Déformation Axiale Due à la Température
📝 Situation du Projet
Vous avez intégré le Bureau d'Études Structures d'un grand groupe de BTP (Vinci/Bouygues/Eiffage) en charge de la conception d'un ouvrage d'art stratégique : le "Viaduc de la Haute-Vallée". Situé dans une zone géographique continentale soumise à de fortes amplitudes thermiques, cet ouvrage est vital pour le désenclavement de la région.
Le viaduc est un pont mixte acier-béton mono-travée de moyenne portée. Il est constitué d'un tablier reposant sur deux poutres principales en acier (PRS - Poutres Reconstituées Soudées) supportant une dalle en béton armé. L'ensemble repose sur des culées en béton armé via des appareils d'appui.
Le problème critique qui nous occupe aujourd'hui concerne le comportement des poutres principales en acier face aux variations climatiques extrêmes. En été, sous l'effet du rayonnement solaire direct et de la chaleur ambiante, l'acier se dilate significativement. En hiver, lors des nuits glaciales, il se rétracte. Ces mouvements sont naturels et inévitables. Cependant, si ces mouvements sont empêchés (par exemple, par des appuis grippés, des butées mal réglées ou une conception hyperstatique mal maîtrisée), des efforts internes colossaux peuvent se développer. Ces efforts "parasites" sont capables de cisailler les ancrages, de fissurer les piles en béton ou de faire flamber le tablier, menant à la ruine de l'ouvrage.
En tant qu'Ingénieur Structure Junior, votre responsabilité est double. Premièrement, vous devez calculer la dilatation libre théorique du tablier afin de dimensionner les joints de chaussée (l'espace vide nécessaire aux extrémités pour permettre le mouvement sans heurter la route). Deuxièmement, vous devez évaluer les contraintes thermiques générées dans le scénario catastrophe où ce mouvement serait accidentellement bloqué, afin de vérifier si la structure résisterait à un tel incident.
"Attention, ne sous-estime jamais les efforts thermiques. Un joint de chaussée mal dimensionné (trop court) entraîne le 'bridage' du tablier en été. Si la poutre ne peut pas s'allonger, elle pousse les murs garde-grève jusqu'à les rompre. Sois précis sur le coefficient de dilatation de l'acier !"
Pour mener à bien cette étude, nous nous basons sur les Eurocodes structuraux et les spécifications techniques du fournisseur d'acier. Il est crucial de comprendre la signification physique de chaque paramètre ci-dessous.
📚 Référentiel Normatif
Les calculs doivent être conformes aux normes européennes en vigueur pour le dimensionnement des structures :
NF EN 1991-1-5 (Actions Thermiques)NF EN 1993-1-1 (Calcul des structures en acier)L'acier utilisé est de nuance S355, un standard pour les ponts. Il offre un compromis optimal entre résistance mécanique (pour supporter les charges routières) et soudabilité. Ses propriétés physiques sont normalisées :
| ACIER DE CONSTRUCTION S355 | |
| Module de Young (Élasticité) | \( E = 210\,000 \text{ MPa} \) (Mesure la rigidité du matériau, sa capacité à résister à la déformation élastique) |
| Coefficient de dilatation thermique | \( \alpha = 12 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1} \) (Indique de combien le matériau s'allonge par mètre et par degré) |
| Limite d'élasticité | \( f_y = 355 \text{ MPa} \) (Seuil de contrainte au-delà duquel l'acier se déforme plastiquement/irréversiblement) |
| GÉOMÉTRIE DE LA POUTRE | |
| Longueur initiale à \( T_{\text{ref}} \) | \( L_0 = 46,00 \text{ m} \) (Distance entre les axes des appareils d'appui à la pose) |
| Section transversale (Aire) | \( S = 850 \text{ cm}^2 \) (Surface de l'acier dans le plan de coupe, qui subira l'effort normal) |
🌡️ Données Climatiques (Eurocode)
Les températures extrêmes de l'ouvrage sont définies selon la zone géographique et incluent les effets du rayonnement solaire. Il ne s'agit pas de la température de l'air, mais de la température moyenne uniforme de la structure en acier.
