Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Force sur une Paroi de Barrage

Calcul de la Force sur une Paroi de Barrage en Hydraulique

Calcul de la Force sur une Paroi de Barrage en Hydraulique

Comprendre la Force Hydrostatique sur une Paroi de Barrage

Les barrages sont des structures massives conçues pour retenir de grandes quantités d'eau. La pression exercée par l'eau sur la paroi amont du barrage génère une force hydrostatique considérable. Le calcul précis de cette force résultante et de son point d'application (le centre de poussée) est fondamental pour assurer la stabilité du barrage contre le glissement et le renversement. Cet exercice se concentrera sur une paroi de barrage verticale simplifiée retenant l'eau.

Données de l'étude

On étudie une section d'un barrage-poids en béton, dont la paroi amont en contact avec l'eau est considérée comme verticale et rectangulaire. La surface de l'eau est à l'air libre.

Caractéristiques du fluide et de l'environnement :

  • Fluide : Eau
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Caractéristiques de la paroi du barrage :

  • Hauteur d'eau retenue par le barrage (\(H\)) : \(15 \, \text{m}\)
  • Largeur de la section de paroi considérée (\(L\)) : \(10 \, \text{m}\) (largeur dans la direction perpendiculaire au schéma)
Schéma : Paroi de barrage verticale et distribution de pression
Surface libre Pmax FR CP CDG H = 15m yP

Paroi de barrage verticale retenant l'eau et distribution de la pression hydrostatique.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression relative (\(P_{\text{max}}\)) au pied de la paroi du barrage (à la profondeur \(H\)).
  2. Déterminer l'aire de la paroi du barrage en contact avec l'eau (\(A_{\text{paroi}}\)).
  3. Calculer la profondeur du centre de gravité (CDG) de la surface mouillée de la paroi (\(y_G\)) par rapport à la surface libre de l'eau.
  4. Calculer la pression relative (\(P_G\)) au centre de gravité de la surface mouillée de la paroi.
  5. Calculer la magnitude de la force hydrostatique résultante (\(F_R\)) s'exerçant sur la section de paroi considérée.
  6. Calculer la profondeur du centre de poussée (\(y_P\)) par rapport à la surface libre de l'eau, pour la section de paroi considérée.
  7. Si la largeur de la section de paroi considérée doublait, comment cela affecterait-il la force résultante \(F_R\) et la position du centre de poussée \(y_P\) ? Justifier.

Correction : Calcul de la Force sur une Paroi de Barrage

Question 1 : Pression relative (\(P_{\text{max}}\)) au pied de la paroi

Principe :

La pression relative hydrostatique à une profondeur \(H\) est donnée par \(P = \rho g H\).

Données spécifiques :
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Profondeur totale de l'eau (\(H\)) : \(15 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{max}} &= \rho g H \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 15 \, \text{m} \\ &= 147150 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Soit \(147.15 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 1 : La pression relative au pied de la paroi du barrage est \(P_{\text{max}} = 147150 \, \text{Pa}\).

Question 2 : Aire de la paroi du barrage en contact avec l'eau (\(A_{\text{paroi}}\))

Principe :

L'aire de la surface rectangulaire de la paroi en contact avec l'eau est le produit de la hauteur d'eau retenue par la largeur de la section de paroi considérée.

Données spécifiques :
  • Hauteur d'eau retenue (\(H\)) : \(15 \, \text{m}\)
  • Largeur de la section de paroi (\(L\)) : \(10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\text{paroi}} &= H \times L \\ &= 15 \, \text{m} \times 10 \, \text{m} \\ &= 150 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'aire de la paroi du barrage en contact avec l'eau est \(A_{\text{paroi}} = 150 \, \text{m}^2\).

Question 3 : Profondeur du centre de gravité (\(y_G\)) de la surface mouillée

Principe :

Pour une surface rectangulaire verticale dont le sommet coïncide avec la surface libre de l'eau, le centre de gravité (CDG) est situé à mi-hauteur de la surface mouillée.

