Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Masse d’un Réservoir Cylindrique

Calcul de la Masse d’un Réservoir Cylindrique en Ingénierie Mécanique

Calcul de la Masse d’un Réservoir Cylindrique

Comprendre le Calcul de la Masse d'un Réservoir Cylindrique

Le calcul de la masse d'équipements tels que les réservoirs cylindriques est une étape cruciale en ingénierie mécanique. Cette information est indispensable pour de nombreuses raisons : conception structurale (calcul des supports, fondations), logistique (transport, levage), estimation des coûts de matériaux, et évaluation de la masse totale d'un système. Un réservoir est typiquement composé d'une partie cylindrique (la virole) et de deux fonds (souvent bombés pour résister à la pression). Cet exercice se concentre sur le calcul de la masse d'un réservoir cylindrique en acier avec des fonds hémisphériques, en considérant l'épaisseur des parois.

Données de l'étude

On souhaite calculer la masse d'un réservoir cylindrique horizontal en acier, fermé par deux fonds hémisphériques.

Caractéristiques du Réservoir :

  • Diamètre intérieur de la virole cylindrique (\(D_i\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Longueur de la partie cylindrique (virole) (\(L_c\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Épaisseur de la paroi de la virole (\(e_c\)) : \(10 \, \text{mm}\)
  • Type de fonds : Hémisphériques
  • Épaisseur des fonds hémisphériques (\(e_f\)) : \(12 \, \text{mm}\)

Matériau :

  • Type : Acier de construction standard
  • Masse volumique de l'acier (\(\rho_{\text{acier}}\)) : \(7850 \, \text{kg/m}^3\)
Schéma : Réservoir Cylindrique avec Fonds Hémisphériques
Di Lc ec ef Réservoir Cylindrique avec Fonds Hémisphériques

Schéma d'un réservoir cylindrique avec ses dimensions principales.

Questions à traiter

  1. Calculer le rayon intérieur (\(R_i\)) de la virole cylindrique.
  2. Calculer le volume de matériau de la paroi de la virole cylindrique (\(V_{\text{virole}}\)). Utiliser la formule du volume d'un cylindre creux ou une approximation par la surface moyenne multipliée par l'épaisseur.
  3. Calculer la masse de la paroi de la virole cylindrique (\(M_{\text{virole}}\)).
  4. Les fonds sont hémisphériques. Calculer le rayon intérieur (\(R_{if}\)) et le rayon extérieur (\(R_{ef}\)) d'un fond.
  5. Calculer le volume de matériau d'un seul fond hémisphérique (\(V_{\text{fond}}\)).
  6. Calculer la masse d'un seul fond hémisphérique (\(M_{\text{fond}}\)).
  7. Calculer la masse totale du réservoir vide (\(M_{\text{total}}\)).
  8. Si le réservoir est rempli d'eau (\(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\)), calculer le volume intérieur total du réservoir (\(V_{\text{intérieur}}\)) puis la masse d'eau contenue (\(M_{\text{eau}}\)) et enfin la masse totale du réservoir plein (\(M_{\text{plein}}\)).

Correction : Calcul de la Masse d’un Réservoir Cylindrique

Question 1 : Rayon intérieur (\(R_i\)) de la virole cylindrique

Principe :

Le rayon intérieur est la moitié du diamètre intérieur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_i = \frac{D_i}{2}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre intérieur (\(D_i\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_i &= \frac{2.0 \, \text{m}}{2} \\ &= 1.0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le rayon intérieur de la virole est \(R_i = 1.0 \, \text{m}\).

Question 2 : Volume de matériau de la paroi de la virole cylindrique (\(V_{\text{virole}}\))

Principe :

Le volume de matériau de la paroi cylindrique (virole) peut être calculé comme la différence entre le volume d'un cylindre extérieur et celui d'un cylindre intérieur, ou approximé par la surface moyenne de la paroi multipliée par son épaisseur.

