Études de cas pratique

EGC

Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin

Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin

Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin

Comprendre l'Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin

L'analyse de la résistance d'une poutre en bois, comme une poutre en pin, est essentielle pour s'assurer qu'elle peut supporter les charges prévues sans défaillance. Cette analyse, effectuée à l'État Limite Ultime (ELU), implique de calculer les sollicitations (moment fléchissant et effort tranchant) dues aux charges de calcul et de les comparer aux capacités résistantes de la section de la poutre. Les capacités résistantes dépendent des propriétés mécaniques du bois (classe de résistance), des dimensions de la section, et de divers coefficients de modification (durée de charge, humidité, etc.) définis par les normes comme l'Eurocode 5.

Données de l'étude

On étudie une poutre en pin de section rectangulaire, simplement appuyée, destinée à supporter les charges d'un plancher.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur de la poutre (\(b\)) : \(80 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la poutre (\(h\)) : \(240 \, \text{mm}\)
  • Portée de la poutre entre appuis (\(L\)) : \(3.5 \, \text{m}\)
  • Bois : Pin, classe de résistance C18 (\(f_{m,k} = 18 \, \text{MPa}\); \(f_{v,k} = 3.5 \, \text{MPa}\))
  • Coefficient de modification (\(k_{mod}\)) : \(0.9\) (pour classe de service 1 et charge de moyenne durée)
  • Coefficient partiel de sécurité pour le matériau bois (\(\gamma_M\)) : \(1.3\)
  • Coefficient de hauteur (\(k_h\)) : \(1.0\) (car \(h = 240 \text{ mm} \geq 150 \text{ mm}\))
  • Coefficient de stabilité au déversement (\(k_{crit}\)) : \(1.0\) (déversement supposé empêché)

Charges (valeurs caractéristiques) :

  • Charge permanente linéique (incluant poids propre de la poutre) (\(g_k\)) : \(1.2 \, \text{kN/m}\)
  • Charge d'exploitation linéique (catégorie A - habitation) (\(q_k\)) : \(2.2 \, \text{kN/m}\)
Schéma : Poutre en Pin et Section
Poutre en flexion q_Ed L = 3.5 m Section b=80 h=240

Poutre en pin simplement appuyée avec charge répartie et sa section transversale.

Questions à traiter

  1. Calculer la charge totale linéique pondérée à l'ELU (\(q_{Ed,tot}\)) sur la poutre.
  2. Calculer le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_{Ed}\)) et l'effort tranchant maximal de calcul (\(V_{Ed}\)) dans la poutre.
  3. Calculer le module d'inertie élastique (\(W_{el,y}\)) et l'aire de la section (\(A\)).
  4. Calculer la résistance de calcul en flexion (\(f_{m,d}\)) et le moment résistant (\(M_{Rd}\)).
  5. Vérifier la résistance en flexion de la poutre (\(M_{Ed} \leq M_{Rd}\)).
  6. Calculer la résistance de calcul au cisaillement (\(f_{v,d}\)) et l'effort tranchant résistant (\(V_{Rd}\)).
  7. Vérifier la résistance au cisaillement de la poutre (\(V_{Ed} \leq V_{Rd}\)).

Correction : Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin

Question 1 : Charge Totale Linéique Pondérée à l'ELU (\(q_{Ed,tot}\))

Principe :

La charge totale linéique à l'État Limite Ultime (ELU) est la somme des charges permanentes (\(g_k\)) et des charges d'exploitation (\(q_k\)), chacune multipliée par son coefficient de pondération respectif (\(\gamma_G = 1.35\) pour G et \(\gamma_Q = 1.5\) pour Q).

Formule(s) utilisée(s) :
\[q_{Ed,tot} = \gamma_G \cdot g_k + \gamma_Q \cdot q_k\]
Données spécifiques :
  • \(g_k = 1.2 \, \text{kN/m}\)
  • \(q_k = 2.2 \, \text{kN/m}\)
  • \(\gamma_G = 1.35\)
  • \(\gamma_Q = 1.5\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q_{Ed,tot} &= (1.35 \times 1.2 \, \text{kN/m}) + (1.5 \times 2.2 \, \text{kN/m}) \\ &= 1.62 \, \text{kN/m} + 3.30 \, \text{kN/m} \\ &= 4.92 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La charge totale linéique pondérée à l'ELU est \(q_{Ed,tot} = 4.92 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Moment (\(M_{Ed}\)) et Effort Tranchant (\(V_{Ed}\)) Maximaux

