Études de cas pratique

EGC

Déformation Axiale Due à la Température

Déformation Axiale Due à la Température

Déformation Axiale Due à la Température

Comprendre la Déformation et les Contraintes Thermiques

Les matériaux se dilatent ou se contractent avec les variations de température. Ce phénomène, appelé dilatation thermique, est quantifié par le coefficient de dilatation thermique (\(\alpha\)). Si un élément est libre de se déformer, une variation de température induira une déformation thermique libre. Cependant, si l'élément est contraint (par exemple, fixé entre deux appuis rigides), cette tendance à la déformation sera empêchée, générant des contraintes internes appelées contraintes thermiques. Cet exercice explore ces concepts pour une barre en acier.

Données de l'étude

Une barre en acier est encastrée rigidement entre deux murs A et B, comme illustré sur le schéma. À une température initiale \(T_1 = 20 \, ^\circ\text{C}\), la barre est juste en contact avec les murs sans contrainte initiale. La température de la barre est ensuite augmentée à \(T_2 = 70 \, ^\circ\text{C}\).

Caractéristiques de la barre en acier :

  • Longueur initiale (\(L\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Aire de la section transversale (\(A\)) : \(500 \, \text{mm}^2\)
  • Module d'Young (\(E\)) : \(200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^3 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de dilatation thermique (\(\alpha\)) : \(12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}\)
Schéma : Barre en Acier Encastrée et Chauffée
Mur A Mur B L = 1.5 m Delta T = 50C P P

Barre en acier encastrée entre deux murs et soumise à une élévation de température.

Questions à traiter

  1. Calculer la variation de température (\(\Delta T\)).
  2. Si la barre était libre de se dilater, quelle serait sa déformation thermique libre (\(\delta_T\)) ?
  3. Puisque la barre est encastrée, quelle est la déformation réelle de la barre due à la contrainte des murs (\(\delta_P\)) ?
  4. Écrire l'équation de compatibilité des déformations.
  5. Calculer la force de compression (\(P\)) exercée par les murs sur la barre (et par la barre sur les murs).
  6. Calculer la contrainte thermique (\(\sigma_T\)) dans la barre. Est-ce une contrainte de traction ou de compression ?

Correction : Déformation Axiale Due à la Température

Question 1 : Variation de Température (\(\Delta T\))

Principe :

La variation de température est la différence entre la température finale et la température initiale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta T = T_2 - T_1 \]
Données spécifiques :
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(20 \, ^\circ\text{C}\)
  • Température finale (\(T_2\)) : \(70 \, ^\circ\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta T &= 70 \, ^\circ\text{C} - 20 \, ^\circ\text{C} \\ &= 50 \, ^\circ\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La variation de température est \(\Delta T = 50 \, ^\circ\text{C}\).

Question 2 : Déformation Thermique Libre (\(\delta_T\))

Principe :

Si un matériau est libre de se déformer, une variation de température \(\Delta T\) provoque une déformation axiale proportionnelle à sa longueur initiale \(L\), à \(\Delta T\), et à son coefficient de dilatation thermique \(\alpha\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \delta_T = \alpha \cdot L \cdot \Delta T \]
Données spécifiques (unités cohérentes : m, °C) :
  • Coefficient de dilatation thermique (\(\alpha\)) : \(12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}\)
  • Longueur initiale (\(L\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Variation de température (\(\Delta T\)) : \(50 \, ^\circ\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \delta_T &= (12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}) \cdot (1.5 \, \text{m}) \cdot (50 \, ^\circ\text{C}) \\ &= 12 \times 1.5 \times 50 \times 10^{-6} \, \text{m} \\ &= 18 \times 50 \times 10^{-6} \, \text{m} \\ &= 900 \times 10^{-6} \, \text{m} \\ &= 0.0009 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en millimètres : \(\delta_T = 0.0009 \, \text{m} \times 1000 \, \text{mm/m} = 0.9 \, \text{mm}\).

Résultat Question 2 : La déformation thermique libre serait \(\delta_T = 0.9 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la température d'une barre libre diminue, sa longueur :

Question 3 : Déformation Réelle Due à la Contrainte (\(\delta_P\))

Principe :

Puisque la barre est encastrée entre deux murs rigides, sa longueur totale ne peut pas changer. La dilatation thermique libre (\(\delta_T\)) qui tend à allonger la barre est contrée par une compression exercée par les murs. Cette compression induit une déformation élastique (\(\delta_P\)) de signe opposé à \(\delta_T\).

La déformation totale de la barre \(\delta_{total}\) est nulle car les appuis sont fixes.

Analyse :

La barre veut s'allonger de \(\delta_T\). Pour que sa longueur finale reste \(L\), les murs doivent exercer une force de compression \(P\) qui provoque un raccourcissement \(\delta_P\) tel que l'allongement net soit nul.

Donc, la déformation due à la force de compression \(P\) doit exactement compenser la dilatation thermique libre pour que la longueur totale ne change pas. Ainsi, la magnitude de \(\delta_P\) est égale à la magnitude de \(\delta_T\), mais de signe opposé (raccourcissement).

\[ \delta_P = - \delta_T \]
Résultat Question 3 : La déformation due à la contrainte des murs est \(\delta_P = -0.9 \, \text{mm}\). (C'est un raccourcissement).

