Analyse des Vitesses de Circulation
Contexte : L'étude des vitesses ponctuellesVitesse d'un véhicule lorsqu'il passe en un point précis de la chaussée. C'est la base de la plupart des études de vitesse..
En ingénierie des transports, l'analyse des vitesses pratiquées par les usagers sur un tronçon de route est fondamentale. Elle permet d'évaluer la sécurité, le niveau de service, et la pertinence de la signalisation et des limitations de vitesse en place. Une étude de vitesses ponctuelles consiste à mesurer la vitesse de chaque véhicule passant en un point donné pour en tirer des indicateurs statistiques clés, comme la vitesse moyenne temporelleMoyenne arithmétique de toutes les vitesses des véhicules observés en un point sur une période donnée. et le 85e percentileLa vitesse qui n'est pas dépassée par 85% des conducteurs. C'est un indicateur crucial pour fixer des limitations de vitesse cohérentes et sécuritaires..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes d'une analyse statistique classique des données de vitesse, depuis le traitement des données brutes jusqu'à l'interprétation des résultats pour la prise de décision en matière de sécurité routière.
Objectifs Pédagogiques
- Savoir organiser des données de vitesse en classes et construire un tableau de fréquences.
- Calculer la vitesse moyenne temporelle et l'écart-type d'une distribution de vitesses.
- Construire et interpréter un histogramme de fréquences et une courbe de fréquences cumulées.
- Déterminer graphiquement la vitesse du 85e percentile et comprendre son importance.
Données de l'étude
Relevé des Vitesses (en km/h)
| 82 | 75 | 88 | 93 | 79 | 84 | 91 | 78 | 85 | 80 | 97 | 86 |
| 76 | 89 | 81 | 86 | 92 | 77 | 83 | 90 | 84 | 95 | 79 | 88 |
| 94 | 87 | 72 | 81 | 99 | 85 | 78 | 86 | 90 | 82 | 75 | 87 |
| 80 | 96 | 83 | 79 | 88 | 91 | 85 | 74 | 89 | 82 | 93 | 84 |
| 77 | 86 | 90 | 81 | 87 | 92 | 70 | 84 | 89 | 83 | 98 | 86 |
Schéma du Point de Mesure
Questions à traiter
- Regrouper les données en classes de vitesse d'amplitude 5 km/h (ex: [70-75[, [75-80[, ...). Créer un tableau de distribution des fréquences (effectifs, fréquences relatives, fréquences cumulées).
- Calculer la vitesse moyenne temporelle (VMT) et l'écart-type de l'échantillon.
- Tracer l'histogramme des fréquences et la courbe des fréquences cumulées (polygone des fréquences cumulées).
- À partir du graphique, déterminer la vitesse du 85e percentile (V85).
- La limitation de vitesse actuelle à 80 km/h vous semble-t-elle adaptée ? Argumentez votre réponse en vous basant sur la VMT et la V85.
Les bases sur l'Analyse Statistique des Vitesses
L'analyse des vitesses ponctuelles repose sur des outils statistiques permettant de caractériser la distribution des vitesses d'un flux de trafic.
1. Vitesse Moyenne Temporelle (VMT)
C'est la moyenne arithmétique des vitesses des véhicules passant en un point. Elle est calculée à partir de données groupées avec la formule :
\[ V_{\text{MT}} = \frac{\sum_{i=1}^{k} (n_i \cdot v_i)}{N} \]
Où \(n_i\) est l'effectif de la classe \(i\), \(v_i\) est le centre de la classe \(i\), et \(N\) est l'effectif total.
2. Écart-type (\(\sigma\))
L'écart-type mesure la dispersion des vitesses autour de la moyenne. Un faible écart-type indique que les vitesses sont homogènes, tandis qu'un écart-type élevé signale une grande hétérogénéité, potentiellement source de danger.
\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k} n_i (v_i - V_{\text{MT}})^2}{N-1}} \]
Correction : Analyse des Vitesses de Circulation
Question 1 : Tableau de distribution des fréquences
Principe
Le concept physique ici est de transformer un ensemble de mesures individuelles (un nuage de points de données) en une structure organisée qui révèle la tendance générale du flux de trafic. On passe d'une information brute à une information synthétique.
