Étude de la Pression Hydrostatique

Contexte : L'hydraulique et la sécurité des ouvrages.

Cet exercice porte sur un concept fondamental en hydraulique : la pression hydrostatiqueLa pression exercée par un fluide au repos en un point quelconque, due au poids de la colonne de fluide située au-dessus de ce point.. Nous allons étudier la force exercée par l'eau sur la paroi verticale d'un barrage-poids. Comprendre cette force est crucial pour dimensionner correctement de tels ouvrages et garantir leur stabilité.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer le principe fondamental de l'hydrostatique pour calculer une force résultante et son point d'application, des compétences essentielles pour tout ingénieur en génie civil ou hydraulique.

Objectifs Pédagogiques

Maîtriser la loi de variation de la pression hydrostatique.
Calculer la force de poussée totale exercée par un fluide sur une paroi plane.
Déterminer la position du centre de poussée.

Données de l'étude

On considère un barrage-poids de section trapézoïdale retenant une hauteur d'eau H. La paroi en contact avec l'eau est supposée verticale. On étudie une tranche du barrage de largeur L (perpendiculaire au plan du schéma).

Schéma du Barrage

Paramètre	Description	Valeur	Unité
H	Hauteur de l'eau retenue	12	m
L	Largeur de la tranche de barrage étudiée	1	m
ρ (rho)	Masse volumique de l'eau	1000	kg/m³
g	Accélération de la pesanteur	9.81	m/s²

Questions à traiter

Calculer la pression hydrostatique au fond du barrage (à la base de la paroi verticale).
Déterminer l'expression de la force de poussée résultante F exercée par l'eau sur la paroi.
Calculer la valeur numérique de cette force F.
Déterminer la position du centre de poussée (yc) par rapport à la surface libre.

Les bases de l'Hydrostatique

L'hydrostatique est la branche de la mécanique des fluides qui étudie les fluides au repos. Le principe fondamental stipule que la pression dans un fluide homogène au repos augmente linéairement avec la profondeur.

1. Pression Hydrostatique
La pression \(P\) à une profondeur \(h\) sous la surface libre d'un fluide est donnée par la relation : \[ P(h) = \rho \cdot g \cdot h \] Où \(\rho\) est la masse volumique du fluide, \(g\) l'accélération de la pesanteur, et \(h\) la profondeur.

2. Force de Poussée sur une Paroi Plane Verticale
La force résultante \(F\) exercée par le fluide sur une paroi rectangulaire de hauteur \(H\) et de largeur \(L\) est égale à la pression au centre de gravité de la surface mouillée, multipliée par l'aire de cette surface. \[ \begin{aligned} F &= P_{\text{G}} \cdot A \\ &= \left( \rho \cdot g \cdot \frac{H}{2} \right) \cdot (H \cdot L) \\ &= \frac{1}{2} \rho g H^2 L \end{aligned} \]

Correction : Étude de la Pression Hydrostatique sur un Barrage

Question 1 : Calculer la pression hydrostatique au fond du barrage.

Principe

La pression à un point donné dans un fluide au repos ne dépend que de la hauteur de la colonne de fluide au-dessus de ce point. Pour trouver la pression au fond, nous devons utiliser la hauteur totale d'eau.

Mini-Cours

La pression est une grandeur scalaire qui représente une force par unité de surface, agissant perpendiculairement à cette surface. Dans un fluide, elle est transmise dans toutes les directions (principe de Pascal).

Remarque Pédagogique

Toujours commencer par identifier clairement le point où la pression doit être calculée et la hauteur de fluide correspondante par rapport à la surface libre. C'est l'étape la plus importante pour ne pas se tromper.

Normes

Le calcul de la pression hydrostatique est un principe de base de la physique, repris dans les normes de construction comme l'Eurocode 1 (Actions sur les structures - Partie 1-6 : Actions en cours d'exécution) pour le calcul des actions de l'eau.

Formule(s)

Principe Fondamental de l'Hydrostatique

P = \rho \cdot g \cdot h

Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

Le fluide (eau) est considéré comme incompressible et au repos (vitesse nulle).
La masse volumique \(\rho\) est constante.
La pression atmosphérique à la surface libre est négligée (on calcule en pression relative).

