez par 'oui' ou 'non')

Outil Interactif : Simulateur de Dimensionnement

Modifiez les paramètres du projet pour voir leur influence sur les sollicitations et le dimensionnement.

Paramètres d'Entrée
6.0 m
1.8 m
0.60 kN/m²
Résultats Clés
Moment de calcul (M_Ed) (kN.m) -
Wpl,y requis (cm³) -
Profilé IPE Suggéré -

Le Saviez-Vous ?

Le terme "panne" en charpente vient de l'ancien français "pan", qui désignait une pièce de tissu ou une surface. La panne est littéralement la "surface" sur laquelle repose la toiture. Ce même mot a donné "panneau".

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la flexion est-elle calculée selon l'axe y ?

Pour un profilé en I, l'axe fort (celui qui a la plus grande inertie) est l'axe y-y. Comme les charges de gravité sont verticales, elles font fléchir la panne autour de cet axe fort. C'est pourquoi on s'intéresse à \(I_y\) et \(W_{\text{pl},y}\).

Qu'est-ce que l'acier S235 ?

C'est la désignation d'une nuance d'acier de construction standard. Le "S" signifie "Acier de Structure" (Structural Steel) et "235" correspond à sa limite d'élasticité minimale (\(f_y\)) en Mégapascals (MPa) pour les épaisseurs les plus faibles.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la portée (L) d'une panne, le moment fléchissant maximal est...

2. Quel paramètre géométrique d'un profilé est le plus important pour limiter la flèche ?

Panne
Élément de charpente posé horizontalement sur les fermes, destiné à supporter le poids de la couverture et les charges climatiques.
ELU / ELS
Acronymes pour État Limite Ultime (vérification de la résistance à la rupture) et État Limite de Service (vérification des déformations et vibrations).
Moment fléchissant (M)
Sollicitation interne dans une poutre qui mesure l'effort de flexion. Il est maximal au point où la poutre est le plus susceptible de plier et de rompre.
Flèche (w)
Déplacement ou déformation maximale d'un élément de structure sous l'effet des charges. Sa limitation est un critère de service.
Dimensionnement d’une panne de couverture métallique

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