Mini-Cours
En statistique, une distribution de fréquences est un tableau qui affiche la fréquence (le nombre d'occurrences) de diverses issues dans un échantillon. Chaque entrée du tableau contient la fréquence ou le compte des occurrences de valeurs dans un groupe ou un intervalle particulier (une "classe"). Cela permet de résumer des ensembles de données volumineux de manière concise.
Remarque Pédagogique
Pour choisir le nombre de classes, on utilise souvent des règles comme la règle de Sturges (\(k = 1 + 3.322 \log_{10}(N)\)). Ici, pour N=60, k ≈ 6.9. Choisir une amplitude simple de 5 km/h est donc une excellente approche, car elle donne un nombre de classes raisonnable et facilite l'interprétation.
Normes
Les méthodologies de recueil et d'analyse des données de trafic sont souvent encadrées par des guides techniques nationaux ou internationaux (par ex. le "Highway Capacity Manual" aux États-Unis ou les guides du CEREMA en France) pour garantir la comparabilité des études.
Formule(s)
Formule de la Fréquence Relative
Formule de la Fréquence Cumulée
Hypothèses
On suppose que l'échantillon de 60 véhicules est représentatif du trafic habituel sur ce tronçon (conducteurs, conditions météorologiques, jour de la semaine...).
Donnée(s)
Les données d'entrée sont la liste brute des 60 vitesses mesurées et le nombre total de mesures, N = 60.
Astuces
Pour éviter les erreurs de comptage, utilisez la méthode du "bâtonnage" (turges) : parcourez la liste des vitesses une par une et faites un bâton dans la bonne classe. C'est simple, visuel et efficace.
Schéma (Avant les calculs)
Concept de Regroupement en Classes
Calcul(s)
En comptant les véhicules pour chaque classe, on obtient les effectifs (\(n_i\)). On calcule ensuite les fréquences relatives et cumulées.
| Classe de Vitesse (km/h) | Centre de Classe (\(v_i\)) | Effectif (\(n_i\)) | Fréquence Rel. (%) | Fréquence Cumulée (%) |
|---|---|---|---|---|
| [70 - 75[ | 72.5 | 3 | (3/60)*100 = 5.0 | 5.0 |
| [75 - 80[ | 77.5 | 9 | (9/60)*100 = 15.0 | 5.0 + 15.0 = 20.0 |
| [80 - 85[ | 82.5 | 15 | (15/60)*100 = 25.0 | 20.0 + 25.0 = 45.0 |
| [85 - 90[ | 87.5 | 16 | (16/60)*100 = 26.7 | 45.0 + 26.7 = 71.7 |
| [90 - 95[ | 92.5 | 11 | (11/60)*100 = 18.3 | 71.7 + 18.3 = 90.0 |
| [95 - 100[ | 97.5 | 6 | (6/60)*100 = 10.0 | 90.0 + 10.0 = 100.0 |
| Total | - | 60 | 100.0 | - |
Schéma (Après les calculs)
Histogramme des Fréquences
Réflexions
Le tableau montre que la majorité des conducteurs (plus de 70%) roulent entre 80 km/h et 95 km/h. La classe modale (la plus fréquente) est [85 - 90[ km/h, ce qui est déjà un indice fort que la vitesse limite de 80 km/h est peu respectée.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est le traitement des bornes. Une vitesse de 80 km/h doit être placée dans la classe [80-85[ et non dans [75-80[. Assurez-vous également que la somme des effectifs est bien égale à 60 et que la dernière fréquence cumulée est bien de 100%.
Points à retenir
Retenez la méthode : 1. Définir les classes. 2. Compter les effectifs par classe. 3. Calculer les fréquences relatives. 4. Calculer les fréquences cumulées. Cette structure est la base de toute analyse statistique sur des données continues.
Le saviez-vous ?
