Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Position du Centre de Poussée

Calcul de la Position du Centre de Poussée en Hydraulique

Calcul de la Position du Centre de Poussée en Hydraulique

Comprendre le Centre de Poussée

Lorsqu'une surface plane est immergée dans un fluide, elle est soumise à des forces de pression hydrostatique. La résultante de ces forces de pression est une force unique qui agit en un point appelé le centre de poussée (P). La position du centre de poussée est cruciale pour la conception des structures hydrauliques telles que les vannes, les barrages, et les parois de réservoirs, car elle détermine le point d'application de la force hydrostatique totale, ce qui est essentiel pour analyser la stabilité et les contraintes sur la structure.

Le centre de poussée est généralement situé en dessous du centroïde (G) de la surface immergée, car la pression augmente avec la profondeur.

Données de l'étude

On étudie une vanne rectangulaire plane immergée dans de l'eau.

Caractéristiques de la vanne et du fluide :

  • Forme de la vanne : Rectangulaire
  • Hauteur de la vanne (\(h\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la vanne (\(b\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Le bord supérieur de la vanne est situé à une profondeur verticale (\(h_1\)) de \(1.0 \, \text{m}\) sous la surface libre de l'eau.
  • La vanne est inclinée d'un angle (\(\theta\)) de \(60^\circ\) par rapport à l'horizontale.
  • Fluide : Eau, avec un poids spécifique (\(\gamma\)) de \(9810 \, \text{N/m}^3\).
Schéma : Vanne Rectangulaire Inclinée Immergée
Surface Libre G P F_R h_1 ȳ_s y_P ȳ_v θ=60° Vanne Rectangulaire Inclinée

Schéma d'une vanne rectangulaire inclinée soumise à la pression hydrostatique.

Questions à traiter

  1. Calculer la distance du bord supérieur de la vanne à la surface libre, mesurée le long du plan incliné de la vanne (\(s_1\)).
  2. Calculer la distance du centroïde (G) de la vanne à la surface libre, mesurée le long du plan incliné de la vanne (\(\bar{y}_{\text{s}}\)).
  3. Calculer la profondeur verticale du centroïde (G) de la vanne (\(\bar{y}_{\text{v}}\)).
  4. Calculer la force de pression hydrostatique résultante (\(F_R\)) s'exerçant sur la vanne.
  5. Calculer le moment d'inertie de la surface de la vanne par rapport à son axe centroidal horizontal (\(I_{Gxx}\)).
  6. Calculer la distance du centre de poussée (P) à la surface libre, mesurée le long du plan incliné de la vanne (\(y_P\)).
  7. Calculer la profondeur verticale du centre de poussée (P) (\(y_{Pv}\)).

Correction : Calcul de la Position du Centre de Poussée

Question 1 : Distance Inclinée au Bord Supérieur (\(s_1\))

Principe :

La distance \(s_1\) est la distance le long du plan incliné de la vanne, depuis la surface libre jusqu'au bord supérieur de la vanne. Elle est calculée à partir de la profondeur verticale \(h_1\) et de l'angle d'inclinaison \(\theta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[s_1 = \frac{h_1}{\sin\theta}\]
Données spécifiques :
  • \(h_1 = 1.0 \, \text{m}\)
  • \(\theta = 60^\circ\) (donc \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} s_1 &= \frac{1.0 \, \text{m}}{0.866} \\ &\approx 1.1547 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La distance inclinée au bord supérieur est \(s_1 \approx 1.155 \, \text{m}\).

Question 2 : Distance Inclinée au Centroïde (\(\bar{y}_{\text{s}}\))

Principe :

Le centroïde (G) d'une surface rectangulaire est situé à mi-hauteur. La distance \(\bar{y}_{\text{s}}\) est la distance le long du plan incliné de la vanne, depuis la surface libre jusqu'au centroïde G. Elle est égale à \(s_1\) plus la moitié de la hauteur de la vanne mesurée le long de son plan.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\bar{y}_{\text{s}} = s_1 + \frac{h}{2}\]

Note: Ici, \(h\) est la hauteur de la vanne elle-même, pas une profondeur verticale.

