Études de cas pratique

EGC

Contraintes Thermiques en Aérospatiale

Contraintes Thermiques en Aérospatiale (Ing. Mécanique)

Contraintes Thermiques en Aérospatiale (Ing. Mécanique)

Comprendre les Contraintes Thermiques en Aérospatiale

Les composants et structures aérospatiales, tels que les satellites, les lanceurs ou les aéronefs à haute performance, sont soumis à des environnements thermiques extrêmes et à des variations rapides de température. Ces changements de température provoquent la dilatation ou la contraction des matériaux. Si ces déformations naturelles sont restreintes par des liaisons, des assemblages avec d'autres matériaux aux propriétés thermiques différentes, ou par des gradients de température internes, des contraintes thermiques sont générées. Ces contraintes, si elles sont excessives, peuvent entraîner des défaillances structurales, des déformations permanentes, ou réduire la durée de vie des composants par fatigue thermique. L'analyse des contraintes thermiques est donc un aspect crucial de la conception et de la vérification en ingénierie mécanique aérospatiale.

Données de l'étude

On considère un panneau structural en alliage d'aluminium fixé rigidement à ses deux extrémités. Ce panneau est initialement à une température uniforme, puis sa température augmente de manière uniforme en raison de l'exposition solaire en orbite.

Caractéristiques du panneau et conditions thermiques :

  • Matériau : Alliage d'Aluminium 7075-T6
  • Longueur initiale du panneau entre les fixations (\(L_0\)) : \(1.2 \, \text{m}\)
  • Coefficient de dilatation thermique linéaire (\(\alpha\)) : \(23.6 \times 10^{-6} \, \text{/°C}\)
  • Module d'Young (Module d'élasticité) (\(E\)) : \(71.7 \, \text{GPa} = 71.7 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\)
  • Température initiale d'assemblage (\(T_0\)) : \(22 \, \text{°C}\)
  • Température maximale de fonctionnement (\(T_f\)) : \(85 \, \text{°C}\)
  • Les fixations sont considérées comme rigides et empêchent toute dilatation axiale du panneau.
Schéma : Panneau Soumis à des Contraintes Thermiques
Panneau en Aluminium (L₀) ΔT = Tƒ - T₀ Fth Fth L₀ Panneau fixé soumis à une variation de température

Un panneau fixé à ses extrémités subit des contraintes internes si sa température varie.

Questions à traiter

  1. Calculer la variation de température (\(\Delta T\)) subie par le panneau.
  2. Calculer la déformation thermique libre (\(\epsilon_{\text{th_libre}}\)) que subirait le panneau si ses extrémités n'étaient pas fixes.
  3. Puisque le panneau est totalement contraint axialement, quelle est la déformation axiale (\(\epsilon_{\text{axiale}}\)) qui est effectivement empêchée et qui génère la contrainte ?
  4. Calculer la contrainte thermique (\(\sigma_{\text{th}}\)) induite dans le panneau. Préciser s'il s'agit d'une contrainte de traction ou de compression.
  5. Si la section transversale du panneau est rectangulaire avec une épaisseur de \(e = 2 \, \text{mm}\) et une largeur de \(b = 100 \, \text{mm}\), calculer l'aire de la section (\(A\)).
  6. Calculer la force axiale (\(F_{\text{th}}\)) induite dans le panneau due à la contrainte thermique.
  7. Si la limite d'élasticité de l'alliage d'aluminium 7075-T6 est \(\sigma_e = 505 \, \text{MPa}\), le panneau atteint-il sa limite d'élasticité ?

Correction : Contraintes Thermiques en Aérospatiale

Question 1 : Variation de température (\(\Delta T\))

Principe :

La variation de température est la différence entre la température finale de fonctionnement et la température initiale d'assemblage.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta T = T_f - T_0\]
Données spécifiques :
  • Température finale (\(T_f\)) : \(85 \, \text{°C}\)
  • Température initiale (\(T_0\)) : \(22 \, \text{°C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta T &= 85 \, \text{°C} - 22 \, \text{°C} \\ &= 63 \, \text{°C} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La variation de température est \(\Delta T = 63 \, \text{°C}\).