Données spécifiques :
  • Hauteur d'eau retenue (\(H\)) : \(15 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_G &= \frac{H}{2} \\ &= \frac{15 \, \text{m}}{2} \\ &= 7.5 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La profondeur du centre de gravité de la surface mouillée est \(y_G = 7.5 \, \text{m}\).

Question 4 : Pression relative (\(P_G\)) au centre de gravité

Principe :

La pression au centre de gravité est calculée en utilisant la profondeur du centre de gravité \(y_G\).

Données spécifiques :
  • \(y_G = 7.5 \, \text{m}\)
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_G &= \rho g y_G \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 7.5 \, \text{m} \\ &= 73575 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La pression relative au centre de gravité de la surface mouillée est \(P_G = 73575 \, \text{Pa}\).

Quiz Intermédiaire 1 : La pression au centre de gravité d'une paroi verticale de barrage retenant une hauteur H d'eau est :

Question 5 : Magnitude de la force hydrostatique résultante (\(F_R\))

Principe :

La force hydrostatique résultante sur une surface plane immergée est le produit de la pression au centre de gravité de la surface par l'aire de cette surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_R = P_G \times A_{\text{paroi}} \]
Données spécifiques :
  • \(P_G = 73575 \, \text{Pa}\)
  • \(A_{\text{paroi}} = 150 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_R &= 73575 \, \text{Pa} \times 150 \, \text{m}^2 \\ &= 11036250 \, \text{N} \end{aligned} \]

Soit \(11036.25 \, \text{kN}\) ou environ \(11.04 \, \text{MN}\).

Résultat Question 5 : La magnitude de la force hydrostatique résultante sur la section de paroi est \(F_R = 11036250 \, \text{N}\).

Question 6 : Profondeur du centre de poussée (\(y_P\))

Principe :

Le centre de poussée (\(y_P\)) est le point d'application de la force résultante. Pour une surface rectangulaire verticale dont le sommet est à la surface libre de l'eau, le centre de poussée est situé aux deux tiers de la hauteur d'eau à partir de la surface libre.

Alternativement, la formule générale est \( y_P = y_G + \frac{I_G}{y_G A_{\text{paroi}}} \), où \(I_G\) est le moment d'inertie de l'aire de la paroi par rapport à un axe horizontal passant par son centre de gravité. Pour une paroi rectangulaire de largeur \(L\) et hauteur \(H\), \(I_G = \frac{L H^3}{12}\).

Formule(s) utilisée(s) (cas spécifique et général) :
\[ y_P = \frac{2}{3} H \quad (\text{pour rectangle vertical avec sommet à la surface}) \] \[ y_P = y_G + \frac{I_G}{y_G A_{\text{paroi}}} \quad (\text{formule générale}) \]
Données spécifiques :
  • \(H = 15 \, \text{m}\)
  • \(y_G = 7.5 \, \text{m}\)
  • \(A_{\text{paroi}} = 150 \, \text{m}^2\)
  • \(L = 10 \, \text{m}\)
Calcul (méthode simplifiée) :
\[ \begin{aligned} y_P &= \frac{2}{3} H \\ &= \frac{2}{3} \times 15 \, \text{m} \\ &= 10 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul (méthode générale pour vérification) :

Moment d'inertie \(I_G\) :

\[ \begin{aligned} I_G &= \frac{L H^3}{12} \\ &= \frac{10 \, \text{m} \times (15 \, \text{m})^3}{12} \\ &= \frac{10 \times 3375}{12} \, \text{m}^4 \\ &= \frac{33750}{12} \, \text{m}^4 \\ &= 2812.5 \, \text{m}^4 \end{aligned} \]

Position du centre de poussée \(y_P\) :

\[ \begin{aligned} y_P &= y_G + \frac{I_G}{y_G A_{\text{paroi}}} \\ &= 7.5 \, \text{m} + \frac{2812.5 \, \text{m}^4}{7.5 \, \text{m} \times 150 \, \text{m}^2} \\ &= 7.5 \, \text{m} + \frac{2812.5}{1125} \, \text{m} \\ &= 7.5 \, \text{m} + 2.5 \, \text{m} \\ &= 10 \, \text{m} \end{aligned} \]

Les deux méthodes donnent le même résultat, ce qui est attendu pour cette configuration simple.