Les premières études de trafic à grande échelle ont été menées dans les années 1920 aux États-Unis. Les ingénieurs utilisaient des chronomètres manuels et des tuyaux pneumatiques posés sur la route pour mesurer le passage et la vitesse des véhicules, bien avant l'arrivée des radars laser !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si on ajoutait 5 nouvelles voitures roulant à 76, 81, 84, 88 et 96 km/h, quel serait le nouvel effectif de la classe [85 - 90[ ?
Question 2 : Calcul de la VMT et de l'écart-type
Principe
Le concept physique est de trouver un "centre de gravité" pour la distribution des vitesses (la VMT) et une mesure de son "étalement" (l'écart-type). Ces deux nombres permettent de résumer l'ensemble des 60 mesures de manière très efficace.
Mini-Cours
La Vitesse Moyenne Temporelle est la moyenne arithmétique des vitesses. Elle est sensible aux valeurs extrêmes. L'écart-type est la racine carrée de la variance. Il représente la distance "typique" ou moyenne à laquelle les vitesses individuelles se trouvent par rapport à la vitesse moyenne. C'est le principal indicateur de l'homogénéité du trafic.
Remarque Pédagogique
Lorsqu'on travaille avec des données groupées, on fait une approximation : on considère que toutes les voitures d'une classe roulent à la vitesse du centre de cette classe. Cette approximation est généralement très bonne si le nombre de données est suffisant.
Normes
Il n'y a pas de norme réglementaire pour la valeur de l'écart-type, mais l'expérience montre qu'un écart-type supérieur à 10 km/h est souvent le signe d'un trafic non homogène et potentiellement dangereux (cohabitation de véhicules très lents et très rapides).
Formule(s)
Formule de la Vitesse Moyenne Temporelle
Formule de l'Écart-Type
Hypothèses
Nous continuons avec l'hypothèse que les centres de classe représentent bien les vitesses moyennes au sein de chaque classe.
Donnée(s)
Les données d'entrée sont le tableau de fréquences de la Question 1.
| Classe de Vitesse (km/h) | Centre de Classe (\(v_i\)) | Effectif (\(n_i\)) |
|---|---|---|
| [70 - 75[ | 72.5 | 3 |
| [75 - 80[ | 77.5 | 9 |
| [80 - 85[ | 82.5 | 15 |
| [85 - 90[ | 87.5 | 16 |
| [90 - 95[ | 92.5 | 11 |
| [95 - 100[ | 97.5 | 6 |
| Total | - | 60 |
Astuces
Pour calculer l'écart-type, il est plus simple de créer des colonnes supplémentaires dans votre tableau : une pour \(n_i \cdot v_i\), une pour \((v_i - V_{\text{MT}})\), une pour \((v_i - V_{\text{MT}})^2\), et une dernière pour \(n_i (v_i - V_{\text{MT}})^2\). Cela structure le calcul et minimise les erreurs.
Schéma (Avant les calculs)
Recherche du "Centre de Gravité" de la Distribution
Calcul(s)
Calcul de la Vitesse Moyenne Temporelle (VMT)
Calcul de la somme des carrés des écarts
Calcul de l'écart-type (\(\sigma\))
Schéma (Après les calculs)
Position de la VMT et de l'Écart-Type
Réflexions
Une VMT de 85.92 km/h confirme que, en moyenne, les conducteurs dépassent la limite de 80 km/h. Un écart-type de 7.23 km/h indique une dispersion modérée : la plupart des conducteurs ont des vitesses assez proches les unes des autres, mais il existe tout de même une variabilité notable.
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier de mettre les écarts au carré pour le calcul de la variance, c'est une erreur fréquente. Pensez aussi à diviser par N-1 (estimateur non biaisé) pour l'écart-type d'un échantillon, et non par N.
Points à retenir
La VMT est un indicateur de tendance centrale, l'écart-type est un indicateur de dispersion. Ces deux valeurs sont le duo fondamental pour décrire statistiquement un ensemble de données.
Le saviez-vous ?
