Approvisionnement en eau potable

Exercice : Approvisionnement en eau potable

Approvisionnement en eau potable

Contexte : L'alimentation en eau potableEau destinée à la consommation humaine, répondant à des normes de qualité strictes. d'une commune en expansion.

Une petite commune de 5 000 habitants doit être alimentée en eau potable depuis un château d'eau situé sur une colline. La conduite principale, dite d'adduction, doit être dimensionnée pour répondre aux besoins actuels et futurs de la population, en garantissant une pression suffisante au niveau du réseau de distribution. Cet exercice vous guidera à travers les étapes clés du dimensionnement hydraulique de cette conduite.

Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique vous permettra d'appliquer les principes fondamentaux de l'hydraulique en charge pour résoudre un problème d'ingénierie courant : assurer un service d'eau potable fiable et efficace.


Objectifs Pédagogiques

  • Évaluer les besoins en eau d'une population.
  • Calculer le débit journalier moyen et le débit de pointe.
  • Appliquer les formules de l'hydraulique pour déterminer un diamètre de conduite.
  • Calculer les pertes de chargeDiminution de l'énergie (et donc de la pression) d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois de la conduite. dans une conduite.
  • Vérifier la pression disponible à l'arrivée.

Données de l'étude

L'étude porte sur le dimensionnement de la conduite principale reliant le château d'eau au premier nœud du réseau de distribution de la commune.

Fiche Technique du Projet
Caractéristique Valeur
Population à desservir 5 000 habitants
Type de conduite Fonte ductile, revêtement ciment
Topographie Terrain avec une pente régulière
Schéma de principe de l'adduction
Château d'eau Niveau max: Zₐ = 120m L = 2000 m Point B (Réseau) Altitude: Zₑ = 85m
Paramètre Description ou Formule Valeur Unité
Dotation journalière Consommation moyenne par personne 150 L/hab/jour
Coefficient de pointe (\(K_p\)) Rapport entre le débit max et le débit moyen 2.5 -
Longueur de la conduite (L) Distance entre le château et le réseau 2000 m
Altitude départ (\(Z_A\)) Niveau d'eau dans le château 120 m NGF
Altitude arrivée (\(Z_B\)) Point de livraison dans le réseau 85 m NGF
Pression minimale requise Pression à garantir au point B 2.0 bars

Questions à traiter

  1. Calculer le débit journalier moyen (\(Q_m\)) en m³/s.
  2. Déterminer le débit de pointe (\(Q_p\)) à transiter dans la conduite, en m³/s.
  3. Choisir un diamètre commercial normalisé pour une vitesse d'écoulement proche de 1,2 m/s.
  4. Calculer la perte de charge linéaire totale (\(\Delta H\)) dans la conduite pour le diamètre choisi.
  5. Vérifier si la pression au point d'arrivée B est conforme aux exigences.

Les bases de l'Hydraulique en Charge

Le dimensionnement d'une conduite d'eau potable repose sur l'équilibre entre le débit à fournir et la pression à maintenir. L'eau, en s'écoulant, perd de l'énergie (pression) à cause des frottements contre les parois. Cette perte d'énergie, ou "perte de charge", doit être calculée précisément pour s'assurer que la pression résiduelle à l'arrivée est suffisante.

1. Débit et Vitesse
Le débit (Q) est le volume d'eau qui traverse une section de la conduite par unité de temps. Il est lié à la vitesse (v) et au diamètre (D) par la relation de continuité : \[ Q = v \times A = v \times \frac{\pi D^2}{4} \]

2. Pertes de Charge (Formule de Darcy-Weisbach)
La perte de charge linéaire (\(J\)) par mètre de conduite est calculée avec la formule de Darcy-Weisbach, universellement reconnue pour sa précision : \[ J = \lambda \frac{v^2}{2gD} \] Où \(\lambda\) est le coefficient de perte de charge (sans dimension), \(g\) l'accélération de la pesanteur (9.81 m/s²), et D le diamètre (m). La perte de charge totale est \(\Delta H = J \times L\).


