EGC

Fondation pour bâtiment en zone sismique

Calcul d'une Fondation Superficielle en Zone Sismique

Fondation pour bâtiment en zone sismique

Contexte : Ancrer les structures face aux forces de la Terre.

En ingénierie géotechnique, la conception des fondations est l'étape qui assure la liaison entre un ouvrage et le sol. En zone sismique, cette interface devient critique. Un séisme induit des forces dynamiques, horizontales et verticales, qui sollicitent brutalement le sol et la structure. Une fondation mal dimensionnée peut entraîner des tassements excessifs, des basculements ou une rupture du sol, menant à l'effondrement de l'ouvrage. Cet exercice, basé sur les principes de l'Eurocode 8Norme européenne pour le calcul des structures pour leur résistance aux séismes. Elle définit les actions sismiques à considérer et les règles de vérification pour les bâtiments et ouvrages de génie civil., vous guidera dans la vérification de la stabilité d'une semelle filante sous un bâtiment.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la transition d'une analyse statique classique (calcul de la capacité portante sous charges de gravité) à une analyse pseudo-statique sismique. Nous allons quantifier l'effet d'un séisme sur les charges appliquées à la fondation et vérifier que le sol peut supporter ces sollicitations exceptionnelles. C'est une compétence fondamentale pour tout ingénieur structure ou géotechnicien travaillant dans des régions à risque.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la capacité portante d'une fondation superficielle selon l'Eurocode 7.
  • Déterminer les efforts de calcul (verticaux et horizontaux) sous une combinaison d'actions sismique (Eurocode 8).
  • Vérifier la stabilité de la fondation vis-à-vis du poinçonnement du sol en situation sismique.
  • Vérifier la stabilité de la fondation vis-à-vis du glissement sur le sol.
  • Comprendre l'interaction entre les propriétés du sol, la géométrie de la fondation et l'aléa sismique.

Données de l'étude

On étudie la fondation d'un petit bâtiment d'habitation (Classe d'importance II) situé à Nice (Zone de sismicité 4 en France). Les fondations sont des semelles filantes en béton armé. Le sol de fondation est un sable argileux homogène (Classe de sol C).

Schéma de la fondation et des sollicitations
Sol (c', φ') G, Q F_h B = 1.2 m D=1.0m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Charge permanente (par ml) \(G_{\text{k}}\) 150 \(\text{kN/ml}\)
Charge d'exploitation (par ml) \(Q_{\text{k}}\) 50 \(\text{kN/ml}\)
Largeur de la semelle \(B\) 1.2 \(\text{m}\)
Profondeur d'ancrage \(D\) 1.0 \(\text{m}\)
Poids volumique du sol \(\gamma\) 18 \(\text{kN/m}^3\)
Cohésion effective du sol \(c'\) 10 \(\text{kPa}\)
Angle de frottement effectif \(\phi'\) 25 \(^\circ\)
Accélération de référence (Zone 4) \(a_{\text{gR}}\) 3.0 \(\text{m/s}^2\)
Coefficient d'importance (Cl. II) \(\gamma_{\text{I}}\) 1.0 -

Questions à traiter

  1. Calculer la capacité portante de calcul du sol \(R_{\text{d}}\) sous charges statiques (Approche 2 de l'EC7).
  2. Déterminer l'effort vertical de calcul \(V_{\text{Ed}}\) et l'effort horizontal de calcul \(H_{\text{Ed}}\) sous la combinaison d'action sismique.
  3. Vérifier la capacité portante de la fondation sous sollicitations sismiques.
  4. Vérifier la résistance au glissement de la fondation en situation sismique.

Les bases de la Géotechnique Sismique

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés.

1. Capacité Portante (Eurocode 7) :
C'est la pression maximale que le sol peut supporter avant de rompre. Pour une semelle filante, la formule générale est : \[ q_{\text{ult}} = c'N_c + q'N_q + \frac{1}{2}\gamma' B N_\gamma \] Où \(N_c, N_q, N_\gamma\) sont des facteurs de portance dépendant de l'angle de frottement \(\phi'\). On applique ensuite des coefficients partiels pour obtenir la résistance de calcul \(R_{\text{d}}\).

