Excavation pour une fondation

Excavation pour une fondation

Excavation pour une fondation

Contexte : La première étape de toute construction.

Le terrassement est l'ensemble des opérations de modification du terrain naturel pour préparer la construction d'un ouvrage. L'excavation pour les fondations d'un bâtiment est une étape critique qui consiste à creuser le sol pour y asseoir les fondations. Une bonne estimation des volumes de terre à extraire (déblais) est essentielle pour planifier la logistique du chantier (nombre de camions, durée) et maîtriser les coûts. Cet exercice vous guidera dans le calcul des volumes de déblais pour une fondation simple, en introduisant la notion de foisonnementLe foisonnement est l'augmentation de volume des terres après leur extraction. Un sol en place est compacté ; une fois excavé, ses grains se désorganisent, créant des vides et augmentant son volume apparent. Ce facteur est crucial pour dimensionner le transport..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la géométrie et de la gestion de chantier. Nous allons passer d'un volume théorique "en place" à un volume réel à transporter, puis à une estimation logistique (rotations de camions) et financière. C'est le quotidien du conducteur de travaux ou de l'ingénieur méthodes sur un chantier de BTP.


Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le volume de déblai "en place" d'une excavation rectangulaire.
  • Appliquer un coefficient de foisonnement pour déterminer le volume réel à évacuer.
  • Calculer le nombre de rotations de camions nécessaires pour l'évacuation des déblais.
  • Estimer le coût total de l'évacuation des déblais.
  • Se familiariser avec les unités courantes en terrassement (m, m³, %, €).

Données de l'étude

On doit réaliser l'excavation pour la fondation d'un petit bâtiment industriel. La fouille est de forme rectangulaire simple. Le sol est de type argilo-limoneux.

Schéma de l'Excavation
L = 25 m l = 12 m H = 2.5 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur de la fouille \(L\) 25 \(\text{m}\)
Largeur de la fouille \(l\) 12 \(\text{m}\)
Profondeur de la fouille \(H\) 2.5 \(\text{m}\)
Coefficient de foisonnement \(C_f\) 25 \(\%\)
Capacité du camion-benne \(V_{\text{camion}}\) 10 \(\text{m}^3\)
Coût d'évacuation \(C_{\text{évac}}\) 15 \(\text{€/m}^3\)

Questions à traiter

  1. Calculer le volume de déblai en place \(V_{\text{place}}\).
  2. Calculer le volume de déblai foisonné \(V_{\text{foisonné}}\) à évacuer.
  3. Déterminer le nombre de rotations de camions nécessaires.
  4. Calculer le coût total de l'évacuation des déblais.

Les bases du Terrassement

Avant de commencer les calculs, revoyons les concepts fondamentaux.

1. Volume en Place :
C'est le volume de terre tel qu'il se trouve dans le sol naturel, avant toute intervention. Il est compacté par son propre poids et l'histoire géologique. Pour une forme simple comme un parallélépipède, le calcul est direct : \[ V_{\text{place}} = \text{Longueur} \times \text{Largeur} \times \text{Profondeur} \]

2. Le Foisonnement :
Lorsqu'on excave la terre, on la déstructure. Les grains de terre se réarrangent, créant des vides. Le volume apparent augmente. Ce phénomène est le foisonnement, exprimé en pourcentage. Le volume foisonné se calcule ainsi : \[ V_{\text{foisonné}} = V_{\text{place}} \times (1 + C_f) \] Où \(C_f\) est le coefficient de foisonnement (ex: 25% = 0.25). C'est ce volume foisonné qu'il faut transporter.

3. Gestion de Chantier :
La logistique d'évacuation est cruciale. Le nombre de camions (ou de "rotations") se calcule en divisant le volume total à évacuer par la capacité d'un camion. On arrondit toujours au nombre entier supérieur, car on ne peut pas faire une fraction de voyage. \[ N_{\text{camions}} = \lceil \frac{V_{\text{foisonné}}}{V_{\text{camion}}} \rceil \]


Correction : Excavation pour une fondation

Question 1 : Calculer le volume de déblai en place (V_place)

Principe (le concept physique)

Le volume en place représente la quantité de matière "réelle" à extraire du sol. C'est un volume géométrique simple, calculé à partir des dimensions de la fouille définies par les plans de l'architecte ou de l'ingénieur structure. Cette valeur est la base de tous les autres calculs.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul de volumes est une application de la géométrie euclidienne dans l'espace. Pour des volumes complexes, on utilise le calcul intégral pour sommer une infinité de petites sections. En métré (méthode de calcul des quantités), on décompose les ouvrages complexes en une somme de volumes géométriques simples (prismes, cylindres, etc.).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez ce premier calcul comme la "pierre angulaire" de votre étude. Une petite erreur ici se propagera et s'amplifiera dans les calculs de foisonnement, de logistique et de coût. La rigueur est donc de mise dès cette première étape.

