Charges, Contraintes et Déformations
Contexte : Le pilier de la Résistance des Matériaux.
La relation entre une charge appliquée, la contrainte interne qu'elle génère et la déformation qui en résulte est le fondement absolu de la mécanique des structures. Chaque élément d'un ouvrage, qu'il s'agisse d'un tirant dans une charpente, d'un poteau en béton ou d'un câble de pont, doit être conçu pour résister aux forces (charges) sans dépasser une contrainte admissible et sans se déformer excessivement. Cet exercice de base sur un tirant en acier vous guidera à travers ce processus fondamental, de la force externe à la vérification de la résistance et au calcul de l'allongement.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est l'application la plus directe de la loi de Hooke, qui lie proportionnellement la contrainte et la déformation via le module de Young. Nous allons décomposer le problème en étapes logiques : d'abord, déterminer la "pression" interne (contrainte) due à la charge, puis vérifier si le matériau la supporte, et enfin, calculer de combien la pièce s'allonge. C'est la première étape indispensable avant d'aborder des sollicitations plus complexes comme la flexion ou la torsion.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la section (aire) d'une barre circulaire.
- Appliquer la formule de la contrainte normale (\(\sigma = F/S\)).
- Vérifier la résistance d'un élément en comparant la contrainte à la limite d'élasticité.
- Calculer la déformation (ou allongement relatif, \(\epsilon\)).
- Utiliser la loi de Hooke pour calculer l'allongement total (\(\Delta L\)) d'un tirant.
Données de l'étude
Schéma du tirant en acier sous traction
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Force de traction de service | \(F\) | 120 | \(\text{kN}\) |
| Longueur initiale du tirant | \(L\) | 3000 | \(\text{mm}\) |
| Diamètre du tirant | \(d\) | 25 | \(\text{mm}\) |
| Module d'élasticité (Young) de l'acier | \(E\) | 210 | \(\text{GPa}\) |
| Limite d'élasticité de l'acier | \(\sigma_{\text{e}}\) | 235 | \(\text{MPa}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'aire de la section transversale \(S\) du tirant.
- Calculer la contrainte normale \(\sigma\) dans le tirant.
- Vérifier la résistance du tirant en comparant \(\sigma\) à \(\sigma_{\text{e}}\).
- Calculer l'allongement total \(\Delta L\) du tirant sous l'effet de la charge.
Les bases de la Résistance des Matériaux
Avant de commencer, revoyons les trois relations fondamentales qui gouvernent ce problème.
1. La Contrainte Normale (\(\sigma\)) :
C'est la force interne par unité de surface, agissant perpendiculairement à la section. Elle mesure l'intensité de la traction (ou compression) dans le matériau.
\[ \sigma = \frac{F}{S} \]
Où \(F\) est la force axiale et \(S\) est l'aire de la section transversale.
2. La Déformation (\(\epsilon\)) :
Aussi appelée allongement relatif, c'est une mesure sans dimension de l'étirement du matériau. C'est le rapport de l'allongement \(\Delta L\) par la longueur initiale \(L\).
\[ \epsilon = \frac{\Delta L}{L} \]
3. La Loi de Hooke :
C'est la loi qui relie la contrainte à la déformation pour un matériau élastique. Elle stipule que la contrainte est proportionnelle à la déformation. Le coefficient de proportionnalité est le Module de Young (\(E\)).
\[ \sigma = E \cdot \epsilon \]
Cette loi est le pilier de tous les calculs de déformation élastique.
