Études de cas pratique

EGC

Calcul de la quantité de Mouvement de l’eau

Calcul de la Quantité de Mouvement de l’Eau en Hydraulique

Calcul de la Quantité de Mouvement de l’Eau en Hydraulique

Comprendre le Principe de la Quantité de Mouvement en Hydraulique

Le principe de la quantité de mouvement, issu de la deuxième loi de Newton, est fondamental en mécanique des fluides pour déterminer les forces exercées par un fluide en mouvement sur les parois d'une conduite, sur des obstacles, ou les forces nécessaires pour modifier la direction ou la vitesse d'un écoulement. L'équation de la quantité de mouvement stipule que la somme des forces externes agissant sur un volume de contrôle est égale au taux de variation de la quantité de mouvement du fluide traversant ce volume. Ce principe est largement utilisé pour concevoir des coudes de tuyauterie, des aubages de turbines, des propulseurs, etc.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule dans un coude réducteur horizontal qui dévie le jet de 90°. Le coude est dans un plan horizontal.

Caractéristiques de l'écoulement et du coude :

  • Fluide : Eau
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Section d'entrée (1) :
    • Diamètre (\(D_1\)) : \(150 \, \text{mm}\)
    • Pression relative (\(p_1\)) : \(200 \, \text{kPa}\)
    • Vitesse moyenne (\(V_1\)) : \(2 \, \text{m/s}\)
  • Section de sortie (2) :
    • Diamètre (\(D_2\)) : \(75 \, \text{mm}\)
  • Angle de déviation du coude (\(\theta\)) : \(90^\circ\) (l'eau entre horizontalement et sort verticalement vers le bas, ou horizontalement à 90°). Pour simplifier, on considère une déviation dans le plan horizontal.

Hypothèses :

  • L'écoulement est permanent et incompressible.
  • Les effets de la gravité sont négligés (coude horizontal).
  • Les pertes de charge dans le coude sont négligées pour le calcul de la vitesse en sortie (on utilisera la conservation du débit).

Schéma : Coude réducteur horizontal
{/* */} {/* */} x y {/* */} Section 1 V₁ D₁ {/* */} Section 2 V₂ D₂ {/* */} Fx Fy Coude réducteur 90°

Schéma d'un coude réducteur horizontal déviant l'écoulement de 90°.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire des sections d'entrée (\(A_1\)) et de sortie (\(A_2\)).
  2. Calculer la vitesse moyenne en sortie (\(V_2\)) en utilisant le principe de conservation du débit.
  3. Calculer le débit massique (\(\dot{m}\)).
  4. Déterminer les composantes (\(F_x\) et \(F_y\)) de la force exercée par le coude sur le fluide. On supposera que la pression en sortie (\(p_2\)) est égale à la pression atmosphérique (donc \(p_{2,relative} = 0 \, \text{kPa}\)).
  5. Calculer la grandeur et la direction (angle par rapport à l'horizontale) de cette force résultante.

Correction : Calcul de la Quantité de Mouvement de l’Eau

Question 1 : Calcul des Aires des Sections (\(A_1\) et \(A_2\))

Principe :

L'aire d'une section circulaire est donnée par la formule \(A = \frac{\pi D^2}{4}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \frac{\pi D^2}{4}\]
Données spécifiques (avec conversion d'unités) :
  • Diamètre d'entrée \(D_1 = 150 \, \text{mm} = 0.15 \, \text{m}\)
  • Diamètre de sortie \(D_2 = 75 \, \text{mm} = 0.075 \, \text{m}\)
Calcul :

Aire d'entrée \(A_1\):

\[ \begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi (0.15 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.0225 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.01767 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Aire de sortie \(A_2\):

\[ \begin{aligned} A_2 &= \frac{\pi (0.075 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.005625 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.00441786 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Aire d'entrée \(A_1 \approx 0.01767 \, \text{m}^2\)
  • Aire de sortie \(A_2 \approx 0.004418 \, \text{m}^2\)

Question 2 : Calcul de la Vitesse Moyenne en Sortie (\(V_2\))

Principe :

Pour un fluide incompressible, le débit volumique (\(Q\)) est conservé entre deux sections d'un même écoulement. Le débit volumique est donné par \(Q = A \cdot V\). Ainsi, \(A_1 V_1 = A_2 V_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q = A_1 V_1 = A_2 V_2 \Rightarrow V_2 = \frac{A_1 V_1}{A_2}\]
Données spécifiques :
  • \(A_1 \approx 0.01767 \, \text{m}^2\)
  • \(V_1 = 2 \, \text{m/s}\)
  • \(A_2 \approx 0.004418 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{0.01767 \, \text{m}^2 \times 2 \, \text{m/s}}{0.004418 \, \text{m}^2} \\ &= \frac{0.03534 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.004418 \, \text{m}^2} \\ &\approx 7.999 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(V_2 \approx 8 \, \text{m/s}\).