Question 2 : Déformation thermique libre (\(\epsilon_{\text{th_libre}}\))

Principe :

La déformation thermique libre est le produit du coefficient de dilatation thermique linéaire et de la variation de température.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon_{\text{th_libre}} = \alpha \cdot \Delta T\]
Données spécifiques :
  • Coefficient de dilatation thermique (\(\alpha\)) : \(23.6 \times 10^{-6} \, \text{/°C}\)
  • Variation de température (\(\Delta T\)) : \(63 \, \text{°C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon_{\text{th_libre}} &= (23.6 \times 10^{-6} \, \text{/°C}) \times (63 \, \text{°C}) \\ &= 1486.8 \times 10^{-6} \\ &= 0.0014868 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La déformation thermique libre est \(\epsilon_{\text{th_libre}} \approx 0.001487\) (ou \(1487 \, \mu\text{def}\)).

Question 3 : Déformation axiale empêchée (\(\epsilon_{\text{axiale}}\))

Principe :

Puisque le panneau est totalement contraint par des fixations rigides, toute la dilatation thermique libre est empêchée. La déformation axiale qui est contrainte (et qui génère la contrainte interne) est donc égale en magnitude à la déformation thermique libre.

Données spécifiques :
  • \(\epsilon_{\text{th_libre}} \approx 0.001487\)
Calcul :

La déformation que le panneau voudrait subir (dilatation) est de \(0.001487\). Puisqu'elle est empêchée, c'est cette magnitude de déformation qui va générer la contrainte.

Résultat Question 3 : La déformation axiale empêchée est \(\epsilon_{\text{axiale}} \approx 0.001487\).

Question 4 : Contrainte thermique (\(\sigma_{\text{th}}\)) induite

Principe :

La contrainte thermique est générée parce que la déformation thermique libre est empêchée. Elle est calculée par la loi de Hooke : \(\sigma = E \cdot \epsilon\), où \(\epsilon\) est la déformation empêchée. Comme le panneau veut se dilater (augmentation de température) et qu'il en est empêché, il sera mis en compression.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{\text{th}} = E \cdot \epsilon_{\text{axiale}} = E \cdot (\alpha \cdot \Delta T)\]
Données spécifiques :
  • Module d'Young (\(E\)) : \(71.7 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\)
  • Déformation axiale empêchée (\(\epsilon_{\text{axiale}}\)) : \(0.0014868\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{th}} &= (71.7 \times 10^9 \, \text{N/m}^2) \times 0.0014868 \\ &\approx 106.59396 \times 10^6 \, \text{N/m}^2 \\ &\approx 106.59 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Puisque le panneau veut se dilater et en est empêché, la contrainte induite est une contrainte de compression.

Résultat Question 4 : La contrainte thermique induite dans le panneau est \(\sigma_{\text{th}} \approx 106.59 \, \text{MPa}\) (Compression).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le module d'Young \(E\) du matériau était plus faible, la contrainte thermique induite (pour la même \(\Delta T\) et \(\alpha\)) serait :

Question 5 : Aire de la section transversale (\(A\))

Principe :

L'aire d'une section rectangulaire est le produit de son épaisseur et de sa largeur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = e \times b\]
Données spécifiques :
  • Épaisseur (\(e\)) : \(2 \, \text{mm} = 0.002 \, \text{m}\)
  • Largeur (\(b\)) : \(100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= (0.002 \, \text{m}) \times (0.1 \, \text{m}) \\ &= 0.0002 \, \text{m}^2 \\ &= 200 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'aire de la section transversale du panneau est \(A = 0.0002 \, \text{m}^2\) (ou \(200 \, \text{mm}^2\)).

