Analyse des Contraintes sur un Panneau Composite Stratifié en Ingénierie Mécanique
Comprendre l'Analyse des Contraintes sur un Panneau Composite Stratifié
Les matériaux composites stratifiés sont de plus en plus utilisés en ingénierie mécanique pour leurs propriétés avantageuses, telles qu'un rapport résistance/poids élevé et la possibilité d'adapter leurs caractéristiques mécaniques en modifiant l'orientation et la séquence des plis. L'analyse des contraintes dans ces matériaux est essentielle pour prédire leur comportement sous charge et garantir la sécurité et la durabilité des structures. La Théorie Classique des Stratifiés (CLT) est une méthode couramment employée pour cette analyse. Elle permet de déterminer la répartition des contraintes et des déformations à travers l'épaisseur du stratifié, pli par pli, en fonction des charges appliquées et des propriétés de chaque pli. Cette analyse est cruciale pour vérifier que les contraintes dans les axes locaux de chaque pli ne dépassent pas les limites de résistance du matériau, évitant ainsi la rupture prématurée.
Données de l'étude
- Module d'Young longitudinal (\(E_1\)) : \(40 \, \text{GPa}\)
- Module d'Young transversal (\(E_2\)) : \(10 \, \text{GPa}\)
- Module de cisaillement dans le plan (\(G_{12}\)) : \(4 \, \text{GPa}\)
- Coefficient de Poisson principal (\(\nu_{12}\)) : \(0.25\)
- Épaisseur de chaque pli (\(h_{\text{pli}}\)) : \(0.5 \, \text{mm}\)
- Effort normal dans la direction x (\(N_x\)) : \(+200 \, \text{kN/m}\) (traction)
- Effort normal dans la direction y (\(N_y\)) : \(-50 \, \text{kN/m}\) (compression)
- Autres efforts (\(N_{xy}, M_x, M_y, M_{xy}\)) : \(0\)
Schéma du Panneau Composite Stratifié \([0/90]_s\) et Charges Appliquées
Panneau composite stratifié \([0/90]_s\) soumis à des efforts \(N_x\) et \(N_y\).
Questions à traiter
- Calculer le coefficient de Poisson transverse (\(\nu_{21}\)).
- Calculer les termes de la matrice de rigidité réduite \([Q]\) pour un pli dans ses axes locaux (1,2).
- Calculer les termes de la matrice de rigidité transformée \([\bar{Q}]_k\) pour les plis orientés à \(0^\circ\) et \(90^\circ\).
- Calculer la matrice de rigidité en extension \([A]\) du stratifié.
- Calculer le vecteur des déformations de la membrane \(\{\epsilon^0\} = \{\epsilon_x^0, \epsilon_y^0, \gamma_{xy}^0\}^T\).
- Calculer le vecteur des contraintes \(\{\sigma\}_k = \{\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}\}^T_k\) dans les axes globaux pour un pli à \(0^\circ\).
- Calculer le vecteur des contraintes \(\{\sigma\}_{\text{local},k} = \{\sigma_1, \sigma_2, \tau_{12}\}^T_k\) dans les axes locaux pour un pli à \(0^\circ\).
Correction : Analyse des Contraintes sur un Panneau Composite Stratifié
Question 1 : Coefficient de Poisson Transverse (\(\nu_{21}\))
Principe :
Pour un matériau orthotrope, la relation entre les coefficients de Poisson et les modules d'Young est donnée par la relation de symétrie de la matrice de souplesse.
Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{\nu_{12}}{E_1} = \frac{\nu_{21}}{E_2} \Rightarrow \nu_{21} = \nu_{12} \frac{E_2}{E_1}\]
Données spécifiques :
- \(\nu_{12} = 0.25\)
- \(E_1 = 40 \, \text{GPa}\)
- \(E_2 = 10 \, \text{GPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \nu_{21} &= 0.25 \times \frac{10 \, \text{GPa}}{40 \, \text{GPa}} \\ &= 0.25 \times 0.25 \\ &= 0.0625 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le coefficient de Poisson transverse est \(\nu_{21} = 0.0625\).
Question 2 : Matrice de Rigidité Réduite \([Q]\)
Principe :
La matrice de rigidité réduite \([Q]\) relie les contraintes aux déformations dans les axes locaux du pli (1,2) pour un état de contrainte plane.
Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_{11} = \frac{E_1}{1 - \nu_{12}\nu_{21}} \]
\[ Q_{22} = \frac{E_2}{1 - \nu_{12}\nu_{21}} \]
\[ Q_{12} = \frac{\nu_{12}E_2}{1 - \nu_{12}\nu_{21}} = \frac{\nu_{21}E_1}{1 - \nu_{12}\nu_{21}} \]
\[ Q_{66} = G_{12} \]
\[ Q_{16} = Q_{26} = 0 \]
\[ [Q] = \begin{pmatrix} Q_{11} & Q_{12} & 0 \\ Q_{12} & Q_{22} & 0 \\ 0 & 0 & Q_{66} \end{pmatrix} \]
Données spécifiques :
- \(E_1 = 40 \, \text{GPa}\)
- \(E_2 = 10 \, \text{GPa}\)
- \(G_{12} = 4 \, \text{GPa}\)
- \(\nu_{12} = 0.25\)
- \(\nu_{21} = 0.0625\)
Calcul du dénominateur \(1 - \nu_{12}\nu_{21}\) :
\[ \begin{aligned} 1 - \nu_{12}\nu_{21} &= 1 - (0.25 \times 0.0625) \\ &= 1 - 0.015625 \\ &= 0.984375 \end{aligned} \]
Calcul des termes de \([Q]\) (en GPa) :
\[ \begin{aligned} Q_{11} &= \frac{40}{0.984375} \\ &\approx 40.6349 \, \text{GPa} \\ Q_{22} &= \frac{10}{0.984375} \\ &\approx 10.1587 \, \text{GPa} \\ Q_{12} &= \frac{0.25 \times 10}{0.984375} \\ &\approx \frac{2.5}{0.984375} \\ &\approx 2.5397 \, \text{GPa} \\ Q_{66} &= 4 \, \text{GPa} \end{aligned} \]
Matrice \([Q]\) :
\[ [Q] \approx \begin{pmatrix} 40.63 & 2.54 & 0 \\ 2.54 & 10.16 & 0 \\ 0 & 0 & 4.00 \end{pmatrix} \, \text{GPa} \]
Résultat Question 2 : La matrice de rigidité réduite est approximativement
\([Q] \approx \begin{pmatrix} 40.63 & 2.54 & 0 \\ 2.54 & 10.16 & 0 \\ 0 & 0 & 4.00 \end{pmatrix} \, \text{GPa}\).
Question 3 : Matrice de Rigidité Transformée \([\bar{Q}]_k\) pour \(0^\circ\) et \(90^\circ\)
Principe :
Pour \(\theta = 0^\circ\), \([\bar{Q}] = [Q]\). Pour \(\theta = 90^\circ\), les termes \(\bar{Q}_{11} = Q_{22}\), \(\bar{Q}_{22} = Q_{11}\), \(\bar{Q}_{12} = Q_{12}\), \(\bar{Q}_{66} = Q_{66}\), et \(\bar{Q}_{16} = \bar{Q}_{26} = 0\).
Calculs (en GPa) :
**Pour \(\theta = 0^\circ\):**
\[ [\bar{Q}]_{0^\circ} = [Q] \approx \begin{pmatrix} 40.63 & 2.54 & 0 \\ 2.54 & 10.16 & 0 \\ 0 & 0 & 4.00 \end{pmatrix} \]
**Pour \(\theta = 90^\circ\):**
\[ [\bar{Q}]_{90^\circ} \approx \begin{pmatrix} 10.16 & 2.54 & 0 \\ 2.54 & 40.63 & 0 \\ 0 & 0 & 4.00 \end{pmatrix} \]
Résultat Question 3 : Les matrices \([\bar{Q}]_k\) sont (en GPa) :
\( [\bar{Q}]_{0^\circ} \approx \begin{pmatrix} 40.63 & 2.54 & 0 \\ 2.54 & 10.16 & 0 \\ 0 & 0 & 4.00 \end{pmatrix} \)
\( [\bar{Q}]_{90^\circ} \approx \begin{pmatrix} 10.16 & 2.54 & 0 \\ 2.54 & 40.63 & 0 \\ 0 & 0 & 4.00 \end{pmatrix} \)
\( [\bar{Q}]_{0^\circ} \approx \begin{pmatrix} 40.63 & 2.54 & 0 \\ 2.54 & 10.16 & 0 \\ 0 & 0 & 4.00 \end{pmatrix} \)
\( [\bar{Q}]_{90^\circ} \approx \begin{pmatrix} 10.16 & 2.54 & 0 \\ 2.54 & 40.63 & 0 \\ 0 & 0 & 4.00 \end{pmatrix} \)
Question 4 : Matrice de Rigidité en Extension \([A]\)
Principe :
La matrice de rigidité en extension \([A]\) est calculée en sommant les produits des matrices \([\bar{Q}]_k\) de chaque pli par l'épaisseur du pli \(h_k\). Stratifié \([0_1 / 90_2 / 90_3 / 0_4]\).