Résultat Question 2 : La vitesse moyenne en sortie est \(V_2 \approx 8 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Calcul du Débit Massique (\(\dot{m}\))

Principe :

Le débit massique (\(\dot{m}\)) est la masse de fluide qui traverse une section par unité de temps. Il est donné par \(\dot{m} = \rho \cdot Q = \rho \cdot A \cdot V\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\dot{m} = \rho A_1 V_1 \quad (\text{ou } \rho A_2 V_2)\]
Données spécifiques :
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(A_1 \approx 0.01767 \, \text{m}^2\)
  • \(V_1 = 2 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \dot{m} &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 0.01767 \, \text{m}^2 \times 2 \, \text{m/s} \\ &= 1000 \times 0.03534 \, \text{kg/s} \\ &= 35.34 \, \text{kg/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le débit massique est \(\dot{m} \approx 35.34 \, \text{kg/s}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le débit massique représente :

Question 4 : Composantes de la Force Exercée par le Coude sur le Fluide (\(F_x, F_y\))

Principe :

L'équation de la quantité de mouvement pour un volume de contrôle en régime permanent s'écrit : \(\sum \vec{F}_{ext} = \dot{m} (\vec{V}_{sortie} - \vec{V}_{entrée})\). Les forces externes comprennent les forces de pression et la force exercée par le coude sur le fluide (\(\vec{R}\)). On cherche \(\vec{R} = (R_x, R_y)\). La force exercée par le fluide sur le coude sera \(-\vec{R}\). L'écoulement entre horizontalement (selon +x) et sort à 90° (selon +y, si on oriente l'axe y vers le haut pour la sortie, ou -y si vers le bas. Ici, le schéma suggère une sortie vers le bas, donc selon -y par rapport à l'axe y vertical standard, ou selon +y si l'axe x est horizontal et l'axe y est horizontal à 90°). Pour le schéma fourni (entrée horizontale, sortie verticale vers le bas), on a : \(\vec{V}_1 = (V_1, 0)\) et \(\vec{V}_2 = (0, -V_2)\) si l'axe y est orienté vers le haut. Si le coude dévie dans le plan horizontal (entrée selon +x, sortie selon +y) : \(\vec{V}_1 = (V_1, 0)\) et \(\vec{V}_2 = (0, V_2)\). Adoptons cette dernière convention pour le calcul, car le schéma SVG montre une déviation dans le plan x-y.

Forces de pression : \(p_1 A_1\) (selon +x) et \(p_2 A_2\) (selon -y, car la pression agit perpendiculairement à la surface de sortie). Soit \(R_x\) et \(R_y\) les composantes de la force exercée par le coude sur le fluide.

Formule(s) utilisée(s) (projection sur les axes) :

Selon l'axe x :

\[p_1 A_1 + R_x = \dot{m} (V_{2x} - V_{1x})\]

Selon l'axe y :

\[-p_2 A_2 + R_y = \dot{m} (V_{2y} - V_{1y})\]

Avec \(\vec{V}_1 = (V_1, 0)\) donc \(V_{1x}=V_1, V_{1y}=0\). Et \(\vec{V}_2 = (0, V_2)\) (sortie selon +y) donc \(V_{2x}=0, V_{2y}=V_2\). Pression de sortie \(p_{2,relative} = 0 \, \text{kPa}\).

Données spécifiques :
  • \(p_1 = 200 \, \text{kPa} = 200 \times 10^3 \, \text{Pa}\)
  • \(A_1 \approx 0.01767 \, \text{m}^2\)
  • \(p_2 = 0 \, \text{Pa}\) (pression relative)
  • \(A_2 \approx 0.004418 \, \text{m}^2\)
  • \(\dot{m} \approx 35.34 \, \text{kg/s}\)
  • \(V_1 = 2 \, \text{m/s}\)
  • \(V_2 \approx 8 \, \text{m/s}\)
Calcul de \(R_x\) :
\[ \begin{aligned} (200 \times 10^3 \, \text{Pa}) \times (0.01767 \, \text{m}^2) + R_x &= (35.34 \, \text{kg/s}) \times (0 - 2 \, \text{m/s}) \\ 3534 \, \text{N} + R_x &= -70.68 \, \text{N} \\ R_x &= -70.68 \, \text{N} - 3534 \, \text{N} \\ R_x &= -3604.68 \, \text{N} \end{aligned} \]

La force exercée par le coude sur le fluide \(R_x\) est négative, donc dirigée vers la gauche (-x).

