Études de cas pratique

EGC

Étude de la Réponse Spectrale d’une Structure

Étude de la Réponse Spectrale d’une Structure

Étude de la Réponse Spectrale d’une Structure

Comprendre l'Étude de la Réponse Spectrale d’une Structure

L'étude de la réponse spectrale est une méthode fondamentale en ingénierie sismique pour évaluer le comportement des structures soumises à des tremblements de terre. Un spectre de réponse représente graphiquement la réponse maximale (en termes de déplacement, vitesse ou accélération) d'une série d'oscillateurs simples à un degré de liberté (SDOF), chacun ayant une période propre et un amortissement donnés, lorsqu'ils sont soumis à un mouvement sismique spécifique du sol. En connaissant la période propre et l'amortissement d'une structure réelle, on peut utiliser le spectre de réponse de calcul (défini par les normes parasismiques) pour estimer les efforts sismiques maximaux (forces, déplacements) que la structure est susceptible de subir. Cela permet de dimensionner la structure pour qu'elle résiste de manière adéquate aux séismes.

Données de l'étude

On étudie un portique simple en béton armé, modélisé comme un système à un degré de liberté, pour évaluer sa réponse à un séisme de calcul.

Caractéristiques de la structure :

  • Masse de la structure (\(m\)) : \(200 \, \text{tonnes} = 200\,000 \, \text{kg}\)
  • Raideur latérale de la structure (\(k\)) : \(80\,000 \, \text{kN/m} = 80 \times 10^6 \, \text{N/m}\)
  • Amortissement de la structure (\(\xi\)) : \(5\%\) de l'amortissement critique (\(\xi = 0.05\))

Spectre de réponse de calcul (accélération élastique normalisée \(S_a(T)/g\)) :

Le spectre est donné par les points suivants (pour \(\xi = 5\%\)). L'accélération de la pesanteur \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\).

Période \(T\) (s) \(S_a(T)/g\)
0.01.00
0.12.50
0.22.50
0.32.50
0.42.50
0.52.20
0.61.90
0.71.65
0.81.45
1.01.10
1.50.70
2.00.50

Pour les périodes intermédiaires, on utilisera une interpolation linéaire si nécessaire, ou la valeur la plus proche si la période calculée tombe exactement sur une valeur tabulée.

Schéma : Structure SDOF et Spectre de Réponse
Masse (m) Raideur (k) Sol (Mouvement sismique) \(\xi\) Structure SDOF T (s) Sa(T)/g \(T_n\) \(S_a(T_n)/g\) Spectre de Réponse

Modèle SDOF d'une structure et un exemple de spectre de réponse en accélération.

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation propre non amortie (\(\omega_n\)) de la structure en rad/s.
  2. Calculer la période propre non amortie (\(T_n\)) de la structure en secondes.
  3. En utilisant le tableau du spectre de réponse fourni, déterminer l'accélération spectrale normalisée \(S_a(T_n)/g\) pour la structure. Si la période \(T_n\) tombe entre deux valeurs tabulées, utiliser l'interpolation linéaire.
  4. Calculer l'accélération spectrale absolue \(S_a(T_n)\) en \(\text{m/s}^2\).
  5. Calculer le déplacement spectral pseudo-absolu (\(S_d(T_n)\)) en mètres. (Approximation : \(S_d(T_n) \approx S_a(T_n) / \omega_n^2\)).
  6. Calculer la force sismique maximale (effort tranchant à la base, \(F_b\)) agissant sur la structure en kN.
  7. Estimer le déplacement maximal au sommet de la structure (\(u_{\text{max}}\)), en supposant qu'il est égal au déplacement spectral \(S_d(T_n)\) pour un système SDOF.