Formule(s) utilisée(s) :
\[A_{ij} = \sum_{k=1}^{4} (\bar{Q}_{ij})_k h_k\]
où \(h_k = h_{\text{pli}} = 0.5 \, \text{mm}\).
Calcul (les \([\bar{Q}]_k\) sont en GPa, \(h_k\) en mm. \(A\) sera en GPa \(\cdot\) mm, ou N/mm) :
\[ \begin{aligned} A_{11} &= h_{\text{pli}} [(\bar{Q}_{11})_{0^\circ} + (\bar{Q}_{11})_{90^\circ} + (\bar{Q}_{11})_{90^\circ} + (\bar{Q}_{11})_{0^\circ}] \\ &= 0.5 \, \text{mm} \times [40.63 + 10.16 + 10.16 + 40.63] \, \text{GPa} \\ &= 0.5 \times [2 \times 40.63 + 2 \times 10.16] \, \text{GPa} \cdot \text{mm} \\ &= 0.5 \times [81.26 + 20.32] \, \text{GPa} \cdot \text{mm} \\ &= 0.5 \times 101.58 \, \text{GPa} \cdot \text{mm} \\ &= 50.79 \, \text{GPa} \cdot \text{mm} \\ \\ A_{22} &= h_{\text{pli}} [(\bar{Q}_{22})_{0^\circ} + (\bar{Q}_{22})_{90^\circ} + (\bar{Q}_{22})_{90^\circ} + (\bar{Q}_{22})_{0^\circ}] \\ &= 0.5 \, \text{mm} \times [10.16 + 40.63 + 40.63 + 10.16] \, \text{GPa} \\ &= A_{11} \\ &= 50.79 \, \text{GPa} \cdot \text{mm} \\ \\ A_{12} &= h_{\text{pli}} [(\bar{Q}_{12})_{0^\circ} + (\bar{Q}_{12})_{90^\circ} + (\bar{Q}_{12})_{90^\circ} + (\bar{Q}_{12})_{0^\circ}] \\ &= 0.5 \, \text{mm} \times [2.54 + 2.54 + 2.54 + 2.54] \, \text{GPa} \\ &= 0.5 \times [4 \times 2.54] \, \text{GPa} \cdot \text{mm} \\ &= 0.5 \times 10.16 \, \text{GPa} \cdot \text{mm} \\ &= 5.08 \, \text{GPa} \cdot \text{mm} \\ \\ A_{66} &= h_{\text{pli}} [(\bar{Q}_{66})_{0^\circ} + (\bar{Q}_{66})_{90^\circ} + (\bar{Q}_{66})_{90^\circ} + (\bar{Q}_{66})_{0^\circ}] \\ &= 0.5 \, \text{mm} \times [4.00 + 4.00 + 4.00 + 4.00] \, \text{GPa} \\ &= 0.5 \times [4 \times 4.00] \, \text{GPa} \cdot \text{mm} \\ &= 0.5 \times 16.00 \, \text{GPa} \cdot \text{mm} \\ &= 8.00 \, \text{GPa} \cdot \text{mm} \\ \\ A_{16} &= A_{26} = 0 \quad (\text{stratifié orthotrope et équilibré}) \end{aligned} \]
Conversion en N/mm : \(1 \, \text{GPa} \cdot \text{mm} = 10^3 \, \text{N/mm}\).
\[ [A] \approx \begin{pmatrix} 50.79 & 5.08 & 0 \\ 5.08 & 50.79 & 0 \\ 0 & 0 & 8.00 \end{pmatrix} \times 10^3 \, \text{N/mm} \]
Résultat Question 4 : La matrice de rigidité en extension est
\([A] \approx \begin{pmatrix} 50.79 & 5.08 & 0 \\ 5.08 & 50.79 & 0 \\ 0 & 0 & 8.00 \end{pmatrix} \times 10^3 \, \text{N/mm}\).
Question 5 : Déformations de la Membrane \(\{\epsilon^0\}\)
Principe :
Les déformations de la membrane \(\{\epsilon^0\}\) sont obtenues en inversant la relation \(\{N\} = [A] \{\epsilon^0\}\).