Calcul de \(R_y\) :
\[ \begin{aligned} -(0 \, \text{Pa}) \times (0.004418 \, \text{m}^2) + R_y &= (35.34 \, \text{kg/s}) \times (8 \, \text{m/s} - 0) \\ 0 + R_y &= 282.72 \, \text{N} \\ R_y &= 282.72 \, \text{N} \end{aligned} \]

La force exercée par le coude sur le fluide \(R_y\) est positive, donc dirigée vers le haut (+y).

Les composantes de la force exercée par le fluide sur le coude sont \(F_x = -R_x\) et \(F_y = -R_y\).

\[ \begin{aligned} F_x &= -(-3604.68 \, \text{N}) = 3604.68 \, \text{N} \\ F_y &= -(282.72 \, \text{N}) = -282.72 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Les composantes de la force exercée par le coude sur le fluide sont :
  • \(R_x \approx -3604.7 \, \text{N}\)
  • \(R_y \approx 282.7 \, \text{N}\)
Les composantes de la force exercée par le fluide sur le coude sont :
  • \(F_x \approx 3604.7 \, \text{N}\) (vers la droite, +x)
  • \(F_y \approx -282.7 \, \text{N}\) (vers le bas, -y)

Question 5 : Grandeur et Direction de la Force Résultante sur le Coude

Principe :

La grandeur (ou module) de la force résultante \(F\) exercée par le fluide sur le coude est donnée par \(F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}\). La direction \(\alpha\) par rapport à l'horizontale (axe x positif) est donnée par \(\tan \alpha = \frac{F_y}{F_x}\).

Données spécifiques (forces exercées par le fluide sur le coude) :
  • \(F_x \approx 3604.7 \, \text{N}\)
  • \(F_y \approx -282.7 \, \text{N}\)
Calcul de la grandeur \(F\) :
\[ \begin{aligned} F &= \sqrt{(3604.7)^2 + (-282.7)^2} \\ &= \sqrt{13003858.09 + 79919.29} \\ &= \sqrt{13083777.38} \\ &\approx 3617.15 \, \text{N} \end{aligned} \]
Calcul de la direction \(\alpha\) :
\[ \begin{aligned} \tan \alpha &= \frac{-282.7}{3604.7} \\ \tan \alpha &\approx -0.078425 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \alpha &= \arctan(-0.078425) \\ &\approx -4.48^\circ \end{aligned} \]

L'angle est négatif, ce qui signifie qu'il est sous l'horizontale (dans le 4ème quadrant, car \(F_x > 0\) et \(F_y < 0\)).

Résultat Question 5 : La force résultante exercée par le fluide sur le coude a :
  • Une grandeur \(F \approx 3617.2 \, \text{N}\)
  • Une direction \(\alpha \approx -4.48^\circ\) par rapport à l'horizontale (axe +x), soit 4.48° sous l'horizontale.

Quiz Intermédiaire 2 : Si la pression à la sortie du coude (\(p_2\)) était supérieure à la pression atmosphérique, la composante \(F_y\) de la force exercée par le fluide sur le coude (en considérant une sortie vers +y) serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'équation de la quantité de mouvement est une application de :

2. Dans l'équation \(\sum \vec{F}_{ext} = \dot{m} (\vec{V}_{sortie} - \vec{V}_{entrée})\), le terme \(\dot{m} \vec{V}\) représente :

3. Si un jet d'eau horizontal frappe une plaque verticale fixe, la force exercée par le jet sur la plaque est principalement due :

Glossaire

Quantité de Mouvement (Impulsion)
Produit de la masse d'un corps par sa vitesse (\(m\vec{V}\)). C'est une grandeur vectorielle.
Principe de la Quantité de Mouvement
Affirme que le taux de variation de la quantité de mouvement d'un système est égal à la somme des forces externes agissant sur ce système. Pour un volume de contrôle en régime permanent, \(\sum \vec{F}_{ext} = \text{Flux de quantité de mouvement sortant} - \text{Flux de quantité de mouvement entrant}\).
Volume de Contrôle (VC)
Région finie de l'espace à travers laquelle le fluide s'écoule, choisie pour l'analyse. Les propriétés du fluide sont examinées lorsqu'elles traversent les frontières de ce volume.
Débit Massique (\(\dot{m}\))
Masse de fluide traversant une section par unité de temps. \(\dot{m} = \rho Q = \rho A V\).
Débit Volumique (\(Q\))
Volume de fluide traversant une section par unité de temps. \(Q = A V\).
Force de Pression
Force exercée par un fluide sur une surface due à la pression. Elle est égale au produit de la pression par l'aire de la surface et est dirigée perpendiculairement à cette surface.
Force Résultante
Somme vectorielle de toutes les forces agissant sur un corps ou un système. Dans le contexte de la quantité de mouvement, c'est souvent la force nécessaire pour maintenir un objet (comme un coude) en place contre les effets de l'écoulement du fluide.
Calcul de la Quantité de Mouvement - Exercice d'Application

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