Normes (la référence réglementaire)

En France, la norme NF P11-300 "Exécution des terrassements" définit les classes de sols et les règles de l'art. Les méthodes de métré pour quantifier les volumes sont également encadrées pour garantir l'uniformité des estimations dans les marchés publics et privés.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une excavation parallélépipédique :

\[ V_{\text{place}} = L \times l \times H \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le terrain naturel est parfaitement horizontal et que les parois de la fouille sont verticales. En réalité, pour des raisons de sécurité, on réalise souvent des parois inclinées (talutées), ce qui complexifie le calcul du volume (tronc de pyramide).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Longueur, \(L = 25 \, \text{m}\)
  • Largeur, \(l = 12 \, \text{m}\)
  • Profondeur, \(H = 2.5 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour des formes complexes, décomposez-les mentalement en blocs rectangulaires simples. Calculez le volume de chaque bloc et additionnez-les. C'est une méthode rapide et efficace pour obtenir une bonne estimation sur le terrain.

Schéma (Avant les calculs)
Dimensions de la Fouille
L = 25 ml = 12 mH = 2.5 m
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec les dimensions en mètres. L'unité sera des m³.

\[ \begin{aligned} V_{\text{place}} &= 25 \, \text{m} \times 12 \, \text{m} \times 2.5 \, \text{m} \\ &= 750 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Volume de la Fouille en Place
750 m³
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ce volume de 750 m³ représente la quantité de sol compacté à extraire. C'est la valeur de référence qui sera utilisée dans les documents contractuels pour définir la prestation de terrassement. C'est une donnée brute, purement géométrique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que toutes les dimensions sont dans la même unité (ici, le mètre) avant de les multiplier. Une erreur de conversion, par exemple entre mètres et centimètres, est très fréquente et conduit à des résultats absurdes.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le volume en place est le volume théorique du sol avant excavation.
  • La formule de base pour un prisme est : Surface de base × Hauteur.
  • La cohérence des unités est primordiale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Sur les grands chantiers, les volumes de terrassement sont calculés par des logiciels spécialisés (comme Covadis ou Civil 3D) qui comparent un modèle numérique du terrain initial (avant travaux) et un modèle du projet final. La différence entre les deux modèles donne les volumes de déblais et de remblais avec une grande précision.

FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le volume de déblai en place est de 750 m³.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la profondeur était de 3.0 m, quel serait le volume en place en m³ ?

Question 2 : Calculer le volume de déblai foisonné (V_foisonné)

Principe (le concept physique)

Le volume foisonné est le volume que la terre occupera une fois sortie de la fouille, par exemple dans la benne du camion. Il est toujours supérieur au volume en place. Le coefficient de foisonnement dépend de la nature du sol : un sable foisonne peu (10-15%), tandis qu'une roche fragmentée peut foisonner énormément (50-60%). Ignorer le foisonnement mènerait à une sous-estimation grave des moyens de transport nécessaires.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le foisonnement est lié à l'indice des vides du sol (\(e\)), qui est le rapport du volume des vides sur le volume des grains solides. Un sol compacté a un faible indice des vides. L'excavation augmente cet indice, ce qui se traduit par une augmentation du volume total. Le coefficient de foisonnement \(C_f\) est directement lié à cette variation de l'indice des vides.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le foisonnement est un concept contre-intuitif qui est souvent une source de litiges sur les chantiers. Le client paie pour un déblai de 750 m³ (en place), mais le transporteur doit gérer un volume de 937.5 m³. Il est crucial que les contrats spécifient clairement sur quel volume (en place ou foisonné) les prix sont basés.

