Études de cas pratique

EGC

Calculer la Distribution d’Eau Potable

Calcul de la Distribution d’Eau Potable

Calcul de la Distribution d’Eau Potable

Comprendre la Distribution d'Eau Potable

La distribution d'eau potable consiste à acheminer l'eau traitée depuis les usines de production ou les réservoirs de stockage jusqu'aux consommateurs. Ce transport s'effectue à travers un réseau de conduites de diamètres variés. L'un des objectifs principaux du dimensionnement de ces réseaux est de garantir une pression suffisante à chaque point de livraison, tout en assurant le débit requis par les usagers. Pour cela, il est crucial de calculer les pertes de charge (pertes d'énergie) qui se produisent le long des conduites dues aux frottements du fluide contre les parois (pertes de charge linéaires) et aux singularités du réseau (coudes, vannes, tés, etc.). L'équation de Bernoulli généralisée est l'outil fondamental pour analyser ces écoulements en charge.

Données de l'étude

Une petite communauté doit être alimentée en eau potable à partir d'un réservoir situé en altitude. On souhaite vérifier si une conduite existante est adéquate pour fournir le débit nécessaire avec une pression suffisante au point de livraison.

Caractéristiques du système :

  • Altitude du niveau d'eau dans le réservoir (\(Z_{\text{R}}\)) : \(250.00 \, \text{m}\)
  • Altitude du point de livraison P dans la communauté (\(Z_{\text{P}}\)) : \(180.00 \, \text{m}\)
  • Pression minimale requise au point P (\(p_{\text{P,req}}/\rho g\)) : \(25 \, \text{m}\) de colonne d'eau (environ 2.5 bars)
  • Débit requis au point P (\(Q\)) : \(20 \, \text{L/s}\)
  • Conduite existante :
    • Longueur (\(L\)) : \(1500 \, \text{m}\)
    • Diamètre intérieur (\(D\)) : \(150 \, \text{mm}\)
    • Matériau : Fonte ductile, avec une rugosité absolue (\(\epsilon\)) de \(0.25 \, \text{mm}\)
  • Propriétés de l'eau (considérées constantes) :
    • Masse volumique (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
    • Viscosité cinématique (\(\nu\)) : \(1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
    • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Hypothèses :

  • L'écoulement est permanent.
  • La vitesse de l'eau à la surface du réservoir est négligeable (\(V_{\text{R}} \approx 0\)).
  • Les pertes de charge singulières sont négligées pour cet exercice (focus sur les pertes linéaires).
  • La pression à la surface du réservoir est la pression atmosphérique.
On utilisera l'équation de Colebrook-White (ou une approximation comme Swamee-Jain) pour le coefficient de perte de charge linéaire \(f\). Approximation de Swamee-Jain : \(f = \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{Re^{0.9}} \right) \right]^2}\)

Schéma : Système de distribution d'eau par gravité
{/* */} Réservoir (ZR) {/* */} L, D, ε {/* */} Point P (ZP, pP) {/* */} ZR=250m ZP=180m H_dispo Distribution d'Eau par Gravité

Schéma d'un système de distribution d'eau par gravité depuis un réservoir vers un point de livraison P.

Questions à traiter

  1. Convertir le débit requis \(Q\) en \(\text{m}^3/\text{s}\).
  2. Calculer l'aire de la section transversale (\(A\)) de la conduite.
  3. Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement (\(V\)) dans la conduite pour le débit requis.
  4. Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\)) pour cet écoulement.
  5. Calculer la rugosité relative (\(\epsilon/D\)) de la conduite.
  6. Estimer le coefficient de perte de charge linéaire (\(f\)) en utilisant l'approximation de Swamee-Jain.
  7. Calculer la perte de charge linéaire totale (\(h_f\)) dans la conduite.
  8. Appliquer l'équation de Bernoulli généralisée entre la surface libre du réservoir et le point P pour déterminer la charge piézométrique (pression) effective au point P (\(p_{\text{P,eff}}/\rho g\)).
  9. Comparer la pression effective au point P avec la pression minimale requise. La conduite existante est-elle adéquate ?

