Études de cas pratique

EGC

Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé

Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé

Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé

Comprendre les Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé

Le bois lamellé-collé (BLC) est un matériau d'ingénierie fabriqué en assemblant plusieurs lamelles de bois par collage. Il permet de créer des éléments de grandes dimensions et de formes variées, avec des propriétés mécaniques améliorées par rapport au bois massif. Lorsqu'une poutre en BLC est soumise à la flexion, des contraintes de compression et de traction se développent dans ses fibres. L'analyse de ces contraintes, notamment à l'État Limite de Service (ELS), est importante pour s'assurer du bon comportement de l'élément et pour vérifier les critères de déformation et d'aspect (fissuration, bien que le bois ne fissure pas comme le béton).

Données de l'étude

On étudie une poutre en bois lamellé-collé de section rectangulaire, simplement appuyée, soumise à un moment fléchissant de service.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur de la poutre (\(b\)) : \(140 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la poutre (\(h\)) : \(420 \, \text{mm}\)
  • Bois lamellé-collé : Classe GL28h (\(f_{m,k} = 28 \, \text{MPa}\) - résistance caractéristique en flexion; \(E_{0,mean} = 12600 \, \text{MPa}\) - module d'élasticité moyen parallèle aux fibres)

Sollicitations (ELS) :

  • Moment fléchissant de service (combinaison caractéristique) : \(M_{ser} = 70 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)

Hypothèse : On considère un comportement élastique linéaire du matériau.

Schéma : Section de Poutre en BLC et Diagramme des Contraintes
Section BLC G (axe neutre) b=140 h=420 Contraintes (σ) σ_sup σ_inf

Section de poutre en BLC et diagramme linéaire des contraintes de flexion à l'ELS.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment d'inertie (\(I_y\)) de la section rectangulaire par rapport à son axe de flexion principal.
  2. Calculer le module d'inertie élastique (\(W_{el,y}\)) de la section.
  3. Calculer la contrainte maximale de compression (\(\sigma_{m,c,ser}\)) à la fibre supérieure de la poutre.
  4. Calculer la contrainte maximale de traction (\(\sigma_{m,t,ser}\)) à la fibre inférieure de la poutre.
  5. Comparer ces contraintes à une fraction de la résistance caractéristique en flexion \(f_{m,k}\) (par exemple, \(\sigma_{adm} = f_{m,k} / 2.0\) pour une vérification simplifiée d'aptitude au service, bien que l'Eurocode 5 se concentre sur les déformations pour l'ELS).

Correction : Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé

Question 1 : Moment d'Inertie (\(I_y\))

Principe :

Le moment d'inertie (ou moment quadratique) d'une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), par rapport à l'axe passant par son centre de gravité et parallèle à la base (axe y-y dans ce cas, provoquant la flexion autour de cet axe), est une propriété géométrique qui mesure sa résistance à la flexion. Il est fondamental pour calculer les contraintes et les déformations.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_y = \frac{b h^3}{12}\]
Données spécifiques (converties en mm) :
  • Base (\(b\)) : \(140 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(420 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_y &= \frac{140 \, \text{mm} \times (420 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{140 \times 74088000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= \frac{10372320000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= 864360000 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

Conversion en cm⁴ : \(I_y = 86436 \, \text{cm}^4\)

Résultat Question 1 : Le moment d'inertie est \(I_y = 8.6436 \times 10^8 \, \text{mm}^4\).

Question 2 : Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\))

Principe :

Le module d'inertie élastique (ou module de section) \(W_{el,y}\) est une autre caractéristique géométrique de la section. Il est défini comme le rapport du moment d'inertie \(I_y\) à la distance de la fibre la plus éloignée de l'axe neutre (\(y_{max}\)). Pour une section rectangulaire symétrique, \(y_{max} = h/2\). Ce module est directement utilisé dans la formule de calcul des contraintes de flexion.

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{el,y} = \frac{I_y}{y_{max}} = \frac{I_y}{h/2} = \frac{b h^2}{6}\]
Données spécifiques (converties en mm) :
  • Base (\(b\)) : \(140 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(420 \, \text{mm}\)
  • \(I_y \approx 864360000 \, \text{mm}^4\) (calculé)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{el,y} &= \frac{140 \, \text{mm} \times (420 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= \frac{140 \times 176400}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= \frac{24696000}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= 4116000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Vérification avec \(I_y\) : \(y_{max} = h/2 = 420/2 = 210 \, \text{mm}\).

\[ W_{el,y} = \frac{864360000 \, \text{mm}^4}{210 \, \text{mm}} = 4116000 \, \text{mm}^3 \]

Conversion en cm³ : \(W_{el,y} = 4116 \, \text{cm}^3\)

Résultat Question 2 : Le module d'inertie élastique est \(W_{el,y} = 4.116 \times 10^6 \, \text{mm}^3\).

Question 3 : Contrainte Maximale de Compression (\(\sigma_{m,c,ser}\))

Principe :

La contrainte maximale de compression due à la flexion se produit à la fibre la plus éloignée de l'axe neutre du côté comprimé (ici, la fibre supérieure). Elle est calculée en divisant le moment fléchissant de service (\(M_{ser}\)) par le module d'inertie élastique (\(W_{el,y}\)).

Convention : Compression = négative.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{m,c,ser} = -\frac{M_{ser}}{W_{el,y}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{ser} = 70 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 70 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(W_{el,y} = 4116000 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{m,c,ser} &= -\frac{70 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{4116000 \, \text{mm}^3} \\ &\approx -17.007 \, \text{N/mm}^2 \, (\text{MPa}) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La contrainte maximale de compression est \(\sigma_{m,c,ser} \approx -17.01 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Contrainte Maximale de Traction (\(\sigma_{m,t,ser}\))

Principe :

La contrainte maximale de traction due à la flexion se produit à la fibre la plus éloignée de l'axe neutre du côté tendu (ici, la fibre inférieure). Pour une section symétrique, sa valeur absolue est la même que celle de la contrainte de compression.