Correction : Approvisionnement en eau potable

Question 1 : Calculer le débit journalier moyen (\(Q_m\)) en m³/s.

Principe

Le débit moyen est le volume total d'eau consommé par toute la population en une journée, mais exprimé par seconde. C'est le point de départ pour comprendre les besoins globaux du réseau.

Mini-Cours

Volume vs. Débit : Un volume se mesure en m³ (ou litres), c'est une quantité statique. Un débit se mesure en m³/s (ou L/s), c'est un volume qui s'écoule pendant un temps donné. Pour passer d'un volume journalier à un débit moyen, on divise ce volume par le nombre de secondes dans une journée.

Remarque Pédagogique

La première étape en hydraulique est presque toujours de transformer les besoins (en volume par jour) en un débit de calcul (en volume par seconde). Assurez-vous de bien maîtriser cette conversion.

Normes

Les valeurs de dotation (consommation par habitant) sont souvent issues de réglementations locales, de guides techniques (comme le guide de l'ASTEE en France) ou de mesures effectuées sur des réseaux similaires.

Formule(s)

Formule du débit moyen

\[ Q_{\text{m}} = \frac{\text{Population} \times \text{Dotation}}{\text{86400}} \]
Hypothèses
  • La dotation de 150 L/hab/jour est considérée comme uniforme pour toute la population.
  • Les pertes dans le réseau de distribution ne sont pas prises en compte à ce stade.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
PopulationPop5000habitants
Dotationd150L/hab/jour
Astuces

Pour une estimation rapide, retenez qu'un débit de 1 L/s correspond à 86.4 m³/jour. Vous pouvez donc diviser le volume journalier total (en m³) par 86.4 pour obtenir le débit en L/s.

Calcul(s)

Conversion de la dotation

\[ 150 \frac{\text{L}}{\text{hab} \cdot \text{jour}} = 0.150 \frac{\text{m³}}{\text{hab} \cdot \text{jour}} \]

Calcul du débit moyen

\[ \begin{aligned} Q_{\text{m}} &= \frac{5000 \text{ hab} \times 0.150 \frac{\text{m³}}{\text{hab} \cdot \text{jour}}}{86400 \frac{\text{s}}{\text{jour}}} \\ &= \frac{750 \frac{\text{m³}}{\text{jour}}}{86400 \frac{\text{s}}{\text{jour}}} \\ &\approx 0.00868 \frac{\text{m³}}{\text{s}} \end{aligned} \]
Réflexions

Un débit de 0.0087 m³/s (soit 8.7 L/s) peut sembler faible, mais il représente un flux continu 24h/24. C'est l'équivalent de remplir une baignoire de 150 litres toutes les 17 secondes, sans interruption.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les litres en mètres cubes ou d'utiliser un mauvais facteur de conversion pour le temps. Travaillez toujours dans le Système International (mètres, secondes, kilogrammes) pour éviter les erreurs.

Points à retenir
  • Le débit moyen est la base de calcul, il représente le besoin lissé sur 24h.
  • La conversion d'unités est une étape critique : 1 m³ = 1000 L et 1 jour = 86400 s.
Le saviez-vous ?

En France, la consommation moyenne d'eau potable est d'environ 148 litres par habitant et par jour. Cependant, cette valeur peut varier fortement d'une région à l'autre et selon les usages (domestique, agricole, industriel).

FAQ
Résultat Final
Le débit journalier moyen est de 0.0087 m³/s (ou 8.7 L/s).
A vous de jouer

Quelle serait la valeur du débit moyen si la population passait à 8000 habitants avec la même dotation ?

Question 2 : Déterminer le débit de pointe (\(Q_p\)) en m³/s.

Principe

Les habitants n'utilisent pas l'eau de manière constante. Il y a des pics de consommation (le matin, le soir). La conduite doit être capable de fournir ce débit maximal, appelé débit de pointe, pour éviter les manques d'eau.