Correction : Charges, Contraintes et Déformations
Question 1 : Calculer l'aire de la section transversale (S)
Principe (le concept physique)
L'aire de la section transversale est la surface sur laquelle la force de traction se répartit. C'est la surface que l'on verrait si l'on coupait le tirant perpendiculairement à sa longueur. Pour une barre cylindrique, cette surface est un disque. Sa superficie est une propriété purement géométrique qui ne dépend que de son diamètre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'aire d'un cercle est une formule géométrique de base, \(A = \pi r^2\). Comme le diamètre \(d\) est deux fois le rayon (\(d = 2r\)), on peut substituer \(r = d/2\) dans la formule, ce qui donne \(A = \pi (d/2)^2 = \pi d^2 / 4\). Cette dernière forme est souvent plus directe à utiliser car les diamètres sont généralement les données d'entrée en ingénierie.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette première étape peut sembler triviale, mais elle est cruciale. Une erreur sur le calcul de la section se répercutera sur tous les calculs suivants (contrainte, vérification, etc.). Prenez toujours le temps de la poser correctement. C'est la fondation de votre analyse.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de construction, comme l'Eurocode 3 pour l'acier, spécifient toujours de baser les calculs de résistance sur l'aire de la section. Pour les éléments filetés (comme une tige filetée), on doit utiliser l'aire de la section nette, plus petite que l'aire brute, car les filets réduisent la section résistante.
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'aire S d'un disque de diamètre d est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le tirant est parfaitement cylindrique et que sa section est constante sur toute sa longueur. On utilise l'aire brute de la section.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Diamètre du tirant, \(d = 25 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Gardez la valeur exacte (\(S = ... \pi\)) dans votre calculatrice aussi longtemps que possible pour éviter les erreurs d'arrondi dans les étapes suivantes. N'arrondissez qu'à la toute fin du calcul de la contrainte ou de l'allongement.
Schéma (Avant les calculs)
Section Transversale du Tirant
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule avec le diamètre en mm. Le résultat sera en mm².
Schéma (Après les calculs)
Aire de la Section Transversale
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La section du tirant a une aire d'environ 491 mm². C'est sur cette petite surface, équivalente à une pièce de 2 euros, que va s'appliquer l'intégralité de la force de 120 000 N. Cela nous permet d'anticiper que la contrainte interne sera élevée.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est de confondre le rayon et le diamètre dans la formule. Si vous utilisez \(\pi r^2\) avec le diamètre, votre surface sera 4 fois trop grande et votre contrainte 4 fois trop faible, ce qui est très dangereux. Utilisez toujours la formule cohérente avec votre donnée d'entrée (\(d\) ou \(r\)).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'aire d'une section est la surface qui résiste à l'effort.
- Pour un cercle, \(S = \pi d^2 / 4\).
- Une erreur sur S invalide tous les calculs suivants.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour optimiser le rapport résistance/poids, les ingénieurs utilisent souvent des profils creux (tubes). Un tube de grand diamètre avec une paroi fine peut avoir une aire (et donc un poids) similaire à une barre pleine plus petite, mais il sera beaucoup plus résistant à la flexion et au flambement (instabilité en compression).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le diamètre du tirant était de 30 mm, quelle serait son aire en mm² (arrondir à 2 décimales) ?
Question 2 : Calculer la contrainte normale (\(\sigma\))
Principe (le concept physique)
La contrainte normale est la mesure de l'effort interne réparti sur la section de la pièce. Elle représente l'intensité avec laquelle les atomes du matériau sont "tirés" les uns par rapport aux autres. C'est le rapport entre la force axiale appliquée et l'aire de la section qui la supporte. C'est la valeur clé pour évaluer la sollicitation du matériau.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La contrainte est un tenseur, mais dans le cas simple de la traction pure, on ne s'intéresse qu'à sa composante normale, \(\sigma\). Cette contrainte est supposée uniforme sur toute la section, une hypothèse valide loin des points d'application de la charge (principe de Saint-Venant). La contrainte est positive en traction (étirement) et négative en compression (écrasement).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La contrainte est le concept qui permet à un ingénieur de comparer des situations différentes. Un câble de pont de 10 cm de diamètre supportant des milliers de tonnes et un fil de pêche de 0.2 mm supportant un poisson de 1 kg peuvent tous deux être analysés avec le même outil : la contrainte. C'est elle qui nous dira lequel des deux est le plus "chargé" par rapport à sa capacité.
