Calcul des dimensions d’une poutre

Calcul des Dimensions d’une Poutre Rectangulaire en Bois

Calcul des dimensions d’une poutre

Contexte : La Résistance des Matériaux (RdM)La RdM est la branche de la mécanique qui étudie la résistance et la déformation des solides sous l'effet des forces..

Cet exercice vous place dans la peau d'un ingénieur structure bois. Votre mission est de déterminer la hauteur minimale d'une soliveNom donné à une poutre, généralement en bois, qui soutient un plancher. de plancher pour une habitation. Contrairement à une simple vérification, nous allons ici calculer la dimension requise à partir des charges appliquées et des propriétés du matériau.

Remarque Pédagogique : Le dimensionnement est au cœur du métier d'ingénieur. Cet exercice vous apprendra à partir d'une contrainte (la résistance du bois) et de sollicitations (les charges) pour en déduire une géométrie (la hauteur de la poutre). C'est la démarche inverse de la vérification et elle est fondamentale en conception.


Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le moment fléchissant maximal dans une poutre sur appuis simples.
  • Déterminer le module de section requis en fonction de la contrainte admissible du matériau.
  • Utiliser la formule du module de section d'un rectangle pour calculer une dimension.
  • Choisir une dimension commerciale appropriée.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner les solives d'un plancher en bois de classe de résistance C24Classe de résistance courante pour le bois de structure, indiquant une résistance caractéristique à la flexion de 24 MPa.. Ces solives ont une portée de 5 mètres et sont soumises à une charge uniformément répartie de 3 kN/m. Pour des raisons pratiques, on impose une largeur (base) de solive de \(b = 75\) mm. Notre but est de calculer la hauteur minimale \(h\) requise.

Modélisation de la solive sur appuis simples
q = 3 kN/mABL = 5 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la solive \(L\) 5 m
Charge uniformément répartie \(q\) 3 kN/m
Contrainte de flexion admissible (Bois C24) \(\sigma_{\text{adm}}\) 24 MPa
Base de la section \(b\) 75 mm

Questions à traiter

  1. Calculer le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\) dans la solive.
  2. Déterminer le module de section élastique minimal requis, \(W_{\text{el,y,min}}\).
  3. Rappeler la formule du module de section élastique \(W_{\text{el,y}}\) pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\).
  4. Calculer la hauteur minimale requise \(h_{\text{min}}\) pour la solive.
  5. En pratique, on choisit une hauteur commerciale normalisée supérieure ou égale à \(h_{\text{min}}\). Quelle dimension finale (b x h) proposeriez-vous ?

Les bases sur la Flexion des Poutres Rectangulaires

Le dimensionnement d'une poutre en bois repose sur les mêmes principes que pour l'acier, mais en utilisant les propriétés géométriques d'une section rectangulaire.

1. Moment Maximal
Pour une poutre sur deux appuis simples soumise à une charge uniformément répartie \(q\), le moment fléchissant est maximal au milieu de la travée et sa valeur est : \[ M_{\text{max}} = \frac{q \cdot L^2}{8} \]

2. Module de Section d'un Rectangle
Le module de section élastique, qui représente la résistance géométrique de la section à la flexion, est donné pour un rectangle de base \(b\) et de hauteur \(h\) par : \[ W_{\text{el,y}} = \frac{b \cdot h^2}{6} \]


Correction : Calcul des dimensions d’une poutre

Question 1 : Calculer le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\).

Principe

Le moment fléchissant représente l'effort de "pliage" interne dans la poutre. Pour une poutre simple supportant une charge uniforme, cet effort est le plus intense au centre, là où la poutre risque le plus de casser. Notre premier objectif est de quantifier cette sollicitation maximale.

Mini-Cours

Le moment fléchissant \(M(x)\) en un point \(x\) est le résultat de l'intégration de l'effort tranchant \(V(x)\). Pour une poutre sur deux appuis, le moment est nul aux extrémités et atteint un extremum (ici, un maximum) lorsque l'effort tranchant s'annule, ce qui se produit au milieu de la travée \(x = L/2\).

Remarque Pédagogique

Retenez que pour ce cas de charge, qui est l'un des plus courants en construction, le moment maximal est toujours au centre. Inutile de recalculer les équations complètes si vous connaissez la formule directe ; c'est un gain de temps précieux.

