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Pertes de Précontrainte dans une Poutre

Pertes de Précontrainte dans une Poutre en Béton Précontraint

Pertes de Précontrainte dans une Poutre

Contexte : La réalité de la précontrainte

Le principe du béton précontraint est d'introduire des forces de compression internes dans le béton à l'aide de câbles en acier tendus, pour compenser les tractions futures dues aux charges. Cependant, la force appliquée aux câbles par les vérins n'est pas celle qui restera active dans la structure. Entre le moment de la mise en tension et la fin de vie de l'ouvrage, une partie non négligeable de cette force initiale est perdue. Ces pertes de précontrainteDiminution de la tension dans les aciers de précontrainte au fil du temps, due à divers phénomènes physiques. Elles sont classées en pertes instantanées et pertes différées. doivent être calculées avec précision pour garantir que la précontrainte résiduelle soit suffisante pour assurer la performance de l'élément.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans le calcul des principales pertes de précontrainte pour une poutre en post-tension. Nous distinguerons les pertes "instantanées" (qui se produisent pendant ou juste après la mise en tension) des pertes "différées" (qui s'étalent sur toute la durée de vie de l'ouvrage).

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les pertes de tension dues au frottement du câble dans sa gaine.
  • Calculer la perte due au recul d'ancrage à l'extrémité du câble.
  • Calculer les pertes différées dues au retrait et au fluage du béton.
  • Calculer la perte due à la relaxation de l'acier de précontrainte.
  • Déterminer le pourcentage de perte total et la force de précontrainte finale.

Données de l'étude

On étudie une poutre de pont isostatique de section rectangulaire, de portée \(L = 40 \, \text{m}\), précontrainte par un seul câble parabolique mis en tension par post-tension. L'objectif est d'évaluer les pertes de précontrainte à mi-portée.

Schéma de la poutre et du tracé du câble
L = 40 m e = 50 cm

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Section de la poutre : \(b \times h = 40 \times 120 \, \text{cm}\).
  • Béton : C35/45 (\(f_{\text{ck}} = 35 \, \text{MPa}\), \(E_{\text{cm}} = 34 \, \text{GPa}\)).
  • Acier de précontrainte : Type TBR (Très Basse Relaxation), \(f_{\text{pk}} = 1860 \, \text{MPa}\), \(E_{\text{p}} = 195 \, \text{GPa}\).
  • Câble : 19 torons T15S, section \(A_{\text{p}} = 19 \times 150 = 2850 \, \text{mm}^2\).
  • Tension initiale à l'ancrage actif : \(\sigma_{\text{p0}} = 0.75 f_{\text{pk}}\).
  • Paramètres de frottement : \(f = 0.18 \, \text{rad}^{-1}\), \(k = 0.005 \, \text{m}^{-1}\).
  • Recul d'ancrage (glissement) : \(g = 7 \, \text{mm}\).
  • Retrait final du béton : \(\varepsilon_{\text{cs}} = 280 \times 10^{-6}\).
  • Coefficient de fluage final : \(\phi(t, t_0) = 1.8\).

Questions à traiter

  1. Calculer la perte de tension instantanée due au frottement à mi-portée (\(\Delta \sigma_{\text{p,fric}}\)).
  2. Calculer la perte de tension instantanée due au recul d'ancrage (\(\Delta \sigma_{\text{p,g}}\)).
  3. Calculer la perte de tension différée due au retrait et au fluage du béton (\(\Delta \sigma_{\text{p,c+s}}\)).
  4. Calculer la perte de tension due à la relaxation de l'acier (\(\Delta \sigma_{\text{p,rel}}\)).

Correction : Pertes de Précontrainte dans une Poutre

Question 1 : Calculer la perte de tension due au frottement (\(\Delta \sigma_{\text{p,fric}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Tension P0 Tension P(x) < P0 Frottement

