Études de cas pratique

EGC

Calcul du Coefficient de Puissance d’une Éolienne

Calcul du Coefficient de Puissance d’une Éolienne (Énergies Renouvelables)

Calcul du Coefficient de Puissance d’une Éolienne

Comprendre le Coefficient de Puissance et la Limite de Betz

L'énergie éolienne est une forme d'énergie renouvelable qui exploite l'énergie cinétique du vent. Une éolienne convertit cette énergie cinétique en énergie mécanique par la rotation de ses pales, puis en énergie électrique via un alternateur. Cependant, toute l'énergie cinétique du vent traversant la surface balayée par le rotor ne peut pas être convertie. Le physicien Albert Betz a démontré en 1919 qu'il existe une limite théorique à la fraction d'énergie qu'une éolienne peut extraire du vent. Cette limite, connue sous le nom de limite de Betz, stipule qu'une éolienne idéale ne peut capter au maximum que \(16/27\) (soit environ 59.3%) de l'énergie cinétique du vent. Le coefficient de puissance (\(C_p\)) d'une éolienne est le rapport entre la puissance mécanique réellement extraite par le rotor et la puissance totale disponible dans le vent traversant la surface balayée par ce rotor. Ce \(C_p\) est donc toujours inférieur à la limite de Betz en raison des imperfections aérodynamiques et des choix de conception.

Données de l'étude

On étudie une éolienne pour laquelle on a mesuré la puissance mécanique extraite par le rotor à une certaine vitesse de vent.

Caractéristiques de l'éolienne et conditions de vent :

  • Diamètre du rotor (\(D\)) : \(100 \, \text{m}\)
  • Vitesse du vent incidente (amont, \(V_1\)) : \(12 \, \text{m/s}\)
  • Masse volumique de l'air (\(\rho_{\text{air}}\)) : \(1.225 \, \text{kg/m}^3\)
  • Puissance mécanique mesurée sur l'arbre du rotor (\(P_{\text{meca,rotor}}\)) : \(2.1 \, \text{MW}\) (Mégawatts)
Schéma : Éolienne et Puissance du Vent
Éolienne et Extraction d'Énergie {/* */} Vent Incident (P_vent) Vent Ralenti (P_aval) {/* */} Rotor (Surface A) P_meca extraite {/* */} V1 V2 (< V1)

Illustration de la puissance du vent traversant le rotor et de la puissance mécanique extraite.

Questions à traiter

  1. Calculer la surface balayée par le rotor de l'éolienne (\(A_{\text{rotor}}\)).
  2. Calculer la puissance cinétique du vent (\(P_{\text{vent}}\)) qui traverse la surface balayée par le rotor.
  3. Calculer le coefficient de puissance (\(C_p\)) de cette éolienne dans les conditions données.
  4. Comparer le \(C_p\) calculé à la limite de Betz et commenter la performance de l'éolienne.

Correction : Performance Éolienne selon la Limite de Betz

Question 1 : Surface Balayée par le Rotor (\(A_{\text{rotor}}\))

Principe :

La surface balayée par un rotor d'éolienne à axe horizontal est un disque. Son aire est calculée à partir du diamètre \(D\) du rotor (ou de son rayon \(R = D/2\)) en utilisant la formule de l'aire d'un cercle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_{\text{rotor}} = \pi R^2 = \frac{\pi D^2}{4} \]
Données spécifiques :
  • Diamètre du rotor (\(D\)) : \(100 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\text{rotor}} &= \frac{\pi (100 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 10000 \, \text{m}^2}{4} \\ &= 2500 \pi \, \text{m}^2 \\ &\approx 7853.98 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Arrondissons à \(A_{\text{rotor}} \approx 7854 \, \text{m}^2\).

Résultat Question 1 : La surface balayée par le rotor est \(A_{\text{rotor}} \approx 7854 \, \text{m}^2\).

