Pertes de Précontrainte dans une Poutre

Introduction au Béton Précontraint

Le béton précontraint est un matériau composite dans lequel des contraintes internes sont introduites (généralement par la mise en tension d'aciers à haute résistance) pour compenser les contraintes de traction qui seront induites par les charges externes. Cette technique permet d'améliorer la résistance à la fissuration, d'augmenter les portées possibles et de réduire les déformations. Cependant, la tension initiale appliquée aux aciers diminue au cours du temps en raison de diverses pertes, qu'il est essentiel d'évaluer.

Données de l'étude

On étudie une poutre rectangulaire en béton précontraint par post-tension, contenant un seul câble parabolique mis en tension à une extrémité.

Caractéristiques géométriques et du câble :

Longueur de la poutre (L) : \(20.0 \, \text{m}\)
Tracé du câble : Parabolique, avec une excentricité nulle aux extrémités et maximale au milieu (\(e_{max}\)). La somme des déviations angulaires sur la longueur L est \(\sum \Delta \alpha = 0.30 \, \text{radians}\).
Mise en tension : Depuis l'extrémité A (x=0).

Caractéristiques de la précontrainte et des matériaux :

Tension initiale appliquée au vérin (\(P_0\)) : \(1200 \, \text{kN}\)
Coefficient de frottement en courbe (\(\mu\)) : \(0.18\) (sans dimension)
Coefficient de déviation angulaire parasite (wobble) (\(k\)) : \(0.004 \, \text{rad/m}\)
Recul d'ancrage (glissement du câble dans l'ancrage) (\(g\)) : \(6 \, \text{mm}\)
Module d'Young de l'acier de précontrainte (\(E_p\)) : \(195 \, \text{GPa} = 195000 \, \text{N/mm}^2\)
Section du câble de précontrainte (\(A_p\)) : \(800 \, \text{mm}^2\)

Hypothèses : On utilise les formules simplifiées de l'Eurocode 2 pour les pertes instantanées. La mise en tension se fait uniquement depuis l'extrémité A.

Schéma : Poutre avec câble parabolique (Post-tension)

Schéma illustrant la poutre et le tracé parabolique du câble.

Questions à traiter

Calculer la perte de tension due au frottement (\(\Delta P_{\mu+k}(x)\)) à l'extrémité B (\(x=L\)). Utiliser la formule : \(\Delta P(x) = P_0 (1 - e^{-(\mu \sum \Delta \alpha + kx)})\).
Calculer la tension dans le câble à l'extrémité B (\(P(L)\)) juste avant l'ancrage.
Calculer la perte de tension moyenne due au recul d'ancrage (\(\Delta P_g\)). On utilisera une approximation simplifiée : \(\Delta P_g = \sqrt{2 g E_p A_p \frac{\Delta P_{\mu+k}(L)}{L}}\).
Estimer la tension finale dans le câble à l'extrémité A (\(P_{fin,A}\)) et à l'extrémité B (\(P_{fin,B}\)) après frottement et recul d'ancrage (en supposant une répartition linéaire de la perte due au recul pour simplifier).

Correction : Calcul des Pertes de Précontrainte

Question 1 : Perte de Tension due au Frottement à x=L (\(\Delta P_{\mu+k}(L)\))

Principe :

Lors de la mise en tension, la force diminue le long du câble à cause du frottement dans la gaine. Ce frottement est dû à la courbure intentionnelle du câble (\(\mu \sum \Delta \alpha\)) et aux déviations parasites (\(kx\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Tension à une distance x de l'ancrage actif :

P(x) = P_0 e^{-(\mu \sum \Delta \alpha_x + kx)}

Où \(\sum \Delta \alpha_x\) est la somme des déviations angulaires entre 0 et x. Pour x=L, \(\sum \Delta \alpha_L = \sum \Delta \alpha\).

Perte de tension à la distance x :

\Delta P(x) = P_0 - P(x) = P_0 (1 - e^{-(\mu \sum \Delta \alpha_x + kx)})

Données spécifiques :

\(P_0 = 1200 \, \text{kN}\)
\(\mu = 0.18\)
\(k = 0.004 \, \text{rad/m}\)
\(x = L = 20.0 \, \text{m}\)
\(\sum \Delta \alpha = 0.30 \, \text{rad}\) (somme totale des déviations)

Calcul de l'exposant :

\begin{aligned} \text{Exposant} &= \mu \sum \Delta \alpha + kL \\ &= (0.18 \times 0.30) + (0.004 \times 20.0) \\ &= 0.054 + 0.080 \\ &= 0.134 \end{aligned}

Calcul de la perte de tension à L :

\begin{aligned} \Delta P_{\mu+k}(L) &= P_0 (1 - e^{-0.134}) \\ &= 1200 \, \text{kN} \times (1 - 0.8746) \\ &= 1200 \, \text{kN} \times 0.1254 \\ &\approx 150.5 \, \text{kN} \end{aligned}

Résultat Question 1 : La perte de tension due au frottement à l'extrémité B (x=L) est \(\Delta P_{\mu+k}(L) \approx 150.5 \, \text{kN}\).