Il existe une autre vitesse moyenne, la Vitesse Moyenne Spatiale (VMS), qui est la moyenne harmonique des vitesses. Elle est toujours inférieure ou égale à la VMT et représente la vitesse moyenne sur une section de route à un instant t, plutôt qu'en un point sur une durée t.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la VMT était exactement de 85 km/h, quelle serait la contribution de la classe [75-80[ au calcul de la somme des carrés des écarts ? (Formule : \(n_i(v_i - V_{\text{MT}})^2\))
Question 3 : Histogramme et courbe des fréquences cumulées
Principe
Le concept physique est la visualisation. Un graphique transmet une information complexe (la distribution des vitesses) de manière instantanée et intuitive, ce qu'un tableau de chiffres ne peut pas faire aussi efficacement.
Mini-Cours
L'histogramme est une représentation graphique de la distribution d'un échantillon. Il est composé de rectangles dont la largeur correspond à l'amplitude des classes et la hauteur à la fréquence. La courbe des fréquences cumulées (ou ogive) montre le pourcentage de données se trouvant en dessous d'un certain seuil. Elle est toujours croissante.
Remarque Pédagogique
Lors du tracé de la courbe des fréquences cumulées, on associe la fréquence cumulée à la borne supérieure de chaque classe. Par exemple, on place le point (80 km/h, 20%) car 20% des conducteurs roulent à moins de 80 km/h.
Normes
Les règles de représentation graphique (titres des axes, légendes, échelles claires) sont des standards de communication scientifique pour assurer que les graphiques sont lisibles et non trompeurs.
Formule(s)
Il n'y a pas de formule de calcul ici, mais des règles de construction graphique : la hauteur des barres de l'histogramme est proportionnelle à l'effectif (\(n_i\)).
Hypothèses
On suppose que la distribution des vitesses est continue, ce qui justifie de relier les points de la courbe des fréquences cumulées.
Donnée(s)
Les données d'entrée sont les colonnes "Effectif" et "Fréquence Cumulée (%)" du tableau de la Question 1.
| Classe de Vitesse (km/h) | Effectif (\(n_i\)) | Fréquence Cumulée (%) |
|---|---|---|
| [70 - 75[ | 3 | 5.0 |
| [75 - 80[ | 9 | 20.0 |
| [80 - 85[ | 15 | 45.0 |
| [85 - 90[ | 16 | 71.7 |
| [90 - 95[ | 11 | 90.0 |
| [95 - 100[ | 6 | 100.0 |
Astuces
Pour plus de clarté, on peut superposer les deux graphiques en utilisant un double axe Y : un à gauche pour les effectifs (histogramme) et un à droite pour les pourcentages (courbe cumulée). C'est ce qui est fait ici.
Schéma (Avant les calculs)
Préparation des Axes du Graphique
Calcul(s)
Cette étape est le tracé lui-même, basé sur les données du tableau. Chaque barre de l'histogramme est dessinée, puis les points de la courbe cumulée sont placés et reliés.
Schéma (Après les calculs)
Distribution des Vitesses et Fréquences Cumulées
Réflexions
L'histogramme confirme visuellement que le pic de la distribution se trouve bien au-dessus de 80 km/h. La courbe cumulée montre une pente très forte entre 80 et 95 km/h, indiquant que c'est dans cette plage que se concentre la majorité des conducteurs.
Points de vigilance
Assurez-vous que les barres de l'histogramme sont bien juxtaposées (pas d'espace entre elles) pour représenter une variable continue. Pour la courbe cumulée, n'oubliez pas de commencer à 0% pour la borne inférieure de la première classe (ici, 70 km/h).
Points à retenir
L'histogramme montre "combien" de conducteurs sont dans chaque classe. La courbe cumulée montre "combien" de conducteurs sont en dessous d'une certaine vitesse. Ce sont deux visions complémentaires de la même réalité.
Le saviez-vous ?
Le mot "histogramme" a été inventé par le célèbre statisticien Karl Pearson. Il est dérivé du grec "histos" (mât de navire, ou tout ce qui est dressé) et "gramma" (ce qui est dessiné ou écrit), décrivant parfaitement l'aspect visuel du graphique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En regardant le graphique, quel pourcentage approximatif de conducteurs roule à moins de 85 km/h ?
