Études de cas pratique

EGC

Cisaillement et Moment d’un Profilé HEA

Calcul de la Résistance au Cisaillement et au Moment d'un Profilé HEA

Calcul de la Résistance au Cisaillement et au Moment d'un Profilé HEA

Comprendre la Résistance d'une Section en Acier

Le dimensionnement d'une poutre en acier à l'État Limite Ultime (ELU) implique de s'assurer que les sollicitations de calcul (moment fléchissant \(M_{\text{Ed}}\), effort tranchant \(V_{\text{Ed}}\)) ne dépassent pas les résistances de calcul de la section. Pour les poutres HEA, qui sont des profilés à larges ailes, il est essentiel de vérifier la résistance au moment fléchissant et au cisaillement. Cet exercice se concentre sur ces vérifications fondamentales, en supposant que les instabilités comme le déversement sont prévenues par un maintien latéral adéquat.

Données de l'étude

On étudie une poutre en acier HEA 220, de nuance S275, simplement appuyée à ses extrémités. Elle est soumise à une charge uniformément répartie et à une charge ponctuelle à mi-portée. On suppose que la poutre est maintenue latéralement contre le déversement.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Profilé : HEA 220
  • Nuance d'acier : S275 (\(f_y = 275 \, \text{MPa}\))
  • Portée (longueur entre appuis \(L\)) : \(7.0 \, \text{m}\)
  • Conditions d'appui : Simplement appuyée.
  • Caractéristiques du profilé HEA 220 (valeurs typiques) :
    • Hauteur (\(h\)) : \(210 \, \text{mm}\)
    • Largeur des ailes (\(b_f\)) : \(220 \, \text{mm}\)
    • Épaisseur de l'âme (\(t_w\)) : \(7.0 \, \text{mm}\)
    • Épaisseur des ailes (\(t_f\)) : \(11.0 \, \text{mm}\)
    • Rayon de congé (\(r\)) : \(18 \, \text{mm}\)
    • Aire de la section (\(A\)) : \(78.1 \, \text{cm}^2 = 7810 \, \text{mm}^2\)
    • Module de flexion plastique (\(W_{\text{pl,y}}\)) : \(568 \, \text{cm}^3 = 568000 \, \text{mm}^3\)
    • Aire de cisaillement (\(A_v\)) : \(30.85 \, \text{cm}^2 = 3085 \, \text{mm}^2\)

Charges caractéristiques (linéiques sur la poutre) :

  • Charge permanente uniformément répartie (hors poids propre, \(g'_k\)) : \(4.0 \, \text{kN/m}\)
  • Charge d'exploitation uniformément répartie (\(q_{k,rep}\)) : \(6.0 \, \text{kN/m}\)
  • Charge d'exploitation ponctuelle à mi-portée (\(Q_{k,ponct}\)) : \(20.0 \, \text{kN}\)

Coefficients partiels de sécurité (Eurocode 3) :

  • Pour les charges permanentes (\(\gamma_G\)) : \(1.35\)
  • Pour les charges d'exploitation (\(\gamma_Q\)) : \(1.5\)
  • Pour la résistance du matériau (\(\gamma_{M0}\)) : \(1.0\)
Schéma : Poutre HEA et Charges
q_d F_d L = 7.0 m Poutre HEA simplement appuyée

Questions à traiter

  1. Calculer la charge uniformément répartie de calcul (\(q_d\)).
  2. Calculer la charge ponctuelle de calcul (\(F_d\)).
  3. Déterminer l'effort tranchant maximal de calcul (\(V_{\text{Ed}}\)).
  4. Déterminer le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_{\text{Ed}}\)).
  5. Classifier la section HEA 220 en acier S275.
  6. Calculer la résistance plastique au cisaillement (\(V_{\text{pl,Rd}}\)).
  7. Vérifier la résistance de la section au cisaillement.
  8. Calculer la résistance plastique au moment fléchissant (\(M_{\text{pl,Rd}}\)).
  9. Vérifier si l'effort tranchant affecte la résistance au moment fléchissant.
  10. Vérifier la résistance de la section au moment fléchissant. Conclure.

Correction : Calcul de la Résistance du Profilé HEA

Question 1 : Charge Uniformément Répartie de Calcul (\(q_d\))

Principe :

On calcule d'abord le poids propre du profilé, on l'ajoute aux autres charges permanentes, puis on applique les coefficients de sécurité.