Question 4 : Équation de Compatibilité des Déformations

Principe :

L'équation de compatibilité exprime la relation géométrique entre les différentes déformations. Dans ce cas, puisque la barre est encastrée entre des appuis fixes, la déformation totale résultante (somme de la déformation thermique libre et de la déformation due à la force de réaction des murs) doit être nulle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \delta_{total} = \delta_T + \delta_P = 0 \]

où \(\delta_T\) est la dilatation thermique libre et \(\delta_P\) est la déformation due à la force de compression \(P\) exercée par les murs. On sait que \(\delta_P = -\frac{P \cdot L}{A \cdot E}\) (la force \(P\) est une force de compression, donc elle provoque un raccourcissement, d'où le signe moins si P est considérée positive en compression).

Résultat Question 4 : L'équation de compatibilité est \(\alpha \cdot L \cdot \Delta T - \frac{P \cdot L}{A \cdot E} = 0\).

Question 5 : Force de Compression (\(P\))

Principe :

En utilisant l'équation de compatibilité, on peut résoudre pour la force \(P\) inconnue.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \alpha \cdot L \cdot \Delta T = \frac{P \cdot L}{A \cdot E} \]

On peut simplifier par \(L\) (si \(L \neq 0\)) :

\[ P = \alpha \cdot \Delta T \cdot A \cdot E \]
Données spécifiques (unités cohérentes : N, mm, MPa ou N, m, Pa) :
  • \(\alpha = 12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}\)
  • \(\Delta T = 50 \, ^\circ\text{C}\)
  • \(A = 500 \, \text{mm}^2\)
  • \(E = 200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= (12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}) \cdot (50 \, ^\circ\text{C}) \cdot (500 \, \text{mm}^2) \cdot (200 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2) \\ &= (12 \times 50 \times 500 \times 200) \times 10^{-6} \times 10^3 \, \text{N} \\ &= (600 \times 100000) \times 10^{-3} \, \text{N} \\ &= 60 \times 10^6 \times 10^{-3} \, \text{N} \\ &= 60 \times 10^3 \, \text{N} \\ &= 60000 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kiloNewtons : \(P = 60 \, \text{kN}\).

Résultat Question 5 : La force de compression exercée par les murs est \(P = 60 \, \text{kN}\).

Question 6 : Contrainte Thermique (\(\sigma_T\))

Principe :

La contrainte thermique est la contrainte interne générée dans le matériau due à l'empêchement de sa déformation thermique libre. Elle est calculée en divisant la force interne \(P\) par l'aire de la section transversale \(A\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_T = \frac{P}{A} \]

Alternativement, puisque \(\delta_P = -\delta_T\), et \(\epsilon_P = \delta_P/L = -\alpha \Delta T\), alors \(\sigma_T = E \epsilon_P = -E \alpha \Delta T\). Le signe négatif indique une compression si \(\Delta T\) est positif (chauffage).

Données spécifiques (unités N, mm\(^2\), MPa) :
  • Force de compression (\(P\)) : \(60000 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A\)) : \(500 \, \text{mm}^2\)
  • Ou : \(E = 200 \times 10^3 \, \text{MPa}\), \(\alpha = 12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}\), \(\Delta T = 50 \, ^\circ\text{C}\)
Calcul :

Méthode 1 (avec P/A) :

\[ \begin{aligned} \sigma_T &= \frac{60000 \, \text{N}}{500 \, \text{mm}^2} \\ &= 120 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 120 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Méthode 2 (avec \(E \alpha \Delta T\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma_T &= E \cdot \alpha \cdot \Delta T \\ &= (200 \times 10^3 \, \text{MPa}) \cdot (12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}) \cdot (50 \, ^\circ\text{C}) \\ &= 200 \times 12 \times 50 \times 10^3 \times 10^{-6} \, \text{MPa} \\ &= 120000 \times 10^{-3} \, \text{MPa} \\ &= 120 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Puisque la barre tend à s'allonger mais est empêchée par les murs, elle est soumise à une compression. La contrainte est donc une contrainte de compression.

Résultat Question 6 : La contrainte thermique dans la barre est \(\sigma_T = 120 \, \text{MPa}\) (Compression).

Quiz Intermédiaire 2 : Si une barre encastrée est refroidie (\(\Delta T < 0\)), la contrainte thermique induite sera :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le coefficient de dilatation thermique (\(\alpha\)) décrit :

2. Une contrainte thermique se développe dans un corps si :

3. Pour une barre encastrée chauffée, la force de réaction des appuis est proportionnelle à :

Glossaire

Dilatation Thermique
Phénomène par lequel les dimensions d'un corps varient en fonction de sa température. Généralement, les corps se dilatent (augmentent de volume/longueur) lorsque la température augmente et se contractent lorsque la température diminue.
Coefficient de Dilatation Thermique (\(\alpha\))
Propriété d'un matériau qui quantifie sa variation relative de longueur (ou de volume) par degré de changement de température. Unité typique : \( /^\circ\text{C} \) ou \( / \text{K} \).
Déformation Thermique Libre (\(\delta_T\))
Changement de longueur qu'un corps subirait s'il était libre de se dilater ou de se contracter sous l'effet d'une variation de température, sans aucune contrainte externe. Calculée par \(\delta_T = \alpha \cdot L \cdot \Delta T\).
Contrainte Thermique (\(\sigma_T\))
Contrainte mécanique induite dans un corps lorsque sa déformation thermique libre est empêchée ou restreinte par des conditions d'appui ou des liaisons externes.
Équation de Compatibilité
Relation mathématique qui exprime les conditions géométriques de déformation d'une structure. Dans le cas des problèmes thermiques avec appuis fixes, elle stipule souvent que la déformation totale (thermique + mécanique) est nulle ou égale à un jeu initial.
Déformation Axiale Due à la Température - Exercice d'Application

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