Analyse les vitesses de circulation

Comprendre l'Analyse des Vitesses de Circulation

L'analyse des vitesses de circulation est un aspect fondamental de l'ingénierie des transports. Elle permet d'évaluer la performance d'un réseau routier, d'identifier les zones de congestion, d'estimer les temps de parcours, et de prendre des décisions éclairées en matière de gestion du trafic et de conception d'infrastructures. Plusieurs types de vitesses sont utilisés : la vitesse instantanée (vitesse d'un véhicule à un instant précis), la vitesse moyenne temporelle (TMS - Time Mean Speed, moyenne arithmétique des vitesses instantanées des véhicules passant en un point pendant une période donnée), et la vitesse moyenne spatiale (SMS - Space Mean Speed, moyenne des vitesses des véhicules présents sur un tronçon de route à un instant donné). Ces différentes mesures fournissent des informations complémentaires sur les conditions de circulation.

Données de l'étude

Un radar a enregistré les vitesses instantanées de 10 véhicules successifs passant en un point donné d'une route urbaine. De plus, les temps de parcours de 5 véhicules ont été mesurés sur un tronçon de cette route d'une longueur de $500 \, \text{m}$.

Vitesses instantanées mesurées au point X (en km/h) :

$v_1 = 45$, $v_2 = 52$, $v_3 = 48$, $v_4 = 55$, $v_5 = 42$
$v_6 = 50$, $v_7 = 47$, $v_8 = 53$, $v_9 = 46$, $v_{10} = 49$

Temps de parcours sur le tronçon de $500 \, \text{m}$ (en secondes) :

$t_A = 38.0 \, \text{s}$
$t_B = 42.5 \, \text{s}$
$t_C = 36.0 \, \text{s}$
$t_D = 40.0 \, \text{s}$
$t_E = 39.5 \, \text{s}$

Schéma : Mesure des Vitesses de Circulation

Illustration de la mesure de vitesses instantanées en un point et de temps de parcours sur un tronçon.

Questions à traiter

Définir la vitesse instantanée, la Vitesse Moyenne Temporelle (TMS), et la Vitesse Moyenne Spatiale (SMS).
Calculer la Vitesse Moyenne Temporelle (TMS) à partir des 10 vitesses instantanées mesurées au point X. Exprimer le résultat en km/h.
Calculer la variance et l'écart-type des vitesses instantanées mesurées au point X.
Pour chaque véhicule (A à E) ayant traversé le tronçon de $500 \, \text{m}$, calculer sa vitesse individuelle en $\text{m/s}$ et en $\text{km/h}$.
Calculer la Vitesse Moyenne Spatiale (SMS) pour les 5 véhicules sur le tronçon. Exprimer le résultat en km/h.
Comparer la TMS et la SMS calculées. Sont-elles égales ? Expliquer pourquoi elles peuvent différer et dans quel cas elles seraient égales.

Correction : Analyse des Vitesses de Circulation

Question 1 : Définitions des types de vitesse

Définitions :

Vitesse Instantanée ($v_i$) : C'est la vitesse d'un véhicule à un instant $t$ précis ou en un point précis de l'espace. C'est ce que mesure un radar, par exemple.
Vitesse Moyenne Temporelle (TMS ou $\bar{u}_t$) : C'est la moyenne arithmétique des vitesses instantanées de tous les véhicules ($N$) qui passent en un point fixe d'une route pendant une période de temps donnée. $\text{TMS} = \bar{u}_t = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} v_i$
Vitesse Moyenne Spatiale (SMS ou $\bar{u}_s$) : C'est la moyenne harmonique des vitesses des véhicules présents sur un tronçon de route de longueur $L$ à un instant donné, ou, de manière équivalente, la longueur du tronçon divisée par le temps moyen de parcours de ce tronçon par les véhicules. $\text{SMS} = \bar{u}_s = \frac{L}{\bar{t}} = \frac{N \cdot L}{\sum_{i=1}^{N} t_i} = \frac{N}{\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{v_i}}$
où $t_i$ est le temps de parcours du véhicule $i$ sur le tronçon $L$, et $v_i = L/t_i$ est sa vitesse sur ce tronçon.