Normes (la référence réglementaire)
Toutes les vérifications de résistance dans les codes de calcul (Eurocodes, ACI, etc.) sont basées sur la comparaison entre la contrainte de calcul dans l'élément (\(\sigma_{Ed}\)) et une contrainte de résistance du matériau (\(\sigma_{Rd}\)). La condition à vérifier est toujours \(\sigma_{Ed} \le \sigma_{Rd}\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la force \(F\) est appliquée au centre de gravité de la section, ce qui induit une traction pure sans flexion parasite. On suppose également que la contrainte est uniformément répartie sur la section.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Force de traction, \(F = 120 \, \text{kN}\)
- Aire de la section, \(S \approx 490.87 \, \text{mm}^2\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Assurez-vous que vos unités sont cohérentes. La combinaison la plus simple est la force en Newtons (N) et l'aire en millimètres carrés (mm²). Le résultat sera alors directement en Mégapascals (MPa), l'unité standard pour les contraintes en génie civil.
Schéma (Avant les calculs)
Force Appliquée sur la Section
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Convertir la force en Newtons :
2. Calculer la contrainte normale :
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Normale dans la Section
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte interne dans le tirant est de 244.5 MPa. Cette valeur est très élevée et semble proche de la limite d'élasticité du matériau, qui est de 235 MPa. Cela suggère que le tirant est très fortement sollicité, peut-être même trop. La prochaine question nous permettra de le vérifier formellement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne confondez jamais la force en Newtons (N) et la contrainte en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa). La force est un effort global sur la pièce, la contrainte est un effort local par unité de surface. Une grosse pièce peut supporter une grande force avec une faible contrainte.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte normale est la force divisée par l'aire : \(\sigma = F/S\).
- Elle représente la "charge" interne du matériau.
- L'unité standard est le Mégapascal (MPa).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les câbles des ponts suspendus sont faits d'aciers à très haute résistance, avec des limites d'élasticité qui peuvent dépasser 1500 MPa, soit plus de 6 fois la résistance de l'acier de construction standard que nous étudions ici. Cela permet d'utiliser des câbles plus fins et plus légers pour supporter le poids du pont.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec une force de 100 kN et une aire de 500 mm², quelle serait la contrainte \(\sigma\) en MPa ?
Question 3 : Vérifier la résistance du tirant
Principe (le concept physique)
La vérification de la résistance est l'étape la plus importante du dimensionnement. Elle consiste à comparer la contrainte agissant dans la pièce (\(\sigma\)) à la résistance maximale du matériau avant déformation permanente (la limite d'élasticité, \(\sigma_{\text{e}}\)). Si la contrainte est inférieure à la limite, la pièce est considérée comme sûre et se comportera de manière élastique (elle retrouvera sa forme initiale si on enlève la charge).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La limite d'élasticité \(\sigma_{\text{e}}\) (ou "yield strength" en anglais) marque la fin du domaine élastique et le début du domaine plastique. Au-delà de ce point, le matériau subit des déformations permanentes. Pour les aciers de construction, on observe souvent un palier de plasticité où la déformation augmente sans augmentation de la contrainte, avant que le matériau ne durcisse à nouveau jusqu'à la rupture.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est le moment de vérité pour l'ingénieur. Tous les calculs précédents convergent vers cette simple comparaison. C'est un "Go / No-Go". Si la condition n'est pas respectée, la conception doit être modifiée (par exemple, en augmentant le diamètre du tirant pour réduire la contrainte).