Poids propre d'un HEA 220 : \(61.3 \, \text{kg/m}\).

Calcul :

Poids propre caractéristique :

\[g_{\text{k,pp}} = 61.3 \, \text{kg/m} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \approx 601.35 \, \text{N/m} = 0.601 \, \text{kN/m}\]

Charge permanente caractéristique totale :

\[ \begin{aligned} G_k &= g'_k + g_{\text{k,pp}} \\ &= 4.0 \, \text{kN/m} + 0.601 \, \text{kN/m} \\ &= 4.601 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Charge uniformément répartie de calcul :

\[ \begin{aligned} q_d &= \gamma_G \cdot G_k + \gamma_Q \cdot q_{k,\text{rep}} \\ &= 1.35 \cdot 4.601 \, \text{kN/m} + 1.5 \cdot 6.0 \, \text{kN/m} \\ &= 6.211 \, \text{kN/m} + 9.0 \, \text{kN/m} \\ &= 15.211 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La charge répartie de calcul est \(q_d \approx 15.21 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Charge Ponctuelle de Calcul (\(F_d\))

Principe :

La charge ponctuelle de calcul est obtenue en multipliant la charge caractéristique par le coefficient de sécurité des charges d'exploitation.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_d = \gamma_Q \cdot Q_{k,\text{ponct}}\]
Calcul :
\[ F_d = 1.5 \cdot 20.0 \, \text{kN} = 30.0 \, \text{kN} \]
Résultat Question 2 : La charge ponctuelle de calcul est \(F_d = 30.0 \, \text{kN}\).

Question 3 : Effort Tranchant Maximal de Calcul (\(V_{\text{Ed}}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec charge répartie et charge ponctuelle à mi-portée, l'effort tranchant maximal est égal à la réaction d'appui, qui correspond à la moitié de la charge totale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{Ed}} = \frac{q_d \cdot L}{2} + \frac{F_d}{2}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{15.21 \, \text{kN/m} \cdot 7.0 \, \text{m}}{2} + \frac{30.0 \, \text{kN}}{2} \\ &= \frac{106.47}{2} \, \text{kN} + 15.0 \, \text{kN} \\ &= 53.235 \, \text{kN} + 15.0 \, \text{kN} \\ &= 68.235 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'effort tranchant maximal est \(V_{\text{Ed}} \approx 68.24 \, \text{kN}\).

Question 4 : Moment Fléchissant Maximal de Calcul (\(M_{\text{Ed}}\))

Principe :

Le moment maximal se produit à mi-portée (sous la charge ponctuelle) et est la somme des moments créés par la charge répartie et la charge ponctuelle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{\text{Ed}} = \frac{q_d \cdot L^2}{8} + \frac{F_d \cdot L}{4}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{15.21 \, \text{kN/m} \cdot (7.0 \, \text{m})^2}{8} + \frac{30.0 \, \text{kN} \cdot 7.0 \, \text{m}}{4} \\ &= \frac{15.21 \cdot 49}{8} \, \text{kNm} + \frac{210}{4} \, \text{kNm} \\ &= \frac{745.29}{8} \, \text{kNm} + 52.5 \, \text{kNm} \\ &= 93.16 \, \text{kNm} + 52.5 \, \text{kNm} \\ &= 145.66 \, \text{kNm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le moment fléchissant maximal est \(M_{\text{Ed}} \approx 145.66 \, \text{kNm}\).

Question 5 : Classification de la Section HEA 220 (S275)

Principe :

La classification dépend des rapports largeur/épaisseur. Pour S275, \(\epsilon = \sqrt{235/f_y}\).

Calculs :
\[ \epsilon = \sqrt{\frac{235}{275}} \approx 0.924 \]

Ailes :

\[ \begin{aligned} c &= \frac{b_f - t_w - 2r}{2} = \frac{220 - 7 - 2 \cdot 18}{2} = 88.5 \, \text{mm} \\ \frac{c}{t_f} &= \frac{88.5}{11.0} \approx 8.045 \\ 9\epsilon &= 9 \cdot 0.924 = 8.316 \end{aligned} \]

\(8.045 \leq 8.316 \Rightarrow\) Ailes Classe 1.

Âme :

\[ \begin{aligned} d &= h - 2t_f - 2r = 210 - 2 \cdot 11 - 2 \cdot 18 = 152 \, \text{mm} \\ \frac{d}{t_w} &= \frac{152}{7.0} \approx 21.71 \\ 72\epsilon &= 72 \cdot 0.924 = 66.528 \end{aligned} \]

\(21.71 \leq 66.528 \Rightarrow\) Âme Classe 1.