2. Action Sismique (Eurocode 8) :
Le séisme est modélisé par une force horizontale \(F_h\) appliquée au centre de gravité de la structure. Cette force est proportionnelle à la masse du bâtiment et à l'accélération sismique de calcul \(a_g\). \[ F_h = S_d(T_1) \cdot m \cdot \lambda \] Pour simplifier, l'Eurocode 8 donne des forces sismiques équivalentes. L'action sismique induit aussi un effort vertical, souvent pris comme \(\pm 0.5 \cdot F_h\).

3. Combinaison d'Actions Sismique :
Pour vérifier la fondation, on utilise une combinaison de charges spécifique qui inclut les forces sismiques. La plus courante est : \[ G_{\text{k}} + \psi_{2,i} Q_{\text{k}} + A_{\text{Ed}} \] Où \(A_{\text{Ed}}\) représente les efforts dus au séisme (horizontaux et verticaux), et \(\psi_{2,i}\) est un facteur qui réduit la charge d'exploitation (on ne considère pas que le séisme arrive quand le bâtiment est chargé au maximum).

Correction : Fondation pour bâtiment en zone sismique

Question 1 : Calculer la capacité portante statique

Principe (le concept physique)

La capacité portante représente la résistance du sol au poinçonnement. Quand on charge la fondation, elle s'enfonce en mobilisant la résistance du sol sous sa base et sur les côtés. La formule de Terzaghi (reprise dans les Eurocodes) modélise ce phénomène en trois termes : la contribution de la cohésion (\(c'\)), la contribution de la surcharge à côté de la fondation (\(q'\)), et la contribution du poids du sol directement sous la fondation (\(\gamma\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les facteurs de portance \(N_q\), \(N_c\), et \(N_\gamma\) sont des coefficients adimensionnels issus de la théorie de la plasticité. Ils décrivent la forme et la taille du "coin" de sol qui est mobilisé sous la fondation lors de la rupture. Ils ne dépendent que de l'angle de frottement interne \(\phi'\). L'Eurocode 7 fournit des formules pour les calculer précisément.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la capacité portante comme à la force que vous pouvez exercer sur du sable avec votre pied. Si vous appuyez doucement sur une grande surface (avec la plante du pied), le sable tient. Si vous appuyez fort sur une petite surface (avec votre talon), il s'enfonce. La formule de portance quantifie exactement cela : elle met en relation la charge, la surface (B), et la résistance du 'sable' (c', φ').

Normes (la référence réglementaire)

Nous utilisons l'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) - Annexe D. L'Approche de Calcul 2 (AC2) est utilisée en France pour les fondations superficielles. Elle consiste à appliquer des facteurs partiels sur les résistances (\(\gamma_{\text{R}}\)). Pour la capacité portante, \(\gamma_{\text{R,v}} = 1.4\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Facteurs de portance (Prandtl, Caquot-Kérisel) :

\[ N_q = e^{\pi \tan\phi'} \tan^2(45^\circ + \phi'/2) \]
\[ N_c = (N_q - 1) \cot\phi' \]
\[ N_\gamma = 2(N_q - 1) \tan\phi' \]

Résistance de calcul (par mètre linéaire) :

\[ R_{\text{d}} = \frac{A' \cdot (c'N_c + q'N_q + 0.5\gamma B N_\gamma)}{\gamma_{\text{R,v}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la fondation est une semelle filante (L >> B), que la charge est centrée, et que le sol est homogène. La nappe phréatique est supposée profonde (pas d'influence sur \(\gamma\)).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Angle de frottement, \(\phi' = 25^\circ\)
  • Cohésion, \(c' = 10 \, \text{kPa} = 10 \, \text{kN/m}^2\)
  • Poids volumique, \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Largeur, \(B = 1.2 \, \text{m}\)
  • Profondeur, \(D = 1.0 \, \text{m}\)
  • Facteur partiel, \(\gamma_{\text{R,v}} = 1.4\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les calculs, assurez-vous que votre calculatrice est en mode degrés pour les fonctions trigonométriques. La surcharge \(q'\) est simplement le poids des terres à côté de la fondation : \(q' = \gamma \cdot D\).