Résultat Question 6 : La profondeur du centre de poussée sur la paroi du barrage est \(y_P = 10 \, \text{m}\) depuis la surface libre de l'eau.

Question 7 : Effet du doublement de la largeur de la paroi

Principe :

Analyser l'impact d'une modification de la largeur \(L\) sur la force résultante \(F_R\) et la position du centre de poussée \(y_P\).

Analyse :

Si la largeur \(L\) de la section de paroi est doublée (devient \(2L\)) :

  • Nouvelle aire de la paroi (\(A'_{\text{paroi}}\)) : \(A'_{\text{paroi}} = H \times (2L) = 2 \times (H \times L) = 2 A_{\text{paroi}}\). L'aire est doublée.
  • Pression au centre de gravité (\(P_G\)) : Elle reste inchangée car \(y_G = H/2\) ne dépend pas de \(L\).
  • Nouvelle force résultante (\(F'_R\)) : \(F'_R = P_G \times A'_{\text{paroi}} = P_G \times (2 A_{\text{paroi}}) = 2 \times (P_G \times A_{\text{paroi}}) = 2 F_R\). La force résultante est doublée.
  • Position du centre de poussée (\(y_P\)) :
    \[ y_P = y_G + \frac{I_G}{y_G A_{\text{paroi}}} \]
    Le nouveau moment d'inertie \(I'_G = \frac{(2L) H^3}{12} = 2 \times \frac{L H^3}{12} = 2 I_G\).
    \[ \begin{aligned} y'_P &= y_G + \frac{I'_G}{y_G A'_{\text{paroi}}} \\ &= y_G + \frac{2 I_G}{y_G (2 A_{\text{paroi}})} \\ &= y_G + \frac{I_G}{y_G A_{\text{paroi}}} \\ &= y_P \end{aligned} \]
    La position du centre de poussée \(y_P\) reste inchangée. Cela est logique car pour une paroi rectangulaire verticale avec le sommet à la surface, \(y_P = 2H/3\), ce qui ne dépend pas de la largeur \(L\).
Résultat Question 7 : Si la largeur de la section de paroi double, la force hydrostatique résultante \(F_R\) double également, mais la profondeur du centre de poussée \(y_P\) reste inchangée.

Quiz Intermédiaire 2 : Si la hauteur d'eau H retenue par un barrage vertical double, comment la force hydrostatique résultante sur une largeur L donnée est-elle affectée ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. La pression hydrostatique exercée par un fluide au repos sur une surface :

9. Pour une paroi de barrage verticale retenant une hauteur H d'eau, le centre de poussée est situé à :

10. La force résultante sur une paroi de barrage est cruciale pour vérifier :

Glossaire

Barrage-Poids
Type de barrage qui résiste à la poussée de l'eau principalement par son propre poids et par la résistance au cisaillement à sa base.
Force Hydrostatique Résultante (\(F_R\))
Force unique équivalente à l'ensemble des forces de pression exercées par un fluide au repos sur une surface immergée.
Centre de Poussée (\(y_P\))
Point d'application de la force hydrostatique résultante sur une surface. Pour les surfaces non horizontales, il est situé en dessous du centre de gravité.
Centre de Gravité (CDG ou \(y_G\))
Point géométrique d'une surface où l'on peut considérer que toute son aire est concentrée. Pour une surface plane, c'est son centroïde.
Moment d'Inertie de Surface (\(I_G\))
Mesure de la distribution de l'aire d'une surface par rapport à un axe. Crucial pour déterminer la position du centre de poussée.
Pression Hydrostatique
Pression exercée par un fluide au repos, qui augmente linéairement avec la profondeur (\(P = \rho g h\)).
Calcul de la Force sur une Paroi de Barrage - Exercice d'Application

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