Normes

Le calcul des sollicitations (comme le moment fléchissant) est une étape fondamentale de la méthode de calcul aux états limites prônée par les Eurocodes. On calcule d'abord les efforts (côté "demande") avant de les comparer à la résistance (côté "offre").

Formule(s)

Formule du moment maximal

\[ M_{\text{max}} = \frac{q \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses

Nous considérons la poutre comme étant sur deux appuis simples (une rotule et un appui simple), et la charge est parfaitement uniforme sur toute la longueur.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Charge répartie\(q\)3kN/m
Portée\(L\)5m
Schéma (Avant les calculs)
Modèle de calcul de la poutre
q = 3 kN/mL = 5 m
Calcul(s)

Application numérique

\[ \begin{aligned} M_{\text{max}} &= \frac{3\ \text{kN/m} \times (5\ \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{3 \times 25\ \text{kN} \cdot \text{m}}{8} \\ &= 9.375\ \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant
Mmax = 9.375 kN.m00L/2 = 2.5m
Réflexions

Ce chiffre de 9.375 kN.m représente la sollicitation maximale que la section centrale de la poutre devra endurer. C'est sur la base de cette valeur que nous allons dimensionner la poutre.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le carré sur la longueur \(L\). C'est une erreur fréquente. La portée a une influence quadratique sur le moment, ce qui signifie qu'une petite augmentation de la portée a un effet très important sur les efforts.

Points à retenir
  • Pour une poutre sur appuis simples avec charge répartie, le moment maximal est toujours \(qL^2/8\).
  • Ce moment se situe toujours au milieu de la portée.
Le saviez-vous ?

La forme parabolique du diagramme de moment fléchissant est caractéristique d'une charge uniformément répartie. C'est la même forme que prend un câble de pont suspendu sous son propre poids, mais inversée.

FAQ
Résultat Final
Le moment fléchissant maximal est \(M_{\text{max}} = 9.375\ \text{kN} \cdot \text{m}\).
A vous de jouer

Calculez le moment maximal si la portée était de 4 m avec la même charge.

Question 2 : Déterminer le module de section élastique minimal requis, \(W_{\text{el,y,min}}\).

Principe

Le module de section (\(W_{\text{el,y}}\)) est une propriété purement géométrique qui mesure l'efficacité d'une section à résister à la flexion. Plus il est grand, plus la poutre est "forte". Ici, nous allons calculer la "force" minimale requise pour notre poutre en nous basant sur le moment qu'elle doit supporter et la résistance du bois.

Mini-Cours

La contrainte de flexion est donnée par \(\sigma = M/W\). Le principe du dimensionnement est de s'assurer que la contrainte maximale dans la poutre ne dépasse jamais la contrainte que le matériau peut admettre. On écrit donc l'inéquation : \(\sigma_{\text{max}} \le \sigma_{\text{adm}}\). En remplaçant \(\sigma_{\text{max}}\) par son expression, on obtient \(\frac{M_{\text{max}}}{W_{\text{el,y}}} \le \sigma_{\text{adm}}\), ce qui nous permet de trouver la condition sur \(W_{\text{el,y}}\).

Remarque Pédagogique

Pensez au module de section comme à un "score de performance géométrique". Notre but est de trouver le score minimal à atteindre, puis nous trouverons la géométrie (la hauteur \(h\)) qui nous permet d'obtenir ce score.

Normes

L'utilisation d'une contrainte admissible (\(\sigma_{\text{adm}}\)) est au cœur des méthodes de calcul aux états limites. Pour le bois (Eurocode 5), cette valeur dépend de la classe de résistance (ici C24) et de facteurs liés à la durée de la charge et à l'humidité.

Formule(s)

Formule du module de section minimal

\[ W_{\text{el,y,min}} = \frac{M_{\text{max}}}{\sigma_{\text{adm}}} \]
Points de vigilance

L'homogénéité des unités est absolument critique ici ! C'est la source d'erreur N°1. Le plus sûr est de tout convertir dans un système cohérent avant tout calcul. Le système N et mm est idéal car \(1 \text{ MPa} = 1 \text{ N/mm}^2\).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Moment maximal\(M_{\text{max}}\)9.375kN.m
Contrainte admissible\(\sigma_{\text{adm}}\)24MPa
Schéma (Avant les calculs)
Principe de la Contrainte de Flexion
Section(W)zσ_maxσ_maxM
Calcul(s)

