Études de cas pratique

EGC

Pression dans une conduite de fluides parfaits

Pression dans une Conduite de Fluides Parfaits

Pression dans une Conduite de Fluides Parfaits

Comprendre la Relation entre Vitesse et Pression (Théorème de Bernoulli)

Pour un fluide parfait (incompressible et non visqueux) en écoulement permanent, le théorème de Bernoulli établit une relation entre la pression, la vitesse et l'altitude du fluide le long d'une ligne de courant. Dans le cas d'une conduite horizontale, si la section de la conduite varie, la vitesse du fluide change (d'après l'équation de continuité), ce qui entraîne une variation de pression. Cet exercice vise à appliquer ces principes pour calculer la pression dans une section rétrécie d'une conduite.

Données de l'étude

De l'eau (considérée comme un fluide parfait) s'écoule en régime permanent dans une conduite horizontale qui présente un rétrécissement.

Caractéristiques de la conduite et de l'écoulement :

Paramètre Valeur Symbole
Fluide Eau -
Masse volumique de l'eau 1000 \(\text{kg/m}^3\) \(\rho\)
Diamètre de la section 1 (amont) 0.20 \(\text{m}\) \(D_1\)
Pression dans la section 1 2.5 \(\text{bar}\) \(P_1\)
Vitesse de l'eau dans la section 1 1.5 \(\text{m/s}\) \(v_1\)
Diamètre de la section 2 (rétrécissement) 0.10 \(\text{m}\) \(D_2\)
Accélération due à la gravité 9.81 \(\text{m/s}^2\) \(g\)

Hypothèses : Le fluide est parfait (incompressible et non visqueux). L'écoulement est permanent. La conduite est horizontale (\(z_1 = z_2\)). 1 bar = \(10^5\) Pa.

Schéma : Conduite horizontale avec rétrécissement
Section 1 (D1, P1, v1) Section 2 (D2, P2, v2) D1 D2 Conduite Horizontale (z1 = z2)

Schéma d'un écoulement dans une conduite horizontale avec rétrécissement.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale \(A_1\) en \(\text{m}^2\).
  2. Calculer l'aire de la section transversale \(A_2\) en \(\text{m}^2\).
  3. En utilisant l'équation de continuité, calculer la vitesse \(v_2\) dans la section 2 en \(\text{m/s}\).
  4. Convertir la pression \(P_1\) en Pascals (Pa).
  5. En utilisant l'équation de Bernoulli pour un fluide parfait en écoulement dans une conduite horizontale, calculer la pression \(P_2\) dans la section 2 en Pascals (Pa), puis la convertir en bars.

Correction : Pression dans une Conduite de Fluides Parfaits

Question 1 : Aire de la section transversale (\(A_1\))

Principe :

L'aire d'une section circulaire est donnée par \(A = \pi D^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre de la section 1 (\(D_1\)) : \(0.20 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi \times (0.20 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.04 \, \text{m}^2}{4} \\ &= \pi \times 0.01 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.0314159 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section 1 est \(A_1 \approx 0.0314 \, \text{m}^2\).

Question 2 : Aire de la section transversale (\(A_2\))

Principe :

Similaire à la question 1, l'aire de la section circulaire 2 est \(A_2 = \pi D_2^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre de la section 2 (\(D_2\)) : \(0.10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_2 &= \frac{\pi \times (0.10 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.01 \, \text{m}^2}{4} \\ &= \pi \times 0.0025 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.0078539 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'aire de la section 2 est \(A_2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2\).

Question 3 : Vitesse (\(v_2\)) dans la section 2

Principe :

L'équation de continuité pour un fluide incompressible stipule que le débit volumique \(Q\) est constant. Ainsi, \(Q = A_1 v_1 = A_2 v_2\). On peut donc calculer \(v_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_1 v_1 = A_2 v_2 \Rightarrow v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2}\]
Données spécifiques :
  • Aire de la section 1 (\(A_1\)) : \(\approx 0.0314159 \, \text{m}^2\)
  • Vitesse dans la section 1 (\(v_1\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Aire de la section 2 (\(A_2\)) : \(\approx 0.0078539 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_2 &= \frac{A_1 v_1}{A_2} \\ &= \frac{0.0314159 \, \text{m}^2 \times 1.5 \, \text{m/s}}{0.0078539 \, \text{m}^2} \\ &= \frac{0.04712385 \, \text{m}^3\text{/s}}{0.0078539 \, \text{m}^2} \\ &\approx 6.000 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Note : On peut aussi remarquer que si le diamètre est divisé par 2, l'aire est divisée par \(2^2 = 4\). Donc la vitesse est multipliée par 4. \(1.5 \, \text{m/s} \times 4 = 6.0 \, \text{m/s}\).

