Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Force Flottante sur un Barrage

Calcul de la Force Flottante sur un Barrage

Calcul de la Force Flottante sur un Barrage

Comprendre la Poussée d'Archimède sur les Structures Immergées

Tout corps plongé, en totalité ou en partie, dans un fluide au repos subit une force verticale, dirigée de bas en haut, appelée poussée d'Archimède (ou force flottante). L'intensité de cette force est égale au poids du volume de fluide déplacé par le corps. Ce principe est crucial pour la conception et l'analyse de la stabilité des structures hydrauliques telles que les barrages, les quais, ou les navires. Cet exercice se concentre sur le calcul de cette force pour une section simplifiée de barrage en béton.

Données de l'étude

On étudie un bloc de béton rectangulaire, représentant une section d'un barrage poids, partiellement immergé dans de l'eau douce.

Caractéristiques du bloc et du fluide :

Paramètre Valeur Symbole
Largeur du bloc (base) 5.0 \(\text{m}\) \(b\)
Hauteur totale du bloc 10.0 \(\text{m}\) \(H\)
Longueur du bloc (perpendiculaire au schéma) 20.0 \(\text{m}\) \(L\)
Hauteur d'eau (niveau d'immersion du bloc) 7.0 \(\text{m}\) \(h_e\)
Masse volumique de l'eau 1000 \(\text{kg/m}^3\) \(\rho_{\text{eau}}\)
Masse volumique du béton 2400 \(\text{kg/m}^3\) \(\rho_{\text{béton}}\)
Accélération due à la gravité 9.81 \(\text{m/s}^2\) \(g\)

Hypothèse : Le bloc est un prisme droit à base rectangulaire.

Schéma : Bloc de barrage partiellement immergé
Surface Libre de l'Eau Bloc (Barrage) F_A P_bloc H = 10m h_e = 7m b = 5m

Schéma d'un bloc rectangulaire (section de barrage) partiellement immergé.

Questions à traiter

  1. Calculer le volume de la partie immergée du bloc (\(V_{\text{immergé}}\)).
  2. Calculer la force de poussée d'Archimède (\(F_A\)) exercée par l'eau sur le bloc.
  3. Calculer le poids total du bloc de béton (\(P_{\text{bloc}}\)).
  4. Déterminer la force verticale nette agissant sur le bloc et indiquer si, en l'absence d'autres forces, il aurait tendance à flotter ou à couler davantage.

Correction : Calcul de la Force Flottante

Question 1 : Volume de la partie immergée (\(V_{\text{immergé}}\))

Principe :

Le volume de la partie immergée du bloc rectangulaire est le produit de sa largeur, de sa longueur et de la hauteur d'eau (niveau d'immersion).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{immergé}} = b \times L \times h_e\]
Données spécifiques :
  • Largeur du bloc (\(b\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Longueur du bloc (\(L\)) : \(20.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur d'eau (\(h_e\)) : \(7.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{immergé}} &= b \times L \times h_e \\ &= 5.0 \, \text{m} \times 20.0 \, \text{m} \times 7.0 \, \text{m} \\ &= 100.0 \, \text{m}^2 \times 7.0 \, \text{m} \\ &= 700.0 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le volume de la partie immergée du bloc est \(V_{\text{immergé}} = 700.0 \, \text{m}^3\).

Question 2 : Force de poussée d'Archimède (\(F_A\))

Principe :

La force de poussée d'Archimède est égale au poids du volume de fluide déplacé. Le poids du fluide déplacé est le produit du volume de fluide déplacé (égal au volume immergé du corps), de la masse volumique du fluide et de l'accélération due à la gravité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_A = \rho_{\text{eau}} \times g \times V_{\text{immergé}}\]
Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho_{\text{eau}}\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Volume immergé (\(V_{\text{immergé}}\)) : \(700.0 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_A &= \rho_{\text{eau}} \times g \times V_{\text{immergé}} \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 700.0 \, \text{m}^3 \\ &= 9810 \, \text{N/m}^3 \times 700.0 \, \text{m}^3 \\ &= 6867000 \, \text{N} \\ &= 6867 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La force de poussée d'Archimède est \(F_A = 6867000 \, \text{N}\) (ou \(6867 \, \text{kN}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la densité de l'eau diminue, la force de poussée d'Archimède sur le même volume immergé :