- Température de montage (Référence): \( T_{\text{ref}} = +15 \text{ °C} \)
Température supposée lors de la construction et du réglage des appuis. - Température maximale d'été : \( T_{\text{max}} = +55 \text{ °C} \)
Inclut l'échauffement de l'acier noir au soleil (peut être bien supérieur à l'air ambiant). - Température minimale d'hiver : \( T_{\text{min}} = -25 \text{ °C} \)
Nuit d'hiver exceptionnelle centennale.
E. Protocole de Résolution
Pour dimensionner correctement les appareils d'appui et les joints, nous allons suivre une approche déterministe stricte.
Analyse des Écarts de Température
Déterminer les amplitudes maximales positives (dilatation) et négatives (rétraction) par rapport à la température de pose de référence.
Calcul de la Dilatation Libre
Calculer la variation de longueur théorique \(\Delta L\) de la poutre si elle était posée sur des rouleaux parfaits (sans frottement).
Scénario Catastrophe : Effort de Blocage
Évaluer la force axiale \(N\) générée si le joint est accidentellement bloqué (calcul hyperstatique) et comparer cette force à la résistance de l'acier.
Dimensionnement du Joint
Choisir la capacité de "souffle" du joint de chaussée nécessaire pour garantir la sécurité de l'ouvrage.
Déformation Axiale Due à la Température
🎯 Objectif
L'objectif de cette première étape est de quantifier précisément "l'agression thermique" que subira la structure. Une température absolue (comme 55°C) ne crée pas d'effort en soi ; c'est la variation de température par rapport à l'état initial (montage) qui génère des mouvements. Nous devons donc calculer deux deltas distincts : un pour l'été (dilatation) et un pour l'hiver (contraction) afin de couvrir toute l'enveloppe de fonctionnement du pont.
📚 Référentiel
Eurocode 1 - Partie 1-5 (Actions Générales - Actions Thermiques)Pourquoi distingue-t-on le delta positif et le delta négatif ? Parce que les conséquences structurelles sont diamétralement opposées. En dilatation (\(\Delta T > 0\)), le pont s'allonge et risque de percuter les butées ou de fermer complètement le joint de chaussée (compression). En contraction (\(\Delta T < 0\)), le pont raccourcit, ce qui peut ouvrir le joint au-delà de sa capacité (créant un vide dangereux pour les véhicules) ou arracher les appuis s'ils ne peuvent pas suivre le mouvement de retrait. Nous devons donc calculer les deux cas extrêmes pour dimensionner le joint dans ses deux positions limites.
La variation de température \(\Delta T\) est simplement la différence algébrique entre la température finale considérée et la température initiale de référence. Notez que la différence de température en degrés Celsius (°C) est strictement égale à la différence en Kelvins (K) car l'échelle est la même, seul le zéro change. Par convention scientifique internationale, on exprime souvent les deltas de température en Kelvins (K) pour éviter la confusion avec une température absolue.
📐 Formules Clés
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Température de montage (Référence) | \( T_{\text{ref}} = 15 \text{ °C} \) |
| Température Max (Été) | \( T_{\text{max}} = 55 \text{ °C} \) |
| Température Min (Hiver) | \( T_{\text{min}} = -25 \text{ °C} \) |
Faites très attention aux signes algébriques ! Une température négative en hiver (\(-25\)) soustraite à une température positive donne un grand écart négatif. Exemple : \(-25 - 15 = -40\). C'est souvent là que se glissent les erreurs de calcul.
📝 Calcul Détaillé
Le calcul de \(\Delta T\) repose sur le principe de la variation d'état. En thermodynamique, pour une transformation d'un état 1 (initial) vers un état 2 (final), la variation d'une grandeur d'état \(X\) est toujours définie par \(X_2 - X_1\). Ici, \(X\) est la température \(T\).
