Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Tolérance Totale (T)

Calcul de la Tolérance Totale en Topographie

Calcul de la Tolérance Totale en Topographie

Comprendre la Tolérance Totale en Topographie

En topographie, chaque mesure (angle, distance, dénivelée) est entachée d'erreurs inévitables. La tolérance totale (\(T\)) représente l'écart maximal admissible entre une valeur mesurée (ou calculée à partir de mesures) et sa valeur théorique ou vraie, pour que le travail soit considéré comme acceptable. Elle est définie en fonction de la précision requise pour le projet et de la nature des opérations. Pour un cheminement polygonal, on calcule des fermetures (angulaire, planimétrique, altimétrique) qui sont comparées à des tolérances. Si la fermeture est inférieure à la tolérance, elle est compensée ; sinon, les mesures doivent être reprises. Cet exercice se concentre sur la tolérance planimétrique d'un cheminement fermé.

Données de l'étude

Un cheminement polygonal fermé A-B-C-D-A a été levé. Les longueurs des côtés ont été mesurées et les coordonnées des sommets ont été calculées après compensation angulaire. Les erreurs de fermeture en X (\(f_x\)) et en Y (\(f_y\)) ont été déterminées.

Longueurs des côtés du cheminement (en mètres) :

  • \(L_{\text{AB}} = 120.550 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{BC}} = 95.270 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{CD}} = 110.830 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{DA}} = 88.600 \, \text{m}\)

Erreurs de fermeture calculées (en mètres) :

  • Fermeture en X : \(f_x = +0.065 \, \text{m}\)
  • Fermeture en Y : \(f_y = -0.042 \, \text{m}\)

Formule de la tolérance planimétrique (\(T_f\)) pour ce type de cheminement :

\[ T_f = C_1 \sqrt{L_{\text{tot}}} + C_2 \cdot L_{\text{tot}} \]

Où :

  • \(L_{\text{tot}}\) est la longueur totale du cheminement en mètres.
  • \(C_1 = 0.02 \, \text{m}/\sqrt{\text{km}}\) (à convertir en \(\text{m}/\sqrt{\text{m}}\))
  • \(C_2 = 0.0001\) (sans unité, ou \(\text{m/m}\))
Schéma : Cheminement Polygonal Fermé
A B C D L_AB L_BC L_CD L_DA f_p Cheminement Fermé A-B-C-D-A

Schéma d'un cheminement polygonal fermé à 4 sommets.

Questions à traiter

  1. Définir la fermeture planimétrique d'un cheminement et ses composantes (\(f_x, f_y\)).
  2. Calculer la longueur totale du cheminement (\(L_{\text{tot}}\)).
  3. Convertir le coefficient \(C_1\) pour qu'il soit applicable avec \(L_{\text{tot}}\) en mètres.
  4. Calculer la tolérance planimétrique totale (\(T_f\)) pour ce cheminement.
  5. Calculer la fermeture planimétrique résultante (\(f_p\)).
  6. Comparer la fermeture planimétrique (\(f_p\)) à la tolérance (\(T_f\)). Le cheminement est-il acceptable ?
  7. Si le cheminement est acceptable, comment la compensation planimétrique est-elle généralement effectuée (brièvement) ?

Correction : Calcul de la Tolérance Totale

Question 1 : Définition de la fermeture planimétrique

Définition :

Dans un cheminement polygonal fermé, on part d'un point de coordonnées connues (ou arbitraires) et on y revient après avoir mesuré les angles et les distances des différents côtés. Théoriquement, les coordonnées calculées du point de départ à la fin du cheminement devraient être identiques à ses coordonnées initiales. En pratique, en raison des erreurs de mesure, il y a un écart.

La fermeture planimétrique (\(f_p\)) est la distance linéaire entre le point de départ initial et le point de retour calculé. Elle résulte des erreurs accumulées sur les mesures de distances et d'angles (après compensation angulaire).

Elle a deux composantes orthogonales :

  • Fermeture en X (\(f_x\)) : L'erreur de fermeture sur l'axe des X (Est). \(f_x = \sum \Delta X_{\text{calculé}} - (X_{\text{final théorique}} - X_{\text{initial théorique}})\). Pour un cheminement fermé revenant sur lui-même, \(X_{\text{final théorique}} - X_{\text{initial théorique}} = 0\), donc \(f_x = \sum \Delta X_{\text{calculé}}\).
  • Fermeture en Y (\(f_y\)) : L'erreur de fermeture sur l'axe des Y (Nord). \(f_y = \sum \Delta Y_{\text{calculé}} - (Y_{\text{final théorique}} - Y_{\text{initial théorique}})\). Pour un cheminement fermé revenant sur lui-même, \(Y_{\text{final théorique}} - Y_{\text{initial théorique}} = 0\), donc \(f_y = \sum \Delta Y_{\text{calculé}}\).