Normes (la référence réglementaire)

L'étude géotechnique (souvent régie par la norme NF P94-500) est la source la plus fiable pour obtenir un coefficient de foisonnement précis pour un site donné. Des fascicules techniques, comme le GTR (Guide des Terrassements Routiers), fournissent également des fourchettes de valeurs pour différents types de sols.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le volume foisonné est calculé en ajoutant le pourcentage de foisonnement au volume en place :

\[ V_{\text{foisonné}} = V_{\text{place}} \times (1 + \frac{C_f}{100}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le coefficient de foisonnement de 25% est homogène pour toute la profondeur de l'excavation. En réalité, si l'on traverse différentes couches de sol (par exemple, une couche de limon sur une couche d'argile), chaque couche aura son propre coefficient, et le calcul devrait être fait strate par strate.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Volume en place, \(V_{\text{place}} = 750 \, \text{m}^3\) (du calcul Q1)
  • Coefficient de foisonnement, \(C_f = 25 \, \%\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour calculer rapidement de tête, pensez en fractions. 25% c'est 1/4. Le volume augmente donc de 1/4. Un quart de 750 est environ 187. Le volume final est donc 750 + 187 = 937. C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur de votre calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Le Phénomène de Foisonnement
1 m³ en place1.25 m³ foisonné
Calcul(s) (l'application numérique)

On convertit le pourcentage en décimal (25% = 0.25) et on applique la formule.

\[ \begin{aligned} V_{\text{foisonné}} &= 750 \, \text{m}^3 \times (1 + \frac{25}{100}) \\ &= 750 \times (1 + 0.25) \\ &= 750 \times 1.25 \\ &= 937.5 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Volumes
En Place750 m³Foisonné937.5 m³
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le volume à gérer sur le chantier (stockage temporaire, chargement) et à transporter n'est pas de 750 m³, mais de près de 940 m³. Cette augmentation de 25% (soit 187.5 m³) a un impact direct sur la taille de la zone de stockage, le temps de chargement et le coût du transport.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur courante est de mal utiliser le pourcentage. Il ne faut pas multiplier par 0.25, mais bien par (1 + 0.25). Multiplier par 0.25 calculerait uniquement l'augmentation de volume, pas le volume final.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le volume foisonné est le volume réel à manipuler et transporter.
  • Il se calcule avec la formule \(V_{\text{foisonné}} = V_{\text{place}} \times (1 + C_f)\).
  • Le coefficient \(C_f\) dépend de la nature du sol.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Certains sols, comme les argiles gonflantes, peuvent voir leur volume varier non seulement à cause du foisonnement mécanique, mais aussi en fonction de leur teneur en eau. Elles gonflent en présence d'eau et se rétractent en séchant, ce qui peut causer des désordres majeurs aux fondations si cela n'est pas pris en compte.

FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le volume de déblai foisonné à évacuer est de 937.5 m³.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour un sol rocheux avec un foisonnement de 50%, quel serait le volume foisonné en m³ (pour 750 m³ en place) ?

Question 3 : Déterminer le nombre de rotations de camions

Principe (le concept physique)

Cette étape traduit un volume de matériaux en une contrainte logistique concrète. Le nombre de rotations de camions est un indicateur clé pour planifier la durée du chantier, le trafic généré et les ressources nécessaires. On doit toujours prévoir un nombre entier de voyages, en arrondissant à l'unité supérieure pour s'assurer que toute la terre est bien évacuée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ceci est un problème classique de quantification et d'allotissement. L'objectif est de diviser une quantité totale (le volume foisonné) en lots de taille fixe (la capacité du camion). La fonction mathématique qui décrit l'arrondi à l'entier supérieur est la fonction "plafond", notée \(\lceil x \rceil\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le résultat "94 rotations" n'est pas juste un chiffre. Pour un chef de chantier, cela se traduit en planning : si un camion met 1h pour faire une rotation (chargement, trajet, déchargement, retour), il faudra 94 heures-camion. Si on a deux camions, cela prendra 47 heures, soit environ une semaine de travail.