Formule(s) utilisée(s) :
\[\{\epsilon^0\} = [A]^{-1} \{N\}\]
Données spécifiques :
- \(\{N\} = \{200 \, \text{kN/m}, -50 \, \text{kN/m}, 0\}^T = \{200 \, \text{N/mm}, -50 \, \text{N/mm}, 0\}^T\)
- \([A]\) calculée précédemment.
Calcul de \([A]^{-1}\) (matrice de souplesse en extension \([a] = [A]^{-1}\)) :
\[ \begin{aligned} \text{det}(A_{sub}) &= A_{11}A_{22} - A_{12}^2 \\ &= (50.79 \times 10^3) \times (50.79 \times 10^3) - (5.08 \times 10^3)^2 \\ &= (2579.6241 \times 10^6) - (25.8064 \times 10^6) \, (\text{N/mm})^2 \\ &= 2553.8177 \times 10^6 \, (\text{N/mm})^2 \\ \\ a_{11} &= \frac{A_{22}}{\text{det}(A_{sub})} = \frac{50.79 \times 10^3}{2553.8177 \times 10^6} \\ &\approx 19.887 \times 10^{-6} \, \text{mm/N} \\ a_{22} &= \frac{A_{11}}{\text{det}(A_{sub})} = a_{11} \\ &\approx 19.887 \times 10^{-6} \, \text{mm/N} \\ a_{12} &= \frac{-A_{12}}{\text{det}(A_{sub})} = \frac{-5.08 \times 10^3}{2553.8177 \times 10^6} \\ &\approx -1.989 \times 10^{-6} \, \text{mm/N} \\ a_{66} &= \frac{1}{A_{66}} = \frac{1}{8.00 \times 10^3} \\ &= 125 \times 10^{-6} \, \text{mm/N} \end{aligned} \]
\[ [A]^{-1} \approx \begin{pmatrix} 19.887 & -1.989 & 0 \\ -1.989 & 19.887 & 0 \\ 0 & 0 & 125 \end{pmatrix} \times 10^{-6} \, \text{mm/N} \]
Calcul de \(\{\epsilon^0\}\) :
\[ \begin{Bmatrix} \epsilon_x^0 \\ \epsilon_y^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{Bmatrix} = [A]^{-1} \begin{Bmatrix} 200 \\ -50 \\ 0 \end{Bmatrix} \]
\[ \begin{aligned} \epsilon_x^0 &= (19.887 \times 200 + (-1.989) \times (-50)) \times 10^{-6} \\ &= (3977.4 + 99.45) \times 10^{-6} \\ &= 4076.85 \times 10^{-6} \\ &\approx 0.004077 \\ \\ \epsilon_y^0 &= (-1.989 \times 200 + 19.887 \times (-50)) \times 10^{-6} \\ &= (-397.8 - 994.35) \times 10^{-6} \\ &= -1392.15 \times 10^{-6} \\ &\approx -0.001392 \\ \\ \gamma_{xy}^0 &= (0 \times 200 + 0 \times (-50) + 125 \times 0) \times 10^{-6} \\ &= 0 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Déformations de la membrane : \(\epsilon_x^0 \approx 4077 \mu\text{def}\), \(\epsilon_y^0 \approx -1392 \mu\text{def}\), \(\gamma_{xy}^0 = 0\).
Question 6 : Contraintes Globales \(\{\sigma\}_k\) pour un Pli à \(0^\circ\)
Principe :
Les contraintes dans les axes globaux (x,y) pour le pli \(k=1\) (orienté à \(0^\circ\)) sont obtenues en multipliant la matrice \([\bar{Q}]_{0^\circ}\) par \(\{\epsilon^0\}\).
Formule(s) utilisée(s) :
\[\{\sigma\}_{0^\circ} = [\bar{Q}]_{0^\circ} \{\epsilon^0\}\]
Calcul pour le pli à \(0^\circ\) (contraintes en MPa, en utilisant \([\bar{Q}]\) en GPa et \(\epsilon\) sans unité \(\times 10^3\)) :
\[ \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix}_{0^\circ} \approx \begin{pmatrix} 40.63 & 2.54 & 0 \\ 2.54 & 10.16 & 0 \\ 0 & 0 & 4.00 \end{pmatrix} \begin{Bmatrix} 0.004077 \\ -0.001392 \\ 0 \end{Bmatrix} \times 10^3 \, \text{MPa} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_x (0^\circ) &\approx (40.63 \times 0.004077 + 2.54 \times (-0.001392)) \times 1000 \\ &\approx (0.16566051 - 0.00353568) \times 1000 \\ &\approx 0.16212483 \times 1000 \\ &\approx 162.12 \, \text{MPa} \\ \\ \sigma_y (0^\circ) &\approx (2.54 \times 0.004077 + 10.16 \times (-0.001392)) \times 1000 \\ &\approx (0.01035558 - 0.01414272) \times 1000 \\ &\approx -0.00378714 \times 1000 \\ &\approx -3.79 \, \text{MPa} \\ \\ \tau_{xy} (0^\circ) &\approx (0 \times 0.004077 + 0 \times (-0.001392) + 4.00 \times 0) \times 1000 \\ &\approx 0 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Contraintes globales pour un pli à \(0^\circ\) (approx. en MPa) :
\(\sigma_x \approx 162.12\), \(\sigma_y \approx -3.79\), \(\tau_{xy} \approx 0\).