Question 3 : Poids total du bloc de béton (\(P_{\text{bloc}}\))

Principe :

Le poids total du bloc de béton est le produit de son volume total, de sa masse volumique et de l'accélération due à la gravité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{total bloc}} = b \times L \times H\]
\[P_{\text{bloc}} = \rho_{\text{béton}} \times g \times V_{\text{total bloc}}\]
Données spécifiques :
  • Largeur du bloc (\(b\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Longueur du bloc (\(L\)) : \(20.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur totale du bloc (\(H\)) : \(10.0 \, \text{m}\)
  • Masse volumique du béton (\(\rho_{\text{béton}}\)) : \(2400 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :

Volume total du bloc :

\[ \begin{aligned} V_{\text{total bloc}} &= b \times L \times H \\ &= 5.0 \, \text{m} \times 20.0 \, \text{m} \times 10.0 \, \text{m} \\ &= 100.0 \, \text{m}^2 \times 10.0 \, \text{m} \\ &= 1000.0 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Poids total du bloc :

\[ \begin{aligned} P_{\text{bloc}} &= \rho_{\text{béton}} \times g \times V_{\text{total bloc}} \\ &= 2400 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1000.0 \, \text{m}^3 \\ &= 23544 \, \text{N/m}^3 \times 1000.0 \, \text{m}^3 \\ &= 23544000 \, \text{N} \\ &= 23544 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le poids total du bloc de béton est \(P_{\text{bloc}} = 23544000 \, \text{N}\) (ou \(23544 \, \text{kN}\)).

Question 4 : Force verticale nette et tendance de flottaison

Principe :

La force verticale nette agissant sur le bloc est la différence entre son poids (dirigé vers le bas) et la poussée d'Archimède (dirigée vers le haut). Si le poids est supérieur à la poussée d'Archimède, le corps a tendance à couler. Si la poussée d'Archimède est supérieure au poids, il a tendance à flotter. Si elles sont égales, il est en équilibre de flottaison neutre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_{\text{nette}} = P_{\text{bloc}} - F_A\]
Données spécifiques :
  • Poids total du bloc (\(P_{\text{bloc}}\)) : \(23544000 \, \text{N}\)
  • Poussée d'Archimède (\(F_A\)) : \(6867000 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_{\text{nette}} &= P_{\text{bloc}} - F_A \\ &= 23544000 \, \text{N} - 6867000 \, \text{N} \\ &= 16677000 \, \text{N} \end{aligned} \]

La force nette est positive et dirigée vers le bas (car \(P_{\text{bloc}} > F_A\)).

Résultat Question 4 : La force verticale nette est \(F_{\text{nette}} = 16677000 \, \text{N}\) (dirigée vers le bas). Le bloc a tendance à couler davantage, ce qui est attendu pour un barrage en béton.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La poussée d'Archimède dépend :

2. Un corps flotte si :

3. Pour un barrage poids en béton, la poussée d'Archimède (ou sous-pression) :

Glossaire

Poussée d'Archimède (Force Flottante)
Force verticale, dirigée vers le haut, qu'un fluide exerce sur un corps immergé ou flottant. Elle est égale au poids du volume de fluide déplacé par le corps.
Volume Immergé
Partie du volume d'un corps qui se trouve sous la surface libre du fluide.
Masse Volumique (\(\rho\))
Masse d'une substance par unité de volume. Unité SI : \(\text{kg/m}^3\).
Poids (\(P\))
Force gravitationnelle exercée sur un corps, égale à sa masse multipliée par l'accélération due à la gravité (\(P = m \cdot g\)). Unité : Newton (N).
Barrage Poids
Type de barrage qui résiste à la poussée de l'eau principalement par son propre poids.
Stabilité (d'un corps flottant ou immergé)
Capacité d'un corps à retrouver sa position d'équilibre après avoir été légèrement déplacé. Pour les barrages, la stabilité au glissement et au renversement sont aussi cruciales.
Calcul de la Force Flottante sur un Barrage - Application

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