Relation entre TMS et SMS :

En général, la Vitesse Moyenne Temporelle (TMS) est supérieure ou égale à la Vitesse Moyenne Spatiale (SMS). $ \text{TMS} \ge \text{SMS} $. Elles ne sont égales que si toutes les vitesses instantanées des véhicules sont identiques (c'est-à-dire, variance des vitesses nulle). La TMS donne plus de poids aux véhicules rapides (car plus de véhicules rapides passent un point fixe pendant une période donnée), tandis que la SMS donne une meilleure représentation de la vitesse moyenne sur une section de route à un instant donné, reflétant davantage l'expérience du conducteur moyen sur ce tronçon.

Résultat Question 1 : Vitesse instantanée : vitesse à un instant t. TMS : moyenne arithmétique des vitesses en un point. SMS : moyenne harmonique des vitesses sur un tronçon (ou L / temps moyen de parcours). En général, TMS $\ge$ SMS.

Question 2 : Calcul de la Vitesse Moyenne Temporelle (TMS)

Principe :

On calcule la moyenne arithmétique des vitesses instantanées données.

Formule(s) utilisée(s) :

\text{TMS} = \frac{\sum_{i=1}^{N} v_i}{N}

Données spécifiques :

Vitesses ($\text{km/h}$): 45, 52, 48, 55, 42, 50, 47, 53, 46, 49. Nombre de véhicules $N=10$.

Calcul :

\begin{aligned} \sum v_i &= 45+52+48+55+42+50+47+53+46+49 \\ &= 487 \, \text{km/h} \end{aligned}

\begin{aligned} \text{TMS} &= \frac{487 \, \text{km/h}}{10} \\ &= 48.7 \, \text{km/h} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La Vitesse Moyenne Temporelle (TMS) est de $48.7 \, \text{km/h}$.

Question 3 : Variance et écart-type des vitesses instantanées

Principe :

La variance ($\sigma^2$) mesure la dispersion des vitesses autour de la moyenne (TMS). L'écart-type ($\sigma$) est la racine carrée de la variance.

Formule(s) utilisée(s) :

\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (v_i - \text{TMS})^2}{N-1} \quad (\text{pour un échantillon})

\sigma = \sqrt{\sigma^2}

Alternativement, $\sigma^2 = \frac{1}{N-1} \left( \sum v_i^2 - \frac{(\sum v_i)^2}{N} \right)$.

Données spécifiques :

Vitesses ($v_i$) : 45, 52, 48, 55, 42, 50, 47, 53, 46, 49.

TMS $= 48.7 \, \text{km/h}$.

Calcul :

Calcul des $(v_i - \text{TMS})^2$:

$(45 - 48.7)^2 = (-3.7)^2 = 13.69$
$(52 - 48.7)^2 = (3.3)^2 = 10.89$
$(48 - 48.7)^2 = (-0.7)^2 = 0.49$
$(55 - 48.7)^2 = (6.3)^2 = 39.69$
$(42 - 48.7)^2 = (-6.7)^2 = 44.89$
$(50 - 48.7)^2 = (1.3)^2 = 1.69$
$(47 - 48.7)^2 = (-1.7)^2 = 2.89$
$(53 - 48.7)^2 = (4.3)^2 = 18.49$
$(46 - 48.7)^2 = (-2.7)^2 = 7.29$
$(49 - 48.7)^2 = (0.3)^2 = 0.09$

Somme des carrés des écarts :

\sum (v_i - \text{TMS})^2 = 13.69+10.89+0.49+39.69+44.89+1.69+2.89+18.49+7.29+0.09 = 140.10

Variance ($\sigma^2$) :

\sigma^2 = \frac{140.10}{10-1} = \frac{140.10}{9} \approx 15.567 \, (\text{km/h})^2

Écart-type ($\sigma$) :

\sigma = \sqrt{15.567} \approx 3.945 \, \text{km/h}

Résultat Question 3 : La variance des vitesses est $\sigma^2 \approx 15.57 \, (\text{km/h})^2$ et l'écart-type est $\sigma \approx 3.95 \, \text{km/h}$.