Correction : Étude de la Réponse Spectrale d’une Structure

Question 1 : Pulsation propre non amortie (\(\omega_n\))

Principe :

La pulsation propre non amortie (\(\omega_n\)) d'un système masse-ressort est déterminée par la racine carrée du rapport entre sa raideur (\(k\)) et sa masse (\(m\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}\]
Données spécifiques :
  • Masse (\(m\)) : \(200\,000 \, \text{kg}\)
  • Raideur (\(k\)) : \(80 \times 10^6 \, \text{N/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega_n &= \sqrt{\frac{80 \times 10^6 \, \text{N/m}}{200\,000 \, \text{kg}}} \\ &= \sqrt{400 \, \text{s}^{-2}} \\ &= 20 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pulsation propre non amortie est \(\omega_n = 20 \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Période propre non amortie (\(T_n\))

Principe :

La période propre non amortie (\(T_n\)) est l'inverse de la fréquence propre, et est reliée à la pulsation propre par la formule \(T_n = 2\pi / \omega_n\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_n = \frac{2\pi}{\omega_n}\]
Données spécifiques :
  • Pulsation propre (\(\omega_n\)) : \(20 \, \text{rad/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_n &= \frac{2\pi}{20 \, \text{rad/s}} \\ &\approx \frac{6.28318}{20} \, \text{s} \\ &\approx 0.314159 \, \text{s} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(T_n \approx 0.314 \, \text{s}\).

Résultat Question 2 : La période propre non amortie est \(T_n \approx 0.314 \, \text{s}\).

Question 3 : Accélération spectrale normalisée \(S_a(T_n)/g\)

Principe :

On utilise la période propre calculée (\(T_n \approx 0.314 \, \text{s}\)) pour trouver la valeur correspondante de \(S_a(T_n)/g\) dans le tableau fourni. Comme \(0.314 \, \text{s}\) est entre \(0.3 \, \text{s}\) et \(0.4 \, \text{s}\), où \(S_a(T)/g = 2.50\) pour les deux points, l'interpolation n'est pas strictement nécessaire ici, mais nous allons la montrer pour la forme.

Points pour l'interpolation : \( (T_A, Y_A) = (0.3 \, \text{s}, 2.50) \) et \( (T_B, Y_B) = (0.4 \, \text{s}, 2.50) \). La valeur à interpoler est pour \(T_n = 0.314 \, \text{s}\).

Formule(s) utilisée(s) (Interpolation linéaire) :
\[Y(T) = Y_A + (Y_B - Y_A) \frac{T - T_A}{T_B - T_A}\]
Données spécifiques :
  • \(T_A = 0.3 \, \text{s}\), \(Y_A = S_a(T_A)/g = 2.50\)
  • \(T_B = 0.4 \, \text{s}\), \(Y_B = S_a(T_B)/g = 2.50\)
  • \(T_n = 0.314 \, \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_a(T_n)/g &= 2.50 + (2.50 - 2.50) \frac{0.314 - 0.3}{0.4 - 0.3} \\ &= 2.50 + (0) \frac{0.014}{0.1} \\ &= 2.50 \end{aligned} \]

Comme attendu, puisque la valeur est constante sur cet intervalle, le résultat de l'interpolation est 2.50.

Résultat Question 3 : L'accélération spectrale normalisée est \(S_a(T_n)/g = 2.50\).

Question 4 : Accélération spectrale absolue \(S_a(T_n)\)

Principe :

L'accélération spectrale absolue est obtenue en multipliant la valeur normalisée par l'accélération de la pesanteur \(g\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_a(T_n) = (S_a(T_n)/g) \times g\]
Données spécifiques :
  • \(S_a(T_n)/g = 2.50\)
  • \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_a(T_n) &= 2.50 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 24.525 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'accélération spectrale absolue est \(S_a(T_n) \approx 24.53 \, \text{m/s}^2\).

Question 5 : Déplacement spectral pseudo-absolu (\(S_d(T_n)\))

Principe :

Le déplacement spectral pseudo-absolu \(S_d\) est relié à l'accélération spectrale pseudo-absolue \(S_a\) et à la pulsation propre \(\omega_n\) par la relation \(S_d(T_n) \approx S_a(T_n) / \omega_n^2\). Cette approximation est couramment utilisée en ingénierie sismique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_d(T_n) \approx \frac{S_a(T_n)}{\omega_n^2}\]
Données spécifiques :
  • \(S_a(T_n) = 24.525 \, \text{m/s}^2\)
  • \(\omega_n = 20 \, \text{rad/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_d(T_n) &\approx \frac{24.525 \, \text{m/s}^2}{(20 \, \text{rad/s})^2} \\ &= \frac{24.525 \, \text{m/s}^2}{400 \, \text{s}^{-2}} \\ &\approx 0.0613125 \, \text{m} \end{aligned} \]

Soit environ \(61.3 \, \text{mm}\).