Lorsqu'on tire sur le câble de précontrainte (post-tension), il frotte contre sa gaine. Ce frottement s'oppose à la mise en tension et provoque une diminution progressive de la force le long du câble, depuis l'extrémité où l'on tire (ancrage actif) jusqu'à l'autre extrémité (ancrage passif). Cette perte est dite "instantanée" car elle se produit au moment même de la mise en tension.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La perte par frottement a deux composantes. La première est due à la courbure intentionnelle du câble (le tracé parabolique). La seconde est due aux déviations angulaires parasites et involontaires de la gaine (effet de "wobble"). La perte totale est exponentielle et dépend de la longueur du câble, de la déviation angulaire totale, et de deux coefficients de frottement (\(f\) et \(k\)) qui dépendent du type de câble et de gaine.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La déviation angulaire d'un câble parabolique est maximale à ses extrémités et nulle à mi-portée. La formule de la déviation totale pour une parabole est \( \alpha(x) = \frac{8e}{L^2}x \). Faites attention aux unités : les angles doivent être en radians.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1) § 5.10.5.2 : Cette section détaille le calcul des pertes de tension dues au frottement pour la précontrainte par post-tension. La formule de base est \( \Delta P_{\mu}(x) = P_0 (1 - e^{-f(\alpha(x) + kx)}) \).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la formule approchée (et non exponentielle) de l'Eurocode, qui est suffisamment précise pour les cas courants : \( \Delta \sigma_p(x) = \sigma_{p0} \cdot (f \cdot \alpha(x) + k \cdot x) \).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Déviation angulaire totale à une distance x :

\[ \alpha(x) = \frac{8e}{L^2}x \]

Perte de contrainte par frottement :

\[ \Delta \sigma_{\text{p,fric}}(x) = \sigma_{\text{p0}} \cdot (f \cdot \alpha(x) + k \cdot x) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(f_{\text{pk}} = 1860 \, \text{MPa}\)
  • \(L = 40 \, \text{m}\), \(e = 0.50 \, \text{m}\), \(x = 20 \, \text{m}\)
  • \(f = 0.18\), \(k = 0.005 \, \text{m}^{-1}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Tension initiale :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{p0}} &= 0.75 \times 1860 \, \text{MPa} \\ &= 1395 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Déviation angulaire à mi-portée (x=20m) :

\[ \begin{aligned} \alpha(20) &= \frac{8 \times 0.50}{40^2} \times 20 \\ &= 0.05 \, \text{rad} \end{aligned} \]

Perte de contrainte par frottement :

\[ \begin{aligned} \Delta \sigma_{\text{p,fric}}(20) &= 1395 \times (0.18 \times 0.05 + 0.005 \times 20) \\ &= 1395 \times (0.009 + 0.1) \\ &= 1395 \times 0.109 \\ &= 152.1 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

À mi-portée, la contrainte dans le câble a déjà chuté de 152.1 MPa à cause du frottement. Cela représente une perte d'environ 10.9% (\(152.1 / 1395\)) de la tension initiale, uniquement sur la moitié de la poutre.

Points à retenir

La perte par frottement dépend de la tension initiale, de la longueur du câble et de sa courbure. Elle est calculée en un point donné du tracé.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul des pertes par frottement est essentiel pour connaître la tension réelle le long du câble. Cette tension variable induit des contraintes variables dans le béton et influence le calcul des autres pertes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Unités des coefficients : Le coefficient \(f\) est adimensionnel (ou en rad⁻¹) et s'applique à un angle en radians. Le coefficient \(k\) est en m⁻¹ et s'applique à une longueur en mètres. Assurez-vous que les unités sont cohérentes.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour limiter les pertes par frottement sur les très longs ouvrages, les ingénieurs peuvent prévoir une mise en tension des câbles par les deux extrémités simultanément. La perte maximale se produit alors à mi-portée mais sa valeur est bien plus faible.

FAQ (pour lever les doutes)
Le coefficient k est-il toujours si petit ?

Non, il dépend de la qualité de la mise en œuvre de la gaine. Une gaine bien rectiligne aura un k faible (0.003-0.005). Une gaine mal positionnée avec de nombreuses ondulations parasites aura un k plus élevé (jusqu'à 0.01), ce qui augmentera significativement les pertes.

Résultat Final : La perte de tension par frottement à mi-portée est \(\Delta \sigma_{\text{p,fric}} = 152.1 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Calculez la perte par frottement si le coefficient \(f\) était de 0.20.