1. Calcul de l'amplitude thermique de dilatation (Été) :
Nous cherchons l'écart maximal positif par rapport à la pose. C'est ce delta qui poussera le pont vers l'extérieur en été.
Interprétation : En été, la structure sera soumise à un échauffement relatif de 40 degrés par rapport à son état initial.
2. Calcul de l'amplitude thermique de contraction (Hiver) :
Nous cherchons l'écart maximal négatif. C'est ce delta qui "tirera" sur les appuis vers l'intérieur en hiver.
Interprétation : En hiver, la structure subira un refroidissement relatif de 40 degrés par rapport à son état initial.
Une amplitude totale de 80°C est typique pour des ouvrages continentaux exposés (comme dans l'Est de la France ou en montagne). Pour des ouvrages maritimes, l'amplitude serait plus faible (environ 60°C).
Ne confondez pas la température de surface de l'acier (qui peut atteindre 70°C au soleil) avec la température moyenne uniforme de la section. Ici, nous utilisons la température moyenne uniforme donnée par l'Eurocode, qui lisse les gradients thermiques à travers l'épaisseur.
🎯 Objectif
Nous devons maintenant traduire ces écarts de température en variations de longueur physiques (en millimètres). C'est cette valeur qui correspond au mouvement réel de l'extrémité du pont si rien ne l'empêche de bouger. Ce calcul est la base directe du dimensionnement géométrique du joint de chaussée.
📚 Référentiel
Loi de la Thermoélasticité linéaireLa physique est impitoyable : tout matériau chauffé voit l'agitation de ses atomes augmenter, ce qui accroît la distance moyenne entre eux. À l'échelle macroscopique, cela se traduit par une expansion. Pour une poutre mince comme un pont, cette expansion est principalement longitudinale. La formule est linéaire : si vous doublez la longueur du pont, vous doublez la dilatation. C'est pourquoi les très longs viaducs nécessitent des joints de chaussée énormes (parfois plusieurs mètres !).
La variation de longueur \(\Delta L\) est directement proportionnelle à la variation de température. Le facteur de proportionnalité est le produit de la longueur initiale par le coefficient de dilatation thermique du matériau.
📐 Formules Clés
La variation de longueur \(\Delta L\) dépend du coefficient propre au matériau (\(\alpha\)), de la longueur initiale (\(L_0\)) et du delta de température (\(\Delta T\)). Attention aux unités !
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Coefficient de dilatation (Acier) | \( \alpha = 12 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1} \) |
| Longueur initiale | \( L_0 = 46,00 \text{ m} = 46\,000 \text{ mm} \) |
| Delta T Été | \( +40 \text{ K} \) |
| Delta T Hiver | \( -40 \text{ K} \) |
Convertissez toujours votre longueur \(L_0\) en millimètres (mm) dès le début. Cela évite d'obtenir des résultats en mètres du type 0,0022 m qui sont difficiles à interpréter sur un chantier. Travailler en mm est la norme en construction métallique.
📝 Calcul Détaillé
Vérifions les unités de la formule pour comprendre sa structure. Le coefficient \(\alpha\) est en \(\text{K}^{-1}\) (ou \(1/\text{K}\)). La longueur \(L_0\) est en mètres (\(\text{m}\)). La température est en Kelvin (\(\text{K}\)).
Le résultat est bien une longueur. C'est la base de la manipulation : multiplier une grandeur physique par un coefficient sans dimension (le produit \(\alpha \Delta T\) est la déformation \(\varepsilon\), sans dimension) pour obtenir une variation de cette grandeur.
1. Calcul de l'allongement maximal en Été (\(\Delta L_{\text{ext}}\)) :
Calculons de combien le pont s'allonge vers l'extérieur. C'est la distance dont le joint va se refermer.
Interprétation : Le pont s'allonge de plus de 22 mm en été.
2. Calcul du raccourcissement maximal en Hiver (\(\Delta L_{\text{contr}}\)) :
Calculons le retrait du pont. Le signe négatif indique une réduction de longueur. C'est la distance dont le joint va s'ouvrir.