Schéma (Avant les calculs)
Mécanisme de Rupture par Poinçonnement
Coin (Nγ)Butée (Nq, Nc)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des facteurs de portance pour \(\phi' = 25^\circ\) :

\[ N_q = e^{\pi \tan 25^\circ} \tan^2(45^\circ + 25^\circ/2) \approx 10.66 \]
\[ N_c = (10.66 - 1) \cot 25^\circ \approx 20.72 \]
\[ N_\gamma = 2(10.66 - 1) \tan 25^\circ \approx 9.01 \]

2. Calcul de la surcharge \(q'\) :

\[ \begin{aligned} q' &= \gamma \cdot D \\ &= 18 \, \text{kN/m}^3 \cdot 1.0 \, \text{m} \\ &= 18 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

3. Calcul de la résistance de calcul \(R_{\text{d}}\) (pour 1m de longueur, A'=B*1m) :

\[ \begin{aligned} R_{\text{d}} &= \frac{1.2 \cdot (10 \cdot 20.72 + 18 \cdot 10.66 + 0.5 \cdot 18 \cdot 1.2 \cdot 9.01)}{1.4} \\ &= \frac{1.2 \cdot (207.2 + 191.88 + 97.31)}{1.4} \\ &= \frac{1.2 \cdot (496.39)}{1.4} \\ &= \frac{595.67}{1.4} \\ &\approx 425.4 \, \text{kN/ml} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Capacité Portante Statique
Capacité du solR_d = 425 kN/ml
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La fondation peut supporter une charge verticale de 425 kN par mètre linéaire avant que le sol ne cède. C'est notre référence. Nous allons maintenant la comparer aux charges appliquées, y compris celles du séisme.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux unités ! Tous les calculs doivent être cohérents. Utiliser des kN et des mètres est le plus simple en géotechnique. Une erreur fréquente est de mal calculer \(N_c\) ou d'oublier le facteur 0.5 dans le terme en \(N_\gamma\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La capacité portante dépend de la cohésion, du frottement et du poids du sol.
  • L'Eurocode 7 impose l'utilisation de facteurs de sécurité partiels (\(\gamma_{\text{R,v}}\)).
  • Le calcul se fait en 3 étapes : facteurs de portance, surcharge, puis application de la formule complète.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La Tour de Pise penche à cause d'un tassement différentiel dû à une capacité portante insuffisante d'une couche d'argile molle située en profondeur. Les ingénieurs modernes ont réussi à stabiliser la tour en extrayant soigneusement du sol sous la partie la moins tassée, la faisant pivoter pour réduire son inclinaison.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on c' et φ' (paramètres effectifs) ?

Les paramètres effectifs décrivent le comportement à long terme du squelette solide du sol, indépendamment de la pression de l'eau. Pour les analyses de capacité portante, qui représentent une rupture à long terme, ce sont les paramètres les plus pertinents, surtout pour les sols granulaires ou mixtes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La capacité portante de calcul statique de la fondation est \(R_{\text{d}} = 425.4 \, \text{kN/ml}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la cohésion c' était nulle (sable pur), quelle serait la nouvelle capacité portante Rd (kN/ml) ?

Simulateur 3D : Mécanisme de Poinçonnement

Profondeur du mécanisme : OK

Question 2 : Déterminer les efforts de calcul sismiques

Principe (le concept physique)