La fermeture planimétrique résultante est alors \(f_p = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}\).

Résultat Question 1 : La fermeture planimétrique (\(f_p\)) est l'écart linéaire entre le point de départ et le point de retour calculé d'un cheminement fermé. Ses composantes sont \(f_x\) (erreur en X) et \(f_y\) (erreur en Y).

Question 2 : Longueur totale du cheminement (\(L_{\text{tot}}\))

Principe :

La longueur totale du cheminement est la somme des longueurs de tous ses côtés.

Données spécifiques :
  • \(L_{\text{AB}} = 120.550 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{BC}} = 95.270 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{CD}} = 110.830 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{DA}} = 88.600 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_{\text{tot}} &= L_{\text{AB}} + L_{\text{BC}} + L_{\text{CD}} + L_{\text{DA}} \\ &= 120.550 + 95.270 + 110.830 + 88.600 \\ &= 415.250 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La longueur totale du cheminement est \(L_{\text{tot}} = 415.250 \, \text{m}\).

Question 3 : Conversion du coefficient \(C_1\)

Principe :

Le coefficient \(C_1\) est donné en \(\text{m}/\sqrt{\text{km}}\). Pour l'utiliser avec \(L_{\text{tot}}\) en mètres, il faut le convertir en \(\text{m}/\sqrt{\text{m}}\).

On sait que \(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\), donc \(\sqrt{1 \, \text{km}} = \sqrt{1000 \, \text{m}} \approx 31.62277 \, \sqrt{\text{m}}\).

Données spécifiques :
  • \(C_1 = 0.02 \, \text{m}/\sqrt{\text{km}}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_1 (\text{en m}/\sqrt{\text{m}}) &= \frac{0.02 \, \text{m}}{\sqrt{1000 \, \text{m}}} \\ &= \frac{0.02}{\sqrt{1000}} \, \frac{\text{m}}{\sqrt{\text{m}}} \\ &\approx \frac{0.02}{31.62277} \\ &\approx 0.00063245 \, \text{m}/\sqrt{\text{m}} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le coefficient \(C_1 \approx 0.000632 \, \text{m}/\sqrt{\text{m}}\).

Question 4 : Calcul de la tolérance planimétrique totale (\(T_f\))

Principe :

On applique la formule donnée avec la longueur totale du cheminement et les coefficients \(C_1\) (converti) et \(C_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_f = C_1 \sqrt{L_{\text{tot}}} + C_2 \cdot L_{\text{tot}} \]
Données spécifiques :
  • \(L_{\text{tot}} = 415.250 \, \text{m}\)
  • \(C_1 \approx 0.00063245 \, \text{m}/\sqrt{\text{m}}\)
  • \(C_2 = 0.0001\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sqrt{L_{\text{tot}}} &= \sqrt{415.250} \approx 20.37768 \, \sqrt{\text{m}} \\ T_f &= (0.00063245 \times 20.37768) + (0.0001 \times 415.250) \\ &\approx 0.012889 + 0.041525 \\ &\approx 0.054414 \, \text{m} \end{aligned} \]

Soit environ \(0.054 \, \text{m}\) ou \(5.4 \, \text{cm}\).

Résultat Question 4 : La tolérance planimétrique totale pour ce cheminement est \(T_f \approx 0.054 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si \(C_1\) était nul, la tolérance dépendrait-elle de la racine carrée de la longueur totale ?

Question 5 : Calcul de la fermeture planimétrique résultante (\(f_p\))

Principe :

La fermeture planimétrique résultante est la magnitude du vecteur d'erreur de fermeture, calculée à partir de ses composantes \(f_x\) et \(f_y\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_p = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}\]
Données spécifiques :
  • \(f_x = +0.065 \, \text{m}\)
  • \(f_y = -0.042 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_p &= \sqrt{(0.065)^2 + (-0.042)^2} \\ &= \sqrt{0.004225 + 0.001764} \\ &= \sqrt{0.005989} \\ &\approx 0.0773886 \, \text{m} \end{aligned} \]

Soit environ \(0.077 \, \text{m}\) ou \(7.7 \, \text{cm}\).

Résultat Question 5 : La fermeture planimétrique résultante est \(f_p \approx 0.077 \, \text{m}\).