Question 2 : Puissance Cinétique du Vent Interceptée (\(P_{\text{vent}}\))

Principe :

La puissance cinétique totale (\(P_{\text{vent}}\)) disponible dans le vent qui traverse la surface balayée par le rotor est donnée par la formule \(P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \rho_{\text{air}} A_{\text{rotor}} V_1^3\). Cette formule exprime l'énergie cinétique du volume d'air passant à travers le disque du rotor par unité de temps.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \rho_{\text{air}} A_{\text{rotor}} V_1^3 \]
Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'air (\(\rho_{\text{air}}\)) : \(1.225 \, \text{kg/m}^3\)
  • Surface balayée (\(A_{\text{rotor}}\)) : \(\approx 7853.98 \, \text{m}^2\) (valeur non arrondie de Q1)
  • Vitesse du vent (\(V_1\)) : \(12 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_1^3 &= (12 \, \text{m/s})^3 = 1728 \, \text{m}^3\text{/s}^3 \\ P_{\text{vent}} &= \frac{1}{2} \times 1.225 \, \text{kg/m}^3 \times 7853.98 \, \text{m}^2 \times 1728 \, \text{m}^3\text{/s}^3 \\ &\approx 0.6125 \times 7853.98 \times 1728 \, \text{W} \\ &\approx 4810.55 \times 1728 \, \text{W} \\ &\approx 8312630.4 \, \text{W} \end{aligned} \]

Soit \(P_{\text{vent}} \approx 8312.6 \, \text{kW}\) ou \(8.313 \, \text{MW}\).

Résultat Question 2 : La puissance cinétique du vent interceptée par le rotor est \(P_{\text{vent}} \approx 8312.6 \, \text{kW}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la masse volumique de l'air \(\rho_{\text{air}}\) diminue (par exemple, en altitude ou par temps chaud), la puissance cinétique du vent, pour une même vitesse et surface de rotor, va :

Question 3 : Calcul du Coefficient de Puissance (\(C_p\))

Principe :

Le coefficient de puissance (\(C_p\)) est une mesure de l'efficacité aérodynamique d'une éolienne à convertir la puissance du vent en puissance mécanique sur l'arbre du rotor. Il est défini comme le rapport de la puissance mécanique extraite par le rotor (\(P_{\text{meca,rotor}}\)) à la puissance cinétique totale du vent disponible traversant la surface balayée par le rotor (\(P_{\text{vent}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C_p = \frac{P_{\text{meca,rotor}}}{P_{\text{vent}}} \]
Données spécifiques :
  • Puissance mécanique mesurée (\(P_{\text{meca,rotor}}\)) : \(2.1 \, \text{MW} = 2100000 \, \text{W}\)
  • Puissance du vent (\(P_{\text{vent}}\)) : \(\approx 8312630.4 \, \text{W}\) (valeur non arrondie de Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_p &= \frac{2100000 \, \text{W}}{8312630.4 \, \text{W}} \\ &\approx 0.25261 \end{aligned} \]

Arrondissons à \(C_p \approx 0.253\).

Résultat Question 3 : Le coefficient de puissance de cette éolienne dans ces conditions est \(C_p \approx 0.253\) (soit 25.3%).

Question 4 : Comparaison du \(C_p\) Calculé à la Limite de Betz

Principe :

La limite de Betz énonce que le coefficient de puissance maximal théorique qu'une éolienne peut atteindre est \(C_{p,\text{max}} = 16/27 \approx 0.5926\). On compare le \(C_p\) réel de l'éolienne (calculé à la question précédente) à cette valeur théorique pour évaluer sa performance aérodynamique par rapport au maximum possible.

Comparaison et Commentaire :

Nous avons calculé un \(C_p\) réel d'environ 0.253.

La limite de Betz est \(C_{p,\text{max}} \approx 0.593\).

Comparaison : \(0.253 < 0.593\).