Question 2 : Calculer la perte due au recul d'ancrage (\(\Delta \sigma_{\text{p,g}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Ancrage Recul 'g'

Au moment où l'on relâche la pression du vérin pour bloquer le câble dans son ancrage, les "mors" de l'ancrage s'enfoncent légèrement dans l'acier et le câble lui-même se réajuste dans la gaine. Ce petit mouvement, appelé "recul d'ancrage" ou "glissement", provoque un raccourcissement du câble et donc une perte de tension. Cette perte est maximale à l'ancrage et diminue le long du câble à cause du frottement qui s'oppose au mouvement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La perte de tension due au recul d'ancrage est une perte instantanée. Elle se calcule en déterminant la longueur sur laquelle le glissement a un effet. Cette "longueur d'influence" est la distance à partir de l'ancrage où la perte par frottement est égale à la perte due au glissement. Si cette longueur est supérieure à la longueur de la poutre, l'effet se fait sentir sur toute la poutre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La perte due au recul d'ancrage est souvent calculée de manière simplifiée en la moyennant sur toute la longueur du câble. C'est une approximation acceptable pour les calculs courants, surtout si la perte par frottement est faible.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1) § 5.10.5.3 : Ce paragraphe décrit le phénomène de perte de tension au niveau des ancrages et donne les principes de son calcul.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise une méthode simplifiée en supposant que la perte de tension est répartie uniformément sur toute la longueur de la poutre. C'est une hypothèse conservatrice.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Perte de contrainte due au recul d'ancrage :

\[ \Delta \sigma_{\text{p,g}} = \frac{g}{L} E_{\text{p}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Recul d'ancrage : \(g = 7 \, \text{mm} = 0.007 \, \text{m}\)
  • Longueur de la poutre : \(L = 40 \, \text{m}\)
  • Module de l'acier de précontrainte : \(E_{\text{p}} = 195 \, \text{GPa} = 195000 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la perte de contrainte :

\[ \begin{aligned} \Delta \sigma_{\text{p,g}} &= \frac{0.007 \, \text{m}}{40 \, \text{m}} \times 195000 \, \text{MPa} \\ &= 0.000175 \times 195000 \\ &= 34.1 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le simple glissement de 7 mm de l'ancrage provoque une perte de tension de 34.1 MPa sur toute la longueur du câble. C'est une perte significative qui s'ajoute à celle due au frottement.

Points à retenir

La perte par recul d'ancrage (\(\Delta \sigma_{\text{p,g}}\)) est proportionnelle au glissement (\(g\)) et au module de l'acier (\(E_{\text{p}}\)), et inversement proportionnelle à la longueur du câble (\(L\)).

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette perte est systématique en post-tension. La négliger conduirait à surestimer la force de précontrainte réellement appliquée au béton.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Unités : Le glissement \(g\) et la longueur \(L\) doivent être dans la même unité (généralement en mètres) pour que le ratio \(g/L\) soit adimensionnel.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour compenser les pertes par frottement et par recul d'ancrage, les opérateurs sur chantier "surtendent" temporairement le câble à une valeur supérieure à la tension de service, avant de le bloquer. Cette surtension est calculée pour qu'après les pertes instantanées, la tension résiduelle soit la bonne.

FAQ (pour lever les doutes)
La valeur de \(g=7\) mm est-elle standard ?

Oui, c'est une valeur courante pour les systèmes d'ancrage standards. Cependant, la valeur exacte dépend du système de précontrainte utilisé (fournisseur, type d'ancrage) et doit être confirmée dans les spécifications techniques du produit.

Résultat Final : La perte de tension due au recul d'ancrage est \(\Delta \sigma_{\text{p,g}} = 34.1 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Calculez \(\Delta \sigma_{\text{p,g}}\) si le glissement était de 5 mm.

Question 3 : Calculer la perte due au retrait et au fluage (\(\Delta \sigma_{\text{p,c+s}}\))

Principe

Le béton n'est pas un matériau inerte. Au fil du temps, il se déforme : il se raccourcit naturellement en séchant (c'est le retrait) et il se tasse sous l'effet des charges permanentes (c'est le fluage). Comme le câble de précontrainte est solidaire du béton, il est forcé de suivre ces raccourcissements, ce qui entraîne une diminution de sa tension. Ce sont des pertes différées.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul de cette perte est complexe car elle dépend de la contrainte dans le béton au niveau du câble, qui elle-même dépend de la précontrainte. L'Eurocode propose une formule qui prend en compte les caractéristiques des deux matériaux (modules d'élasticité, sections) et les propriétés de déformation à long terme du béton (\(\varepsilon_{\text{cs}}\) pour le retrait, \(\phi\) pour le fluage).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La contrainte dans le béton \(\sigma_{\text{c,qp}}\) à prendre en compte est celle due à la précontrainte elle-même et aux charges quasi-permanentes (poids propre et une fraction des charges d'exploitation). Une estimation précise de cette contrainte est importante pour un calcul fin.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 § 5.10.6 (2) : Ce paragraphe fournit la formule générale pour le calcul des pertes dues au retrait et au fluage.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise une valeur moyenne estimée pour la contrainte dans le béton au niveau du câble, \(\sigma_{\text{c,qp}}\), pour simplifier le calcul.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Perte par retrait et fluage :

\[ \Delta \sigma_{\text{p,c+s}} = \frac{E_{\text{p}} \varepsilon_{\text{cs}} + 0.8 \cdot \phi(t, t_0) \cdot \sigma_{\text{c,qp}}}{1 + \frac{E_{\text{p}}}{E_{\text{cm}}} \frac{A_{\text{p}}}{A_{\text{c}}} (1 + \frac{A_{\text{c}}}{I_{\text{c}}} e^2)} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\varepsilon_{\text{cs}} = 280 \times 10^{-6}\)
  • \(\phi(t, t_0) = 1.8\)
  • \(E_{\text{p}} = 195000 \, \text{MPa}\), \(E_{\text{cm}} = 34000 \, \text{MPa}\)
  • \(A_{\text{p}} = 2850 \, \text{mm}^2\), \(A_{\text{c}} = 400 \times 1200 = 480000 \, \text{mm}^2\)
  • \(I_{\text{c}} = \frac{400 \cdot 1200^3}{12} = 5.76 \cdot 10^{10} \, \text{mm}^4\)
  • Contrainte \(\sigma_{\text{c,qp}}\) estimée à \(12 \, \text{MPa}\).
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du terme au dénominateur :

\[ \begin{aligned} \text{Dén.} &= 1 + \frac{195000}{34000} \frac{2850}{480000} (1 + \frac{480000}{5.76 \cdot 10^{10}} 500^2) \\ &= 1 + 5.74 \times 0.0059 \times (1 + 2.08) \\ &= 1.104 \end{aligned} \]

Perte par retrait et fluage :

\[ \begin{aligned} \Delta \sigma_{\text{p,c+s}} &= \frac{195000 \times 280 \cdot 10^{-6} + 0.8 \times 1.8 \times 12}{1.104} \\ &= \frac{54.6 + 17.28}{1.104} \\ &= 65.1 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les déformations différées du béton provoquent une perte de tension de 65.1 MPa dans les aciers. C'est une perte importante qui se développe sur plusieurs années.

Points à retenir

Les pertes par retrait et fluage dépendent des propriétés des deux matériaux (béton et acier) et de la géométrie de la section. Elles sont calculées à l'aide d'une formule complexe qui modélise l'interaction entre l'acier et le béton.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul de ces pertes est essentiel pour les vérifications à long terme, notamment la limitation de la flèche et la maîtrise de la fissuration en service.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Mauvaise estimation de \(\sigma_{c,qp}\) : La contrainte dans le béton au niveau du câble est un paramètre clé pour le calcul du fluage. Une estimation erronée peut fausser le résultat. Un calcul précis de cette contrainte est normalement requis.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le fluage du béton peut être bénéfique dans certains cas. Il permet une redistribution des contraintes dans les structures hyperstatiques, ce qui peut "soulager" les zones les plus chargées et augmenter la sécurité globale de l'ouvrage.

FAQ (pour lever les doutes)
Le coefficient de fluage \(\phi\) est-il toujours le même ?

Non, il dépend de nombreux paramètres : la composition du béton, l'humidité ambiante, l'âge du béton à la mise en charge et les dimensions de l'élément. L'Eurocode 2 fournit des abaques et des formules détaillées pour le calculer précisément.

Résultat Final : La perte de tension due au retrait et au fluage est \(\Delta \sigma_{\text{p,c+s}} = 65.1 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Que deviendrait cette perte si le coefficient de fluage était de 2.2 ?

Question 4 : Calculer la perte due à la relaxation de l'acier (\(\Delta \sigma_{\text{p,rel}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Tension initiale: 1208.8 MPa Tension finale: 1178.6 MPa