Conversion du moment maximal

\[ \begin{aligned} M_{\text{max}} &= 9.375\ \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 9.375 \times 10^3\ \text{N} \times 10^3\ \text{mm} \\ &= 9.375 \times 10^6\ \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

Conversion de la contrainte admissible

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{adm}} &= 24\ \text{MPa} \\ &= 24\ \text{N/mm}^2 \end{aligned} \]

Calcul du module de section minimal en mm³

\[ \begin{aligned} W_{\text{el,y,min}} &= \frac{9.375 \times 10^6\ \text{N} \cdot \text{mm}}{24\ \text{N/mm}^2} \\ &= 390\,625\ \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Conversion du résultat en cm³

\[ \begin{aligned} W_{\text{el,y,min}} &= 390\,625\ \text{mm}^3 \\ &= 390.625\ \text{cm}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat Intermédiaire : Module Requis
Propriété RequiseW_el,y,min = 390.6 cm³
Réflexions

Nous savons maintenant que n'importe quelle section de poutre dont le module de section est supérieur à 390.6 cm³ conviendra. La prochaine étape est de trouver la géométrie (la hauteur) qui nous donne cette performance.

Points à retenir
  • Le module de section requis est le rapport entre la sollicitation (\(M_{\text{max}}\)) et la résistance (\(\sigma_{\text{adm}}\)).
  • La conversion des unités (kN.m vers N.mm) est une étape cruciale à ne jamais sauter.
Le saviez-vous ?

Le concept de module de section a été développé pour simplifier les calculs. Plutôt que de travailler avec le moment d'inertie (\(I\)) et la distance à la fibre la plus éloignée (\(y_{\text{max}}\)), on combine les deux en un seul indicateur géométrique (\(W=I/y_{\text{max}}\)), ce qui rend la formule de contrainte beaucoup plus directe.

FAQ
Résultat Final
Le module de section élastique minimal requis est \(W_{\text{el,y,min}} \approx 390.6\ \text{cm}^3\).
A vous de jouer

Si on utilisait un bois de moins bonne qualité (C18, \(\sigma_{\text{adm}}=18\) MPa), quel serait le module de section minimal requis ?

Question 3 : Rappeler la formule du module de section élastique pour un rectangle.

Principe

Cette formule relie la géométrie de la section (sa base \(b\) et sa hauteur \(h\)) à sa capacité à résister à la flexion. On voit que la hauteur a une influence bien plus grande (au carré) que la base.

Formule(s)

Module de section pour une section rectangulaire

\[ W_{\text{el,y}} = \frac{b \cdot h^2}{6} \]

Question 4 : Calculer la hauteur minimale requise \(h_{\text{min}}\).

Principe

C'est le cœur du dimensionnement. Nous avons une "performance" à atteindre (\(W_{\text{el,y,min}}\)) et une formule qui lie cette performance à la géométrie (\(W_{\text{el,y}} = b h^2 / 6\)). En combinant les deux, et comme la base \(b\) est fixée, nous pouvons extraire la seule inconnue : la hauteur \(h\).

Mini-Cours

Cette étape est une simple résolution d'équation. En posant \(W_{\text{el,y}} = W_{\text{el,y,min}}\), on obtient une équation avec une seule inconnue, \(h\). Il suffit d'isoler \(h\) par des manipulations algébriques (multiplication, division, racine carrée) pour trouver sa valeur minimale.

Remarque Pédagogique

Notez bien l'influence de chaque paramètre. La hauteur requise \(h\) augmente avec la racine carrée du moment, et diminue avec la racine carrée de la base. Doubler la base ne divise pas la hauteur par deux !

Normes

Les normes de construction (comme les DTU en France) imposent souvent des ratios élancement (rapport h/b) pour éviter les problèmes de déversement (flambement latéral) des poutres hautes et étroites. Notre calcul ne tient pas compte de ce phénomène, mais c'est une vérification que l'ingénieur doit faire ensuite.

Formule(s)

Condition de résistance géométrique

\[ \frac{b \cdot h^2}{6} \ge W_{\text{el,y,min}} \Rightarrow h^2 \ge \frac{6 \cdot W_{\text{el,y,min}}}{b} \]

Formule de la hauteur minimale

\[ h_{\text{min}} = \sqrt{\frac{6 \cdot W_{\text{el,y,min}}}{b}} \]
Hypothèses

Nous supposons que la section est pleine et rectangulaire pour pouvoir appliquer la formule \(bh^2/6\).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Module minimal requis\(W_{\text{el,y,min}}\)390 625mm³
Base de la section\(b\)75mm
Schéma (Avant les calculs)
Détermination de la Hauteur
b = 75 mmh = ?
Astuces

Avant de calculer, on peut sentir que le résultat sera en mm car on a \(\sqrt{\text{mm}^3 / \text{mm}} = \sqrt{\text{mm}^2} = \text{mm}\). C'est un bon moyen de vérifier la cohérence de sa formule.

