EGC

Analyse Dynamique d’un Système de Convoyage

Analyse Dynamique d’un Système de Convoyage

Analyse Dynamique d’un Système de Convoyage

Comprendre l'Analyse Dynamique d’un Système de Convoyage

L'analyse dynamique des systèmes de convoyage à bande est essentielle en ingénierie mécanique pour assurer leur bon fonctionnement, optimiser leur efficacité énergétique et garantir la longévité de leurs composants. Cette analyse s'intéresse particulièrement aux phases transitoires de démarrage et d'arrêt, ainsi qu'au régime permanent. Les principaux aspects étudiés incluent le calcul des tensions dans la courroie, la détermination du couple et de la puissance requis par le moteur, l'évaluation des forces d'inertie lors des accélérations, et la gestion des vibrations potentielles. Une compréhension approfondie de ces éléments dynamiques permet de dimensionner correctement le moteur, les poulies, la courroie et les structures de support, tout en minimisant l'usure et les risques de défaillance.

Données de l'étude

On étudie un convoyeur à bande horizontal utilisé pour transporter du charbon.

Caractéristiques du convoyeur et du matériau :

  • Longueur du convoyeur (distance entre axes des poulies) (\(L\)) : \(50 \, \text{m}\)
  • Vitesse de la courroie (\(v\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Masse de la courroie par unité de longueur (\(m'_{\text{b}}\)) : \(15 \, \text{kg/m}\)
  • Masse du matériau transporté par unité de longueur sur la courroie (\(m'_{\text{mat}}\)) : \(50 \, \text{kg/m}\)
  • Diamètre de la poulie motrice (\(D_p\)) : \(0.6 \, \text{m}\)
  • Moment d'inertie total du système d'entraînement ramené à l'arbre de la poulie motrice (poulie, moteur, réducteur) (\(J_d\)) : \(25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\)
  • Coefficient de friction équivalent global (tenant compte des rouleaux, etc.) (\(\mu\)) : \(0.03\)
  • Tension dans le brin mou (retour) à l'entrée de la poulie motrice (\(T_2\)) : \(1500 \, \text{N}\)
  • Temps de démarrage souhaité pour atteindre la vitesse nominale (\(t_a\)) : \(5 \, \text{s}\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma Simplifié d'un Convoyeur à Bande Horizontal
Poulie Motrice \(D_p\) Poulie de Renvoi Matériau (\(m'_{\text{mat}}\)) \(v\) \(T_1\) \(T_2\) \(L = 50 \, \text{m}\)

Schéma d'un convoyeur à bande horizontal avec ses principaux composants.

Questions à traiter

  1. Calculer la masse totale de la courroie (\(M_b\)).
  2. Calculer la masse totale du matériau sur la courroie (\(M_{\text{mat}}\)).
  3. Calculer la force totale de friction (\(F_f\)) en régime permanent (convoyeur horizontal).
  4. Calculer la tension efficace (\(T_e\)) nécessaire à la poulie motrice en régime permanent.
  5. Calculer la tension dans le brin tendu (\(T_1\)) en régime permanent.
  6. Calculer le couple moteur (\(\tau_s\)) requis en régime permanent.
  7. Calculer l'accélération linéaire (\(a\)) de la courroie pendant le démarrage.
  8. Calculer la force d'inertie linéaire totale (\(F_i\)) pendant le démarrage.
  9. Calculer l'accélération angulaire (\(\alpha\)) de la poulie motrice pendant le démarrage.
  10. Calculer le couple d'accélération pour les masses en rotation (\(\tau_{\text{rot}}\)).
  11. Calculer le couple total de démarrage (\(\tau_{\text{start}}\)).
  12. Calculer la puissance du moteur (\(P_s\)) requise en régime permanent.

Correction : Analyse Dynamique d’un Système de Convoyage

Question 1 : Masse Totale de la Courroie (\(M_b\))

Principe :

La masse totale de la courroie est obtenue en multipliant la masse linéique de la courroie par la longueur totale de la courroie. La longueur totale de la courroie est approximativement deux fois la distance entre les axes des poulies pour un convoyeur simple.