Donnée(s)

Nous utilisons les données fournies dans l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse volumique de l'eau	ρ	1000	kg/m³
Accélération de la pesanteur	g	9.81	m/s²
Hauteur d'eau	H	12	m

Astuces

Pour une vérification rapide, souvenez-vous qu'environ 10m d'eau créent une pression d'environ 1 bar (ou 100 kPa). Pour 12m, on s'attend donc à un résultat proche de 1.2 bar (120 kPa), ce qui est cohérent avec notre calcul.

Schéma (Avant les calculs)

On identifie la hauteur H correspondant à la profondeur du point de calcul.

Point de calcul de la pression

Calcul(s)

Calcul de la pression au fond

\begin{aligned} P_{\text{fond}} &= \rho \cdot g \cdot H \\ &= 1000 \text{ kg/m³} \times 9.81 \text{ m/s²} \times 12 \text{ m} \\ &= 117720 \text{ N/m²} \\ &= 117720 \text{ Pa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur de pression ponctuelle. On peut la visualiser par un vecteur au point de calcul.

Visualisation du Résultat

Réflexions

La pression au fond est de 117.72 kPa. Cette valeur est la pression maximale exercée sur la structure et sera déterminante pour la vérification de la résistance du béton à la base du barrage.

Points de vigilance

Attention à la cohérence des unités ! Utiliser les unités du Système International (mètres, kg, secondes) est la meilleure façon d'éviter les erreurs. Une erreur fréquente est de mélanger des cm et des m.

Points à retenir

La pression dans un fluide au repos est directement proportionnelle à la profondeur. La formule \(P = \rho g h\) est l'une des plus fondamentales de la mécanique des fluides.

Le saviez-vous ?

Le paradoxe hydrostatique, démontré par Blaise Pascal, stipule que la force exercée par un fluide sur le fond d'un récipient ne dépend que de la hauteur du fluide et de l'aire du fond, et non de la forme du récipient ou du volume total de fluide.

FAQ

Résultat Final

La pression hydrostatique au fond du barrage est de 117 720 Pa (ou 117.72 kPa).

A vous de jouer

Calculez la pression si le barrage retenait du pétrole (\(\rho\) ≈ 850 kg/m³) sur la même hauteur. Entrez votre réponse en kPa.

Question 2 : Déterminer l'expression de la force de poussée résultante F.

Principe

La pression n'est pas uniforme sur la paroi ; elle augmente avec la profondeur. Pour trouver la force totale, il faut sommer (intégrer) les petites forces exercées par la pression à chaque profondeur sur toute la surface de la paroi.

Mini-Cours

La force de pression résultante est le produit de la pression au centre de gravité (ou centroïde) de la surface considérée, multipliée par l'aire de cette surface. Pour une paroi verticale rectangulaire de hauteur H, le centre de gravité est à H/2 de la surface.

Remarque Pédagogique

Visualiser la distribution de pression comme un volume (un prisme triangulaire) est une excellente méthode. La force résultante est simplement le volume de ce prisme de pression.

Normes

Cette approche par intégration de la pression est la méthode fondamentale décrite dans tous les manuels de mécanique des fluides et est implicitement utilisée dans les normes pour dériver les formules de charges dues aux liquides.

Formule(s)

Définition intégrale de la force

F = \int_A P(h) \,dA

Simplification géométrique

F = \text{Aire du diagramme de pression} \times \text{Largeur}

Hypothèses

On garde les mêmes hypothèses que pour la question 1, et on ajoute que la paroi est plane et verticale.

Donnée(s)

Pour cette question, nous travaillons avec les grandeurs littérales : \(\rho, g, H, L\). Aucune valeur numérique n'est nécessaire.

Astuces

Vérifiez l'homogénéité de votre formule finale. \([\rho g H^2 L] = \frac{M}{L^3} \cdot \frac{L}{T^2} \cdot L^2 \cdot L = \frac{ML}{T^2}\), ce qui est bien la dimension d'une force.

Schéma (Avant les calculs)

Le diagramme des pressions est un triangle dont la base est \(P_{\text{fond}} = \rho g H\) et la hauteur est \(H\).

Diagramme des Pressions

Calcul(s)

Dérivation de la formule de la force

\begin{aligned} F &= \text{Aire du triangle de pression} \times L \\ &= \left( \frac{1}{2} \cdot P_{\text{fond}} \cdot H \right) \times L \\ &= \left( \frac{1}{2} \cdot (\rho \cdot g \cdot H) \cdot H \right) \times L \\ &= \frac{1}{2} \rho g H^2 L \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une expression littérale. Le schéma met en évidence que la force \(F\) est la résultante de la distribution de pression triangulaire.