Calcul(s)

Application numérique

\[ \begin{aligned} h_{\text{min}} &= \sqrt{\frac{6 \times 390\,625\ \text{mm}^3}{75\ \text{mm}}} \\ &= \sqrt{31\,250\ \text{mm}^2} \\ &\approx 176.8\ \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Section Rectangulaire et Contraintes
b = 75mmh ≈ 177mmz+σ (Traction)-σ (Compression)
Réflexions

Un résultat de 176.8 mm est une valeur théorique. Cela signifie que toute poutre de 75mm de base avec une hauteur inférieure à cette valeur ne respectera pas le critère de résistance. En pratique, on choisira toujours une dimension standard supérieure.

Points à retenir

Le lien fondamental à retenir est : Sollicitation (\(M_{\text{max}}\)) \(\Rightarrow\) Performance Géométrique (\(W_{\text{el,y,min}}\)) \(\Rightarrow\) Dimension (\(h_{\text{min}}\)). C'est l'essence même du dimensionnement.

Le saviez-vous ?

Pour optimiser l'utilisation de la matière, les ingénieurs ont créé des profilés en "I" (comme les IPE en acier). En concentrant la matière dans les semelles (en haut et en bas), loin de l'axe neutre, on augmente considérablement le module de section (et donc la résistance) pour une même quantité de matière qu'une section rectangulaire pleine.

FAQ
Résultat Final
La hauteur minimale requise pour la solive est \(h_{\text{min}} \approx 176.8\) mm.
A vous de jouer

Si l'on utilisait une base de \(b=100\) mm, quelle serait la hauteur minimale requise ?

Question 5 : Proposer une dimension commerciale finale.

Principe

Dans la construction, on n'utilise pas des dimensions calculées au dixième de millimètre près. On choisit la dimension standard disponible juste au-dessus de la valeur calculée pour garantir la sécurité et pour des raisons de standardisation de la production.

Réflexions

La hauteur calculée est de 176.8 mm. Les hauteurs de solives commerciales courantes sont par exemple 150 mm (insuffisant), 175 mm (trop juste), 200 mm, 225 mm...

Le choix le plus sûr et le plus courant serait d'opter pour une hauteur de 200 mm.

Résultat Final
On choisit une solive de dimensions commerciales 75 mm x 200 mm.

Outil Interactif : Dimensionnement de Solive

Faites varier la portée et la charge pour voir comment la hauteur de solive requise (pour une base fixe de 75 mm) évolue. Cela vous aidera à sentir l'influence de chaque paramètre.

Paramètres d'Entrée
5 m
3 kN/m
Résultats Clés
Moment Max (\(M_{\text{max}}\)) -
Hauteur Requise (\(h_{\text{min}}\)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la hauteur \(h\) d'une poutre rectangulaire, par quel facteur sa résistance à la flexion (son module \(W_{\text{el,y}}\)) est-elle multipliée ?

2. Lequel de ces facteurs n'influence PAS le moment fléchissant maximal dans notre cas d'étude ?

3. Pour rendre une poutre rectangulaire plus efficace contre la flexion, il est préférable de...

4. Si on augmente la classe de résistance du bois (par exemple de C24 à C30), la hauteur de poutre requise va...

5. Le dimensionnement consiste à s'assurer que...


Glossaire

Solive
Nom donné à une poutre, généralement en bois, qui soutient les éléments d'un plancher.
Bois C24
Classe de résistance pour le bois de structure définie par les normes européennes. Le "24" indique une résistance caractéristique à la flexion de 24 MPa.
Contrainte Admissible (\(\sigma_{\text{adm}}\))
Valeur maximale de la contrainte qu'un matériau peut supporter en service en toute sécurité. Elle est basée sur la limite d'élasticité du matériau, à laquelle on applique des coefficients de sécurité.
Portée
Distance entre les deux appuis d'une poutre.
Exercice de Dimensionnement de Solive en Bois

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