Interprétation : Le pont se rétracte de plus de 22 mm en hiver.
3. Calcul de l'amplitude totale de mouvement :
C'est la course totale (le "souffle") que le joint doit pouvoir accommoder entre l'hiver et l'été.
Interprétation Globale : L'extrémité du pont va osciller sur une plage de près de 4,5 cm entre l'hiver et l'été. C'est un mouvement considérable qui nécessite un équipement spécifique.
Pour l'acier, une règle de pouce courante est "1 mm par mètre pour 100°C". Ici pour 46m et 80°C d'écart total, on attend environ \(46 \times 0.8 \approx 36.8\) mm. Notre résultat de 44 mm est légèrement supérieur mais reste tout à fait cohérent et plus précis.
Ce calcul suppose que le pont est libre de se dilater (appui à rouleau parfait). Si le pont est courbe ou en biais, la dilatation ne se fait pas uniquement selon l'axe longitudinal, ce qui complique les vecteurs de déplacement.
🎯 Objectif
Imaginons le pire scénario : les rouleaux de l'appui mobile sont rouillés et totalement grippés, ou un caillou bloque la fermeture du joint en plein été. Le pont "veut" s'allonger de 22 mm mais ne le peut pas. Quelle force va-t-il exercer sur la pile ? Ce calcul vise à démontrer la puissance destructrice de la dilatation thermique empêchée et à justifier l'importance de la maintenance.
📚 Référentiel
Théorie de l'Élasticité (Loi de Hooke Généralisée)C'est un problème statiquement indéterminé (hyperstatique). Si la déformation est empêchée (\(\varepsilon_{\text{totale}} = 0\)), alors la déformation thermique (\(\varepsilon_{\text{th}}\)) doit être compensée par une déformation mécanique élastique (\(\varepsilon_{\text{méca}}\)) opposée. Autrement dit, la structure "s'auto-comprime" pour rester dans son volume initial. Cela crée une contrainte interne énorme (Compression). C'est exactement le même principe physique qui fait dérailler les trains en été par flambement des rails.
Dans un matériau bloqué, la contrainte thermique est indépendante de la longueur de la pièce. Elle ne dépend que du module d'élasticité (E), du coefficient de dilatation (\(\alpha\)) et de la température (\(\Delta T\)). C'est une propriété intrinsèque du matériau sous contrainte.
📐 Formules Clés
La contrainte \(\sigma\) est proportionnelle à la déformation empêchée.
L'effort Normal \(N\) est obtenu en multipliant la contrainte par la section \(S\).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Module de Young | \( E = 210\,000 \text{ MPa} \) (N/mm²) |
| Section de la poutre | \( S = 850 \text{ cm}^2 = 85\,000 \text{ mm}^2 \) |
| Delta T (Cas Été) | \( 40 \text{ K} \) |
Pour ce calcul, la longueur de la poutre n'intervient pas ! Un pont de 10 mètres ou de 10 kilomètres générerait exactement la même contrainte de compression (en MPa) s'il était bloqué. Seule la force totale (en N) dépend de la section.
📝 Calcul Détaillé
Comment passe-t-on de la loi de Hooke (\(\sigma = E\varepsilon\)) à la formule thermique ?
Le signe moins indique une compression. En valeur absolue, on retrouve \(\sigma = E \alpha \Delta T\).
1. Calcul de la Contrainte de Compression (\(\sigma_{\text{therm}}\)) :
Calculons d'abord la pression interne dans l'acier due au blocage. C'est une contrainte de compression pure.
Interprétation : 100,8 MPa. L'acier S355 résiste à 355 MPa avant de plastifier. La poutre ne va donc pas "s'écraser" localement.
2. Calcul de l'Effort Normal Résultant (\(N_{\text{therm}}\)) :
Calculons maintenant la force totale exercée par la poutre sur la culée ou la pile en béton. C'est cette force qui va tenter de renverser la culée.
Interprétation : Une force de 8,57 MégaNewtons est générée. C'est une force phénoménale.