Correction : Calcul de la Distribution d’Eau Potable

Question 1 : Conversion du Débit Requis (\(Q\))

Principe :

Convertir les Litres par seconde (L/s) en mètres cubes par seconde (m³/s). \(1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{L}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q \, (\text{m}^3/\text{s}) = \frac{Q \, (\text{L/s})}{1000}\]
Données spécifiques :
  • Débit requis (\(Q\)) : \(20 \, \text{L/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= \frac{20}{1000} \, \text{m}^3/\text{s} \\ &= 0.020 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le débit requis est \(Q = 0.020 \, \text{m}^3/\text{s}\).

Question 2 : Aire de la Section Transversale (\(A\)) de la Conduite

Principe :

L'aire d'une section circulaire est \(A = \pi D^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \frac{\pi D^2}{4}\]
Données spécifiques (avec conversion d'unités) :
  • Diamètre (\(D\)) : \(150 \, \text{mm} = 0.150 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0.150 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.0225 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.017671 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'aire de la section transversale de la conduite est \(A \approx 0.01767 \, \text{m}^2\).

Question 3 : Vitesse Moyenne de l'Écoulement (\(V\))

Principe :

La vitesse moyenne est le débit divisé par l'aire de la section.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V = \frac{Q}{A}\]
Données spécifiques :
  • Débit (\(Q\)) : \(0.020 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Aire (\(A\)) : \(0.017671 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V &= \frac{0.020 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.017671 \, \text{m}^2} \\ &\approx 1.13178 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La vitesse moyenne de l'écoulement est \(V \approx 1.132 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Nombre de Reynolds (\(Re\))

Principe :

Le nombre de Reynolds caractérise le régime d'écoulement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Re = \frac{V D}{\nu}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse (\(V\)) : \(1.13178 \, \text{m/s}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(0.150 \, \text{m}\)
  • Viscosité cinématique (\(\nu\)) : \(1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.13178 \, \text{m/s} \times 0.150 \, \text{m}}{1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &= \frac{0.169767}{1.0 \times 10^{-6}} \\ &\approx 169767 \end{aligned} \]

Puisque \(Re > 4000\), l'écoulement est turbulent.

Résultat Question 4 : Le nombre de Reynolds est \(Re \approx 169767\).

Question 5 : Rugosité Relative (\(\epsilon/D\))

Principe :

Rapport de la rugosité absolue au diamètre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{\epsilon}{D}\]
Données spécifiques (avec conversion d'unités) :
  • Rugosité absolue (\(\epsilon\)) : \(0.25 \, \text{mm} = 0.00025 \, \text{m}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(0.150 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon}{D} &= \frac{0.00025 \, \text{m}}{0.150 \, \text{m}} \\ &\approx 0.0016667 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La rugosité relative est \(\epsilon/D \approx 0.001667\).

Question 6 : Coefficient de Perte de Charge Linéaire (\(f\))

Principe :

Utilisation de l'approximation de Swamee-Jain pour les écoulements turbulents.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f = \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{Re^{0.9}} \right) \right]^2}\]
Données spécifiques :
  • \(\epsilon/D \approx 0.0016667\)
  • \(Re \approx 169767\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon/D}{3.7} &= \frac{0.0016667}{3.7} \approx 0.00045046 \\ Re^{0.9} &= (169767)^{0.9} \approx 53663.5 \\ \frac{5.74}{Re^{0.9}} &= \frac{5.74}{53663.5} \approx 0.00010696 \\ \log_{10} (0.00045046 + 0.00010696) &= \log_{10} (0.00055742) \approx -3.2538 \\ f &= \frac{0.25}{(-3.2538)^2} \\ &= \frac{0.25}{10.5872} \\ &\approx 0.02361 \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le coefficient de perte de charge linéaire est \(f \approx 0.0236\).

Quiz Intermédiaire 1 : La formule de Darcy-Weisbach est utilisée pour calculer :

Question 7 : Perte de Charge Linéaire Totale (\(h_f\))

Principe :

Utilisation de la formule de Darcy-Weisbach.

Formule(s) utilisée(s) :
\[h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}\]
Données spécifiques :
  • \(f \approx 0.02361\)
  • \(L = 1500 \, \text{m}\)
  • \(D = 0.150 \, \text{m}\)
  • \(V \approx 1.13178 \, \text{m/s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h_f &= 0.02361 \times \frac{1500}{0.150} \times \frac{(1.13178)^2}{2 \times 9.81} \\ &= 0.02361 \times 10000 \times \frac{1.28092}{19.62} \\ &= 236.1 \times 0.065286 \\ &\approx 15.414 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La perte de charge linéaire totale est \(h_f \approx 15.41 \, \text{m}\).