Formule(s) utilisée(s) :
\[L_{\text{courroie}} \approx 2L\] \[M_b = m'_{\text{b}} \times L_{\text{courroie}}\]
Données spécifiques :
  • Masse linéique de la courroie (\(m'_{\text{b}}\)) : \(15 \, \text{kg/m}\)
  • Longueur du convoyeur (\(L\)) : \(50 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_{\text{courroie}} &\approx 2 \times 50 \, \text{m} = 100 \, \text{m} \\ M_b &= 15 \, \text{kg/m} \times 100 \, \text{m} \\ &= 1500 \, \text{kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La masse totale de la courroie est \(M_b = 1500 \, \text{kg}\).

Question 2 : Masse Totale du Matériau sur la Courroie (\(M_{\text{mat}}\))

Principe :

La masse totale du matériau sur la courroie est obtenue en multipliant la masse linéique du matériau par la longueur de la partie chargée du convoyeur, qui est \(L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{\text{mat}} = m'_{\text{mat}} \times L\]
Données spécifiques :
  • Masse linéique du matériau (\(m'_{\text{mat}}\)) : \(50 \, \text{kg/m}\)
  • Longueur du convoyeur (\(L\)) : \(50 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{mat}} &= 50 \, \text{kg/m} \times 50 \, \text{m} \\ &= 2500 \, \text{kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La masse totale du matériau sur la courroie est \(M_{\text{mat}} = 2500 \, \text{kg}\).

Question 3 : Force Totale de Friction (\(F_f\)) en Régime Permanent

Principe :

La force de friction totale s'oppose au mouvement de la courroie et du matériau. Pour un convoyeur horizontal, elle est proportionnelle au poids total supporté par les rouleaux (courroie sur le brin aller et retour, matériau sur le brin aller) et au coefficient de friction équivalent.

Poids total agissant sur les rouleaux \(W_{\text{total}} = (M_b + M_{\text{mat}}) \times g\). Note: une approche plus précise considérerait la masse linéique sur toute la longueur pour la courroie et sur la longueur L pour le matériau.

Force de friction \(F_f = \mu \times ( (m'_{\text{b}} \times 2L + m'_{\text{mat}} \times L) \times g ) \).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_f = \mu \times (m'_{\text{b}} \cdot 2L + m'_{\text{mat}} \cdot L) \cdot g\]
Données spécifiques :
  • Coefficient de friction (\(\mu\)) : \(0.03\)
  • Masse linéique de la courroie (\(m'_{\text{b}}\)) : \(15 \, \text{kg/m}\)
  • Masse linéique du matériau (\(m'_{\text{mat}}\)) : \(50 \, \text{kg/m}\)
  • Longueur du convoyeur (\(L\)) : \(50 \, \text{m}\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_f &= 0.03 \times ( (15 \, \text{kg/m} \times 2 \times 50 \, \text{m}) + (50 \, \text{kg/m} \times 50 \, \text{m}) ) \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 0.03 \times (1500 \, \text{kg} + 2500 \, \text{kg}) \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 0.03 \times 4000 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 120 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 1177.2 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La force totale de friction en régime permanent est \(F_f \approx 1177.2 \, \text{N}\).

Question 4 : Tension Efficace (\(T_e\)) en Régime Permanent

Principe :

La tension efficace (\(T_e\)) est la différence de tension entre le brin tendu et le brin mou, nécessaire pour vaincre les résistances au mouvement (principalement la friction pour un convoyeur horizontal).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_e = F_f \quad (\text{pour un convoyeur horizontal en régime permanent})\]
Données spécifiques :
  • Force totale de friction (\(F_f\)) : \(1177.2 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ T_e = 1177.2 \, \text{N} \]
Résultat Question 4 : La tension efficace en régime permanent est \(T_e \approx 1177.2 \, \text{N}\).

Question 5 : Tension dans le Brin Tendu (\(T_1\)) en Régime Permanent

Principe :

La tension dans le brin tendu (\(T_1\)) est la somme de la tension dans le brin mou (\(T_2\)) et de la tension efficace (\(T_e\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_1 = T_e + T_2\]
Données spécifiques :
  • Tension efficace (\(T_e\)) : \(1177.2 \, \text{N}\)
  • Tension dans le brin mou (\(T_2\)) : \(1500 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_1 &= 1177.2 \, \text{N} + 1500 \, \text{N} \\ &= 2677.2 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La tension dans le brin tendu en régime permanent est \(T_1 \approx 2677.2 \, \text{N}\).