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée de portée \(L\) soumise à une charge uniformément répartie \(q_{Ed,tot}\), le moment fléchissant maximal se produit à mi-portée et l'effort tranchant maximal aux appuis.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed,max} = \frac{q_{Ed,tot} L^2}{8}\] \[V_{Ed,max} = \frac{q_{Ed,tot} L}{2}\]
Données spécifiques :
  • \(q_{Ed,tot} = 4.92 \, \text{kN/m}\)
  • Portée (\(L\)) : \(3.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Ed,max} &= \frac{4.92 \, \text{kN/m} \times (3.5 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{4.92 \times 12.25}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= \frac{60.27}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &\approx 7.53 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_{Ed,max} &= \frac{4.92 \, \text{kN/m} \times 3.5 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{17.22}{2} \, \text{kN} \\ &= 8.61 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(M_{Ed,max} \approx 7.53 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) et \(V_{Ed,max} = 8.61 \, \text{kN}\).

Question 3 : Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\)) et Aire (\(A\))

Principe :

Ces caractéristiques géométriques dépendent des dimensions de la section rectangulaire de la poutre (base \(b\) et hauteur \(h\)). Le module d'inertie est crucial pour la résistance à la flexion, et l'aire pour la résistance au cisaillement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{el,y} = \frac{b h^2}{6}\] \[A = b \cdot h\]
Données spécifiques (converties en mm) :
  • Base (\(b\)) : \(80 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(240 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{el,y} &= \frac{80 \, \text{mm} \times (240 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= \frac{80 \times 57600}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= \frac{4608000}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= 768000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A &= 80 \, \text{mm} \times 240 \, \text{mm} \\ &= 19200 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Conversion : \(W_{el,y} = 768 \, \text{cm}^3\), \(A = 192 \, \text{cm}^2\).

Résultat Question 3 : \(W_{el,y} = 768000 \, \text{mm}^3\) et \(A = 19200 \, \text{mm}^2\).

Question 4 : Résistance de Calcul en Flexion (\(f_{m,d}\)) et Moment Résistant (\(M_{Rd}\))

Principe :

La résistance de calcul en flexion (\(f_{m,d}\)) est la résistance caractéristique (\(f_{m,k}\)) affectée des coefficients de modification et de sécurité. Le moment résistant (\(M_{Rd}\)) est ensuite le produit de cette résistance de calcul par le module d'inertie.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 5) :
\[f_{m,d} = k_{mod} \cdot k_h \cdot k_{crit} \cdot \frac{f_{m,k}}{\gamma_M}\] \[M_{Rd} = f_{m,d} \cdot W_{el,y}\]
Données spécifiques :
  • \(k_{mod} = 0.9\), \(k_h = 1.0\), \(k_{crit} = 1.0\)
  • \(f_{m,k} = 18 \, \text{MPa}\) (C18)
  • \(\gamma_M = 1.3\)
  • \(W_{el,y} = 768000 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{m,d} &= 0.9 \times 1.0 \times 1.0 \times \frac{18 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 0.9 \times 13.846 \, \text{MPa} \\ &\approx 12.461 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M_{Rd} &\approx 12.461 \, \text{N/mm}^2 \times 768000 \, \text{mm}^3 \\ &\approx 9569928 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

Conversion en kN·m :

\[ M_{Rd} \approx 9.57 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]
Résultat Question 4 : \(f_{m,d} \approx 12.46 \, \text{MPa}\), \(M_{Rd} \approx 9.57 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 5 : Vérification de la Résistance en Flexion

Principe :

La poutre est considérée comme suffisamment résistante en flexion si le moment fléchissant de calcul agissant (\(M_{Ed}\)) est inférieur ou égal au moment résistant de calcul de la section (\(M_{Rd}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed} \leq M_{Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{Ed} \approx 7.53 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(M_{Rd} \approx 9.57 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
Comparaison :
\[7.53 \, \text{kN} \cdot \text{m} \leq 9.57 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{OK})\]

La condition est vérifiée.

Résultat Question 5 : La poutre résiste en flexion (\(M_{Ed} \leq M_{Rd}\)).

Question 6 : Résistance au Cisaillement (\(f_{v,d}\)) et Effort Tranchant Résistant (\(V_{Rd}\))

Principe :

La résistance de calcul au cisaillement (\(f_{v,d}\)) est déterminée à partir de la résistance caractéristique (\(f_{v,k}\)). L'effort tranchant résistant (\(V_{Rd}\)) est ensuite calculé en utilisant cette résistance et l'aire efficace de cisaillement (pour une section rectangulaire, c'est \(2/3\) de l'aire totale).