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de calcul introduisent des coefficients de sécurité. La vérification à l'État Limite Ultime (ELU) s'écrit \( \sigma_{Ed} \le \sigma_{Rd} \), où \(\sigma_{Ed}\) est la contrainte due aux charges majorées et \(\sigma_{Rd} = \sigma_e / \gamma_M\) est la résistance de calcul, avec \(\gamma_M\) un coefficient de sécurité sur le matériau (typiquement 1.0 ou 1.1 pour l'acier). Notre exercice est une vérification simplifiée sans ces coefficients.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La condition de résistance à vérifier est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la limite d'élasticité fournie est une valeur minimale garantie pour l'acier utilisé et qu'elle est valable en traction. On effectue une vérification à l'état de service, sans coefficients de sécurité.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Contrainte calculée, \(\sigma \approx 244.5 \, \text{MPa}\) (de Q2)
- Limite d'élasticité, \(\sigma_{\text{e}} = 235 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Lorsque la contrainte calculée est très proche de la limite, soyez particulièrement vigilant. Une petite variation des charges ou des dimensions pourrait faire basculer le résultat. Dans la pratique, les ingénieurs visent une "marge" en s'assurant que la contrainte ne dépasse pas, par exemple, 80% ou 90% de la limite, même après application des coefficients de sécurité.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte / Limite d'Élasticité
Calcul(s) (l'application numérique)
On compare directement les deux valeurs :
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte calculée (244.5 MPa) est SUPÉRIEURE à la limite d'élasticité du matériau (235 MPa). Cela signifie que sous la charge de service, le tirant va plastifier, c'est-à-dire subir des déformations permanentes. Il ne va pas nécessairement rompre immédiatement, mais il s'allongera de manière irréversible. Cette conception n'est pas acceptable.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais conclure qu'un design est sûr si \(\sigma > \sigma_{\text{e}}\). Même si la rupture n'est pas immédiate, la plastification est considérée comme une défaillance de la structure dans la plupart des cas, car elle entraîne des déformations inacceptables et change le comportement de l'ouvrage.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La condition de résistance de base est \(\sigma \le \sigma_{\text{e}}\).
- Si la contrainte dépasse la limite d'élasticité, il y a plastification.
- Une conception où \(\sigma > \sigma_{\text{e}}\) est généralement refusée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans certaines applications, comme la conception parasismique, on autorise volontairement la plastification contrôlée de certains éléments (les "fusibles"). Ces éléments sont conçus pour se déformer plastiquement et dissiper l'énergie du tremblement de terre, protégeant ainsi le reste de la structure, plus fragile.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel devrait être le diamètre minimal du tirant (en mm, arrondi à l'entier supérieur) pour que la contrainte soit exactement égale à 235 MPa ?
Question 4 : Calculer l'allongement total (\(\Delta L\))
Principe (le concept physique)
Lorsqu'un matériau est mis en traction, il s'allonge. La loi de Hooke nous dit que cet allongement est proportionnel à la contrainte tant que l'on reste dans le domaine élastique. En combinant les trois formules de base, nous pouvons directement relier l'allongement total \(\Delta L\) à la force appliquée, aux dimensions de la pièce et à la nature du matériau.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
On part de la loi de Hooke \(\sigma = E \epsilon\). On remplace \(\sigma\) par \(F/S\) et \(\epsilon\) par \(\Delta L/L\). On obtient : \(\frac{F}{S} = E \frac{\Delta L}{L}\). En isolant \(\Delta L\), on trouve la formule de l'allongement élastique, parfois appelée "formule des 4 termes" : \(\Delta L = \frac{FL}{ES}\). Cette équation est l'une des plus importantes de la RdM.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point important : Puisque notre calcul précédent a montré que \(\sigma > \sigma_{\text{e}}\), la loi de Hooke n'est plus strictement applicable et le calcul d'allongement élastique n'est plus valide. Cependant, pour l'exercice, nous allons faire le calcul *comme si* le matériau restait élastique pour illustrer la méthode. C'est une démarche courante pour estimer un ordre de grandeur ou pour le dimensionnement initial.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de construction imposent des limites aux déformations (appelées "flèches" ou "déplacements") pour garantir le confort des usagers et l'intégrité des éléments non-structuraux (cloisons, fenêtres). Ces vérifications, faites aux États Limites de Service (ELS), utilisent la formule de l'allongement élastique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'allongement total est donné par :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le comportement du matériau est linéaire-élastique (malgré la conclusion de la Q3), que E est constant sur toute la longueur et que la section S est également constante.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Force de traction, \(F = 120000 \, \text{N}\)
- Longueur initiale, \(L = 3000 \, \text{mm}\)
- Module de Young, \(E = 210 \, \text{GPa}\)
- Aire de la section, \(S \approx 490.87 \, \text{mm}^2\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Attention aux unités du Module de Young ! Il est souvent donné en Gigapascals (GPa). Pour être cohérent avec les N et les mm, il faut le convertir en Mégapascals (MPa). 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm².
