Calcul du Diamètre du Réservoir d’eau

A. Calcul du volume total d’eau nécessaire sans coefficient de sécurité

Pour connaître le volume total d’eau nécessaire pendant la période de sécheresse, il faut multiplier la population de la ville par la consommation moyenne d’eau quotidienne par personne, puis multiplier ce résultat par le nombre de jours de sécheresse.

Formule

\[ V = \text{Population} \times \text{Consommation/jour} \times \text{Nombre de jours} \]

Données

Calcul

Substituons les valeurs dans la formule :

\[ V = 50\,000 \times 150 \times 10 \]

Calculons d’abord \(50\,000 \times 150\) :

\[ 50\,000 \times 150 = 7\,500\,000 \, \text{litres/jour} \]

Puis, multiplions par 10 jours :

\[ 7\,500\,000 \times 10 = 75\,000\,000 \, \text{litres} \]

Résultat A : Le volume total nécessaire sans coefficient de sécurité est de 75 000 000 litres (ce qui correspond aussi à 75 000 m³, car \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ litres}\)).

B. Détermination du volume nécessaire en appliquant le coefficient de sécurité

Le coefficient de sécurité permet d’augmenter le volume initial pour tenir compte de l’incertitude de la demande future et de possibles fuites. Ce coefficient est ici de 20 %, ce qui revient à multiplier le volume initial par 1,20.

Formule

\[ V_{\text{sécurisé}} = V \times (1 + \text{Coefficient de sécurité}) \]

Données

Calcul

Substituons les valeurs :

\[ V_{\text{sécurisé}} = 75\,000\,000 \times (1 + 0,20) \] \[ V_{\text{sécurisé}} = 75\,000\,000 \times 1,20 \]

Calcul :

\[ 75\,000\,000 \times 1,20 = 90\,000\,000 \, \text{litres} \]

Résultat B : Le volume requis avec le coefficient de sécurité est de 90 000 000 litres (ou 90 000 m³).

C. Calcul du diamètre nécessaire du réservoir

Le réservoir a une forme cylindrique et sa capacité est donnée par la formule du volume du cylindre. On connaît le volume requis et la hauteur du réservoir, il s’agit donc de déterminer le diamètre de la base circulaire qui permettra d’atteindre ce volume.

Formule

Le volume d’un cylindre est défini par :

\[ V = \pi \times R^2 \times h \]

où \( R \) est le rayon et \( h \) la hauteur. On peut exprimer le diamètre \( D = 2R \) et isoler \( R \) :

\[ R = \sqrt{\frac{V}{\pi \times h}} \]

ou directement trouver \( D \) par :

\[ D = 2 \times \sqrt{\frac{V}{\pi \times h}} \]

Pour simplifier le calcul, une autre forme équivalente de la formule du diamètre est :

\[ D = \sqrt{\frac{4V}{\pi \times h}} \]

Données

- Volume requis (avec sécurité) : \( V = 90\,000\,000 \) litres ou \( 90\,000 \) m³.
- Hauteur du réservoir : \( h = 10 \) mètres.
- \( \pi \approx 3,1416 \).

Calcul

Premièrement, s'assurons-nous d'utiliser des unités cohérentes. Ici, nous utiliserons des m³ :

\[ V = 90\,000 \, \text{m}^3 \]

Ensuite, substituons les valeurs dans la formule du diamètre :

\[ D = \sqrt{\frac{4 \times 90\,000}{\pi \times 10}} \]

Étape 1 : Calcul du numérateur

\[ 4 \times 90\,000 = 360\,000 \]

Étape 2 : Calcul du dénominateur

\[ \pi \times 10 \approx 3,1416 \times 10 = 31,416 \]

Étape 3 : Division numérateur / dénominateur

\[ \frac{360\,000}{31,416} \approx 11\,459,16 \]

Étape 4 : Calcul de la racine carrée

\[ D = \sqrt{11\,459,16} \approx 107,1 \, \text{mètres} \]

Résultat C : Le diamètre du réservoir nécessaire est d’environ 107,1 mètres.