Mini-Cours

Le coefficient de pointe (\(K_p\)) est un facteur multiplicateur qui représente le rapport entre la consommation maximale à l'heure la plus chargée et la consommation moyenne. Sa valeur dépend de la taille de la population (plus la population est petite, plus le coefficient est élevé) et des habitudes de consommation.

Remarque Pédagogique

Ne dimensionnez jamais une conduite sur le débit moyen ! Vous sous-estimeriez gravement les besoins et causeriez des problèmes de pression et de disponibilité de l'eau aux heures de pointe.

Normes

Le coefficient de pointe est généralement fixé par les services d'eau ou les bureaux d'études sur la base de recommandations nationales (par exemple, circulaires ministérielles) et de l'expérience locale. Une valeur de 2.5 est courante pour des communes de cette taille.

Formule(s)

Formule du débit de pointe

\[ Q_{\text{p}} = Q_{\text{m}} \times K_{\text{p}} \]
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Débit moyen\(Q_m\)0.00868m³/s
Coefficient de pointe\(K_p\)2.5-
Calcul(s)

Calcul du débit de pointe

\[ \begin{aligned} Q_{\text{p}} &= 0.00868 \frac{\text{m³}}{\text{s}} \times 2.5 \\ &\approx 0.0217 \frac{\text{m³}}{\text{s}} \end{aligned} \]
Réflexions

La conduite doit être capable de transporter 21.7 L/s, soit 2.5 fois plus que le débit moyen. C'est cette valeur qui est la plus contraignante et qui doit être utilisée pour la suite du dimensionnement.

Points de vigilance

Assurez-vous que le coefficient de pointe utilisé est pertinent pour la taille de la population étudiée. Utiliser un coefficient trop faible est une erreur de conception majeure.

Points à retenir
  • Le débit de pointe (\(Q_p\)) est LA valeur de débit à utiliser pour le dimensionnement hydraulique.
  • Il se calcule en multipliant le débit moyen (\(Q_m\)) par le coefficient de pointe (\(K_p\)).
Le saviez-vous ?

En plus de la pointe horaire domestique, les ingénieurs doivent aussi parfois dimensionner les réseaux pour un autre cas critique : la défense incendie. Un poteau d'incendie requiert un débit de 17 L/s (60 m³/h), qui peut être supérieur au débit de pointe normal pour les très petites communes.

FAQ
Résultat Final
Le débit de pointe à prendre en compte pour le dimensionnement est de 0.0217 m³/s.
A vous de jouer

Avec le \(Q_m\) de la question précédente (0.00868 m³/s), quel serait le \(Q_p\) si le coefficient de pointe était de 3.0 (cas d'une zone plus touristique) ?

Question 3 : Choisir un diamètre pour une vitesse proche de 1,2 m/s.

Principe

La vitesse de l'eau dans la conduite est un compromis. Trop lente (< 0.5 m/s), elle favorise les dépôts. Trop rapide (> 2 m/s), elle provoque une usure et des pertes de charge élevées. On vise donc une vitesse optimale, ici fixée à 1.2 m/s, pour trouver le diamètre théorique, puis on choisit le diamètre commercial le plus proche.

Mini-Cours

La relation de continuité \(Q = v \times A\) est fondamentale. Elle montre que pour un débit donné, la vitesse est inversement proportionnelle à la section (et donc au carré du diamètre). Si on double le diamètre, on divise la vitesse par quatre.

Remarque Pédagogique

Le choix du diamètre est le cœur du dimensionnement. Il a un impact direct sur la vitesse, les pertes de charge et le coût du projet. C'est un choix d'ingénieur basé sur un calcul, mais aussi sur l'expérience.

Normes

Les fabricants de tuyaux (comme Saint-Gobain PAM) proposent des gammes de diamètres normalisés (DN). On ne peut pas fabriquer un tuyau sur mesure de 151.7 mm. On doit choisir dans le catalogue : DN 100, DN 125, DN 150, DN 200, etc.