Rayon extérieur de la virole : \(R_{ec} = R_i + e_c\)

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{virole}} = \pi (R_{ec}^2 - R_i^2) L_c = \pi ( (R_i + e_c)^2 - R_i^2 ) L_c\]

Ou, en développant : \(V_{\text{virole}} = \pi (R_i^2 + 2R_i e_c + e_c^2 - R_i^2) L_c = \pi (2R_i e_c + e_c^2) L_c\)

Approximation (souvent utilisée si \(e_c \ll R_i\)): \(V_{\text{virole}} \approx \text{Surface moyenne} \times e_c = \pi (D_i + e_c) e_c L_c = \pi (2R_i + e_c) e_c L_c\)

Données spécifiques :
  • Rayon intérieur (\(R_i\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
  • Épaisseur de la virole (\(e_c\)) : \(10 \, \text{mm} = 0.010 \, \text{m}\)
  • Longueur de la virole (\(L_c\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
Calcul :

Rayon extérieur \(R_{ec} = 1.0 \, \text{m} + 0.010 \, \text{m} = 1.010 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} V_{\text{virole}} &= \pi \times ((1.010 \, \text{m})^2 - (1.0 \, \text{m})^2) \times 5.0 \, \text{m} \\ &= \pi \times (1.0201 \, \text{m}^2 - 1.0 \, \text{m}^2) \times 5.0 \, \text{m} \\ &= \pi \times 0.0201 \, \text{m}^2 \times 5.0 \, \text{m} \\ &= \pi \times 0.1005 \, \text{m}^3 \\ &\approx 0.31573 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Avec la formule développée :

\[ \begin{aligned} V_{\text{virole}} &= \pi \times (2 \times 1.0 \, \text{m} \times 0.010 \, \text{m} + (0.010 \, \text{m})^2) \times 5.0 \, \text{m} \\ &= \pi \times (0.02 \, \text{m}^2 + 0.0001 \, \text{m}^2) \times 5.0 \, \text{m} \\ &= \pi \times 0.0201 \, \text{m}^2 \times 5.0 \, \text{m} \\ &\approx 0.31573 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le volume de matériau de la virole est \(V_{\text{virole}} \approx 0.3157 \, \text{m}^3\).

Question 3 : Masse de la paroi de la virole cylindrique (\(M_{\text{virole}}\))

Principe :

La masse est le produit du volume par la masse volumique du matériau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{\text{virole}} = V_{\text{virole}} \times \rho_{\text{acier}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{virole}} \approx 0.31573 \, \text{m}^3\)
  • \(\rho_{\text{acier}} = 7850 \, \text{kg/m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{virole}} &\approx 0.31573 \, \text{m}^3 \times 7850 \, \text{kg/m}^3 \\ &\approx 2478.4805 \, \text{kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La masse de la paroi de la virole est \(M_{\text{virole}} \approx 2478.48 \, \text{kg}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'épaisseur de la virole (\(e_c\)) double, comment varie approximativement le volume de matériau de la virole (en supposant \(e_c \ll R_i\)) ?

Question 4 : Rayon intérieur (\(R_{if}\)) et extérieur (\(R_{ef}\)) d'un fond hémisphérique

Principe :

Pour un fond hémisphérique raccordé à une virole cylindrique, le rayon intérieur du fond est égal au rayon intérieur de la virole. Le rayon extérieur du fond est son rayon intérieur plus son épaisseur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{if} = R_i\]
\[R_{ef} = R_{if} + e_f\]
Données spécifiques :
  • Rayon intérieur de la virole (\(R_i\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
  • Épaisseur des fonds (\(e_f\)) : \(12 \, \text{mm} = 0.012 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{if} &= 1.0 \, \text{m} \\ R_{ef} &= 1.0 \, \text{m} + 0.012 \, \text{m} = 1.012 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le rayon intérieur d'un fond est \(R_{if} = 1.0 \, \text{m}\) et le rayon extérieur est \(R_{ef} = 1.012 \, \text{m}\).