Résultat Question 3 : La vitesse dans la section 2 est \(v_2 = 6.0 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Conversion de la pression (\(P_1\)) en Pascals

Principe :

La conversion entre bars et Pascals (Pa) est \(1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_1 (\text{Pa}) = P_1 (\text{bar}) \times 10^5\]
Données spécifiques :
  • Pression dans la section 1 (\(P_1\)) : \(2.5 \, \text{bar}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_1 &= 2.5 \, \text{bar} \times 10^5 \, \text{Pa/bar} \\ &= 250000 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La pression dans la section 1 est \(P_1 = 250000 \, \text{Pa}\).

Question 5 : Pression (\(P_2\)) dans la section 2

Principe :

L'équation de Bernoulli pour un fluide parfait en écoulement permanent dans une conduite horizontale (\(z_1 = z_2\)) s'écrit : \(P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2\). On peut réarranger cette équation pour trouver \(P_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_2 = P_1 + \frac{1}{2}\rho (v_1^2 - v_2^2)\]
Données spécifiques :
  • Pression dans la section 1 (\(P_1\)) : \(250000 \, \text{Pa}\)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Vitesse dans la section 1 (\(v_1\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Vitesse dans la section 2 (\(v_2\)) : \(6.0 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= P_1 + \frac{1}{2}\rho (v_1^2 - v_2^2) \\ &= 250000 \, \text{Pa} + \frac{1}{2} \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times ((1.5 \, \text{m/s})^2 - (6.0 \, \text{m/s})^2) \\ &= 250000 \, \text{Pa} + 500 \, \text{kg/m}^3 \times (2.25 \, \text{m}^2\text{/s}^2 - 36.0 \, \text{m}^2\text{/s}^2) \\ &= 250000 \, \text{Pa} + 500 \, \text{kg/m}^3 \times (-33.75 \, \text{m}^2\text{/s}^2) \\ &= 250000 \, \text{Pa} - 16875 \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{s}^{-2} \, (\text{N/m}^2 \text{ ou Pa}) \\ &= 233125 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Conversion en bars :

\[ \begin{aligned} P_2 (\text{bar}) &= \frac{233125 \, \text{Pa}}{10^5 \, \text{Pa/bar}} \\ &= 2.33125 \, \text{bar} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La pression dans la section 2 est \(P_2 = 233125 \, \text{Pa}\), soit environ \(2.33 \, \text{bar}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Dans un rétrécissement d'une conduite horizontale, si la vitesse du fluide augmente, la pression statique du fluide :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le théorème de Bernoulli s'applique à :

2. Dans une conduite horizontale, si la vitesse d'un fluide parfait augmente :

3. L'équation de continuité (\(A_1 v_1 = A_2 v_2\)) pour un fluide incompressible exprime :

Glossaire

Fluide Parfait (ou Idéal)
Fluide théorique qui est à la fois incompressible (sa masse volumique est constante) et non visqueux (pas de frottement interne).
Théorème de Bernoulli
Principe de la mécanique des fluides qui énonce que, pour un fluide parfait en écoulement permanent, la somme de la pression, de l'énergie cinétique par unité de volume et de l'énergie potentielle de pesanteur par unité de volume est constante le long d'une ligne de courant.
Équation de Continuité
Basée sur le principe de conservation de la masse, elle stipule que pour un fluide incompressible, le produit de l'aire de la section transversale et de la vitesse moyenne du fluide est constant le long d'une conduite (\(Q = A \cdot v = \text{constante}\)).
Pression Statique (\(P\))
Pression exercée par un fluide au repos ou pression mesurée perpendiculairement à l'écoulement d'un fluide en mouvement.
Énergie Cinétique (par unité de volume)
Énergie associée au mouvement du fluide, exprimée comme \(\frac{1}{2}\rho v^2\).
Énergie Potentielle de Pesanteur (par unité de volume)
Énergie associée à l'altitude du fluide dans un champ de gravité, exprimée comme \(\rho g z\).
Pression dans une Conduite - Application

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