Schéma (Avant les calculs)
Allongement du Tirant
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Convertir le module de Young en MPa :
2. Calculer l'allongement :
Schéma (Après les calculs)
Allongement Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Si le comportement était resté élastique, le tirant de 3 mètres se serait allongé d'environ 3.5 mm. C'est un allongement faible mais non négligeable. En réalité, comme la plastification a commencé, l'allongement réel sera supérieur à cette valeur. Ce calcul nous donne donc une estimation basse de la déformation.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est l'incohérence des unités, notamment entre GPa et MPa. Assurez-vous que toutes vos unités sont dans un système cohérent (N, mm, MPa) avant de lancer le calcul. Une erreur d'un facteur 1000 sur E est vite arrivée.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'allongement est proportionnel à la force et à la longueur.
- Il est inversement proportionnel à la rigidité (E) et à la section (S).
- La formule clé est \(\Delta L = FL/(ES)\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La dilatation thermique suit une loi très similaire à l'allongement mécanique. L'allongement dû à une variation de température \(\Delta T\) est \(\Delta L = \alpha \cdot L \cdot \Delta T\), où \(\alpha\) est le coefficient de dilatation thermique. Les ingénieurs doivent souvent combiner les deux effets pour calculer la déformation totale d'une structure.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour un tirant de 5000 mm de long, avec F=100kN, S=500mm² et E=210000MPa, quel serait l'allongement \(\Delta L\) en mm ?
Outil Interactif : Paramètres de Traction
Modifiez les paramètres du tirant pour voir leur influence sur la contrainte et l'allongement.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Robert Hooke, qui a énoncé la loi sur l'élasticité en 1678, était un scientifique extraordinairement polyvalent, souvent comparé à Léonard de Vinci. Il a fait des découvertes majeures en physique, astronomie (il a découvert la Grande Tache Rouge de Jupiter), biologie (il a inventé le mot "cellule" en observant du liège au microscope), et a été l'architecte en chef de la reconstruction de Londres après le grand incendie de 1666.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si la charge est une compression au lieu d'une traction ?
Les formules de contrainte (\(\sigma = F/S\)) et de déformation élastique (\(\Delta L = FL/(ES)\)) restent exactement les mêmes. La seule différence est que la contrainte sera négative et que \(\Delta L\) représentera un raccourcissement au lieu d'un allongement. Cependant, pour les éléments longs et minces en compression, un nouveau phénomène peut apparaître : le flambement, qui est une instabilité de la forme et qui nécessite des calculs différents.
Le poids du tirant a-t-il une influence ?
Oui, en théorie. Le poids propre de la barre induit une contrainte de traction qui varie le long de la barre (maximale à l'ancrage supérieur, nulle à l'extrémité libre). Pour la plupart des applications en génie civil, cette contrainte due au poids propre est très faible par rapport à celle due aux charges externes et est donc négligée, comme nous l'avons fait ici.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour un tirant donné, si on double la force de traction F, l'allongement \(\Delta L\) sera...
2. Lequel de ces changements réduirait le plus efficacement la contrainte dans le tirant ?
- Contrainte Normale (\(\sigma\))
- Force interne par unité de surface agissant perpendiculairement à la section. Positive en traction, négative en compression. Unité : Pascal (Pa) ou Mégapascal (MPa).
- Déformation (\(\epsilon\))
- Allongement (ou raccourcissement) relatif d'un matériau, exprimé comme le rapport de la variation de longueur sur la longueur initiale. C'est une grandeur sans dimension.
- Loi de Hooke
- Principe physique qui énonce que, dans son domaine élastique, la déformation d'un matériau est proportionnelle à la contrainte qu'on lui applique. La constante de proportionnalité est le module de Young (E).
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