Commentaire : Le coefficient de puissance calculé (\(C_p \approx 0.253\)) est nettement inférieur à la limite de Betz. Les éoliennes modernes performantes ont des \(C_p\) qui se situent généralement entre 0.35 et 0.50. Un \(C_p\) de 0.253 pourrait indiquer plusieurs choses :

  • L'éolienne n'est peut-être pas optimisée pour la vitesse de vent de \(12 \, \text{m/s}\) (sa courbe de \(C_p\) en fonction de la vitesse du vent pourrait avoir son maximum à une autre vitesse).
  • Il pourrait s'agir d'une éolienne plus ancienne ou d'une conception moins performante.
  • Les données de puissance mécanique mesurée pourraient être sous-estimées ou les conditions de mesure non idéales.

Il est important de noter que le \(C_p\) donné dans l'énoncé initial (0.45) était une valeur typique pour une éolienne moderne, et le calcul ici visait à le retrouver ou à l'évaluer à partir de mesures. Si le \(C_p\) de 0.45 était la caractéristique de l'éolienne, alors la puissance mécanique mesurée aurait dû être \(P_{\text{meca}} = 0.45 \times 8312.6 \, \text{kW} \approx 3740.7 \, \text{kW}\), ce qui est différent des \(2.1 \, \text{MW}\) donnés. Cela suggère que le \(C_p\) de 0.45 n'est pas celui atteint dans les conditions de mesure données, ou qu'il y a une incohérence dans les données initiales si l'on s'attendait à ce \(C_p\).

En se basant strictement sur la puissance mécanique mesurée de \(2.1 \, \text{MW}\) et la puissance du vent calculée, le \(C_p\) effectif est bien de 0.253. Ce \(C_p\) est relativement bas par rapport aux performances maximales des éoliennes modernes, qui s'approchent davantage de 0.45-0.50.

Résultat Question 4 : Le \(C_p\) calculé de 0.253 est inférieur à la limite de Betz de 0.593. Cela indique que l'éolienne, dans les conditions de mesure spécifiées, convertit 25.3% de l'énergie cinétique du vent disponible en énergie mécanique, ce qui est une performance modeste par rapport au potentiel théorique et aux éoliennes modernes très performantes.

Quiz Intermédiaire 2 : La limite de Betz est une limite théorique due :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le coefficient de puissance (\(C_p\)) d'une éolienne représente :

2. La limite de Betz est une valeur :

3. La puissance disponible dans le vent (\(P_{\text{vent}}\)) est proportionnelle :

Glossaire

Énergie Éolienne
Énergie cinétique du vent convertie en une forme d'énergie utilisable, généralement de l'électricité.
Rotor d'Éolienne
Ensemble des pales et du moyeu d'une éolienne qui captent l'énergie cinétique du vent et la transforment en un mouvement de rotation.
Surface Balayée (\(A_{\text{rotor}}\))
Aire du disque que les pales de l'éolienne décrivent en tournant, perpendiculaire à la direction du vent. C'est la surface qui intercepte le vent.
Puissance Cinétique du Vent (\(P_{\text{vent}}\))
Puissance totale contenue dans le vent qui traverse la surface balayée par le rotor, avant toute extraction par l'éolienne. \(P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \rho_{\text{air}} A_{\text{rotor}} V^3\).
Limite de Betz
Limite théorique maximale de l'énergie cinétique du vent qu'une éolienne (de type à axe horizontal) peut convertir en énergie mécanique. Cette limite est de \(16/27\), soit environ 59.3%.
Coefficient de Puissance (\(C_p\))
Rapport sans dimension entre la puissance mécanique extraite par le rotor de l'éolienne et la puissance cinétique totale du vent traversant la surface balayée par le rotor. \(C_p = P_{\text{meca}} / P_{\text{vent}}\). Il est toujours inférieur à la limite de Betz.
Puissance Mécanique (\(P_{\text{meca}}\))
Puissance de rotation effectivement transmise par le rotor à l'arbre principal de l'éolienne, après extraction d'une partie de l'énergie du vent.
Performance Éolienne et Limite de Betz - Exercice d'Application

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