Lors d'un séisme, le sol bouge et la structure, par son inertie, tend à rester sur place. Cela crée une force à la base du bâtiment, proportionnelle à sa masse et à l'accélération du sol. Cette force est principalement horizontale (\(H_{\text{Ed}}\)), mais elle génère aussi des variations de l'effort vertical (\(V_{\text{Ed}}\)) par effet de basculement (moment renversant).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La combinaison d'actions sismique fondamentale de l'Eurocode est : \(\sum G_{\text{k,j}} \text{ "+" } \sum \psi_{2,i} Q_{\text{k,i}} \text{ "+" } A_{\text{Ed}}\). Le terme \(\psi_2\) (ici 0.3 pour les bâtiments résidentiels) traduit la faible probabilité d'avoir simultanément le séisme de projet et la totalité des charges d'exploitation. La masse sismique est donc calculée comme \(M = (\sum G_{\text{k}} + \sum \psi_2 Q_{\text{k}}) / g\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous êtes dans un bus qui freine brusquement. Vous êtes projeté en avant. C'est l'inertie. Pour un bâtiment, le 'bus' est la Terre qui bouge, et le bâtiment est le 'passager' qui est 'projeté'. La force sismique \(H_{\text{Ed}}\) est la mesure de cette 'poussée' que la fondation doit retenir pour que le bâtiment ne tombe pas.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 8 (Calcul des structures pour leur résistance aux séismes) et son Annexe Nationale française sont utilisés. Pour un calcul simplifié, on peut estimer la force sismique horizontale comme un pourcentage du poids. Une valeur commune pour des petits bâtiments en zone 4 est de l'ordre de 20-30% du poids sismique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Poids sismique (par ml) :

\[ W_{\text{sis}} = G_{\text{k}} + \psi_2 \cdot Q_{\text{k}} \]

Force horizontale de calcul (simplifiée) :

\[ H_{\text{Ed}} \approx 0.30 \cdot W_{\text{sis}} \]

L'effort vertical de calcul est la part gravitationnelle :

\[ V_{\text{Ed}} = W_{\text{sis}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise une approche simplifiée pour la force horizontale, en considérant un coefficient sismique global de 0.30, représentatif de la zone, du type de sol et de la structure. On néglige l'effet vertical de l'action sismique pour cet exercice simplifié.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge permanente, \(G_{\text{k}} = 150 \, \text{kN/ml}\)
  • Charge d'exploitation, \(Q_{\text{k}} = 50 \, \text{kN/ml}\)
  • Facteur de combinaison, \(\psi_2 = 0.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul de \(W_{\text{sis}}\) est la première étape de tout calcul sismique. Ne confondez pas la charge totale de service (\(G_{\text{k}}+Q_{\text{k}}\)) avec le poids sismique. Le séisme est un événement de courte durée où seule une fraction des charges variables est considérée présente.

Schéma (Avant les calculs)
Charges en Situation Sismique
V_Ed = ?H_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du poids sismique \(W_{\text{sis}}\) :

\[ \begin{aligned} W_{\text{sis}} &= G_{\text{k}} + \psi_2 \cdot Q_{\text{k}} \\ &= 150 \, \text{kN/ml} + 0.3 \cdot 50 \, \text{kN/ml} \\ &= 150 + 15 \\ &= 165 \, \text{kN/ml} \end{aligned} \]

2. L'effort vertical de calcul est donc :

\[ V_{\text{Ed}} = W_{\text{sis}} = 165 \, \text{kN/ml} \]

3. Calcul de la force horizontale de calcul \(H_{\text{Ed}}\) :

\[ \begin{aligned} H_{\text{Ed}} &= 0.30 \cdot W_{\text{sis}} \\ &= 0.30 \cdot 165 \, \text{kN/ml} \\ &= 49.5 \, \text{kN/ml} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Efforts de Calcul Sismiques
V_Ed=165H_Ed=49.5
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le séisme applique une force horizontale de 49.5 kN/ml à la base de la fondation. C'est cette force qui va essayer de faire glisser la fondation et qui, en combinaison avec l'effort vertical, va solliciter la capacité portante du sol de manière plus complexe qu'en statique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur \(\psi_2\) est crucial. Le prendre égal à 1.0 surestimerait la masse sismique et donc la force horizontale, conduisant à un surdimensionnement potentiellement coûteux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La masse sismique est calculée avec une fraction des charges variables (\(G_{\text{k}} + \psi_2 Q_{\text{k}}\)).
  • La force sismique horizontale est une fraction de cette masse.
  • Ces deux efforts, \(V_{\text{Ed}}\) et \(H_{\text{Ed}}\), sont les sollicitations à utiliser pour les vérifications géotechniques.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les gratte-ciels dans les zones très sismiques, comme la Taipei 101 à Taiwan, intègrent un "amortisseur harmonique" (Tuned Mass Damper). C'est une énorme masse (plus de 600 tonnes pour la Taipei 101) suspendue près du sommet. Lors d'un séisme ou de vents violents, cette masse oscille en opposition de phase avec le bâtiment, dissipant l'énergie et réduisant les mouvements de la structure.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette méthode simplifiée est-elle toujours applicable ?