Question 6 : Couple Moteur (\(\tau_s\)) Requis en Régime Permanent

Principe :

Le couple moteur requis en régime permanent est le produit de la tension efficace et du rayon de la poulie motrice.

Rayon de la poulie motrice \(R_p = D_p / 2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tau_s = T_e \times R_p\]
Données spécifiques :
  • Tension efficace (\(T_e\)) : \(1177.2 \, \text{N}\)
  • Diamètre de la poulie motrice (\(D_p\)) : \(0.6 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_p &= 0.6 \, \text{m} / 2 = 0.3 \, \text{m} \\ \tau_s &= 1177.2 \, \text{N} \times 0.3 \, \text{m} \\ &= 353.16 \, \text{N} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le couple moteur requis en régime permanent est \(\tau_s \approx 353.16 \, \text{N} \cdot \text{m}\).

Question 7 : Accélération Linéaire (\(a\)) de la Courroie pendant le Démarrage

Principe :

L'accélération linéaire est constante si le temps de démarrage est spécifié pour atteindre la vitesse nominale à partir de l'arrêt.

Formule(s) utilisée(s) :
\[a = \frac{v}{t_a}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse de la courroie (\(v\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Temps de démarrage (\(t_a\)) : \(5 \, \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a &= \frac{1.5 \, \text{m/s}}{5 \, \text{s}} \\ &= 0.3 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : L'accélération linéaire de la courroie pendant le démarrage est \(a = 0.3 \, \text{m/s}^2\).

Question 8 : Force d'Inertie Linéaire Totale (\(F_i\)) pendant le Démarrage

Principe :

La force d'inertie linéaire totale est la force nécessaire pour accélérer la masse totale en mouvement (courroie + matériau).

Masse totale en mouvement linéaire \(M_{\text{lin}} = M_b + M_{\text{mat}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_i = (M_b + M_{\text{mat}}) \times a\]
Données spécifiques :
  • Masse totale de la courroie (\(M_b\)) : \(1500 \, \text{kg}\)
  • Masse totale du matériau (\(M_{\text{mat}}\)) : \(2500 \, \text{kg}\)
  • Accélération linéaire (\(a\)) : \(0.3 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{lin}} &= 1500 \, \text{kg} + 2500 \, \text{kg} = 4000 \, \text{kg} \\ F_i &= 4000 \, \text{kg} \times 0.3 \, \text{m/s}^2 \\ &= 1200 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : La force d'inertie linéaire totale pendant le démarrage est \(F_i = 1200 \, \text{N}\).

Question 9 : Accélération Angulaire (\(\alpha\)) de la Poulie Motrice

Principe :

L'accélération angulaire de la poulie motrice est liée à l'accélération linéaire de la courroie et au rayon de la poulie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\alpha = \frac{a}{R_p}\]
Données spécifiques :
  • Accélération linéaire (\(a\)) : \(0.3 \, \text{m/s}^2\)
  • Rayon de la poulie motrice (\(R_p\)) : \(0.3 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \alpha &= \frac{0.3 \, \text{m/s}^2}{0.3 \, \text{m}} \\ &= 1 \, \text{rad/s}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 9 : L'accélération angulaire de la poulie motrice est \(\alpha = 1 \, \text{rad/s}^2\).

Question 10 : Couple d'Accélération pour les Masses en Rotation (\(\tau_{\text{rot}}\))

Principe :

Le couple nécessaire pour accélérer les parties rotatives du système d'entraînement (poulie, moteur, réducteur) dépend de leur moment d'inertie total et de l'accélération angulaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tau_{\text{rot}} = J_d \times \alpha\]
Données spécifiques :
  • Moment d'inertie du système d'entraînement (\(J_d\)) : \(25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\)
  • Accélération angulaire (\(\alpha\)) : \(1 \, \text{rad/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau_{\text{rot}} &= 25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \times 1 \, \text{rad/s}^2 \\ &= 25 \, \text{N} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 10 : Le couple d'accélération pour les masses en rotation est \(\tau_{\text{rot}} = 25 \, \text{N} \cdot \text{m}\).

Question 11 : Couple Total de Démarrage (\(\tau_{\text{start}}\))

Principe :

Le couple total de démarrage est la somme du couple requis en régime permanent (pour vaincre la friction), du couple pour accélérer les masses linéaires, et du couple pour accélérer les masses en rotation.