Question 4 : Vitesses individuelles sur le tronçon

Principe :

La vitesse individuelle $v_i$ d'un véhicule sur un tronçon de longueur $L$ est $L / t_i$, où $t_i$ est son temps de parcours.

Formule(s) utilisée(s) :

v_i = \frac{L}{t_i}

Données spécifiques :

Longueur du tronçon $L = 500 \, \text{m} = 0.5 \, \text{km}$
Temps de parcours ($\text{s}$): $t_A = 38.0$, $t_B = 42.5$, $t_C = 36.0$, $t_D = 40.0$, $t_E = 39.5$

Calcul :

Calcul pour chaque véhicule :

$v_A = \frac{500 \, \text{m}}{38.0 \, \text{s}} \approx 13.158 \, \text{m/s} \approx 47.369 \, \text{km/h}$
$v_B = \frac{500 \, \text{m}}{42.5 \, \text{s}} \approx 11.765 \, \text{m/s} \approx 42.353 \, \text{km/h}$
$v_C = \frac{500 \, \text{m}}{36.0 \, \text{s}} \approx 13.889 \, \text{m/s} \approx 50.000 \, \text{km/h}$
$v_D = \frac{500 \, \text{m}}{40.0 \, \text{s}} = 12.500 \, \text{m/s} = 45.000 \, \text{km/h}$
$v_E = \frac{500 \, \text{m}}{39.5 \, \text{s}} \approx 12.658 \, \text{m/s} \approx 45.569 \, \text{km/h}$

Résultat Question 4 : Les vitesses individuelles sont :

$v_A \approx 13.16 \, \text{m/s} \approx 47.37 \, \text{km/h}$
$v_B \approx 11.76 \, \text{m/s} \approx 42.35 \, \text{km/h}$
$v_C \approx 13.89 \, \text{m/s} \approx 50.00 \, \text{km/h}$
$v_D = 12.50 \, \text{m/s} = 45.00 \, \text{km/h}$
$v_E \approx 12.66 \, \text{m/s} \approx 45.57 \, \text{km/h}$

Question 5 : Calcul de la Vitesse Moyenne Spatiale (SMS)

Principe :

La SMS est la moyenne harmonique des vitesses individuelles sur le tronçon, ou $L$ divisé par le temps de parcours moyen.

Formule(s) utilisée(s) :

\text{SMS} = \frac{N}{\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{v_i}} \quad \text{ou} \quad \text{SMS} = \frac{L}{\bar{t}} = \frac{N \cdot L}{\sum t_i}

Utilisons la deuxième forme avec les temps de parcours.

Données spécifiques :

$N = 5$ véhicules
$L = 500 \, \text{m}$
Temps de parcours ($\text{s}$): $t_A = 38.0$, $t_B = 42.5$, $t_C = 36.0$, $t_D = 40.0$, $t_E = 39.5$

Calcul :

Somme des temps de parcours :

\sum t_i = 38.0 + 42.5 + 36.0 + 40.0 + 39.5 = 196.0 \, \text{s}

Calcul de la SMS en $\text{m/s}$:

\begin{aligned} \text{SMS} (\text{m/s}) &= \frac{N \cdot L}{\sum t_i} \\ &= \frac{5 \times 500 \, \text{m}}{196.0 \, \text{s}} \\ &= \frac{2500 \, \text{m}}{196.0 \, \text{s}} \\ &\approx 12.755 \, \text{m/s} \end{aligned}

Conversion en $\text{km/h}$:

\text{SMS} (\text{km/h}) \approx 12.755 \, \text{m/s} \times 3.6 \approx 45.918 \, \text{km/h}

Résultat Question 5 : La Vitesse Moyenne Spatiale (SMS) est d'environ $12.76 \, \text{m/s}$, soit $45.92 \, \text{km/h}$.