Normes (la référence réglementaire)

Le transport de matériaux est régi par le Code de la Route, qui impose des limites de poids (Poids Total Autorisé en Charge - PTAC). Pour les matériaux denses, c'est souvent le poids, et non le volume, qui limite la charge du camion. Le calcul doit alors être fait sur la base du poids (\(\text{Poids} = V_{\text{foisonné}} \times \text{densité}\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On divise le volume total à transporter par la capacité d'un camion, et on arrondit au nombre entier supérieur.

\[ N_{\text{camions}} = \lceil \frac{V_{\text{foisonné}}}{V_{\text{camion}}} \rceil \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la capacité de 10 m³ est la capacité utile de la benne et que le chargement est optimisé. On ne prend pas en compte les contraintes de temps (heures d'ouverture de la décharge, temps de chargement, trafic).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Volume foisonné, \(V_{\text{foisonné}} = 937.5 \, \text{m}^3\) (du calcul Q2)
  • Capacité du camion, \(V_{\text{camion}} = 10 \, \text{m}^3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour arrondir à l'entier supérieur sans calculatrice, il suffit de diviser et de prendre le nombre entier suivant si le résultat n'est pas un entier. 937.5 / 10 = 93.75. Ce n'est pas un entier, donc on prend l'entier juste au-dessus : 94.

Schéma (Avant les calculs)
Logique de Calcul des Rotations
V foisonné/V camion?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} N_{\text{camions}} &= \lceil \frac{937.5 \, \text{m}^3}{10 \, \text{m}^3} \rceil \\ &= \lceil 93.75 \rceil \\ &= 94 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Planification des Camions
x 94
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Il faudra 94 voyages de camion pour évacuer tous les déblais. 93 camions partiront pleins, et le dernier camion ne sera rempli qu'à 75% de sa capacité (0.75 * 10 m³ = 7.5 m³), mais ce voyage reste nécessaire et sera probablement facturé comme un voyage complet.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais arrondir à l'inférieur ! Si on prévoyait 93 camions, il resterait 7.5 m³ de terre sur le chantier, ce qui bloquerait la suite des opérations. En gestion de chantier, il faut toujours planifier pour le "pire" cas, ce qui inclut d'évacuer la totalité des matériaux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le nombre de rotations dépend du volume foisonné et de la capacité du camion.
  • Il faut toujours arrondir le résultat au nombre entier supérieur.
  • Ce calcul est un élément clé de la planification logistique du chantier.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour optimiser les coûts sur de très gros chantiers, on utilise parfois des "semi-remorques" de plus grande capacité (20-25 m³). Cependant, leur accès au chantier peut être plus difficile. Le choix du type de camion est donc un compromis entre capacité, coût et accessibilité du site.

FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Il faudra prévoir 94 rotations de camions.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait des camions plus petits de 8 m³, combien de rotations faudrait-il ?

Question 4 : Calculer le coût total de l'évacuation

Principe (le concept physique)

C'est l'aboutissement de l'étude : la traduction de l'opération technique en un budget. Le coût est généralement basé sur le volume de matériaux transportés. Il est crucial de savoir si le coût est appliqué au volume "en place" ou au volume "foisonné", car la différence peut être significative. Dans la plupart des cas, les décharges et transporteurs facturent au volume apparent (foisonné) ou au poids.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce calcul relève du métré et de l'économie de la construction. Le coût unitaire (€/m³) est une "brique" de base du devis. Il est obtenu en analysant les sous-détails de prix : coût du carburant, amortissement du camion, salaire du chauffeur, taxes de décharge, marge de l'entreprise. L'estimation précise de ces coûts est un métier à part entière.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le coût final est directement proportionnel au volume foisonné. Cela montre à quel point une bonne estimation du coefficient de foisonnement est cruciale. Une surestimation de 5% du foisonnement conduit directement à une augmentation de 5% du budget d'évacuation.

Normes (la référence réglementaire)

La facturation des travaux de terrassement est souvent basée sur des bordereaux de prix unitaires (BPU) qui sont annexés au contrat. Ces documents définissent précisément ce que chaque prix inclut (par ex. : "le prix comprend le chargement, le transport jusqu'à 20 km, le déchargement et les frais de mise en décharge").