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 5) :
\[f_{v,d} = k_{mod} \cdot \frac{f_{v,k}}{\gamma_M}\] \[V_{Rd} = \frac{2}{3} A \cdot f_{v,d}\]

(Le facteur \(k_{cr}\) est implicitement inclus dans la formule simplifiée pour \(V_{Rd}\) pour les sections rectangulaires).

Données spécifiques :
  • \(k_{mod} = 0.9\)
  • \(f_{v,k} = 3.5 \, \text{MPa}\) (C18)
  • \(\gamma_M = 1.3\)
  • \(A = 19200 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{v,d} &= 0.9 \times \frac{3.5 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 0.9 \times 2.692 \, \text{MPa} \\ &\approx 2.423 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_{Rd} &\approx \frac{2}{3} \times 19200 \, \text{mm}^2 \times 2.423 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 0.6667 \times 19200 \times 2.423 \, \text{N} \\ &\approx 31010 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kN :

\[ V_{Rd} \approx 31.01 \, \text{kN} \]
Résultat Question 6 : \(f_{v,d} \approx 2.42 \, \text{MPa}\), \(V_{Rd} \approx 31.01 \, \text{kN}\).

Question 7 : Vérification de la Résistance au Cisaillement

Principe :

La poutre est considérée comme suffisamment résistante au cisaillement si l'effort tranchant de calcul agissant (\(V_{Ed}\)) est inférieur ou égal à l'effort tranchant résistant de calcul (\(V_{Rd}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{Ed} \leq V_{Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{Ed} = 8.61 \, \text{kN}\)
  • \(V_{Rd} \approx 31.01 \, \text{kN}\)
Comparaison :
\[8.61 \, \text{kN} \leq 31.01 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]

La condition est vérifiée.

Résultat Question 7 : La poutre résiste au cisaillement (\(V_{Ed} \leq V_{Rd}\)). Puisque la poutre résiste également en flexion, elle est considérée comme adéquate pour les charges ELU appliquées.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Que représente \(f_{m,k}\) pour le bois ?

2. Le coefficient \(k_{mod}\) tient compte :

3. La vérification au cisaillement d'une poutre en bois consiste à comparer :

Glossaire

Poutre en Bois
Élément structural en bois, généralement de section rectangulaire, utilisé pour supporter des charges en flexion et en cisaillement.
Flexion
Sollicitation d'une poutre par des forces perpendiculaires à son axe, provoquant sa courbure.
Cisaillement
Sollicitation tendant à faire glisser les fibres du bois les unes par rapport aux autres, parallèlement à la direction de l'effort tranchant.
Résistance Caractéristique en Flexion (\(f_{m,k}\))
Valeur de la contrainte de rupture en flexion d'un bois d'une classe de résistance donnée, avec une probabilité de 5% de non-atteinte.
Résistance Caractéristique au Cisaillement (\(f_{v,k}\))
Valeur de la contrainte de rupture au cisaillement d'un bois d'une classe de résistance donnée.
Résistance de Calcul (\(f_{m,d}, f_{v,d}\))
Résistance utilisée pour les vérifications à l'ELU, obtenue à partir des résistances caractéristiques et des coefficients de sécurité et de modification.
Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\))
Caractéristique géométrique d'une section (\(I_y/v\)) utilisée pour le calcul de la résistance en flexion.
Moment Résistant de Calcul (\(M_{Rd}\))
Capacité maximale d'une section à résister à un moment fléchissant à l'ELU.
Effort Tranchant Résistant de Calcul (\(V_{Rd}\))
Capacité maximale d'une section à résister à un effort tranchant à l'ELU.
Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed}\))
Moment sollicitant la section, calculé à l'ELU.
Effort Tranchant de Calcul (\(V_{Ed}\))
Effort tranchant sollicitant la section, calculé à l'ELU.
Coefficient de Modification (\(k_{mod}\))
Coefficient tenant compte de l'effet de la durée de la charge et de la classe de service sur la résistance du bois.
Coefficient de Hauteur (\(k_h\))
Coefficient qui ajuste la résistance en flexion pour les sections de bois de hauteur différente de 150 mm.
Coefficient Partiel de Sécurité (\(\gamma_M\))
Coefficient minorant la résistance caractéristique du matériau.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité de la structure.
Analyse de la Résistance d’une Poutre en Pin - Exercice d'Application

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