Quiz Intermédiaire 1 : Si tous les véhicules avaient parcouru le tronçon en exactement $40 \, \text{s}$, la SMS serait :

$12.0 \, \text{m/s}$
$12.5 \, \text{m/s}$
$13.0 \, \text{m/s}$
$50.0 \, \text{m/s}$

Question 6 : Comparaison TMS et SMS

Valeurs calculées :

TMS $\approx 48.7 \, \text{km/h}$ (de Q2)
SMS $\approx 45.92 \, \text{km/h}$ (de Q5)

Comparaison :

On observe que TMS ($48.7 \, \text{km/h}$) > SMS ($45.92 \, \text{km/h}$).

Explication de la différence :

La Vitesse Moyenne Temporelle (TMS) est une moyenne arithmétique des vitesses instantanées des véhicules passant en un point. Elle donne donc plus de "poids" aux véhicules plus rapides, car pendant une période donnée, plus de véhicules rapides passeront ce point que de véhicules lents.

La Vitesse Moyenne Spatiale (SMS) est une moyenne harmonique des vitesses (ou la longueur du tronçon divisée par le temps de parcours moyen). Elle représente la vitesse moyenne des véhicules présents sur un segment de route à un instant donné. Les véhicules plus lents passent plus de temps sur le segment et ont donc une influence plus grande sur la SMS. Par conséquent, la SMS est généralement inférieure ou égale à la TMS.

La relation mathématique est : $\text{TMS} = \text{SMS} + \frac{\sigma_s^2}{\text{SMS}}$, où $\sigma_s^2$ est la variance des vitesses spatiales. Puisque la variance est toujours positive ou nulle, TMS $\ge$ SMS. Elles ne sont égales que si la variance des vitesses est nulle, c'est-à-dire si tous les véhicules se déplacent exactement à la même vitesse.

Résultat Question 6 : TMS ($48.7 \, \text{km/h}$) est supérieure à SMS ($45.92 \, \text{km/h}$). Cela est dû au fait que la TMS est une moyenne arithmétique qui favorise les vitesses élevées, tandis que la SMS est une moyenne harmonique qui est plus influencée par les véhicules lents passant plus de temps sur le tronçon. Elles ne sont égales que si toutes les vitesses sont identiques.

Glossaire

Vitesse Instantanée: Vitesse d'un véhicule à un instant précis ou en un point précis de l'espace.
Vitesse Moyenne Temporelle (TMS): Moyenne arithmétique des vitesses instantanées des véhicules passant en un point fixe d'une route pendant une période donnée.
Vitesse Moyenne Spatiale (SMS): Moyenne des vitesses des véhicules présents sur un segment de route à un instant donné ; ou longueur du segment divisée par le temps de parcours moyen.
Débit de Trafic ($q$): Nombre de véhicules passant un point ou une section d'une route par unité de temps.
Densité de Trafic ($k$): Nombre de véhicules par unité de longueur de route ou de voie à un instant donné.
Relation Fondamentale du Trafic: Équation liant le débit, la vitesse et la densité : $q = k \cdot S$.
Variance (des vitesses): Mesure statistique de la dispersion des vitesses autour de leur moyenne.
Écart-type (des vitesses): Racine carrée de la variance, exprimée dans la même unité que la vitesse.

Analyse les vitesses de circulation

Données de l'étude

Schéma : Mesure des Vitesses de Circulation

Questions à traiter

Correction : Analyse des Vitesses de Circulation

Question 1 : Définitions des types de vitesse

Définitions :

Relation entre TMS et SMS :

Question 2 : Calcul de la Vitesse Moyenne Temporelle (TMS)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 3 : Variance et écart-type des vitesses instantanées

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 4 : Vitesses individuelles sur le tronçon

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 5 : Calcul de la Vitesse Moyenne Spatiale (SMS)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 6 : Comparaison TMS et SMS

Valeurs calculées :

Comparaison :

Explication de la différence :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Glossaire

0 commentaires

Soumettre un commentaire Annuler la réponse