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Modélisation des Déplacements Urbains

Modélisation des Déplacements Urbains

Modélisation des Déplacements Urbains

Comprendre la Modélisation des Déplacements Urbains

La modélisation des déplacements urbains est un outil essentiel en ingénierie des transports et en urbanisme. Elle vise à simuler et à prévoir les flux de déplacements de personnes et de marchandises au sein d'une zone urbaine. Le modèle classique, dit "à quatre étapes", comprend typiquement : la génération de déplacements (combien de voyages sont produits et attirés par chaque zone), la distribution des déplacements (où vont ces voyages), le partage modal (quels modes de transport sont utilisés) et l'affectation (quels itinéraires sont empruntés). Cet exercice simplifiera certaines de ces étapes pour illustrer les concepts clés.

Données de l'étude

On considère une petite agglomération composée de deux zones (Zone 1 et Zone 2). Nous souhaitons estimer les déplacements domicile-travail (HBW - Home-Based Work) entre ces zones.

Schéma Simplifié de l'Agglomération
Zone 1 Zone 2 T_12 T_21 T_11 T_22 Flux de déplacements entre zones

Représentation des deux zones et des flux de déplacements potentiels.

Données Socio-économiques par Zone :

Zone Population (hab.) Emplois (total) Taux de Motorisation (voit./ménage)
1 10000 2500 0.8
2 6000 4000 0.6

Hypothèse : Taille moyenne des ménages = 2.5 personnes/ménage.

Modèles de Génération (pour déplacements HBW) :

  • Productions (\(P_i\)) : \(P_i = 0.6 \times (\text{Population}_i / 2.5) \times \text{TauxMotorisation}_i\)
  • Attractions (\(A_j\)) : \(A_j = 0.7 \times \text{Emplois}_j\)

Données de Distribution (Temps de parcours généralisé \(C_{ij}\) en minutes) :

Origine (i) \ Destination (j) Zone 1 Zone 2
Zone 1 10 min 20 min
Zone 2 20 min 12 min

Modèle Gravitaire : \(T_{ij} = P_i \frac{A_j \cdot f(C_{ij})}{\sum_k A_k \cdot f(C_{ik})}\) avec une fonction de friction \(f(C_{ij}) = (C_{ij})^{-2}\).

Données de Partage Modal (pour les déplacements de Zone 1 vers Zone 2) :

  • Fonctions d'utilité pour le modèle Logit :
    • \(U_{\text{Voiture}} = -0.8 - 0.05 \times \text{TempsParcours}_{\text{Voiture}} - 0.2 \times \text{Coût}_{\text{Voiture}}\)
    • \(U_{\text{TC}} = -0.07 \times \text{TempsParcours}_{\text{TC}} - 0.3 \times \text{Coût}_{\text{TC}}\)
  • Caractéristiques du trajet Zone 1 vers Zone 2 :
    • Voiture : Temps = 20 min, Coût = 3 €
    • Transport en Commun (TC) : Temps = 35 min (incluant attente et rabattement), Coût = 1.5 €

Questions à traiter

  1. Calculer les productions (\(P_1, P_2\)) et les attractions (\(A_1, A_2\)) de déplacements domicile-travail pour chaque zone.
  2. Ajuster les attractions (\(A'_j\)) pour que le total des productions soit égal au total des attractions (\(\sum P_i = \sum A'_j\)), en appliquant un facteur d'ajustement proportionnel aux attractions initiales.
  3. Distribuer les déplacements produits par la Zone 1 (\(P_1\)) vers les Zones 1 et 2 (\(T_{11}, T_{12}\)) en utilisant le modèle gravitaire et les attractions ajustées (\(A'_j\)).
  4. Pour les déplacements allant de la Zone 1 à la Zone 2 (\(T_{12}\)), calculer la part modale pour la voiture et les transports en commun en utilisant le modèle Logit.

Correction : Modélisation des Déplacements Urbains

Question 1 : Productions et Attractions de Déplacements

Principe :

La génération de déplacements estime le nombre de voyages produits (origine) et attirés (destination) par chaque zone. Les productions sont souvent liées aux caractéristiques des ménages (population, motorisation), tandis que les attractions sont liées aux activités (emplois, commerces).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_i = 0.6 \times (\text{Population}_i / 2.5) \times \text{TauxMotorisation}_i\] \[A_j = 0.7 \times \text{Emplois}_j\]
Calcul des Productions (\(P_i\)) :

Nombre de ménages Zone 1 = \(10000 / 2.5 = 4000 \text{ ménages}\).

Nombre de ménages Zone 2 = \(6000 / 2.5 = 2400 \text{ ménages}\).

\[P_1 = 0.6 \times 4000 \times 0.8 = 1920 \text{ déplacements}\] \[P_2 = 0.6 \times 2400 \times 0.6 = 864 \text{ déplacements}\]

Total Productions \(\sum P_i = 1920 + 864 = 2784 \text{ déplacements}\).