Données spécifiques :
  • \(s_1 \approx 1.1547 \, \text{m}\)
  • \(h = 2.0 \, \text{m}\) (hauteur de la vanne)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \bar{y}_{\text{s}} &= 1.1547 \, \text{m} + \frac{2.0 \, \text{m}}{2} \\ &= 1.1547 \, \text{m} + 1.0 \, \text{m} \\ &= 2.1547 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La distance inclinée au centroïde est \(\bar{y}_{\text{s}} \approx 2.155 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le centroïde d'une surface plane est :

Question 3 : Profondeur Verticale du Centroïde (\(\bar{y}_{\text{v}}\))

Principe :

La profondeur verticale du centroïde (\(\bar{y}_{\text{v}}\)) est la distance verticale depuis la surface libre jusqu'au centroïde G. Elle est calculée à partir de la distance inclinée \(\bar{y}_{\text{s}}\) et de l'angle d'inclinaison \(\theta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\bar{y}_{\text{v}} = \bar{y}_{\text{s}} \sin\theta\]
Données spécifiques :
  • \(\bar{y}_{\text{s}} \approx 2.1547 \, \text{m}\)
  • \(\theta = 60^\circ\) (donc \(\sin 60^\circ \approx 0.866\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} \bar{y}_{\text{v}} &= 2.1547 \, \text{m} \times 0.866 \\ &\approx 1.8659 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La profondeur verticale du centroïde est \(\bar{y}_{\text{v}} \approx 1.866 \, \text{m}\).

Question 4 : Force de Pression Hydrostatique Résultante (\(F_R\))

Principe :

La force de pression hydrostatique résultante (\(F_R\)) sur une surface plane immergée est égale au produit du poids spécifique du fluide (\(\gamma\)), de l'aire de la surface (\(A\)), et de la profondeur verticale du centroïde de la surface (\(\bar{y}_{\text{v}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_R = \gamma \cdot A \cdot \bar{y}_{\text{v}}\]
Données spécifiques :
  • \(\gamma = 9810 \, \text{N/m}^3\)
  • Aire de la vanne (\(A\)) : \(A = b \times h = 1.5 \, \text{m} \times 2.0 \, \text{m} = 3.0 \, \text{m}^2\)
  • \(\bar{y}_{\text{v}} \approx 1.8659 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_R &= 9810 \, \text{N/m}^3 \times 3.0 \, \text{m}^2 \times 1.8659 \, \text{m} \\ &= 29430 \, \text{N/m} \times 1.8659 \, \text{m} \\ &\approx 54912.2 \, \text{N} \end{aligned} \]

Soit \(F_R \approx 54.91 \, \text{kN}\).

Résultat Question 4 : La force de pression hydrostatique résultante est \(F_R \approx 54912 \, \text{N}\) (ou \(54.91 \, \text{kN}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : La force hydrostatique sur une surface plane immergée dépend de :

Question 5 : Moment d'Inertie (\(I_{Gxx}\))

Principe :

Le moment d'inertie (\(I_{Gxx}\)) de la surface de la vanne par rapport à son axe centroidal horizontal est une propriété géométrique qui influence la position du centre de poussée. Pour une surface rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), il est donné par \(I_{Gxx} = \frac{bh^3}{12}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{Gxx} = \frac{b h^3}{12}\]
Données spécifiques :
  • Largeur de la vanne (\(b\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la vanne (\(h\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{Gxx} &= \frac{1.5 \, \text{m} \times (2.0 \, \text{m})^3}{12} \\ &= \frac{1.5 \, \text{m} \times 8.0 \, \text{m}^3}{12} \\ &= \frac{12.0 \, \text{m}^4}{12} \\ &= 1.0 \, \text{m}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le moment d'inertie est \(I_{Gxx} = 1.0 \, \text{m}^4\).