Résultante = Aire du Diagramme

Réflexions

Cette formule montre que la force de poussée n'est pas simplement la pression au fond multipliée par la surface. Elle croît avec le carré de la hauteur d'eau, ce qui signifie qu'un petit aumento de la hauteur du barrage entraîne une augmentation beaucoup plus importante de la force à retenir.

Points de vigilance

Ne pas oublier le facteur 1/2 qui vient de la forme triangulaire de la distribution de pression. Omettre ce facteur est une erreur classique qui conduit à doubler la force réelle.

Points à retenir

La force de poussée sur une paroi verticale rectangulaire est \(F = \frac{1}{2} \rho g H^2 L\). Sa dépendance en \(H^2\) est le point le plus important à mémoriser.

Le saviez-vous ?

Archimède de Syracuse, bien avant la formalisation de ces équations, fut l'un des premiers à étudier les principes de l'hydrostatique et de la flottabilité (la fameuse "Poussée d'Archimède").

FAQ

Résultat Final

L'expression de la force de poussée est \(F = \frac{1}{2} \rho g H^2 L\).

A vous de jouer

Quelle serait l'expression de la force F si la paroi était soumise à une pression uniforme P (cas d'un gaz, par exemple) ?

Réponse : \(F = P \times H \times L\)

Question 3 : Calculer la valeur numérique de cette force F.

Principe

Maintenant que nous avons l'expression littérale de la force, il suffit de remplacer les variables par leurs valeurs numériques pour trouver le résultat.

Mini-Cours

L'application numérique est l'étape finale qui transforme une relation physique générale en une valeur concrète, utilisable par l'ingénieur pour dimensionner un ouvrage. La rigueur dans cette étape est essentielle.

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de toujours écrire la formule littérale avant de remplacer par les chiffres. Cela structure votre pensée et permet de retrouver facilement une erreur si le résultat semble incohérent.

Normes

Cette valeur numérique de la force F est considérée comme une "action" (ou charge) dans les normes de calcul de structures. Elle sera ensuite utilisée dans les combinaisons d'actions pour vérifier la stabilité du barrage.

Formule(s)

Formule de la force de poussée

F = \frac{1}{2} \rho g H^2 L

Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que précédemment.

Donnée(s)

On reprend les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse volumique	ρ	1000	kg/m³
Pesanteur	g	9.81	m/s²
Hauteur d'eau	H	12	m
Largeur	L	1	m

Astuces

Calculez d'abord le terme \(H^2\). Ensuite, multipliez par les autres termes. Cela évite les erreurs de saisie sur la calculatrice. Le résultat sera en Newtons (N). Divisez par 1000 pour l'obtenir en kiloNewtons (kN), une unité plus courante en génie civil.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente la situation physique avant de calculer la valeur de la force résultante F.

Schéma du Barrage

Calcul(s)

Application numérique de la force

\begin{aligned} F &= \frac{1}{2} \times 1000 \times 9.81 \times (12)^2 \times 1 \\ &= 0.5 \times 1000 \times 9.81 \times 144 \times 1 \\ &= 706320 \text{ N} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant représenter la force résultante avec sa valeur calculée.

Force Résultante sur la Paroi

Réflexions

La force est de 706 320 N, soit environ 72 tonnes-force (en considérant g ≈ 9.8). C'est une force énorme qui s'exerce sur chaque mètre de largeur du barrage, ce qui explique pourquoi les barrages sont des structures si massives.

Points de vigilance

N'oubliez pas le carré sur la hauteur H ! C'est l'erreur la plus commune dans ce calcul. La force dépend de \(H^2\), pas de H. Vérifiez aussi que toutes vos unités sont dans le Système International avant de commencer.

Points à retenir

La force de poussée hydrostatique sur une paroi verticale augmente de manière quadratique avec la hauteur d'eau. C'est un point essentiel pour le dimensionnement des ouvrages de retenue.

Le saviez-vous ?

La rupture du barrage de St. Francis en Californie en 1928, qui a causé la mort de plus de 400 personnes, est en partie due à une mauvaise évaluation des forces de sous-pression hydrostatique dans les fondations, un phénomène directement lié aux principes étudiés ici.

FAQ

Résultat Final

La force de poussée sur la tranche de 1m du barrage est de 706 320 N (ou 706.32 kN).

A vous de jouer

Quelle serait la force de poussée si la hauteur d'eau n'était que de 6 mètres ? Entrez votre réponse en kN.