Question 4 : Détermination de la V85
Principe
Le concept ici est d'identifier une vitesse "représentative" du comportement de la grande majorité des conducteurs (85%), en excluant les conducteurs les plus extrêmes (les 15% les plus rapides). Cette vitesse est considérée comme celle que les usagers jugent raisonnable et sûre dans les conditions données.
Mini-Cours
Un percentile est une mesure statistique indiquant la valeur en dessous de laquelle tombe un pourcentage donné d'observations. Le 85e percentile (V85) est une norme de facto en ingénierie de la circulation pour évaluer et fixer les limitations de vitesse. L'idée est que 85% des conducteurs choisissent une vitesse adaptée ; les 15% restants sont considérés comme des conducteurs à risque ou en excès de vitesse délibéré.
Remarque Pédagogique
La détermination graphique est une méthode rapide et visuelle. Pour plus de précision, on peut utiliser l'interpolation linéaire entre les points de la courbe cumulée qui encadrent la valeur de 85%.
Normes
De nombreux guides de conception routière et de gestion du trafic, comme le MUTCD américain, stipulent que la limitation de vitesse devrait idéalement être fixée à la valeur de la V85, arrondie aux 5 km/h les plus proches.
Formule(s)
Formule d'Interpolation Linéaire
Où V et P sont les vitesses et pourcentages cumulés des points encadrant 85%.
Hypothèses
On suppose que la croissance de la courbe cumulative est linéaire entre deux points successifs, ce qui est une approximation raisonnable.
Donnée(s)
Courbe des Fréquences Cumulées
Astuces
Utilisez une règle et un crayon pour tracer des lignes bien droites sur votre graphique papier. Sur un graphique numérique, la plupart des logiciels permettent de tracer des lignes de référence pour faciliter la lecture.
Schéma (Avant les calculs)
Méthode de Lecture Graphique de la V85
Calcul(s)
Le "calcul" ici est une lecture graphique. On part de 85% sur l'axe Y, on se déplace horizontalement jusqu'à croiser la courbe, puis on descend verticalement pour lire la vitesse correspondante sur l'axe X.
Schéma (Après les calculs)
Lecture graphique de la V85
Réflexions
Une V85 de 94 km/h est un résultat très significatif. Il indique que dans les conditions actuelles (géométrie de la route, environnement), la vitesse qui semble naturelle et confortable pour la grande majorité des conducteurs est bien plus proche de 90 km/h que de 80 km/h.
Points de vigilance
Attention à la précision de la lecture graphique. Une petite erreur de tracé peut entraîner une différence de 1 ou 2 km/h. Il faut également bien utiliser la courbe cumulée et non l'histogramme pour cette opération.
Points à retenir
La V85 est l'indicateur clé pour juger de la pertinence d'une limitation de vitesse. C'est la vitesse de la "majorité silencieuse et raisonnable" des conducteurs.
Le saviez-vous ?
Le concept de la V85 a été développé dans les années 1940. Des études ont montré que le risque d'accident est minimal pour les véhicules circulant autour de la vitesse moyenne du trafic. Le risque augmente significativement pour ceux qui sont beaucoup plus lents ou beaucoup plus rapides que la moyenne.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant la même méthode graphique, quelle serait la vitesse médiane (V50), c'est-à-dire le 50e percentile ?
Question 5 : Pertinence de la limitation de vitesse
Principe
Le concept est de confronter une règle théorique (la limitation de vitesse) à la réalité physique du comportement des usagers (mesurée par la VMT et la V85). L'objectif est de juger si la règle est en adéquation avec la physique du système, ou si elle est source de conflit.
Mini-Cours
Une limitation de vitesse est jugée "crédible" si elle correspond à la perception du risque et au confort de la majorité des conducteurs. Un grand écart entre la V85 et la vitesse limite est un symptôme d'une limitation non crédible, qui sera donc peu respectée et nécessitera des mesures de contrôle policier importantes pour être appliquée.