Question 6 : Distance Inclinée au Centre de Poussée (\(y_P\))

Principe :

La distance \(y_P\) du centre de poussée (P) à la surface libre, mesurée le long du plan incliné de la surface, est donnée par la formule : \(y_P = \bar{y}_{\text{s}} + \frac{I_{Gxx}}{A \cdot \bar{y}_{\text{s}}}\). Le centre de poussée est toujours situé en dessous du centroïde pour une surface non horizontale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_P = \bar{y}_{\text{s}} + \frac{I_{Gxx}}{A \cdot \bar{y}_{\text{s}}}\]
Données spécifiques :
  • \(\bar{y}_{\text{s}} \approx 2.1547 \, \text{m}\)
  • \(I_{Gxx} = 1.0 \, \text{m}^4\)
  • \(A = 3.0 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_P &= 2.1547 \, \text{m} + \frac{1.0 \, \text{m}^4}{3.0 \, \text{m}^2 \times 2.1547 \, \text{m}} \\ &= 2.1547 \, \text{m} + \frac{1.0 \, \text{m}^4}{6.4641 \, \text{m}^3} \\ &= 2.1547 \, \text{m} + 0.1547 \, \text{m} \\ &\approx 2.3094 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La distance inclinée au centre de poussée est \(y_P \approx 2.309 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Pour une surface plane immergée verticalement, le centre de poussée par rapport au centroïde est :

Question 7 : Profondeur Verticale du Centre de Poussée (\(y_{Pv}\))

Principe :

La profondeur verticale du centre de poussée (\(y_{Pv}\)) est la distance verticale depuis la surface libre jusqu'au centre de poussée P. Elle est calculée à partir de la distance inclinée \(y_P\) et de l'angle d'inclinaison \(\theta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_{Pv} = y_P \sin\theta\]
Données spécifiques :
  • \(y_P \approx 2.3094 \, \text{m}\)
  • \(\theta = 60^\circ\) (donc \(\sin 60^\circ \approx 0.866\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_{Pv} &= 2.3094 \, \text{m} \times 0.866 \\ &\approx 2.0000 \, \text{m} \end{aligned} \]

Il est intéressant de noter que \(y_{Pv}\) est ici très proche de 2m. Cela peut être dû aux arrondis ou à une coïncidence des valeurs choisies.

Résultat Question 7 : La profondeur verticale du centre de poussée est \(y_{Pv} \approx 2.000 \, \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le centre de poussée sur une surface plane immergée est le point d'application de :

2. La force hydrostatique résultante sur une surface plane augmente si :

3. Pour une surface plane immergée (non horizontale), le centre de poussée est toujours situé :

Glossaire

Centre de Poussée (P)
Point d'application de la force hydrostatique résultante sur une surface immergée.
Centroïde (G)
Centre géométrique d'une surface plane.
Force Hydrostatique Résultante (\(F_R\))
Force unique équivalente à l'ensemble des forces de pression exercées par un fluide au repos sur une surface.
Poids Spécifique (\(\gamma\))
Poids d'un fluide par unité de volume. Pour l'eau, \(\gamma \approx 9810 \, \text{N/m}^3\).
Moment d'Inertie (\(I_{Gxx}\))
Propriété géométrique d'une surface qui décrit comment ses points sont distribués par rapport à un axe passant par son centroïde. Il est utilisé pour déterminer la position du centre de poussée.
Distance Inclinée (\(\bar{y}_{\text{s}}, y_P\))
Distance mesurée le long du plan de la surface immergée, depuis la surface libre du fluide jusqu'à un point d'intérêt (centroïde ou centre de poussée).
Profondeur Verticale (\(\bar{y}_{\text{v}}, y_{Pv}\))
Distance verticale mesurée depuis la surface libre du fluide jusqu'à un point d'intérêt (centroïde ou centre de poussée).
Calcul de la Position du Centre de Poussée - Exercice d'Application

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