Même si l'acier est un matériau très stable, lorsqu'il est maintenu sous une tension très élevée pendant des décennies, ses molécules se réarrangent très lentement, ce qui provoque un léger allongement et donc une perte de tension. Ce phénomène est appelé "relaxation". C'est une perte différée qui dépend de la qualité de l'acier et du niveau de tension initial.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La perte par relaxation dépend du temps, de la température et du niveau de contrainte initial. Les aciers de précontrainte sont classés en fonction de leur aptitude à la relaxation. Les aciers de classe 2 (normale) peuvent perdre jusqu'à 8% de leur tension par relaxation, tandis que les aciers de classe 3 (TBR - Très Basse Relaxation) ont des pertes beaucoup plus faibles, typiquement de l'ordre de 2.5%.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La perte par relaxation se calcule sur la base de la tension initiale \(\sigma_{\text{pi}}\) après les pertes instantanées, car c'est cette tension qui est effectivement "bloquée" dans la poutre et qui va se relaxer au fil du temps.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 § 3.3.2 (5) et § 5.10.6 (c) : Ces paragraphes définissent les classes de relaxation et donnent des formules pour estimer la perte finale en fonction du type d'acier et du niveau de contrainte.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise une formule simplifiée qui donne la perte finale pour un acier de type TBR (Classe 3) comme étant 2.5% de la tension initiale.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Perte par relaxation (simplifiée pour acier TBR) :

\[ \Delta \sigma_{\text{p,rel}} = 0.025 \times \sigma_{\text{pi}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Tension initiale \(\sigma_{\text{p0}} = 1395 \, \text{MPa}\)
  • Pertes instantanées : \(\Delta \sigma_{\text{p,fric}} = 152.1 \, \text{MPa}\), \(\Delta \sigma_{\text{p,g}} = 34.1 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la tension après pertes instantanées :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{pi}} &= \sigma_{\text{p0}} - \Delta \sigma_{\text{p,fric}} - \Delta \sigma_{\text{p,g}} \\ &= 1395 - 152.1 - 34.1 \\ &= 1208.8 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul de la perte par relaxation :

\[ \begin{aligned} \Delta \sigma_{\text{p,rel}} &= 0.025 \times 1208.8 \, \text{MPa} \\ &= 30.2 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La perte due à la relaxation de l'acier est de 30.2 MPa. En additionnant toutes les pertes (152.1 + 34.1 + 65.1 + 30.2 = 281.5 MPa), on constate une perte totale d'environ 20% de la tension initiale, ce qui est un ordre de grandeur classique pour la précontrainte.

Points à retenir

La perte par relaxation dépend de la qualité de l'acier (TBR ou non) et de la tension appliquée. Elle est calculée en pourcentage de la tension après les pertes instantanées.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape complète le calcul des pertes différées. La somme de toutes les pertes (instantanées et différées) permet de déterminer la force de précontrainte finale, qui est la force réellement disponible pour faire travailler la poutre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la mauvaise tension de référence : La relaxation se produit sur la durée. Il faut donc la calculer à partir de la tension qui reste dans le câble après les pertes instantanées, et non à partir de la tension initiale au vérin.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les aciers de précontrainte dits "TBR" (Très Basse Relaxation) ont été développés spécifiquement pour minimiser les pertes par relaxation. Ils subissent un traitement thermomécanique qui stabilise leur structure cristalline et réduit leur tendance à s'allonger sous charge constante.

FAQ (pour lever les doutes)
Un pourcentage de perte de 20% est-il normal ?

Oui, pour la précontrainte par post-tension, des pertes totales de l'ordre de 15% à 25% sont tout à fait courantes et attendues. L'ingénieur en tient compte dès le début du dimensionnement en choisissant une force de mise en tension initiale qui anticipe ces pertes.

Résultat Final : La perte de tension due à la relaxation de l'acier est \(\Delta \sigma_{\text{p,rel}} = 30.2 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Calculez la perte par relaxation si la tension après pertes instantanées était de 1100 MPa.

Outil Interactif : Calculateur de Pertes de Précontrainte

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur les pertes totales.

Paramètres du Projet
Résultats (Pertes en MPa)
Perte par Frottement -
Perte par Recul -
Perte par Fluage+Retrait -
Perte Totale : -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Lequel de ces phénomènes est une perte de précontrainte instantanée ?

2. Pour réduire les pertes de tension dues au fluage, il est préférable de :

Précontrainte
Technique consistant à introduire des contraintes de compression dans un matériau (le béton) avant sa mise en service, pour compenser les tractions qu'il subira sous charges.
Post-tension
Technique de précontrainte où les câbles sont tendus après que le béton a durci. Les câbles sont logés dans des gaines laissées en attente dans le béton.
Fluage du béton
Déformation différée du béton sous l'effet d'une charge constante. Le béton continue de se tasser et de se raccourcir lentement au fil des années.
Relaxation de l'acier
Perte de tension dans un acier maintenu à une longueur constante sous une forte traction. L'acier "se détend" légèrement au fil du temps.
Application Pratique : Calcul des Pertes de Précontrainte

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