Est-il logique qu'un simple changement de température génère 850 tonnes de poussée ? Oui. Les forces thermiques sont parmi les plus puissantes en génie civil. C'est pourquoi les joints de dilatation sont des organes de sécurité vitaux, et non de simples accessoires de confort.
Si cet effort s'applique avec une légère excentricité, il créera un moment fléchissant qui fera flamber la poutre instantanément (instabilité élastique), bien avant d'atteindre la limite élastique de l'acier.
🎯 Objectif
L'objectif final est de choisir un équipement industriel (le joint de chaussée) capable d'absorber le mouvement calculé avec une marge de sécurité suffisante. Le joint ne doit jamais arriver en butée (fermeture complète en été) ni s'ouvrir trop largement (danger pour les roues en hiver).
📚 Référentiel
SETRA (Service d'Études des Routes et Autoroutes) / EurocodesOn ne dimensionne jamais "ras-les-paquerettes". Il faut prévoir des incertitudes : la température de pose réelle ne sera peut-être pas exactement 15°C, le béton du tablier va subir du retrait et du fluage (ce qui va raccourcir le pont indépendamment de la température), et le positionnement initial du joint peut être imprécis. On applique donc des coefficients de sécurité pour garantir la durabilité.
Le "souffle" d'un joint (noté \(W_{\text{d}}\)) est la capacité maximale de mouvement qu'il peut accepter entre son ouverture maximale et sa fermeture maximale. Un joint Wd-50 a un souffle de 50mm.
📐 Formules Clés
Le souffle nominal du joint doit être supérieur au mouvement calculé majoré par un coefficient de sécurité.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Mouvement Total Calculé | \( \Delta L_{\text{total}} = 44,16 \text{ mm} \) |
| Marge de sécurité (Coefficient) | \( M_{\text{sécu}} = 1,20 \) (+20%) |
Toujours choisir la classe standard supérieure. Si vous calculez 51mm, ne prenez pas un joint de 50mm, passez directement au 80mm. L'économie réalisée ne vaut pas le risque de rupture.
📝 Calcul Détaillé
Le dimensionnement est une inéquation. On cherche la plus petite valeur normalisée \(W_{\text{d}}\) (issue d'un catalogue fournisseur) qui satisfait l'inégalité :
Ici, la "Demande" est le mouvement thermique pur, et la "Sécurité" est un coefficient multiplicateur (1.20 ou 1.25 selon les normes) qui couvre les aléas.
1. Application de la Marge de Sécurité (\(M_{\text{sécu}}\)) :
On ajoute généralement une marge pour le retrait/fluage du béton (effets différés) et les erreurs de calage. Prenons une marge standard de +20% par sécurité.
Interprétation : Le joint doit pouvoir encaisser au moins 53 mm de mouvement total en toute sécurité.
2. Choix du Joint Standard :
Les joints industriels sont classés par leur capacité de souffle nominal (Wd) standardisée. Les classes courantes sont Wd-50, Wd-80, Wd-100, etc.
Interprétation : Le joint de 50mm est insuffisant (53 > 50). On passe à la taille 80mm.
Un joint de 80mm pour un pont de 46m est tout à fait standard. Le ratio est cohérent avec les pratiques du génie civil pour des ponts mixtes.
Attention au réglage initial ! Le joint ne doit pas être posé avec une ouverture "moyenne" si on le pose en hiver. Il doit être préréglé en fonction de la température exacte du jour de la pose (ouverture plus grande s'il fait froid, plus petite s'il fait chaud) pour garantir qu'il reste dans sa plage de fonctionnement.
📄 Livrable Final (Note de Synthèse)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 30/01/2026 | Émission initiale pour dimensionnement des joints | Ing. Junior |
- Longueur dilatable : 46,00 m
- Matériau : Acier S355 (\(E=210 \text{ GPa}\), \(\alpha=12 \mu\epsilon/\text{°C}\))
- Plage de température de calcul : -25°C à +55°C
Jean DUPONT
Marie CURIE
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