Couple pour accélérer les masses linéaires \(\tau_{\text{lin}} = F_i \times R_p\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tau_{\text{start}} = \tau_s + (F_i \times R_p) + \tau_{\text{rot}}\]
Données spécifiques :
  • Couple en régime permanent (\(\tau_s\)) : \(353.16 \, \text{N} \cdot \text{m}\)
  • Force d'inertie linéaire (\(F_i\)) : \(1200 \, \text{N}\)
  • Rayon de la poulie motrice (\(R_p\)) : \(0.3 \, \text{m}\)
  • Couple d'accélération des masses en rotation (\(\tau_{\text{rot}}\)) : \(25 \, \text{N} \cdot \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau_{\text{lin}} &= 1200 \, \text{N} \times 0.3 \, \text{m} = 360 \, \text{N} \cdot \text{m} \\ \tau_{\text{start}} &= 353.16 \, \text{N} \cdot \text{m} + 360 \, \text{N} \cdot \text{m} + 25 \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &= 738.16 \, \text{N} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 11 : Le couple total de démarrage est \(\tau_{\text{start}} \approx 738.16 \, \text{N} \cdot \text{m}\).

Question 12 : Puissance du Moteur (\(P_s\)) Requise en Régime Permanent

Principe :

La puissance requise par le moteur en régime permanent est le produit du couple moteur en régime permanent et de la vitesse angulaire de la poulie motrice.

Vitesse angulaire \(\omega = v / R_p\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_s = \tau_s \times \omega = \tau_s \times \frac{v}{R_p}\]
Données spécifiques :
  • Couple en régime permanent (\(\tau_s\)) : \(353.16 \, \text{N} \cdot \text{m}\)
  • Vitesse de la courroie (\(v\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Rayon de la poulie motrice (\(R_p\)) : \(0.3 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= \frac{1.5 \, \text{m/s}}{0.3 \, \text{m}} = 5 \, \text{rad/s} \\ P_s &= 353.16 \, \text{N} \cdot \text{m} \times 5 \, \text{rad/s} \\ &= 1765.8 \, \text{W} \end{aligned} \]

Conversion en kW : \(P_s \approx 1.77 \, \text{kW}\)

Résultat Question 12 : La puissance du moteur requise en régime permanent est \(P_s \approx 1.77 \, \text{kW}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La tension efficace (\(T_e\)) dans un convoyeur à bande est principalement nécessaire pour :

2. Le couple de démarrage d'un convoyeur est généralement plus élevé que le couple en régime permanent à cause :

3. Si la vitesse de la courroie augmente, la puissance requise en régime permanent (pour un même couple résistant) :

Glossaire

Convoyeur à Bande
Système de transport continu de matériaux utilisant une bande mobile supportée par des rouleaux et entraînée par des poulies.
Tension de Courroie (\(T_1, T_2, T_e\))
\(T_1\) est la tension dans le brin tendu (côté moteur), \(T_2\) est la tension dans le brin mou (côté retour). \(T_e = T_1 - T_2\) est la tension efficace, nécessaire pour vaincre les résistances au mouvement.
Poulie Motrice
Poulie qui transmet la puissance du moteur à la courroie pour la mettre en mouvement.
Moment d'Inertie (\(J\))
Mesure de la résistance d'un corps à un changement de sa vitesse de rotation. Unité : \(\text{kg} \cdot \text{m}^2\).
Couple (\(\tau\))
Mesure de la capacité d'une force à provoquer une rotation autour d'un axe. Unité : Newton-mètre (\(\text{N} \cdot \text{m}\)).
Puissance (\(P\))
Quantité d'énergie transférée ou convertie par unité de temps. Pour un mouvement de rotation, \(P = \tau \times \omega\). Unité : Watt (W) ou kilowatt (kW).
Régime Permanent
État de fonctionnement où les vitesses et les forces sont constantes dans le temps (après la phase de démarrage).
Force d'Inertie
Force apparente qui s'oppose à l'accélération d'une masse (\(F = m \cdot a\)).
Analyse Dynamique d’un Système de Convoyage - Exercice d'Application

D’autres exercices d’ingénierie mécanique:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *