Études de cas pratique

EGC

Calcul de la masse volumique humide

Calcul de la Masse Volumique Humide du Sol

Comprendre la Masse Volumique Humide et le Poids Volumique Humide

La masse volumique humide (\(\rho_h\)) d'un sol, aussi appelée densité humide, est une propriété physique de base qui représente la masse totale de l'échantillon de sol (solides + eau + air) par unité de volume total. Le poids volumique humide (\(\gamma_h\)), quant à lui, est le poids total par unité de volume total. Ces paramètres sont fondamentaux en géotechnique pour évaluer les contraintes dans le sol, la stabilité des ouvrages, et pour dériver d'autres propriétés importantes comme le poids volumique sec et la teneur en eau. Ils sont généralement déterminés à partir de mesures de masse et de volume d'un échantillon de sol prélevé sur site.

Données de l'étude

Un échantillon de sol est prélevé sur un chantier à l'aide d'un moule cylindrique (carottier) de dimensions connues.

Caractéristiques du moule et de l'échantillon :

  • Diamètre intérieur du moule (\(D\)) : \(10.0 \, \text{cm}\)
  • Hauteur du moule (et de l'échantillon, \(H\)) : \(12.0 \, \text{cm}\)
  • Masse du moule vide (\(M_{moule}\)) : \(850 \, \text{g}\)
  • Masse du moule rempli de sol humide (\(M_{total}\)) : \(3050 \, \text{g}\)

On prendra l'accélération due à la gravité \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\).

Schéma : Prélèvement d'un Échantillon de Sol
Moule Cylindrique Sol Humide H=12cm D=10cm Échantillon de Sol dans Moule

Schéma d'un échantillon de sol contenu dans un moule cylindrique.

Questions à traiter

  1. Calculer le volume total (\(V_t\)) de l'échantillon de sol en cm³ puis en m³.
  2. Calculer la masse du sol humide (\(M_h\)) en grammes (g) puis en kilogrammes (kg).
  3. Calculer la masse volumique humide (\(\rho_h\)) du sol en g/cm³ et en kg/m³.
  4. Calculer le poids du sol humide (\(W_h\)) en Newtons (N).
  5. Calculer le poids volumique humide (\(\gamma_h\)) du sol en N/m³ et en kN/m³.

Correction : Calcul de la Masse Volumique Humide du Sol

Question 1 : Volume Total (\(V_t\)) de l'Échantillon

Principe :

Le volume total de l'échantillon de sol correspond au volume intérieur du moule cylindrique qui le contient. Un cylindre a une base circulaire. L'aire de cette base circulaire est donnée par la formule \(A = \pi r^2\), où \(r\) est le rayon, ou, en utilisant le diamètre \(D\), \(A = \frac{\pi D^2}{4}\). Le volume du cylindre est ensuite obtenu en multipliant l'aire de sa base par sa hauteur \(H\). Il est important d'être attentif aux unités : si le diamètre et la hauteur sont en centimètres (cm), le volume sera calculé en centimètres cubes (cm³). Une conversion sera ensuite nécessaire pour obtenir le volume en mètres cubes (m³), unité plus courante pour les calculs géotechniques impliquant des poids volumiques en kN/m³.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_t = \frac{\pi D^2}{4} H \]
Données spécifiques :
  • Diamètre (\(D\)) : \(10.0 \, \text{cm}\)
  • Hauteur (\(H\)) : \(12.0 \, \text{cm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_t &= \frac{\pi (10.0 \, \text{cm})^2}{4} \cdot (12.0 \, \text{cm}) \\ &= \frac{\pi \cdot 100 \, \text{cm}^2}{4} \cdot 12.0 \, \text{cm} \\ &= 25\pi \, \text{cm}^2 \cdot 12.0 \, \text{cm} \\ &= 300\pi \, \text{cm}^3 \\ &\approx 942.4778 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]

Pour convertir les cm³ en m³, on utilise la relation \(1 \, \text{m} = 100 \, \text{cm}\), donc \(1 \, \text{m}^3 = (100 \, \text{cm})^3 = 10^6 \, \text{cm}^3\).

\[ V_t \approx 942.4778 \, \text{cm}^3 \cdot \frac{1 \, \text{m}^3}{1000000 \, \text{cm}^3} \approx 9.424778 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \]

Pour la suite des calculs, nous arrondirons \(V_t \approx 942.48 \, \text{cm}^3\) et \(V_t \approx 9.425 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\).

Résultat Question 1 : Le volume total de l'échantillon est \(V_t \approx 942.48 \, \text{cm}^3\) ou \(9.425 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\).

Question 2 : Masse du Sol Humide (\(M_h\))

Principe :

La masse du sol humide (\(M_h\)) correspond à la masse de l'échantillon de sol tel qu'il a été prélevé, c'est-à-dire incluant les particules solides et l'eau présente dans ses pores (et potentiellement de l'air, bien que la masse de l'air soit négligeable). Pour l'obtenir, on pèse le moule rempli de sol humide (\(M_{total}\)) puis on soustrait la masse du moule vide (\(M_{moule}\)) qui a été préalablement mesurée. Cette opération permet d'isoler la masse propre de l'échantillon de sol.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ M_h = M_{total} - M_{moule} \]
Données spécifiques :
  • Masse totale (\(M_{total}\)) : \(3050 \, \text{g}\)
  • Masse du moule (\(M_{moule}\)) : \(850 \, \text{g}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_h &= 3050 \, \text{g} - 850 \, \text{g} \\ &= 2200 \, \text{g} \end{aligned} \]

Pour les calculs ultérieurs et pour une meilleure cohérence avec les unités du Système International (SI), il est utile de convertir cette masse en kilogrammes (kg), sachant que \(1 \, \text{kg} = 1000 \, \text{g}\).

\[ M_h = 2200 \, \text{g} \cdot \frac{1 \, \text{kg}}{1000 \, \text{g}} = 2.20 \, \text{kg} \]
Résultat Question 2 : La masse du sol humide est \(M_h = 2200 \, \text{g}\) ou \(2.20 \, \text{kg}\).

Question 3 : Masse Volumique Humide (\(\rho_h\))

Principe :

La masse volumique humide, souvent appelée densité humide, est une caractéristique intrinsèque du sol dans son état naturel (humide). Elle est définie comme le rapport de la masse du sol humide (\(M_h\)) à son volume total (\(V_t\)). Cette valeur nous renseigne sur la compacité du sol et sa teneur en matière (solides et eau) par unité de volume. Elle peut être exprimée en g/cm³ (courant en laboratoire) ou en kg/m³ (unité SI plus standard pour les calculs d'ingénierie).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \rho_h = \frac{M_h}{V_t} \]
Données spécifiques :
  • Masse du sol humide (\(M_h\)) : \(2200 \, \text{g}\) ou \(2.20 \, \text{kg}\)
  • Volume total (\(V_t\)) : \(942.48 \, \text{cm}^3\) ou \(9.425 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\)
Calcul en g/cm³ :
\[ \begin{aligned} \rho_h &= \frac{2200 \, \text{g}}{942.48 \, \text{cm}^3} \\ &\approx 2.33427 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]
Calcul en kg/m³ :
\[ \begin{aligned} \rho_h &= \frac{2.20 \, \text{kg}}{9.425 \times 10^{-4} \, \text{m}^3} \\ &\approx 2334.217 \, \text{kg/m}^3 \end{aligned} \]

Vérification de la conversion : \(1 \, \text{g/cm}^3 = \frac{0.001 \, \text{kg}}{(0.01 \, \text{m})^3} = \frac{0.001 \, \text{kg}}{10^{-6} \, \text{m}^3} = 1000 \, \text{kg/m}^3\). Donc, \(2.33427 \, \text{g/cm}^3 \times 1000 \approx 2334.27 \, \text{kg/m}^3\). Les résultats sont cohérents.

Résultat Question 3 : La masse volumique humide du sol est \(\rho_h \approx 2.33 \, \text{g/cm}^3\) ou \(\approx 2334 \, \text{kg/m}^3\).

Question 4 : Poids du Sol Humide (\(W_h\))

Principe :

Le poids est une force, et il est obtenu en multipliant la masse d'un objet par l'accélération due à la gravité (\(g\)). Ici, nous calculons le poids total de l'échantillon de sol humide (\(W_h\)) en utilisant sa masse humide (\(M_h\)) déterminée précédemment. Il est important d'utiliser la masse en kilogrammes (kg) et l'accélération de la gravité en m/s² pour obtenir un poids en Newtons (N), l'unité de force du Système International.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W_h = M_h \cdot g \]
Données spécifiques :
  • Masse du sol humide (\(M_h\)) : \(2.20 \, \text{kg}\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_h &= (2.20 \, \text{kg}) \cdot (9.81 \, \text{m/s}^2) \\ &= 21.582 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le poids du sol humide est \(W_h \approx 21.58 \, \text{N}\).

Question 5 : Poids Volumique Humide (\(\gamma_h\))

Principe :

Le poids volumique humide (\(\gamma_h\)), aussi appelé poids spécifique total, est défini comme le poids du sol humide par unité de volume total. Il peut être calculé de deux manières équivalentes : 1. En divisant le poids du sol humide (\(W_h\)) par le volume total de l'échantillon (\(V_t\)). 2. En multipliant la masse volumique humide (\(\rho_h\)) par l'accélération due à la gravité (\(g\)). Le résultat est généralement exprimé en N/m³ ou, plus couramment en géotechnique, en kN/m³.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \gamma_h = \frac{W_h}{V_t} \quad \text{ou} \quad \gamma_h = \rho_h \cdot g \]
Données spécifiques :
  • Poids du sol humide (\(W_h\)) : \(21.582 \, \text{N}\)
  • Volume total (\(V_t\)) : \(9.425 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\)
  • Ou \(\rho_h \approx 2334.22 \, \text{kg/m}^3\) et \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul (Méthode 1 : \(W_h/V_t\)) :
\[ \begin{aligned} \gamma_h &= \frac{21.582 \, \text{N}}{9.425 \times 10^{-4} \, \text{m}^3} \\ &\approx 22898.67 \, \text{N/m}^3 \end{aligned} \]

Conversion en kN/m³ (\(1 \, \text{kN} = 1000 \, \text{N}\)) :

\[ \gamma_h \approx \frac{22898.67}{1000} \, \text{kN/m}^3 \approx 22.90 \, \text{kN/m}^3 \]

Calcul (Méthode 2 : \(\rho_h \cdot g\)) :

\[ \begin{aligned} \gamma_h &= (2334.22 \, \text{kg/m}^3) \cdot (9.81 \, \text{m/s}^2) \\ &\approx 22898.7 \, \text{N/m}^3 \\ &\approx 22.90 \, \text{kN/m}^3 \end{aligned} \]

Les résultats des deux méthodes sont cohérents, confirmant la validité des calculs.

Résultat Question 5 : Le poids volumique humide du sol est \(\gamma_h \approx 22.90 \, \text{kN/m}^3\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la teneur en eau de l'échantillon augmentait (le volume total restant le même), la masse volumique humide :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La masse volumique humide d'un sol est :

2. Le poids volumique humide (\(\gamma_h\)) est lié à la masse volumique humide (\(\rho_h\)) par :

Glossaire

Masse Volumique Humide (\(\rho_h\))
Rapport de la masse totale d'un échantillon de sol (solides + eau + air) à son volume total. Unités typiques : g/cm³ ou kg/m³.
Poids Volumique Humide (ou Total, \(\gamma_h\) ou \(\gamma_t\))
Rapport du poids total d'un échantillon de sol (solides + eau + air) à son volume total. Unités typiques : N/m³ ou kN/m³. C'est égal à \(\rho_h \cdot g\).
Masse du Sol Humide (\(M_h\))
Masse de l'échantillon de sol dans son état naturel, incluant les particules solides et l'eau contenue dans les pores.
Poids du Sol Humide (\(W_h\))
Poids de l'échantillon de sol dans son état naturel (\(W_h = M_h \cdot g\)).
Volume Total (\(V_t\))
Volume total occupé par l'échantillon de sol, incluant le volume des particules solides, le volume de l'eau et le volume de l'air dans les pores.
Carottier
Outil cylindrique utilisé pour prélever des échantillons de sol intacts (non remaniés) sur le terrain.
Calcul de la Masse Volumique Humide du Sol - Exercice d'Application

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