Calcul des Attractions (\(A_j\)) :
\[A_1 = 0.7 \times 2500 = 1750 \text{ déplacements}\] \[A_2 = 0.7 \times 4000 = 2800 \text{ déplacements}\]

Total Attractions \(\sum A_j = 1750 + 2800 = 4550 \text{ déplacements}\).

Résultat Question 1 :
  • Productions : \(P_1 = 1920\), \(P_2 = 864\). Total \(P = 2784 \text{ déplacements}\).
  • Attractions : \(A_1 = 1750\), \(A_2 = 2800\). Total \(A = 4550 \text{ déplacements}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Laquelle de ces variables est typiquement utilisée pour estimer les PRODUCTIONS de déplacements domicile-travail ?

Question 2 : Ajustement des Attractions

Principe :

Dans de nombreux modèles, il est nécessaire que le total des productions soit égal au total des attractions (\(\sum P_i = \sum A_j\)). Si ce n'est pas le cas initialement, on ajuste souvent les attractions (ou parfois les productions) pour atteindre cet équilibre. Un ajustement proportionnel simple consiste à multiplier chaque attraction par un facteur \( F = (\sum P_i) / (\sum A_j) \).

Calcul du facteur d'ajustement et des attractions ajustées (\(A'_j\)) :
\[\sum P_i = 2784\] \[\sum A_j = 4550\] \[F = \frac{2784}{4550} \approx 0.611868\]
\[ \begin{aligned} A'_1 &= A_1 \times F \\ &= 1750 \times 0.611868 \\ &\approx 1070.77 \\ &\approx 1071 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} A'_2 &= A_2 \times F \\ &= 2800 \times 0.611868 \\ &\approx 1713.23 \\ &\approx 1713 \end{aligned} \]

Vérification : \(\sum A'_j = 1071 + 1713 = 2784\), ce qui est égal à \(\sum P_i\).

Résultat Question 2 : Attractions ajustées : \(A'_1 \approx 1071\), \(A'_2 \approx 1713\).

Question 3 : Distribution des Déplacements (Modèle Gravitaire)

Principe :

Le modèle gravitaire distribue les déplacements entre les zones en se basant sur l'attractivité des zones de destination et une fonction de friction qui représente l'effet dissuasif de la distance, du temps ou du coût de parcours. Les déplacements de la zone \(i\) vers la zone \(j\) (\(T_{ij}\)) sont proportionnels aux productions de \(i\), aux attractions (ajustées) de \(j\), et inversement proportionnels à une mesure de la "distance" entre \(i\) et \(j\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_{ij} = P_i \frac{A'_j \cdot f(C_{ij})}{\sum_k A'_k \cdot f(C_{ik})}\] \[f(C_{ij}) = (C_{ij})^{-2}\]
Calcul pour les déplacements issus de la Zone 1 (\(P_1 = 1920\)) :

Données : \(A'_1 = 1071\), \(A'_2 = 1713\). Temps de parcours : \(C_{11}=10\), \(C_{12}=20\).

Calcul des termes de friction :

\[f(C_{11}) = (10)^{-2} = 0.01\] \[f(C_{12}) = (20)^{-2} = 0.0025\]

Calcul du dénominateur pour \(P_1\) :

\[ \begin{aligned} \sum_k A'_k \cdot f(C_{1k}) &= A'_1 \cdot f(C_{11}) + A'_2 \cdot f(C_{12}) \\ &= (1071 \times 0.01) + (1713 \times 0.0025) \\ &= 10.71 + 4.2825 \\ &= 14.9925 \end{aligned} \]

Calcul des déplacements \(T_{11}\) et \(T_{12}\) :

\[ \begin{aligned} T_{11} &= P_1 \frac{A'_1 \cdot f(C_{11})}{\sum_k A'_k \cdot f(C_{1k})} \\ &= 1920 \frac{1071 \times 0.01}{14.9925} \\ &= 1920 \frac{10.71}{14.9925} \\ &\approx 1920 \times 0.71436 \\ &\approx 1371.57 \\ &\approx 1372 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} T_{12} &= P_1 \frac{A'_2 \cdot f(C_{12})}{\sum_k A'_k \cdot f(C_{1k})} \\ &= 1920 \frac{1713 \times 0.0025}{14.9925} \\ &= 1920 \frac{4.2825}{14.9925} \\ &\approx 1920 \times 0.28564 \\ &\approx 548.43 \\ &\approx 548 \end{aligned} \]

Vérification : \(T_{11} + T_{12} = 1372 + 548 = 1920 = P_1\).

Résultat Question 3 : Déplacements distribués depuis la Zone 1 : \(T_{11} \approx 1372\), \(T_{12} \approx 548\).

Quiz Intermédiaire 2 : Dans un modèle gravitaire, si la fonction de friction \(f(C_{ij})\) diminue fortement avec l'augmentation du coût \(C_{ij}\), cela signifie que :

Question 4 : Partage Modal (Modèle Logit) pour \(T_{12}\)

Principe :

Le modèle Logit est couramment utilisé pour le partage modal. Il calcule la probabilité de choisir un mode de transport en fonction de l'utilité perçue de chaque mode. L'utilité est une fonction des caractéristiques du mode (temps, coût, confort, etc.).

Formule(s) utilisée(s) :
\[U_{\text{Voiture}} = -0.8 - 0.05 \times \text{TempsParcours}_{\text{Voiture}} - 0.2 \times \text{Coût}_{\text{Voiture}}\] \[U_{\text{TC}} = -0.07 \times \text{TempsParcours}_{\text{TC}} - 0.3 \times \text{Coût}_{\text{TC}}\] \[Prob(\text{m}) = \frac{e^{U_m}}{\sum_k e^{U_k}}\]
Calcul des Utilités pour le trajet Zone 1 vers Zone 2 :

Données : Voiture (Temps = 20 min, Coût = 3 €), TC (Temps = 35 min, Coût = 1.5 €).

\[ \begin{aligned} U_{\text{Voiture}} &= -0.8 - (0.05 \times 20) - (0.2 \times 3) \\ &= -0.8 - 1.0 - 0.6 \\ &= -2.4 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} U_{\text{TC}} &= - (0.07 \times 35) - (0.3 \times 1.5) \\ &= -2.45 - 0.45 \\ &= -2.9 \end{aligned} \]
Calcul des Probabilités et Part des Modes pour \(T_{12} \approx 548\) :
\[e^{U_{\text{Voiture}}} = e^{-2.4} \approx 0.090718\] \[e^{U_{\text{TC}}} = e^{-2.9} \approx 0.055023\] \[ \begin{aligned} \sum_k e^{U_k} &= e^{U_{\text{Voiture}}} + e^{U_{\text{TC}}} \\ &\approx 0.090718 + 0.055023 \\ &\approx 0.145741 \end{aligned} \]
\[Prob(\text{Voiture}) = \frac{0.090718}{0.145741} \approx 0.6224 \quad (62.24\text{\%})\] \[Prob(\text{TC}) = \frac{0.055023}{0.145741} \approx 0.3776 \quad (37.76\text{\%})\]

Nombre de déplacements en Voiture pour \(T_{12}\) : \(548 \times 0.6224 \approx 341.07 \approx 341 \text{ déplacements}\).

Nombre de déplacements en TC pour \(T_{12}\) : \(548 \times 0.3776 \approx 206.93 \approx 207 \text{ déplacements}\).

Vérification : \(341 + 207 = 548\).

Résultat Question 4 : Pour les \(T_{12} \approx 548\) déplacements :
  • Part Voiture \(\approx 62.24\text{\%}\) (\(\approx 341\) déplacements)
  • Part TC \(\approx 37.76\text{\%}\) (\(\approx 207\) déplacements)

Quiz Intermédiaire 3 : Dans un modèle Logit, si l'utilité d'un mode augmente (devient moins négative ou plus positive) par rapport aux autres modes :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Quelle est la première étape du modèle classique de prévision des déplacements à quatre étapes ?

2. Le modèle gravitaire est principalement utilisé pour :

3. Une fonction d'utilité dans un modèle de choix modal (comme le Logit) représente :

Glossaire

Modèle à Quatre Étapes
Approche classique de modélisation de la demande de transport, comprenant la génération, la distribution, le partage modal et l'affectation des déplacements.
Génération de Déplacements
Première étape, qui estime le nombre total de déplacements produits (émis) et attirés (reçus) par chaque zone d'étude.
Productions de Déplacements (\(P_i\))
Nombre de déplacements ayant pour origine la zone \(i\).
Attractions de Déplacements (\(A_j\))
Nombre de déplacements ayant pour destination la zone \(j\).
Distribution des Déplacements
Deuxième étape, qui répartit les déplacements entre les paires de zones origine-destination (O-D) pour former une matrice O-D.
Modèle Gravitaire
Modèle de distribution courant qui postule que le nombre de déplacements entre deux zones est directement proportionnel à leurs productions et attractions, et inversement proportionnel à une fonction de la "distance" (coût généralisé, temps) qui les sépare.
Fonction de Friction (ou de Dissuasion)
Composante du modèle gravitaire qui représente l'effet négatif de l'impédance (distance, temps, coût) sur la probabilité d'effectuer un déplacement entre deux zones.
Partage Modal (ou Choix Modal)
Troisième étape, qui détermine la proportion de voyageurs utilisant chaque mode de transport disponible (voiture, transport en commun, marche, vélo, etc.) pour chaque relation O-D.
Modèle Logit
Modèle de choix discret basé sur la théorie de l'utilité aléatoire, fréquemment utilisé pour le partage modal. Il calcule la probabilité de choisir une alternative en fonction de son utilité relative par rapport aux autres alternatives.
Fonction d'Utilité
Expression mathématique qui quantifie l'attractivité ou la satisfaction associée à un choix (par exemple, un mode de transport), basée sur ses attributs (temps, coût, confort, etc.).
Affectation des Déplacements
Quatrième et dernière étape, qui assigne les volumes de déplacements par mode aux itinéraires spécifiques du réseau de transport.
Matrice Origine-Destination (Matrice O-D)
Tableau qui quantifie le nombre de déplacements entre chaque paire de zones d'une région d'étude.
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