Question 6 : Comparaison de \(f_p\) à \(T_f\) et conclusion

Principe :

On compare la fermeture planimétrique calculée (\(f_p\)) à la tolérance admissible (\(T_f\)). Si \(f_p \le T_f\), le cheminement est considéré comme acceptable du point de vue de sa précision planimétrique.

Données spécifiques :
  • \(f_p \approx 0.077 \, \text{m}\)
  • \(T_f \approx 0.054 \, \text{m}\)
Comparaison :
\[ 0.077 \, \text{m} > 0.054 \, \text{m} \]

La fermeture planimétrique \(f_p\) est supérieure à la tolérance \(T_f\).

Résultat Question 6 : Puisque \(f_p \approx 0.077 \, \text{m}\) est supérieur à \(T_f \approx 0.054 \, \text{m}\), le cheminement n'est pas acceptable. Les mesures de distance ou d'angle (ou les deux) devraient être vérifiées et potentiellement refaites.

Question 7 : Compensation planimétrique (discussion)

Principe :

Si le cheminement avait été acceptable (c'est-à-dire \(f_p \le T_f\)), la fermeture planimétrique (\(f_x, f_y\)) devrait être répartie sur les coordonnées calculées des sommets pour "fermer" géométriquement le polygone. Cette répartition est appelée compensation.

Méthodes courantes (brève discussion) :
  • Méthode proportionnelle aux longueurs des côtés : Les corrections \(\delta x_i\) et \(\delta y_i\) appliquées aux composantes \(\Delta X_i\) et \(\Delta Y_i\) de chaque côté sont proportionnelles à la longueur du côté concerné par rapport à la longueur totale du cheminement.
    \[ c_x = \frac{-f_x}{L_{\text{tot}}} \quad ; \quad c_y = \frac{-f_y}{L_{\text{tot}}} \]
    \[ \delta (\Delta X_i) = c_x \cdot L_i \quad ; \quad \delta (\Delta Y_i) = c_y \cdot L_i \]

    Les coordonnées compensées sont ensuite recalculées cumulativement.

  • Méthode des moindres carrés : Une méthode plus rigoureuse qui minimise la somme des carrés des corrections, en tenant compte de la précision estimée de chaque mesure. Elle est plus complexe à mettre en œuvre manuellement mais est standard dans les logiciels de topographie.
  • Méthode de la boussole (pour les cheminements orientés) : Ajuste les gisements et les longueurs.

Le choix de la méthode dépend de la précision requise et des outils disponibles. L'objectif est de distribuer l'erreur de fermeture de la manière la plus logique et la plus équitable possible sur l'ensemble des mesures.

Résultat Question 7 : Si le cheminement était acceptable, la compensation planimétrique (par exemple, proportionnelle aux longueurs des côtés) serait appliquée pour répartir les erreurs \(f_x\) et \(f_y\) sur les composantes \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) de chaque côté, afin d'obtenir des coordonnées finales cohérentes.

Quiz Intermédiaire 2 : Si la fermeture planimétrique \(f_p\) est plus petite que la tolérance \(T_f\), cela signifie que :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. La tolérance planimétrique totale (\(T_f\)) dans un cheminement :

9. Si \(f_x = +0.03 \, \text{m}\) et \(f_y = -0.04 \, \text{m}\), la fermeture planimétrique résultante \(f_p\) est :

10. La compensation d'un cheminement est effectuée lorsque :

Glossaire

Cheminement Topographique
Série de lignes consécutives dont les longueurs et les gisements (ou les angles entre elles) sont mesurés pour déterminer les coordonnées des sommets.
Cheminement Fermé
Cheminement qui commence et se termine sur un même point connu, ou qui commence sur un point connu et se termine sur un autre point connu (rattachement aux deux extrémités).
Fermeture Planimétrique (\(f_p\))
Distance linéaire entre le point de départ théorique et le point d'arrivée calculé d'un cheminement fermé. Elle est composée de \(f_x\) (fermeture en X) et \(f_y\) (fermeture en Y).
Tolérance Planimétrique (\(T_f\))
Écart maximal admissible pour la fermeture planimétrique d'un cheminement. Si \(f_p \le T_f\), le cheminement est acceptable.
Compensation Planimétrique
Processus de répartition des erreurs de fermeture \(f_x\) et \(f_y\) sur les composantes \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) de chaque côté du cheminement pour assurer une fermeture géométrique parfaite des coordonnées.
Coordonnées Cartésiennes
Système de positionnement de points dans un plan (X, Y) par rapport à des axes orthogonaux.
Calcul de la Tolérance Totale - Exercice d'Application

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