Non. Cette "méthode des forces latérales" est une simplification valable pour les bâtiments réguliers et de faible hauteur. Pour les structures complexes, hautes, ou irrégulières, une "analyse modale spectrale" plus détaillée est requise pour déterminer comment la structure répond aux différentes fréquences du signal sismique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les efforts de calcul en situation sismique sont \(V_{\text{Ed}} = 165 \, \text{kN/ml}\) et \(H_{\text{Ed}} = 49.5 \, \text{kN/ml}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le bâtiment était un entrepôt (\(\psi_2=0.8\)), quel serait le nouvel effort horizontal \(H_{\text{Ed}}\) (kN/ml) ?

Simulateur 3D : Action Sismique sur un Bâtiment

Force Horizontale : 49.5 kN/ml

Question 3 : Vérifier la capacité portante sismique

Principe (le concept physique)

En situation sismique, la force horizontale \(H_{\text{Ed}}\) et le moment qu'elle induit réduisent la capacité portante du sol. La force horizontale incline la résultante des forces, et le moment peut décoller une partie de la semelle, réduisant sa largeur efficace. On doit donc utiliser une formule de capacité portante qui prend en compte ces effets.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'Eurocode 8 permet d'utiliser la formule de capacité portante de l'EC7, mais avec des facteurs de portance et d'inclinaison spécifiques au séisme, ou en appliquant un coefficient réducteur sur la résistance statique. Une approche plus simple consiste à vérifier que la contrainte maximale sous la fondation, en tenant compte de l'excentricité de la charge, ne dépasse pas la capacité portante de calcul. L'excentricité \(e = M/V\). La largeur efficace devient \(B' = B - 2e\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Reprenons l'image du bus. Si vous êtes debout et que le bus freine, non seulement vous êtes poussé en avant, mais vous avez aussi tendance à basculer, en vous appuyant plus fort sur la pointe de vos pieds. C'est l'excentricité. Pour la fondation, c'est pareil : elle 'bascule' et s'appuie sur un 'bord', ce qui concentre l'effort sur une plus petite surface (B') et rend le risque de poinçonnement plus élevé.

Normes (la référence réglementaire)

Selon l'Eurocode 8, la vérification de la portance s'écrit : \(V_{\text{Ed}} \le R_{\text{d}}\). Cependant, \(R_{\text{d}}\) doit être calculé en tenant compte de l'inertie de la masse de sol et de l'inclinaison de la charge. Pour simplifier, on vérifie que la contrainte de calcul ne dépasse pas la résistance du sol. On utilise un facteur partiel \(\gamma_{\text{R,v}} = 1.0\) pour la situation sismique, car c'est une situation accidentelle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Excentricité de la charge (\(H_{\text{Ed}}\) appliquée à 1m au-dessus de la base) :

\[ e = \frac{M_{\text{Ed}}}{V_{\text{Ed}}} = \frac{H_{\text{Ed}} \cdot h}{V_{\text{Ed}}} \]

Largeur efficace de la fondation :

\[ B' = B - 2e \]

Vérification de la résistance (avec \(\gamma_{\text{R,v}}=1.0\)) :

\[ V_{\text{Ed}} \le R_{\text{d,sis}} = \frac{R_{\text{k,statique}}}{1.0} \cdot \left(\frac{B'}{B}\right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la force horizontale sismique est appliquée à une hauteur h = 1.0 m au-dessus de la base de la fondation, créant un moment renversant. La réduction de la capacité portante est proportionnelle à la réduction de la largeur efficace.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Efforts sismiques : \(V_{\text{Ed}} = 165 \, \text{kN/ml}\), \(H_{\text{Ed}} = 49.5 \, \text{kN/ml}\)
  • Hauteur d'application de \(H_{\text{Ed}}\), \(h = 1.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la semelle, \(B = 1.2 \, \text{m}\)
  • Résistance caractéristique statique, \(R_{\text{k}} = R_{\text{d}} \cdot \gamma_{\text{R,v}} = 425.4 \cdot 1.4 = 595.6 \, \text{kN/ml}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une règle de base de l'Eurocode 8 est de s'assurer que l'excentricité reste dans le tiers central de la fondation (\(e \le B/6\)) pour éviter le décollement de la semelle et garantir une transmission des efforts en compression uniquement. C'est la première chose à vérifier.