Question 5 : Volume de matériau d'un seul fond hémisphérique (\(V_{\text{fond}}\))

Principe :

Le volume de matériau d'une coque hémisphérique est la différence entre le volume d'une hémisphère extérieure et celui d'une hémisphère intérieure.

Formule(s) utilisée(s) :

Volume d'une sphère : \(\frac{4}{3}\pi R^3\). Volume d'une hémisphère : \(\frac{2}{3}\pi R^3\).

\[V_{\text{fond}} = \frac{2}{3}\pi (R_{ef}^3 - R_{if}^3)\]
Données spécifiques :
  • \(R_{if} = 1.0 \, \text{m}\)
  • \(R_{ef} = 1.012 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{ef}^3 &= (1.012)^3 \, \text{m}^3 \approx 1.036434928 \, \text{m}^3 \\ R_{if}^3 &= (1.0)^3 \, \text{m}^3 = 1.0 \, \text{m}^3 \\ V_{\text{fond}} &\approx \frac{2}{3}\pi (1.036434928 - 1.0) \, \text{m}^3 \\ &\approx \frac{2}{3}\pi (0.036434928) \, \text{m}^3 \\ &\approx \frac{2}{3}\pi \times 0.036434928 \, \text{m}^3 \\ &\approx 0.076308 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le volume de matériau d'un fond hémisphérique est \(V_{\text{fond}} \approx 0.0763 \, \text{m}^3\).

Question 6 : Masse d'un seul fond hémisphérique (\(M_{\text{fond}}\))

Principe :

La masse est le produit du volume par la masse volumique du matériau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{\text{fond}} = V_{\text{fond}} \times \rho_{\text{acier}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{fond}} \approx 0.076308 \, \text{m}^3\)
  • \(\rho_{\text{acier}} = 7850 \, \text{kg/m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{fond}} &\approx 0.076308 \, \text{m}^3 \times 7850 \, \text{kg/m}^3 \\ &\approx 598.9978 \, \text{kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La masse d'un fond hémisphérique est \(M_{\text{fond}} \approx 599.00 \, \text{kg}\).

Question 7 : Masse totale du réservoir vide (\(M_{\text{total}}\))

Principe :

La masse totale du réservoir vide est la somme de la masse de la virole cylindrique et des masses des deux fonds hémisphériques.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{\text{total}} = M_{\text{virole}} + 2 \times M_{\text{fond}}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{\text{virole}} \approx 2478.48 \, \text{kg}\)
  • \(M_{\text{fond}} \approx 599.00 \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{total}} &\approx 2478.48 \, \text{kg} + 2 \times 599.00 \, \text{kg} \\ &= 2478.48 \, \text{kg} + 1198.00 \, \text{kg} \\ &= 3676.48 \, \text{kg} \end{aligned} \]

En tonnes : \(M_{\text{total}} \approx 3.676 \, \text{t}\).

Résultat Question 7 : La masse totale du réservoir vide est \(M_{\text{total}} \approx 3676.48 \, \text{kg}\) (environ \(3.68 \, \text{tonnes}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si les fonds étaient plats (disques pleins de même épaisseur \(e_f\) et de rayon \(R_i\)), la masse des fonds serait-elle plus grande ou plus petite que celle des fonds hémisphériques ?

Question 8 : Masse d'eau contenue et masse totale du réservoir plein

Principe :

Le volume intérieur total du réservoir est la somme du volume intérieur de la virole et du volume intérieur des deux fonds hémisphériques. La masse d'eau est ce volume multiplié par la masse volumique de l'eau. La masse totale du réservoir plein est la masse du réservoir vide plus la masse de l'eau.