Résultat Question 5 : La section HEA 220 en S275 est de Classe 1.

Question 6 : Résistance Plastique au Cisaillement (\(V_{\text{pl,Rd}}\))

Principe :

La résistance plastique au cisaillement est calculée à partir de l'aire de cisaillement \(A_v\) et de la limite d'élasticité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_v \cdot (f_y / \sqrt{3})}{\gamma_{M0}}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{pl,Rd}} &= \frac{3085 \, \text{mm}^2 \cdot (275 \, \text{N/mm}^2 / \sqrt{3})}{1.0} \\ &\approx \frac{3085 \cdot 158.776}{1.0} \, \text{N} \\ &\approx 489724 \, \text{N} \\ &\approx 489.72 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La résistance plastique au cisaillement est \(V_{\text{pl,Rd}} \approx 489.72 \, \text{kN}\).

Question 7 : Vérification de la Résistance au Cisaillement

Condition :
\[V_{\text{Ed}} \leq V_{\text{pl,Rd}}\]
Vérification :
\[68.24 \, \text{kN} \leq 489.72 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]

Le taux de travail au cisaillement est \(\frac{68.24}{489.72} \approx 0.14\) (soit 14%).

Résultat Question 7 : La poutre HEA 220 résiste au cisaillement.

Question 8 : Résistance Plastique au Moment Fléchissant (\(M_{\text{pl,Rd}}\))

Principe :

Pour une section de Classe 1, la résistance au moment est calculée avec le module plastique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{\text{pl,Rd}} = \frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_y}{\gamma_{M0}}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{pl,Rd}} &= \frac{568000 \, \text{mm}^3 \cdot 275 \, \text{N/mm}^2}{1.0} \\ &= 156200000 \, \text{Nmm} \\ &= 156.20 \, \text{kNm} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : La résistance plastique au moment est \(M_{\text{pl,Rd}} = 156.20 \, \text{kNm}\).

Question 9 : Vérification de l'Interaction Moment-Cisaillement

Principe :

Si \(V_{\text{Ed}}\) est inférieur à 50% de \(V_{\text{pl,Rd}}\), l'effet du cisaillement sur le moment résistant peut être négligé.

Condition :
\[V_{\text{Ed}} \leq 0.5 \cdot V_{\text{pl,Rd}}\]
Calcul du seuil :
\[0.5 \cdot V_{\text{pl,Rd}} = 0.5 \cdot 489.72 \, \text{kN} = 244.86 \, \text{kN}\]
Vérification :
\[V_{\text{Ed}} \approx 68.24 \, \text{kN} \leq 244.86 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]
Résultat Question 9 : L'effort tranchant est faible. Aucune réduction de la résistance au moment n'est nécessaire.

Question 10 : Vérification de la Résistance au Moment et Conclusion

Principe :

On compare le moment de calcul au moment résistant de la section, qui n'est pas réduit par le cisaillement.

Condition :
\[M_{\text{Ed}} \leq M_{\text{pl,Rd}}\]
Vérification :
\[145.66 \, \text{kNm} \leq 156.20 \, \text{kNm} \quad (\text{OK})\]

Le taux de travail en flexion est \(\frac{145.66}{156.20} \approx 0.93\) (soit 93%).

Résultat Question 10 : La poutre HEA 220 résiste à la flexion et au cisaillement. Le profilé est adéquat.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour un profilé HEA, qui est plus "trapu" qu'un IPE, le risque principal est souvent :

2. Une interaction entre le moment et le cisaillement doit être vérifiée lorsque :

3. Si la vérification en flexion (\(M_{\text{Ed}} \leq M_{\text{pl,Rd}}\)) est juste satisfaite (ex: taux de travail de 99%), que cela implique-t-il ?

Glossaire

HEA (Profilé Européen à larges ailes)
Type de profilé en H avec des ailes larges et parallèles, offrant une bonne résistance à la flexion et une grande rigidité. Moins élancé qu'un IPE de même hauteur.
Résistance de section
Capacité d'une section transversale à résister aux efforts internes (moment, cisaillement, effort normal) sans tenir compte des phénomènes d'instabilité globale comme le flambement ou le déversement.
Calcul de la Résistance d'un Profilé HEA - Exercice d'Application

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