Schéma (Avant les calculs)
Excentricité de la Charge et Largeur Efficace
V_EdBB' = ?e=?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'excentricité \(e\) :

\[ \begin{aligned} e &= \frac{H_{\text{Ed}} \cdot h}{V_{\text{Ed}}} \\ &= \frac{49.5 \, \text{kN/ml} \cdot 1.0 \, \text{m}}{165 \, \text{kN/ml}} \\ &= 0.3 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Vérification de la non-traction (\(e \le B/6\)) :

\[ \begin{aligned} \frac{B}{6} &= \frac{1.2 \, \text{m}}{6} \\ &= 0.2 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ 0.3 \, \text{m} > 0.2 \, \text{m} \Rightarrow \text{Condition non vérifiée, il y a décollement.} \]

3. Calcul de la largeur efficace \(B'\) :

\[ \begin{aligned} B' &= B - 2e \\ &= 1.2 \, \text{m} - 2 \cdot 0.3 \, \text{m} \\ &= 0.6 \, \text{m} \end{aligned} \]

4. Vérification de la portance :

\[ \begin{aligned} R_{\text{d,sis}} &= R_{\text{k,statique}} \cdot \left(\frac{B'}{B}\right) \\ &= 595.6 \, \text{kN/ml} \cdot \left(\frac{0.6}{1.2}\right) \\ &= 297.8 \, \text{kN/ml} \end{aligned} \]
\[ V_{\text{Ed}} = 165 \, \text{kN/ml} \le R_{\text{d,sis}} = 297.8 \, \text{kN/ml} \Rightarrow \text{OK!} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Portance Sismique
V_Ed=165Résistance Sismique R_d,sis=298OK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Même si la fondation se soulève partiellement (\(e > B/6\)), la largeur restante de 0.6m est suffisante pour supporter la charge verticale sismique de 165 kN/ml (la capacité est de 297.8 kN/ml). La sécurité est donc assurée vis-à-vis du poinçonnement. Cependant, un décollement important n'est généralement pas souhaitable et pourrait nécessiter d'élargir la fondation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de recalculer la résistance avec la largeur efficace B'. Une erreur commune est de comparer V_Ed à la résistance statique R_d, ce qui est incorrect et non sécuritaire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La force horizontale crée un moment qui excentre la charge.
  • L'excentricité réduit la largeur efficace de la fondation (\(B' = B - 2e\)).
  • La capacité portante sismique est réduite en proportion de cette largeur efficace.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Au Japon, une technique de protection parasismique consiste à monter les bâtiments sur des isolateurs sismiques. Ce sont des appuis en caoutchouc et en acier très flexibles horizontalement mais rigides verticalement. Ils "découplent" le bâtiment du sol, empêchant la plupart des vibrations sismiques de se transmettre à la structure.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la vérification n'est pas satisfaite ?

Si \(V_{\text{Ed}} > R_{\text{d,sis}}\), il y a un risque de rupture du sol sous la fondation pendant un séisme. Les solutions sont : 1) Élargir la fondation (augmenter B) pour augmenter la capacité portante et réduire les contraintes. 2) Approfondir la fondation (augmenter D) pour augmenter la surcharge q'. 3) Améliorer le sol sous la fondation (par injection, compactage, etc.).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La capacité portante est vérifiée en situation sismique (\(165 \, \text{kN/ml} \le 297.8 \, \text{kN/ml}\)).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la largeur B était de 1.0 m, la portance serait-elle toujours vérifiée ? (Répondez par 1 pour OUI, 0 pour NON)

Simulateur 3D : Excentricité et Contrainte

Largeur Efficace B' : 0.60 m

Question 4 : Vérifier la résistance au glissement

Principe (le concept physique)