Question 8 : Pression Effective au Point P (\(p_{\text{P,eff}}/\rho g\))

Principe :

Application de l'équation de Bernoulli généralisée entre la surface du réservoir (R) et le point de livraison (P).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{p_{\text{R}}}{\rho g} + Z_{\text{R}} + \frac{V_{\text{R}}^2}{2g} = \frac{p_{\text{P,eff}}}{\rho g} + Z_{\text{P}} + \frac{V_{\text{P}}^2}{2g} + h_f\]

Avec \(p_{\text{R}} = p_{\text{atm}}\) (donc \(p_{\text{R,relative}}/\rho g = 0\)), \(V_{\text{R}} \approx 0\), et \(V_{\text{P}} = V\).

\[Z_{\text{R}} = \frac{p_{\text{P,eff}}}{\rho g} + Z_{\text{P}} + \frac{V^2}{2g} + h_f\]
\[\Rightarrow \frac{p_{\text{P,eff}}}{\rho g} = Z_{\text{R}} - Z_{\text{P}} - \frac{V^2}{2g} - h_f\]
Données spécifiques :
  • \(Z_{\text{R}} = 250.00 \, \text{m}\)
  • \(Z_{\text{P}} = 180.00 \, \text{m}\)
  • \(V \approx 1.13178 \, \text{m/s}\)
  • \(h_f \approx 15.414 \, \text{m}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{V^2}{2g} &= \frac{(1.13178)^2}{2 \times 9.81} = \frac{1.28092}{19.62} \approx 0.065286 \, \text{m} \\ \frac{p_{\text{P,eff}}}{\rho g} &= 250.00 - 180.00 - 0.065286 - 15.414 \\ &= 70.00 - 0.065286 - 15.414 \\ &= 70.00 - 15.479286 \\ &\approx 54.521 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : La charge piézométrique (pression) effective au point P est d'environ \(54.52 \, \text{m}\) de colonne d'eau.

Question 9 : Adéquation de la Conduite

Principe :

Comparer la pression effective calculée à la pression minimale requise au point P.

Données spécifiques :
  • Pression effective au point P (\(p_{\text{P,eff}}/\rho g\)) \(\approx 54.52 \, \text{m}\)
  • Pression minimale requise au point P (\(p_{\text{P,req}}/\rho g\)) : \(25 \, \text{m}\)
Comparaison :
\[54.52 \, \text{m} \geq 25 \, \text{m}\]

La pression effective au point P est supérieure à la pression minimale requise.

Résultat Question 9 : Oui, la conduite existante est adéquate car la pression effective au point P (\(\approx 54.52 \, \text{m}\)) est supérieure à la pression minimale requise (\(25 \, \text{m}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si les pertes de charge linéaires augmentent dans une conduite alimentant un point par gravité, la pression à ce point :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'équation de Bernoulli généralisée tient compte :

2. Le nombre de Reynolds permet de déterminer :

3. Une augmentation du diamètre d'une conduite, pour un même débit, entraîne généralement :

Glossaire

Équation de Bernoulli Généralisée
Extension de l'équation de Bernoulli qui inclut les pertes de charge (linéaires et singulières) et les apports/retraits d'énergie par des machines (pompes, turbines).
Pertes de Charge Linéaires (\(h_f\))
Pertes d'énergie par unité de poids de fluide dues au frottement du fluide contre les parois internes de la conduite sur sa longueur.
Formule de Darcy-Weisbach
Équation fondamentale pour calculer les pertes de charge linéaires : \(h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}\).
Coefficient de Perte de Charge Linéaire (\(f\))
Facteur de frottement de Darcy, adimensionnel, dépendant du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la conduite.
Nombre de Reynolds (\(Re\))
Nombre adimensionnel qui caractérise le régime d'écoulement (laminaire ou turbulent). \(Re = VD/\nu\).
Rugosité Absolue (\(\epsilon\))
Hauteur moyenne des aspérités de la surface interne d'une conduite.
Rugosité Relative (\(\epsilon/D\))
Rapport entre la rugosité absolue et le diamètre intérieur de la conduite.
Charge Piézométrique
Somme de la hauteur géométrique (altitude \(Z\)) et de la hauteur de pression (\(p/\rho g\)). Représente l'énergie potentielle par unité de poids du fluide.
Calcul de la Distribution d’Eau Potable - Exercice d'Application

Calculer la Distribution d’Eau Potable

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