Résultat Question 5 : Le déplacement spectral pseudo-absolu est \(S_d(T_n) \approx 0.0613 \, \text{m}\) (ou \(61.3 \, \text{mm}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la période propre \(T_n\) de la structure était plus grande (structure plus souple), et en supposant qu'on se trouve sur la branche descendante du spectre d'accélération, \(S_a(T_n)\) aurait tendance à :

Question 6 : Force sismique maximale (effort tranchant à la base, \(F_b\))

Principe :

La force sismique maximale (ou effort tranchant à la base) pour un système SDOF est le produit de la masse de la structure et de son accélération spectrale absolue.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_b = m \times S_a(T_n)\]
Données spécifiques :
  • Masse (\(m\)) : \(200\,000 \, \text{kg}\)
  • Accélération spectrale (\(S_a(T_n)\)) : \(24.525 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_b &= 200\,000 \, \text{kg} \times 24.525 \, \text{m/s}^2 \\ &= 4\,905\,000 \, \text{N} \\ &= 4905 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La force sismique maximale (effort tranchant à la base) est \(F_b = 4905 \, \text{kN}\).

Question 7 : Déplacement maximal au sommet (\(u_{\text{max}}\))

Principe :

Pour un système à un degré de liberté (SDOF), le déplacement maximal au sommet de la structure est directement donné par le déplacement spectral pseudo-absolu \(S_d(T_n)\) calculé à la question précédente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[u_{\text{max}} = S_d(T_n)\]
Données spécifiques :
  • Déplacement spectral (\(S_d(T_n)\)) : \(0.0613125 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ u_{\text{max}} \approx 0.0613 \, \text{m} \]

Soit \(61.3 \, \text{mm}\).

Résultat Question 7 : Le déplacement maximal estimé au sommet de la structure est \(u_{\text{max}} \approx 0.0613 \, \text{m}\) (ou \(61.3 \, \text{mm}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la structure était plus rigide (k plus grand) mais avec la même masse, sa période propre \(T_n\) serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un spectre de réponse en accélération représente :

2. La période propre (\(T_n\)) d'une structure dépend principalement de :

3. L'effort tranchant à la base (\(F_b\)) d'une structure SDOF est estimé par :

Glossaire

Réponse Spectrale (Spectral Response)
Graphique représentant la réponse maximale (déplacement, vitesse ou accélération) d'une famille d'oscillateurs à un degré de liberté (SDOF) de différentes périodes propres, soumis à un mouvement sismique donné.
Spectre d'Accélération (\(S_a\))
Spectre de réponse qui trace l'accélération maximale de l'oscillateur en fonction de sa période propre.
Spectre de Déplacement (\(S_d\))
Spectre de réponse qui trace le déplacement maximal de l'oscillateur par rapport à sa base, en fonction de sa période propre.
Période Propre (\(T_n\))
Temps nécessaire à une structure pour effectuer une oscillation complète lorsqu'elle vibre librement. Elle dépend de la masse et de la raideur de la structure.
Pulsation Propre (\(\omega_n\))
Fréquence angulaire de l'oscillation libre non amortie, reliée à la période par \(\omega_n = 2\pi/T_n\). Unité : rad/s.
Masse (\(m\))
Quantité de matière d'une structure, pertinente pour son inertie.
Raideur (\(k\))
Résistance d'une structure à la déformation. Force nécessaire pour produire un déplacement unitaire.
Amortissement (\(\xi\))
Propriété d'un système qui dissipe l'énergie vibratoire, réduisant l'amplitude des oscillations. Exprimé souvent en pourcentage de l'amortissement critique.
Degré de Liberté (DDL)
Nombre de coordonnées indépendantes nécessaires pour décrire complètement la position d'un système dynamique. Un système SDOF a un seul degré de liberté.
Force Sismique / Effort Tranchant à la Base (\(F_b\))
Force latérale totale équivalente que le séisme exerce à la base de la structure, utilisée pour le dimensionnement.
Interpolation Linéaire
Méthode d'estimation d'une valeur inconnue située entre deux valeurs connues, en supposant une relation linéaire entre les points.
Étude de la Réponse Spectrale d’une Structure - Exercice d'Application

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