La force sismique horizontale \(H_{\text{Ed}}\) pousse la fondation et essaie de la faire glisser sur le sol. La résistance à ce glissement est assurée par le frottement entre la base de la fondation et le sol. Cette force de frottement est proportionnelle à la force verticale et à un coefficient de frottement qui dépend des caractéristiques du sol.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance au glissement est modélisée par la loi de Coulomb. La force de frottement maximale est \(F_{\text{frot}} = N \cdot \tan(\delta)\), où N est la force normale (\(V_{\text{Ed}}\)) et \(\delta\) est l'angle de frottement interface sol/fondation. On peut aussi y ajouter une composante d'adhérence si le sol est cohésif. La vérification consiste à s'assurer que la force motrice (\(H_{\text{Ed}}\)) est inférieure à la force résistante.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la vérification la plus intuitive. Le séisme pousse le bâtiment horizontalement (\(H_{\text{Ed}}\)). Qu'est-ce qui l'empêche de glisser ? Le frottement sous la semelle, comme lorsque vous essayez de pousser une armoire lourde. Notre calcul vérifie simplement que la 'force de frottement' du sol est plus grande que la 'poussée' du séisme.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 8 (Section 5.4.1.2) stipule que la fondation doit être vérifiée contre le glissement. La condition est \(H_{\text{Ed}} \le R_{\text{d,gliss}}\). La résistance au glissement de calcul est donnée par \(R_{\text{d,gliss}} = (V_{\text{Ed}} \cdot \tan\delta_d + c'_d \cdot A') / \gamma_{\text{R,h}}\). Pour une situation sismique, le facteur partiel \(\gamma_{\text{R,h}}\) est pris égal à 1.0.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance au glissement de calcul (par ml) :

\[ R_{\text{d,gliss}} = \frac{V_{\text{Ed}} \cdot \tan\phi'_{\text{d}} + c'_{\text{d}} \cdot B'}{\gamma_{\text{R,h}}} \]

Avec \(\phi'_{\text{d}} = \phi'\) et \(c'_{\text{d}}=c'\) car les facteurs partiels sur les matériaux sont de 1.0 en sismique. On utilise la largeur efficace B' car seule cette partie est en contact et mobilise la résistance.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'angle de frottement à l'interface sol/béton est égal à l'angle de frottement du sol (\(\delta = \phi'\)). On néglige la butée passive du sol devant la fondation, ce qui est une hypothèse sécuritaire.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Efforts sismiques : \(V_{\text{Ed}} = 165 \, \text{kN/ml}\), \(H_{\text{Ed}} = 49.5 \, \text{kN/ml}\)
  • Largeur efficace, \(B' = 0.6 \, \text{m}\) (du calcul Q3)
  • Propriétés du sol : \(\phi' = 25^\circ\), \(c' = 10 \, \text{kPa}\)
  • Facteur partiel, \(\gamma_{\text{R,h}} = 1.0\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La vérification au glissement est souvent le critère le plus difficile à satisfaire pour les fondations de structures légères en zone sismique forte. Si elle n'est pas vérifiée, les solutions consistent à approfondir la fondation pour mobiliser la butée du sol, ou à la relier à d'autres fondations par des longrines.

Schéma (Avant les calculs)
Forces Agissant sur la Fondation (Glissement)
H_EdR_d,gliss=?
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la résistance au glissement \(R_{\text{d,gliss}}\) :

\[ \begin{aligned} R_{\text{d,gliss}} &= \frac{V_{\text{Ed}} \cdot \tan\phi'_{\text{d}} + c'_{\text{d}} \cdot B'}{\gamma_{\text{R,h}}} \\ &= \frac{165 \cdot \tan(25^\circ) + 10 \cdot 0.6}{1.0} \\ &= 165 \cdot 0.466 + 6.0 \\ &= 76.9 + 6.0 \\ &= 82.9 \, \text{kN/ml} \end{aligned} \]