Remarque Pédagogique
La réponse à cette question n'est pas juste un "oui" ou un "non". Un bon ingénieur doit argumenter sa conclusion en s'appuyant sur les chiffres calculés et proposer des pistes de solution ou des recommandations, comme nous le faisons ici.
Normes
En France, les instructions interministérielles sur la signalisation routière et les guides du CEREMA fournissent le cadre réglementaire et technique pour la fixation des limitations de vitesse, en prenant en compte le type de route, l'environnement et les données de trafic comme la V85.
Formule(s)
Critère de Jugement
Hypothèses
On suppose que le comportement observé des conducteurs n'est pas influencé par une présence policière exceptionnelle durant les mesures.
Donnée(s)
Les données clés sont : \(V_{\text{limite}} = 80 \text{ km/h}\), \(V_{\text{MT}} \approx 86 \text{ km/h}\), et \(V_{85} \approx 94 \text{ km/h}\).
Astuces
Pour renforcer votre argumentation, vous pouvez calculer le pourcentage de véhicules en infraction. Ici, d'après la courbe cumulée, environ 80% des véhicules roulent au-dessus de 80 km/h. C'est un argument choc !
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison V85 vs Vlimite
Calcul(s)
Calcul de l'Écart
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'Écart
Réflexions
Conclusion : La limitation de vitesse à 80 km/h semble inadaptée et trop basse par rapport aux vitesses naturellement pratiquées. Deux options pourraient être envisagées :
- Relever la limitation de vitesse à 90 km/h, ce qui serait plus cohérent avec la V85.
- Si des enjeux de sécurité (intersections, virages masqués non décrits dans l'énoncé) imposent de maintenir 80 km/h, des aménagements (radars, chicanes, signalisation renforcée) seraient nécessaires pour "casser" la vitesse et rendre la limite crédible.
Points de vigilance
Évitez de conclure trop hâtivement. Une V85 élevée ne signifie pas automatiquement qu'il faut augmenter la vitesse limite. Il faut aussi prendre en compte l'historique des accidents, la présence d'usagers vulnérables (cyclistes, piétons), et les caractéristiques géométriques de la route.
Points à retenir
L'analyse des vitesses est un outil d'aide à la décision. La décision finale sur une limitation de vitesse est un arbitrage entre le comportement observé des usagers (fluidité) et les objectifs de sécurité.
Le saviez-vous ?
En Suède, le programme "Vision Zéro", initié dans les années 90, a radicalement changé l'approche de la sécurité routière. Plutôt que de blâmer uniquement les conducteurs, le système routier lui-même est conçu pour être "pardonnable" et empêcher que les erreurs humaines ne mènent à des accidents mortels, notamment par des limitations de vitesse adaptées à la physique des chocs.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si, pour des raisons de sécurité, la V85 devait être abaissée à 82 km/h, quelle serait la mesure la plus efficace parmi les suivantes ?
Outil Interactif : Simulateur de Distribution de Vitesses
Utilisez les curseurs pour modifier la vitesse moyenne et l'écart-type d'une population de conducteurs et observez l'impact sur la distribution des vitesses et les percentiles clés.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (Percentiles)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce que la Vitesse du 85e percentile (V85) représente ?
2. Un écart-type élevé dans une distribution de vitesses indique que :
3. La Vitesse Moyenne Temporelle (VMT) est calculée comme :
4. Si la V85 est bien supérieure à la vitesse limite, cela suggère que la limitation est...
5. Pour déterminer graphiquement un percentile, quel graphique utilise-t-on ?
- Vitesse ponctuelle
- Vitesse d'un véhicule lorsqu'il passe en un point précis de la chaussée. C'est la base de la plupart des études de vitesse.
- Vitesse Moyenne Temporelle (VMT)
- Moyenne arithmétique de toutes les vitesses des véhicules observés en un point sur une période donnée.
- 85e percentile (V85)
- La vitesse qui n'est pas dépassée par 85% des conducteurs. C'est un indicateur crucial pour fixer des limitations de vitesse cohérentes et sécuritaires.
- Écart-type
- Mesure statistique de la dispersion ou de la variabilité des vitesses des véhicules par rapport à la vitesse moyenne.
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