Formule(s)

Formule du diamètre théorique

\[ D = \sqrt{\frac{4 \times Q_{\text{p}}}{\pi \times v}} \]
Hypothèses
  • On vise une vitesse cible de 1.2 m/s.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Débit de pointe\(Q_p\)0.0217m³/s
Vitesse cible\(v\)1.2m/s
Schéma (Avant les calculs)
Section de la conduite
R = D/2A = πD²/4
Calcul(s)

Calcul du diamètre théorique

\[ \begin{aligned} D_{\text{théo}} &= \sqrt{\frac{4 \times 0.0217 \frac{\text{m³}}{\text{s}}}{\pi \times 1.2 \frac{\text{m}}{\text{s}}}} \\ &= \sqrt{\frac{0.0868}{3.77}} \\ &\approx \sqrt{0.023} \\ &\approx 0.1517 \text{ m} \end{aligned} \]

Le diamètre théorique est de 151.7 mm. Le diamètre commercial normalisé le plus proche est le DN 150.

Réflexions

En choisissant le DN 150, on sait que la vitesse réelle sera légèrement supérieure à 1.2 m/s, car le diamètre réel est un peu plus petit que notre idéal théorique de 151.7 mm. C'est un compromis acceptable.

Points de vigilance

Attention, le DN (Diamètre Nominal) n'est pas toujours le diamètre intérieur exact. Pour des calculs très précis, il faut se référer aux fiches techniques des fabricants pour connaître le diamètre intérieur réel, qui dépend de l'épaisseur du tuyau.

Points à retenir
  • Le diamètre se déduit du débit et d'une vitesse cible choisie par l'ingénieur.
  • On calcule un diamètre théorique puis on choisit le diamètre commercial normalisé le plus proche.
Le saviez-vous ?

Les premières grandes adductions d'eau ont été construites par les Romains. Le Pont du Gard, par exemple, est une partie d'un aqueduc de près de 50 km de long qui alimentait la ville de Nîmes avec un débit moyen estimé à 400 L/s !

FAQ
Résultat Final
On choisit une conduite de diamètre nominal DN 150, avec un diamètre intérieur de calcul de 0.150 m.
A vous de jouer

Si le débit de pointe était de 0.040 m³/s, quel serait le diamètre théorique pour la même vitesse de 1.2 m/s ?

Question 4 : Calculer la perte de charge linéaire totale (\(\Delta H\)).

Principe

L'eau qui s'écoule dans le tuyau "frotte" contre les parois et perd de l'énergie. Cette énergie perdue se traduit par une baisse de pression. Nous allons calculer cette perte totale sur les 2 km de conduite en déterminant d'abord le coefficient de frottement \(\lambda\) de manière précise.

Mini-Cours

Le coefficient de perte de charge \(\lambda\) n'est pas une constante. Il dépend du régime d'écoulement (caractérisé par le nombre de Reynolds, \(Re\)) et de la rugosité relative de la conduite (\(\epsilon/D\)). Pour les écoulements turbulents (cas le plus courant), \(\lambda\) est déterminé par la formule implicite de Colebrook-White, qui doit être résolue par itérations.

Normes

La formule de Colebrook-White est la référence internationale pour le calcul des pertes de charge en régime turbulent dans les conduites industrielles et d'eau potable. Elle est à la base de nombreux diagrammes et abaques, comme le célèbre Diagramme de Moody.

Formule(s)

Formule du Nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{v \times D}{\nu} \]

Formule de Colebrook-White (implicite)

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10}\left(\frac{\epsilon}{3.7D} + \frac{2.51}{Re\sqrt{\lambda}}\right) \]

Formule de la perte de charge unitaire

\[ J = \lambda \frac{v^2}{2gD} \]

Formule de la perte de charge totale

\[ \Delta H = J \times L \]
Hypothèses
  • La viscosité cinématique de l'eau \(\nu\) est prise à 10°C, soit \(1.31 \times 10^{-6}\) m²/s.
  • La rugosité absolue \(\epsilon\) pour une conduite en fonte ductile avec mortier de ciment est de \(1.5 \times 10^{-4}\) m.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Débit de pointe\(Q_p\)0.0217m³/s
Diamètre intérieurD0.150m
LongueurL2000m
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la vitesse réelle

\[ \begin{aligned} v_{\text{réelle}} &= \frac{4 \times Q_{\text{p}}}{\pi \times D^2} \\ &= \frac{4 \times 0.0217}{\pi \times (0.150)^2} \\ &\approx 1.228 \frac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul du Nombre de Reynolds