\(\sigma_x \approx 162.12\), \(\sigma_y \approx -3.79\), \(\tau_{xy} \approx 0\).
Question 7 : Contraintes Locales \(\{\sigma\}_{\text{local},k}\) pour un Pli à \(0^\circ\)
Principe :
Pour un pli orienté à \(0^\circ\), les axes locaux (1,2) coïncident avec les axes globaux (x,y). Donc, les contraintes locales sont égales aux contraintes globales.
Formule(s) de transformation des contraintes (pour \(\theta=0\)) :
\[ \begin{Bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \tau_{12} \end{Bmatrix}_{0^\circ} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix}_{0^\circ} \]
Calcul pour le pli à \(0^\circ\) :
\[ \begin{Bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \tau_{12} \end{Bmatrix}_{0^\circ} = \begin{Bmatrix} 162.12 \\ -3.79 \\ 0 \end{Bmatrix} \, \text{MPa} \]
Résultat Question 7 : Contraintes locales pour un pli à \(0^\circ\) (approx. en MPa) :
\(\sigma_1 \approx 162.12\), \(\sigma_2 \approx -3.79\), \(\tau_{12} \approx 0\).
\(\sigma_1 \approx 162.12\), \(\sigma_2 \approx -3.79\), \(\tau_{12} \approx 0\).
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. La Théorie Classique des Stratifiés (CLT) suppose que :
2. Pour un stratifié symétrique soumis uniquement à des efforts membranaires (dans le plan) :
3. L'orientation des fibres dans un pli composite :
Glossaire
- Panneau Composite Stratifié
- Matériau structural formé par l'empilement et la liaison de plusieurs couches minces (plis) de matériaux composites. Chaque pli a généralement des fibres orientées dans une direction spécifique.
- Pli (Lamina)
- Couche individuelle d'un matériau composite, typiquement constituée de fibres (ex: verre, carbone) noyées dans une matrice (ex: résine époxy). Un pli est généralement considéré comme orthotrope.
- Orthotropie
- Propriété d'un matériau dont les caractéristiques mécaniques sont différentes dans trois directions perpendiculaires entre elles (axes matériels 1, 2, 3).
- Axes Locaux (1,2,3)
- Système de coordonnées associé à un pli, où l'axe 1 est généralement aligné avec la direction des fibres, l'axe 2 est transversal aux fibres dans le plan du pli, et l'axe 3 est perpendiculaire au plan du pli.
- Axes Globaux (x,y,z)
- Système de coordonnées de référence pour l'ensemble du stratifié ou de la structure.
- Matrice de Rigidité Réduite \([Q]\)
- Matrice (3x3 pour un état de contrainte plane) qui relie les contraintes aux déformations dans les axes locaux d'un pli orthotrope.
- Matrice de Rigidité Transformée \([\bar{Q}]_k\)
- Matrice de rigidité du \(k\)-ième pli, exprimée dans les axes globaux du stratifié, obtenue par transformation de \([Q]\) en fonction de l'angle d'orientation du pli.
- Théorie Classique des Stratifiés (CLT)
- Théorie basée sur l'hypothèse de Kirchhoff-Love (les sections planes restent planes et normales à la surface moyenne après déformation) pour analyser le comportement des stratifiés minces.
- Matrice de Rigidité en Extension \([A]\)
- Matrice (3x3) qui relie les efforts membranaires (par unité de largeur) aux déformations du plan médian du stratifié.
- Stratifié Symétrique
- Stratifié pour lequel les orientations et les épaisseurs des plis sont symétriques par rapport à son plan médian. Pour ces stratifiés, la matrice de couplage extension-flexion \([B]\) est nulle.
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