Question 2 : Tension à l'Extrémité B avant Ancrage (\(P(L)\))

Principe :

La tension à l'extrémité passive B, juste avant l'ancrage, est la tension initiale au vérin (\(P_0\)) diminuée de la perte totale due au frottement calculée sur toute la longueur L.

Formule(s) utilisée(s) :

P(L) = P_0 - \Delta P_{\mu+k}(L)

Ou directement :

P(L) = P_0 e^{-(\mu \sum \Delta \alpha + kL)}

Données spécifiques :

\(P_0 = 1200 \, \text{kN}\)
\(\Delta P_{\mu+k}(L) \approx 150.5 \, \text{kN}\) (calculée)
Exposant \( = 0.134\) (calculé)

Calcul :

\begin{aligned} P(L) &= 1200 \, \text{kN} - 150.5 \, \text{kN} \\ &= 1049.5 \, \text{kN} \end{aligned}

Vérification avec l'exponentielle :

\begin{aligned} P(L) &= 1200 \, \text{kN} \times e^{-0.134} \\ &\approx 1200 \, \text{kN} \times 0.8746 \\ &\approx 1049.5 \, \text{kN} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La tension dans le câble à l'extrémité B avant ancrage est \(P(L) \approx 1049.5 \, \text{kN}\).

Question 3 : Perte de Tension Moyenne due au Recul d'Ancrage (\(\Delta P_g\))

Principe :

Lors du transfert de la tension du vérin à l'ancrage, un léger glissement (recul) du câble se produit, entraînant une perte de tension. Cette perte affecte principalement la zone proche de l'ancrage actif. La formule simplifiée donne une estimation de la perte moyenne.

Formule(s) utilisée(s) (Approximation simplifiée) :

\Delta P_g = \sqrt{2 g E_p A_p \frac{\Delta P_{\mu+k}(L)}{L}}

Attention aux unités : \(g\) en mm, \(E_p\) en N/mm², \(A_p\) en mm², \(\Delta P_{\mu+k}(L)\) en N, \(L\) en mm. Le résultat \(\Delta P_g\) sera en N.

Données spécifiques (conversion d'unités) :

Recul d'ancrage (\(g\)) : \(6 \, \text{mm}\)
Module d'Young acier (\(E_p\)) : \(195000 \, \text{N/mm}^2\)
Section câble (\(A_p\)) : \(800 \, \text{mm}^2\)
Perte par frottement (\(\Delta P_{\mu+k}(L)\)) : \(150.5 \, \text{kN} = 150500 \, \text{N}\)
Longueur poutre (\(L\)) : \(20.0 \, \text{m} = 20000 \, \text{mm}\)

Calcul :

Calcul du terme sous la racine :

\begin{aligned} Terme &= 2 \times g \times E_p \times A_p \times \frac{\Delta P_{\mu+k}(L)}{L} \\ &= 2 \times 6 \times 195000 \times 800 \times \frac{150500}{20000} \\ &= 2 \times 6 \times 195000 \times 800 \times 7.525 \\ &\approx 1.40868 \times 10^{13} \, \text{N}^2 \end{aligned}

Calcul de \(\Delta P_g\) :

\begin{aligned} \Delta P_g &= \sqrt{1.40868 \times 10^{13}} \, \text{N} \\ &\approx 3753240 \, \text{N} \\ &\approx 3753 \, \text{kN} \end{aligned}

Ce résultat semble excessivement élevé (supérieur à \(P_0\)). La formule simplifiée est souvent donnée sous la forme \(\Delta \sigma_g = \sqrt{g E_p \frac{\Delta \sigma_{fr}}{L}}\) ou \(\Delta P_g = A_p \sqrt{g E_p \frac{\Delta P_{fr}}{A_p L}}\). Vérifions une autre formule courante : \(\Delta P_g = 2 \sqrt{\frac{g E_p A_p}{L'} \Delta P_{fr, L'}}\) où L' est la longueur affectée. Une approximation très simple est \(\Delta \sigma = \frac{g E_p}{L_{affectée}}\). Si on suppose que la perte affecte toute la longueur \(L\), \(\Delta P_g \approx \frac{g E_p A_p}{L} = \frac{6 \times 195000 \times 800}{20000} = 46800 \, N = 46.8 \, kN\). Utilisons cette dernière approximation plus réaliste pour la suite.

\begin{aligned} \Delta P_g &\approx \frac{g E_p A_p}{L} \\ &= \frac{6 \, \text{mm} \times 195000 \, \text{N/mm}^2 \times 800 \, \text{mm}^2}{20000 \, \text{mm}} \\ &= \frac{9.36 \times 10^{11}}{20000} \, \text{N} \\ &= 46800000 \, \text{N} / 1000 = 46800 \, \text{N} \\ &= 46.8 \, \text{kN} \end{aligned}

Résultat Question 3 : En utilisant l'approximation \(\Delta P_g \approx \frac{g E_p A_p}{L}\), la perte de tension moyenne due au recul d'ancrage est \(\Delta P_g \approx 46.8 \, \text{kN}\).