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{v \times D}{\nu} \\ &= \frac{1.228 \times 0.150}{1.31 \times 10^{-6}} \\ &\approx 140611 \end{aligned} \]

Comme \(Re > 4000\), l'écoulement est bien turbulent.

Étape 3 : Calcul itératif de \(\lambda\)

On part d'une estimation initiale \(\lambda_0 = 0.02\).

Itération 1

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10}\left(\frac{1.5 \times 10^{-4}}{3.7 \times 0.150} + \frac{2.51}{140611\sqrt{0.02}}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(0.00027 + 0.000126\right) \\ &= -2 \log_{10}(0.000396) \\ &= 6.80 \\ \Rightarrow \lambda_1 &= \left(\frac{1}{6.80}\right)^2 \approx 0.0216 \end{aligned} \]

Itération 2

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10}\left(0.00027 + \frac{2.51}{140611\sqrt{0.0216}}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(0.00027 + 0.000121\right) \\ &= -2 \log_{10}(0.000391) \\ &= 6.81 \\ \Rightarrow \lambda_2 &= \left(\frac{1}{6.81}\right)^2 \approx 0.0215 \end{aligned} \]

Comment sait-on que la valeur a convergé ? On compare le résultat de la dernière itération (\(\lambda_2 \approx 0.0215\)) avec celui de la précédente (\(\lambda_1 \approx 0.0216\)). La différence entre les deux est infime (moins de 0.5%). Si nous continuions avec une troisième itération, le résultat changerait encore moins. En ingénierie, lorsque la variation entre deux itérations successives devient négligeable, on considère que le calcul a convergé et on adopte la dernière valeur calculée. On adopte donc \(\lambda = 0.0215\).

Étape 4 : Calcul de la perte de charge unitaire (J)

\[ \begin{aligned} J &= \lambda \frac{v^2}{2gD} \\ &= 0.0215 \times \frac{(1.228)^2}{2 \times 9.81 \times 0.150} \\ &= 0.0215 \times \frac{1.508}{2.943} \\ &\approx 0.0110 \frac{\text{m}}{\text{m}} \end{aligned} \]

Étape 5 : Calcul de la perte de charge totale (\(\Delta H\))

\[ \begin{aligned} \Delta H &= J \times L \\ &= 0.0110 \frac{\text{m}}{\text{m}} \times 2000 \text{ m} \\ &= 22.0 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne de charge et ligne piézométrique (Mise à jour)
SolCharge initiale Zₐ = 120mHₑ = 98.0mΔH = 22.0mPoint B (Zₑ = 85m)
Résultat Final
La perte de charge totale sur les 2000 mètres de conduite est de 22.0 mètres de colonne d'eau.
A vous de jouer

En utilisant la valeur de \(\lambda\) calculée (0.0215), quelle serait la perte de charge totale si la vitesse était de 1.5 m/s ?

Question 5 : Vérifier si la pression au point B est conforme.

Principe

La pression disponible à l'arrivée est la différence entre l'énergie de départ (l'altitude de l'eau dans le château) et l'énergie perdue en route (les pertes de charge), le tout comparé à l'altitude du sol au point d'arrivée. C'est l'application finale du principe de Bernoulli.

Mini-Cours

Charge et Pression : La charge hydraulique (\(H_B\)) est une altitude (en m NGF). C'est le niveau qu'atteindrait l'eau dans un tube vertical imaginaire planté sur la conduite. La pression au sol (\(P_B\)) est la hauteur d'eau entre cette ligne de charge et le sol. C'est cette hauteur d'eau qui "pousse" et que l'on mesure en bars.