Convention : Traction = positive.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{m,t,ser} = +\frac{M_{ser}}{W_{el,y}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{ser} = 70 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(W_{el,y} = 4116000 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{m,t,ser} &= +\frac{70 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{4116000 \, \text{mm}^3} \\ &\approx +17.007 \, \text{N/mm}^2 \, (\text{MPa}) \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La contrainte maximale de traction est \(\sigma_{m,t,ser} \approx +17.01 \, \text{MPa}\).

Question 5 : Comparaison à une Limite Admissible (Indicative)

Principe :

À l'ELS, on vérifie que les contraintes calculées ne dépassent pas des limites admissibles. Ces limites peuvent être liées à l'aspect (fissuration pour le béton, mais pas applicable ici pour le bois de la même manière), au confort, ou à la durabilité. Pour le bois en flexion, les vérifications ELS se concentrent principalement sur les déformations (flèches). Cependant, pour illustrer, on peut comparer la contrainte calculée à une fraction de la résistance caractéristique en flexion (\(f_{m,k}\)). L'Eurocode 5 ne définit pas de limite de contrainte directe à l'ELS pour la flexion de cette manière, mais il est utile de voir l'ordre de grandeur.

Une approche simplifiée (non normative pour l'ELS) pourrait être de comparer \(\sigma_{m,ser}\) à \(f_{m,k}\) ou \(f_{m,d}\) (la résistance de calcul ELU). Une comparaison plus pertinente à l'ELS serait de vérifier si la déformation est acceptable, ou si les contraintes induisent des effets de fluage excessifs.

Pour cet exercice, nous allons comparer la contrainte maximale (\(|\sigma_{max,ser}| = 17.01 \, \text{MPa}\)) à la résistance caractéristique \(f_{m,k} = 28 \, \text{MPa}\).

Données spécifiques :
  • \(|\sigma_{max,ser}| \approx 17.01 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{m,k} = 28 \, \text{MPa}\) (pour GL28h)
Comparaison et Discussion :
\[17.01 \, \text{MPa} \text{ vs } 28 \, \text{MPa}\]

La contrainte de service (\(17.01 \, \text{MPa}\)) est inférieure à la résistance caractéristique en flexion (\(28 \, \text{MPa}\)). Cela indique que la poutre n'est pas proche de sa limite de rupture caractéristique sous les charges de service.

À l'ELS, la principale vérification pour le bois est la flèche. La contrainte de service est calculée pour s'assurer que le matériau travaille dans son domaine élastique et pour des calculs de déformation. Si une limite de contrainte ELS était spécifiée (par exemple, pour éviter des déformations permanentes ou des effets de fluage excessifs non pris en compte par le coefficient \(k_{def}\) dans le calcul de flèche), on comparerait \(\sigma_{m,ser}\) à cette limite. L'Eurocode 5 se concentre sur les critères de déformation (flèche) pour l'ELS plutôt que sur des limites de contrainte directes pour la flexion.

Résultat Question 5 : La contrainte maximale de service est \(\approx 17.01 \, \text{MPa}\). Cette valeur serait à comparer aux limites de contraintes admissibles à l'ELS si spécifiées, ou utilisée pour des vérifications de déformations plus poussées. Elle est inférieure à la résistance caractéristique \(f_{m,k}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Qu'est-ce que le bois lamellé-collé (BLC) ?

2. À l'État Limite de Service (ELS), quelle est la principale vérification pour une poutre en bois en flexion selon l'Eurocode 5 ?

3. La contrainte de flexion dans une poutre (\(\sigma = M/W\)) est maximale :

Glossaire

Bois Lamellé-Collé (BLC)
Matériau de construction structurel fabriqué en collant ensemble des lamelles de bois de haute qualité, dont le fil est généralement parallèle. Permet d'obtenir des éléments de grandes dimensions et de formes variées avec des propriétés mécaniques contrôlées.
Flexion (Bois)
Sollicitation d'une poutre par des forces perpendiculaires à son axe, provoquant sa courbure et des contraintes de traction et de compression dans la section.
Contrainte de Flexion (\(\sigma_m\))
Contrainte normale (traction ou compression) induite dans les fibres d'une poutre par un moment fléchissant.
Moment d'Inertie (\(I_y\))
Caractéristique géométrique d'une section qui mesure sa résistance à la flexion par rapport à un axe donné.
Module d'Inertie Élastique (\(W_{el,y}\))
Rapport du moment d'inertie à la distance de la fibre la plus éloignée de l'axe neutre (\(W = I/y_{max}\)). Utilisé pour calculer la contrainte maximale de flexion (\(\sigma = M/W\)).
Moment Fléchissant de Service (\(M_{ser}\))
Moment sollicitant la section, calculé sous une combinaison de charges caractéristique à l'État Limite de Service (ELS).
Résistance Caractéristique en Flexion (\(f_{m,k}\))
Valeur de la contrainte de rupture en flexion du bois (ou BLC) d'une classe de résistance donnée, ayant une probabilité de 5% de ne pas être atteinte.
Module d'Élasticité Moyen (\(E_{0,mean}\))
Valeur moyenne du module d'Young du bois, parallèle aux fibres, utilisée pour les calculs de déformation et de contraintes à l'ELS.
État Limite de Service (ELS)
État limite relatif aux conditions normales d'utilisation et de durabilité (confort, aspect, déformations, vibrations).
Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé - Exercice d'Application

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