Question 4 : Déterminer la position du centre de poussée (yc).

Principe

Le centre de poussée est le point d'application de la force résultante F. Comme la pression est plus forte en bas qu'en haut, ce point d'application sera situé plus bas que le milieu de la paroi. Pour une distribution de pression triangulaire, ce point se situe au centre de gravité du triangle de pression.

Mini-Cours

Le centre de gravité (ou centroïde) d'un triangle se trouve au tiers de sa hauteur à partir de sa base la plus large. Dans notre cas, la base du triangle de pression est au fond du barrage.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas le centre de gravité de la surface (à H/2) avec le centre de poussée. Le centre de poussée est toujours plus bas que le centre de gravité pour une surface verticale immergée depuis la surface libre.

Normes

La détermination du point d'application de la force est cruciale pour l'analyse de stabilité des structures (notamment la stabilité au renversement), une vérification exigée par toutes les normes de construction (comme l'Eurocode 7 pour la géotechnique).

Formule(s)

Formule générale du centre de poussée

y_{\text{c}} = \frac{I_{\text{G}}}{y_{\text{G}} \cdot A} + y_{\text{G}}

Simplification pour une paroi rectangulaire

y_{\text{c}} = \frac{2}{3}H

Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que précédemment.

Donnée(s)

Seule la hauteur totale de l'eau est nécessaire pour ce calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur d'eau	H	12	m

Astuces

Retenez simplement : "deux tiers depuis le haut" ou "un tiers depuis le bas" pour une paroi rectangulaire verticale. C'est un raccourci qui vous fera gagner beaucoup de temps.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche la position verticale du point d'application de la force F.

Position du Centre de Poussée

Calcul(s)

Application numérique de la position

\begin{aligned} y_{\text{c}} &= \frac{2}{3} H \\ &= \frac{2}{3} \times 12 \text{ m} \\ &= 8 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma est maintenant complété avec la valeur numérique de \(y_{\text{c}}\).

Position finale du Centre de Poussée

Réflexions

La force s'applique à 8m de la surface, bien en dessous du milieu géométrique (6m). C'est cette position qui crée un "moment de renversement" que la masse du barrage doit contrer pour assurer sa stabilité.

Points de vigilance

Soyez toujours attentif à l'origine de l'axe vertical. La formule \(2/3 H\) suppose que l'origine est à la surface libre. Si l'origine est au fond, la position est \(H/3\).

Points à retenir

Pour une paroi rectangulaire verticale, le centre de poussée est situé aux deux tiers de la hauteur d'eau en partant de la surface.

Le saviez-vous ?

La forme des barrages-poids (très larges à la base) est une conséquence directe de la distribution triangulaire de la pression. La masse du barrage est positionnée pour créer un "moment stabilisateur" qui s'oppose au moment de renversement créé par la poussée de l'eau.

FAQ

Résultat Final

Le centre de poussée se situe à 8 mètres de profondeur par rapport à la surface libre de l'eau.

A vous de jouer

À quelle profondeur se situerait le centre de poussée si la hauteur d'eau était de 9 mètres ?

Outil Interactif : Simulateur de Poussée

Utilisez les curseurs pour faire varier la hauteur d'eau et la masse volumique du fluide (par exemple, pour simuler de l'eau salée ou un autre liquide) et observez l'impact sur la force de poussée et la pression au fond.

Paramètres d'Entrée

Hauteur d'eau H (m) 12 m

Masse Volumique ρ (kg/m³) 1000 kg/m³

Résultats Clés

Pression au fond (kPa) -

Force de Poussée (kN) -

Centre de Poussée (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la hauteur d'eau (H), la force de poussée (F) est :

Doublée
Quadruplée
Inchangée

2. La pression hydrostatique dépend de :

La forme du récipient
Le volume total du fluide
La profondeur et la masse volumique du fluide

3. Le centre de poussée sur une paroi verticale rectangulaire se trouve toujours :

En dessous du centre de gravité de la paroi
Au niveau du centre de gravité de la paroi
Au-dessus du centre de gravité de la paroi

Pression Hydrostatique: La pression exercée par un fluide au repos en un point quelconque, due au poids de la colonne de fluide située au-dessus de ce point.
Centre de Poussée: Le point d'application de la force de pression résultante exercée par un fluide sur une surface.
Masse Volumique (ρ): Une mesure de la masse d'un matériau par unité de volume (ex: kg/m³).