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \text{Coût}_{\text{total}} = V_{\text{foisonné}} \times C_{\text{évac}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le coût unitaire de 15 €/m³ est fixe, quel que soit le volume total. Parfois, pour de très grands volumes, un prix dégressif peut être négocié. On suppose aussi que ce prix s'applique bien au volume foisonné.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Volume foisonné, \(V_{\text{foisonné}} = 937.5 \, \text{m}^3\) (du calcul Q2)
  • Coût d'évacuation, \(C_{\text{évac}} = 15 \, \text{€/m}^3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour estimer rapidement un coût, utilisez des ratios connus. Par exemple, si vous savez que l'évacuation de déblais représente environ 5% du coût total des fondations, vous pouvez rapidement vérifier si votre calcul détaillé est cohérent avec cet ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)
Équation du Coût
V foisonné×Coût / m³=€ ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \text{Coût}_{\text{total}} &= 937.5 \, \text{m}^3 \times 15 \, \text{€/m}^3 \\ &= 14062.5 \, \text{€} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Budget d'Évacuation
14 062.50 €
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le budget à prévoir pour l'évacuation des terres de cette fondation est de 14 062.50 €. Ce chiffre est essentiel pour l'établissement du devis global du projet. Si le coût avait été calculé sur le volume en place (750 m³), l'estimation aurait été de 11 250 €, soit une sous-estimation de plus de 2800 €.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Toujours clarifier l'unité de facturation avec le prestataire (transporteur, décharge). Une erreur sur ce point peut entraîner des surcoûts importants et imprévus sur le chantier. Pensez aussi aux coûts annexes : analyses de sol si nécessaire, taxes, etc.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le coût est une conséquence directe des calculs de volume.
  • Il est généralement basé sur le volume foisonné.
  • La précision des données d'entrée (dimensions, foisonnement) est clé pour la fiabilité du budget.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La gestion des déblais est un enjeu environnemental majeur. La tendance est à la valorisation : plutôt que de jeter la terre en décharge, on cherche à la réutiliser. Des plateformes de "bourse aux terres" existent pour mettre en relation les chantiers qui ont un excédent de déblais avec ceux qui ont un besoin de remblais, favorisant l'économie circulaire.

FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coût total de l'évacuation des déblais s'élève à 14 062.50 €.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le coût d'évacuation grimpait à 18 €/m³, quel serait le nouveau coût total ?


Outil Interactif : Paramètres d'Excavation

Modifiez les dimensions et les coûts pour voir leur influence sur le projet.

Paramètres d'Entrée
25 m
2.5 m
25 %
Résultats Clés
Volume Foisonné (m³) -
Rotations Camions (10 m³) -
Coût Total (à 15 €/m³) -

Le Saviez-Vous ?

Le phénomène inverse du foisonnement est le "tassement". Lorsqu'on utilise des terres pour créer un remblai, on les compacte pour augmenter leur densité et leur portance. Le volume final du remblai compacté est donc inférieur au volume de terre foisonnée qu'on a apporté. La maîtrise de ces deux phénomènes est la base du "mouvement des terres" sur un chantier.


Foire Aux Questions (FAQ)

Comment détermine-t-on le coefficient de foisonnement ?

Le coefficient de foisonnement est déterminé par des essais en laboratoire géotechnique ou estimé à partir de tables basées sur la nature du sol (argile, sable, limon, roche...). Pour des projets importants, une étude de sol précise est indispensable pour ne pas faire d'erreur coûteuse.

Que fait-on des terres excavées ?

Plusieurs options existent. Si les terres sont de bonne qualité, elles peuvent être réutilisées sur le même chantier pour des remblais (on parle d'équilibre déblai/remblai). Si elles ne sont pas réutilisables ou s'il y a un excédent, elles sont transportées vers une décharge agréée (ISDI : Installation de Stockage de Déchets Inertes) ou une plateforme de recyclage. Le coût d'évacuation dépend fortement de cette destination.


Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le volume en place est de 100 m³ et le volume foisonné de 130 m³, quel est le coefficient de foisonnement ?

2. Pour un même volume à évacuer, si on double la capacité des camions...


Déblai
Volume de terre excavé d'un terrain. C'est la matière que l'on enlève.
Remblai
Volume de terre rapporté pour combler un creux ou surélever un terrain. C'est la matière que l'on ajoute.
Foisonnement
Augmentation du volume apparent d'un matériau après son extraction du sol. Exprimé en pourcentage du volume en place.
Rotation (de camion)
Un aller-retour complet d'un camion entre le chantier et le lieu de décharge.
Excavation pour une fondation

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