Formule(s) utilisée(s) :

Volume intérieur de la virole : \(V_{\text{int, virole}} = \pi R_i^2 L_c\)

Volume intérieur d'un fond hémisphérique : \(V_{\text{int, fond}} = \frac{2}{3}\pi R_{if}^3\)

\[V_{\text{intérieur}} = V_{\text{int, virole}} + 2 \times V_{\text{int, fond}}\]
\[M_{\text{eau}} = V_{\text{intérieur}} \times \rho_{\text{eau}}\]
\[M_{\text{plein}} = M_{\text{total}} + M_{\text{eau}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_i = 1.0 \, \text{m}\) (identique à \(R_{if}\) pour les fonds hémisphériques)
  • \(L_c = 5.0 \, \text{m}\)
  • \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(M_{\text{total}} \approx 3676.48 \, \text{kg}\)
Calcul :

Volume intérieur de la virole :

\[ \begin{aligned} V_{\text{int, virole}} &= \pi \times (1.0 \, \text{m})^2 \times 5.0 \, \text{m} \\ &= 5\pi \, \text{m}^3 \approx 15.70796 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Volume intérieur d'un fond hémisphérique :

\[ \begin{aligned} V_{\text{int, fond}} &= \frac{2}{3}\pi (1.0 \, \text{m})^3 \\ &= \frac{2}{3}\pi \, \text{m}^3 \approx 2.09440 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Volume intérieur total :

\[ \begin{aligned} V_{\text{intérieur}} &\approx 15.70796 \, \text{m}^3 + 2 \times 2.09440 \, \text{m}^3 \\ &\approx 15.70796 \, \text{m}^3 + 4.18880 \, \text{m}^3 \\ &\approx 19.89676 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Masse d'eau :

\[ \begin{aligned} M_{\text{eau}} &\approx 19.89676 \, \text{m}^3 \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \\ &= 19896.76 \, \text{kg} \end{aligned} \]

Masse totale du réservoir plein :

\[ \begin{aligned} M_{\text{plein}} &\approx 3676.48 \, \text{kg} + 19896.76 \, \text{kg} \\ &= 23573.24 \, \text{kg} \end{aligned} \]

En tonnes : \(M_{\text{plein}} \approx 23.57 \, \text{t}\).

Résultat Question 8 :
  • Volume intérieur total du réservoir : \(V_{\text{intérieur}} \approx 19.90 \, \text{m}^3\)
  • Masse d'eau contenue : \(M_{\text{eau}} \approx 19896.76 \, \text{kg}\)
  • Masse totale du réservoir plein : \(M_{\text{plein}} \approx 23573.24 \, \text{kg}\) (environ \(23.57 \, \text{tonnes}\))

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La masse volumique d'un matériau est définie comme :

2. Pour un réservoir cylindrique, si on double le diamètre intérieur (\(D_i\)) tout en gardant la longueur (\(L_c\)) et l'épaisseur (\(e_c\)) constantes, le volume de matériau de la virole (partie cylindrique) :

3. Les fonds bombés (hémisphériques ou elliptiques) sont préférés aux fonds plats pour les réservoirs sous pression car :

Glossaire

Réservoir Cylindrique
Contenant de forme cylindrique, souvent utilisé pour stocker des fluides (liquides ou gaz) sous pression ou à pression atmosphérique.
Virole
Partie cylindrique principale d'un réservoir ou d'une chaudière.
Fond Bombé
Extrémité d'un réservoir qui n'est pas plate mais courbée vers l'extérieur (convexe) ou l'intérieur (concave). Les formes courantes sont hémisphériques, elliptiques ou torisphériques.
Fond Hémisphérique
Fond bombé ayant la forme d'une demi-sphère.
Masse Volumique (\(\rho\))
Masse d'une substance par unité de volume. Exprimée en \(\text{kg/m}^3\), \(\text{g/cm}^3\), etc.
Volume d'un Cylindre Creux
Volume du matériau constituant la paroi d'un cylindre. \(V = \pi (R_e^2 - R_i^2) L\), où \(R_e\) est le rayon extérieur, \(R_i\) le rayon intérieur, et \(L\) la longueur.
Volume d'une Coque Hémisphérique
Volume du matériau constituant la paroi d'une demi-sphère creuse. \(V = \frac{2}{3}\pi (R_e^3 - R_i^3)\).
Calcul de la Masse d’un Réservoir Cylindrique - Exercice d'Application

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