Vérification :

\[ H_{\text{Ed}} = 49.5 \, \text{kN/ml} \le R_{\text{d,gliss}} = 82.9 \, \text{kN/ml} \Rightarrow \text{OK!} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification du Glissement Sismique
Force H_Ed=49.5Résistance R_d,gliss=82.9OK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La force de frottement mobilisable sous la fondation (82.9 kN/ml) est supérieure à la force sismique qui tente de la déplacer (49.5 kN/ml). Le bâtiment ne glissera pas pendant le séisme. La sécurité est assurée avec un ratio de 82.9 / 49.5 = 1.67.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Il est crucial d'utiliser la largeur efficace \(B'\) pour le calcul de la résistance due à la cohésion, car la partie décollée de la semelle ne contribue pas à la résistance. Utiliser la largeur totale B serait non sécuritaire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance au glissement a deux composantes : le frottement (\(V \tan\phi\)) et l'adhérence (\(c'B'\)).
  • La vérification consiste à comparer la force motrice (\(H_{\text{Ed}}\)) à la force résistante (\(R_{\text{d,gliss}}\)).
  • En sismique, le facteur de sécurité partiel sur la résistance au glissement est \(\gamma_{\text{R,h}}=1.0\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le phénomène de liquéfaction des sols est un risque majeur lors des séismes. Dans certains sables saturés en eau, les vibrations sismiques peuvent augmenter la pression de l'eau interstitielle au point d'annuler les contraintes effectives. Le sol perd alors toute sa résistance et se comporte comme un liquide, provoquant l'enfoncement ou le basculement des bâtiments.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la butée du sol n'est pas négligée ?

Si on prend en compte la butée (la résistance du sol sur le côté de la fondation), on ajoute un terme à la résistance. Cependant, il faut s'assurer que ce sol restera en place après le séisme et ne sera pas remanié. C'est pourquoi négliger la butée est une approche prudente et courante.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance au glissement est vérifiée (\(49.5 \, \text{kN/ml} \le 82.9 \, \text{kN/ml}\)).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le sol était un sable propre (\(c'=0\)), la fondation résisterait-elle encore au glissement ? (1 pour OUI, 0 pour NON)

Simulateur 3D : Vérification du Glissement

Ratio Sécurité : 1.67

Outil Interactif : Stabilité d'une Fondation

Modifiez les paramètres du sol et du séisme pour voir leur influence sur la sécurité de la fondation.

Paramètres d'Entrée
25 °
10 kPa
3.0 m/s²
Facteurs de Sécurité
Sécurité au Poinçonnement -
Sécurité au Glissement -
Excentricité / (B/6) -

Le Saviez-Vous ?

Le concept de "capacité portante" a été formalisé par Karl von Terzaghi en 1943, considéré comme le père de la mécanique des sols moderne. Ses travaux ont transformé la géotechnique d'un art empirique en une véritable science de l'ingénieur, permettant de concevoir des fondations sûres pour les plus grands ouvrages du monde.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la résistance est-elle plus faible en sismique ?

Ce n'est pas la résistance intrinsèque du sol qui baisse, mais la manière dont la fondation la mobilise. La force horizontale incline la charge résultante, ce qui est moins efficace. De plus, le moment renversant réduit la surface de contact efficace (B'), diminuant la capacité globale. Les vibrations peuvent aussi temporairement réduire la résistance du sol (dégradation cyclique).

Doit-on toujours faire ces calculs en France ?

Oui, pour toute construction neuve. La France métropolitaine est divisée en 5 zones de sismicité. Dans les zones 2 (faible) à 5 (forte), des règles de construction parasismique, comme celles de l'Eurocode 8, sont obligatoires. Ces calculs de fondation sont une exigence de base pour la plupart des projets dans ces zones.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. En situation sismique, quel est l'effet principal d'une force horizontale élevée sur la vérification de la portance ?

2. Si un sol a un angle de frottement \(\phi'\) plus élevé...

Capacité Portante
Pression maximale que le sol sous une fondation peut supporter avant de subir une rupture par poinçonnement.
Angle de Frottement (\(\phi'\))
Propriété intrinsèque d'un sol qui mesure sa résistance au cisaillement due au frottement entre les grains. C'est un paramètre clé pour la stabilité.
Eurocode 8
Norme européenne de conception et de calcul des structures pour leur résistance aux séismes. Elle définit les actions sismiques et les méthodes de vérification.
Calcul d'une Fondation Superficielle en Zone Sismique

D’autres exercices de Fondation :

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