Question 4 : Estimation de la Tension Finale (\(P_{fin,A}, P_{fin,B}\))

Principe :

La tension finale dans le câble résulte de la tension après frottement, diminuée de la perte due au recul d'ancrage. La perte due au recul est maximale à l'ancrage actif (A) et diminue le long du câble. Pour simplifier, on suppose une répartition linéaire de cette perte, allant de \(2 \times \Delta P_g\) (perte maximale à l'ancrage A) à 0 sur une certaine longueur, ou on soustrait simplement \(\Delta P_g\) de la tension après frottement pour une estimation moyenne.

Estimation simplifiée : On soustrait \(\Delta P_g\) de la tension après frottement à chaque point.

Tension après frottement à A (\(x=0\)) : \(P(0) = P_0 = 1200 \, \text{kN}\)

Tension après frottement à B (\(x=L\)) : \(P(L) \approx 1049.5 \, \text{kN}\)

Formule(s) utilisée(s) (Approximation simple) :

P_{fin}(x) \approx P(x) - \Delta P_g

Cette approximation est très simplifiée et ne représente pas la distribution réelle de la perte due au recul, qui est plus concentrée près de l'ancrage actif.

Données spécifiques :

\(P(0) = 1200 \, \text{kN}\)
\(P(L) \approx 1049.5 \, \text{kN}\)
\(\Delta P_g \approx 46.8 \, \text{kN}\) (calculée avec approximation simple)

Calcul :

\begin{aligned} P_{fin,A} &\approx P(0) - \Delta P_g \\ &= 1200 \, \text{kN} - 46.8 \, \text{kN} \\ &= 1153.2 \, \text{kN} \end{aligned}

\begin{aligned} P_{fin,B} &\approx P(L) - \Delta P_g \\ &= 1049.5 \, \text{kN} - 46.8 \, \text{kN} \\ &= 1002.7 \, \text{kN} \end{aligned}

Note : Une méthode plus précise considérerait la longueur \(L_g\) sur laquelle la perte par recul se propage. La perte de tension varie linéairement de \(2 \Delta P_g\) à 0 sur cette longueur \(L_g\).

Résultat Question 4 : Avec l'approximation simple, la tension finale estimée est \(P_{fin,A} \approx 1153.2 \, \text{kN}\) et \(P_{fin,B} \approx 1002.7 \, \text{kN}\).

Glossaire

Béton Précontraint: Béton dans lequel des contraintes internes permanentes sont introduites avant la mise en service, généralement en tendant des aciers à haute résistance, pour améliorer son comportement sous charges.
Post-tension: Technique de précontrainte où les aciers (tendons) sont mis en tension après que le béton a atteint une résistance suffisante. Les tendons sont logés dans des gaines laissées vides lors du bétonnage.
Pré-tension: Technique de précontrainte où les aciers sont tendus avant le bétonnage. Le béton est coulé autour des aciers tendus, et après durcissement, la tension est relâchée, comprimant le béton par adhérence.
Tendon (ou Câble): Ensemble d'armatures de précontrainte (fils, torons ou barres) formant une unité de mise en tension.
Gaine: Tube (souvent métallique ou plastique) dans lequel est logé le tendon en post-tension pour permettre sa mise en tension et éventuellement l'injection d'un coulis de protection.
Frottement: Résistance au glissement du tendon dans sa gaine lors de la mise en tension, due à la courbure du tracé et aux imperfections (déviations parasites).
Coefficient de frottement en courbe (\(\mu\)): Coefficient sans dimension caractérisant le frottement entre le tendon et la gaine dû aux changements d'angle intentionnels.
Coefficient de déviation angulaire parasite (\(k\)): Coefficient (en rad/m ou /m) caractérisant le frottement dû aux déviations involontaires du tracé de la gaine (effet "wobble").
Ancrage: Dispositif mécanique situé aux extrémités d'un tendon de post-tension, permettant de transmettre et de maintenir la force de précontrainte dans le béton.
Recul d'ancrage (ou Rentrée d'ancrage, Glissement, \(g\)): Léger déplacement relatif entre le tendon et l'ancrage (dû à la mise en place des clavettes, etc.) lorsque la tension du vérin est transférée à l'ancrage définitif, entraînant une perte de tension locale.
Pertes de précontrainte: Réduction de la tension initiale dans les aciers de précontrainte. On distingue les pertes instantanées (frottement, recul d'ancrage, raccourcissement élastique du béton) et les pertes différées (retrait, fluage du béton, relaxation de l'acier).