Question 6 : Force axiale (\(F_{\text{th}}\)) induite dans le panneau

Principe :

La force axiale est le produit de la contrainte thermique et de l'aire de la section transversale du panneau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_{\text{th}} = \sigma_{\text{th}} \cdot A\]
Données spécifiques :
  • Contrainte thermique (\(\sigma_{\text{th}}\)) : \(106.59396 \times 10^6 \, \text{N/m}^2\)
  • Aire de la section (\(A\)) : \(0.0002 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_{\text{th}} &= (106.59396 \times 10^6 \, \text{N/m}^2) \times (0.0002 \, \text{m}^2) \\ &= 21318.792 \, \text{N} \\ &\approx 21.32 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La force axiale induite dans le panneau est \(F_{\text{th}} \approx 21319 \, \text{N}\) (ou \(21.32 \, \text{kN}\)).

Question 7 : Vérification de la déformation plastique

Principe :

On compare la contrainte thermique calculée (\(\sigma_{\text{th}}\)) à la limite d'élasticité du matériau (\(\sigma_e\)). Si \(\sigma_{\text{th}} > \sigma_e\), une déformation plastique (permanente) se produit. Sinon, la déformation reste dans le domaine élastique et le panneau reprend sa forme initiale si la température revient à \(T_0\).

Données spécifiques :
  • Contrainte thermique (\(\sigma_{\text{th}}\)) : \(\approx 106.59 \, \text{MPa}\)
  • Limite d'élasticité (\(\sigma_e\)) : \(505 \, \text{MPa}\)
Comparaison :

On a \(106.59 \, \text{MPa} < 505 \, \text{MPa}\). Donc, \(\sigma_{\text{th}} < \sigma_e\).

Résultat Question 7 : La contrainte thermique (\(\approx 106.59 \, \text{MPa}\)) est inférieure à la limite d'élasticité (\(505 \, \text{MPa}\)). Par conséquent, le panneau ne subit pas de déformation plastique et reste dans le domaine élastique.

Quiz Intermédiaire 2 : Si la longueur initiale \(L_0\) du panneau était plus grande, la contrainte thermique \(\sigma_{\text{th}}\) (pour les mêmes \(\alpha, E, \Delta T\)) serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La contrainte thermique dans un élément totalement contraint dépend directement de :

2. Si un matériau a un coefficient de dilatation thermique \(\alpha\) plus petit :

3. Une contrainte de compression est induite dans une tige encastrée si :

Glossaire

Contrainte Thermique (\(\sigma_{\text{th}}\))
Contrainte interne à un matériau, résultant d'une variation de température lorsque la dilatation ou la contraction libre du matériau est restreinte.
Dilatation Thermique Linéaire
Variation de longueur d'un matériau par unité de longueur initiale, pour une variation de température donnée.
Coefficient de Dilatation Thermique Linéaire (\(\alpha\))
Propriété intrinsèque d'un matériau qui indique son aptitude à se dilater ou à se contracter avec les changements de température. Unité : \(K^{-1}\) ou \(°C^{-1}\).
Module d'Young (\(E\))
Aussi appelé module d'élasticité longitudinale, il mesure la rigidité d'un matériau solide. C'est le rapport de la contrainte à la déformation dans le domaine élastique.
Déformation (Strain, \(\epsilon\))
Mesure de la déformation relative d'un matériau. \(\epsilon = \Delta L / L_0\).
Loi de Hooke
Relation linéaire entre la contrainte et la déformation pour un matériau élastique : \(\sigma = E \cdot \epsilon\).
Encastrement
Type de liaison qui empêche tout déplacement et toute rotation à l'extrémité d'un élément.
Limite d'Élasticité (\(\sigma_e\))
Valeur de contrainte au-delà de laquelle un matériau commence à subir une déformation permanente (plastique).
Aérospatiale
Domaine de l'ingénierie concernant la conception, la construction et l'exploitation des aéronefs et des engins spatiaux.
Contraintes Thermiques en Aérospatiale - Exercice d'Application

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