Formule(s)

Formule de la charge à l'arrivée

\[ H_{\text{B}} = Z_{\text{A}} - \Delta H \]

Formule de la pression au sol

\[ P_{\text{B(mCE)}} = H_{\text{B}} - Z_{\text{B}} \]

Formule de conversion en bars

\[ P_{\text{B(bars)}} = \frac{P_{\text{B(mCE)}}}{10.2} \]
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude départ\(Z_A\)120m NGF
Altitude arrivée\(Z_B\)85m NGF
Perte de charge totale\(\Delta H\)22.0m
Calcul(s)

Calcul de la charge à l'arrivée

\[ \begin{aligned} H_{\text{B}} &= 120 \text{ m} - 22.0 \text{ m} \\ &= 98.0 \text{ m NGF} \end{aligned} \]

Calcul de la pression au sol en mètres Colonne d'Eau

\[ \begin{aligned} P_{\text{B(mCE)}} &= 98.0 \text{ m} - 85 \text{ m} \\ &= 13.0 \text{ mCE} \end{aligned} \]

Conversion en bars et comparaison

\[ \begin{aligned} P_{\text{B(bars)}} &= \frac{13.0}{10.2} \\ &\approx 1.27 \text{ bars} \end{aligned} \]
\[ 1.27 \text{ bars} < 2.0 \text{ bars (requis)} \Rightarrow \text{NON CONFORME} \]
Réflexions

Le calcul plus précis confirme et aggrave le diagnostic précédent : la pression est encore plus faible que lors de la première estimation. Le diamètre DN 150 est définitivement trop petit. L'ingénieur doit refaire les calculs avec le DN 200.

Points de vigilance

Ne jamais conclure un calcul sans le comparer au critère de l'énoncé ! Le résultat "1.27 bars" seul ne signifie rien. C'est sa comparaison avec l'exigence de "2.0 bars" qui donne le verdict technique.

Points à retenir
  • La pression finale dépend de la différence d'altitude et des pertes de charge.
  • La validation d'un dimensionnement se fait en comparant le résultat du calcul à une exigence réglementaire ou technique.
Le saviez-vous ?

Pour pallier un manque de pression dans les points hauts d'un réseau, on peut installer des "surpresseurs". Ce sont des pompes qui redonnent de l'énergie (de la pression) à l'eau localement. C'est une solution coûteuse en énergie mais parfois indispensable.

FAQ
Résultat Final
La pression à l'arrivée est de 1.27 bars, ce qui est insuffisant par rapport au critère de 2.0 bars. Le dimensionnement doit être revu.
A vous de jouer

Si la perte de charge n'était que de 12 mètres, quelle serait la pression finale en bars ?


Outil Interactif : Simulateur d'Adduction

Utilisez cet outil pour voir comment la population et le diamètre de la conduite influencent le débit de pointe et la pression finale au point de livraison.

Paramètres d'Entrée
5000 habitants
150 mm
Résultats Clés
Débit de pointe (L/s) -
Pression à l'arrivée (bars) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. À quoi sert le coefficient de pointe (\(K_p\)) ?

2. Si on augmente le diamètre d'une conduite (à débit égal), comment évoluent les pertes de charge ?

3. Quelle est l'unité de la perte de charge linéaire unitaire (J) ?

4. Une vitesse d'écoulement trop élevée dans une conduite peut provoquer...

5. La pression au point d'arrivée dépend de :


Adduction
Ensemble des ouvrages et conduites servant à transporter l'eau depuis son point de captage jusqu'à son lieu de stockage ou de distribution.
Perte de charge
Diminution de l'énergie (et donc de la pression) d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois de la conduite et aux accidents de parcours (coudes, vannes...).
Débit de pointe
Le débit horaire maximal observé sur le réseau de distribution, utilisé pour le dimensionnement des infrastructures.
Charge hydraulique
Énergie totale d'un fluide en un point donné, exprimée en hauteur de colonne d'eau. Elle est la somme de l'altitude, de la pression et de l'énergie cinétique.
Approvisionnement en eau potable

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