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Vérification de la limite d’élasticité

Vérification de la limite d’élasticité

Vérification de la limite d’élasticité

Contexte : La traction et la limite d'élasticité.

Les tirants sont des éléments structuraux conçus pour travailler en traction. Le principe fondamental de leur dimensionnement est de s'assurer que la contrainteForce interne par unité de surface à l'intérieur d'un matériau. Elle est exprimée en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa). C'est une mesure de l'intensité des forces qui s'exercent sur la matière. (la force rapportée à la surface) générée par les charges ne dépasse jamais la capacité intrinsèque du matériau, définie par sa **limite d'élasticité**. Cet exercice vous guide pas à pas dans le calcul de cette contrainte et sa comparaison directe avec la limite d'élasticité de l'acier, conformément à l'Eurocode 3.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre le concept le plus fondamental de la résistance des matériaux : vérifier que la contrainte dans une pièce (\(\sigma_{\text{Ed}}\)) reste inférieure à la résistance du matériau (\(f_y\)). Nous allons calculer la force de traction, en déduire la contrainte dans le tirant, et la comparer directement à sa limite d'élasticité pour garantir la sécurité.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'effort de traction de calcul (\(N_{\text{Ed}}\)) à l'État Limite Ultime (ELU).
  • Calculer la **contrainte de traction** (\(\sigma_{\text{Ed}}\)) dans la section du tirant.
  • Vérifier que la contrainte de calcul ne dépasse pas la **limite d'élasticité** de l'acier.
  • Calculer l'allongement du tirant à l'État Limite de Service (ELS).
  • Comprendre la relation directe entre l'effort, l'aire, la contrainte et la limite d'élasticité.

Données de l'étude

On étudie un tirant en acier plat (profilé rectangulaire) qui fait partie d'une structure de halle. Il est soumis à des charges de traction permanentes (poids propre des éléments suspendus) et d'exploitation (charge d'entretien, par exemple).

Schéma de principe du tirant étudié
N G (Permanente) Q (Exploitation) Longueur, L = 4.0 m
Schéma 3D interactif de la structure
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur du tirant \(L\) 4.0 \(\text{m}\)
Charge permanente \(G_k\) 80 \(\text{kN}\)
Charge d'exploitation \(Q_k\) 50 \(\text{kN}\)
Profilé étudié - \(\text{Plat } 100 \times 10\) -
Nuance de l'acier - S235 -
**Limite d'élasticité** \(f_y\) 235 \(\text{MPa}\)
Limite d'allongement \(\Delta L_{\text{adm}}\) \(L / 300\) -

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort normal de traction de calcul à l'ELU, \(N_{\text{Ed}}\).
  2. Calculer la **contrainte de traction** (\(\sigma_{Ed}\)) dans le tirant à l'ELU.
  3. Vérifier que la contrainte de traction (\(\sigma_{Ed}\)) est inférieure à la **limite d'élasticité** de calcul de l'acier.
  4. Vérifier l'allongement du tirant à l'ELS.

Les bases de la vérification en traction

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux des Eurocodes pour les éléments tendus.

1. Contrainte et Limite d'Élasticité :
Le concept central est la contrainte (\(\sigma\)), qui est la force par unité de surface (\(\sigma = N/A\)).

  • La Limite d'Élasticité (\(f_y\)) est une propriété du matériau. C'est la contrainte maximale que l'acier peut supporter avant de se déformer de manière permanente.
  • La Vérification à l'ELU consiste à s'assurer que la contrainte de calcul (\(\sigma_{\text{Ed}}\)) due aux charges majorées ne dépasse jamais cette limite d'élasticité (divisée par un coefficient de sécurité).

2. Vérification de la résistance en traction :
La condition de sécurité s'écrit de manière très simple : \[ \sigma_{\text{Ed}} = \frac{N_{\text{Ed}}}{A} \le \frac{f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \] Où \(N_{\text{Ed}}\) est l'effort de calcul, \(A\) l'aire de la section, \(f_y\) la limite d'élasticité et \(\gamma_{\text{M0}}=1.0\) le coefficient de sécurité sur le matériau.

3. Allongement d'un tirant (Loi de Hooke) :
L'allongement \(\Delta L\) d'un élément tendu est donné par la formule : \[ \Delta L = \frac{N_{\text{ser}} \cdot L}{E \cdot A} \] Où \(N_{\text{ser}}\) est l'effort de service, \(L\) la longueur initiale, \(E\) le module de Young de l'acier (\(210000 \, \text{MPa}\)) et \(A\) l'aire de la section.

Correction : Vérification de la limite d’élasticité

Question 1 : Calculer l'effort normal de traction de calcul à l'ELU

Principe (le concept physique)

Pour assurer la sécurité, on applique des coefficients de sécurité aux charges caractéristiques (données de l'énoncé) pour obtenir la charge de calcul la plus défavorable. Cet effort de calcul, noté \(N_{\text{Ed}}\), représente la force maximale que le tirant est susceptible de subir au cours de sa vie, avec une très faible probabilité d'être dépassée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La combinaison d'actions \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\) est la combinaison fondamentale pour les bâtiments. Le coefficient 1.35 sur les charges permanentes (\(G_k\)) est plus faible car ces charges (comme le poids propre) sont mieux connues et varient peu. Le coefficient 1.5 sur les charges d'exploitation (\(Q_k\)) est plus élevé car elles sont plus incertaines (présence de personnes, stockage, etc.).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est exactement la même logique que pour la charge répartie de l'exercice précédent, mais appliquée à des forces concentrées. La première étape est toujours de passer des charges "caractéristiques" (valeurs probables) aux charges de "calcul" (valeurs de sécurité).

Normes (la référence réglementaire)

La formule de combinaison d'actions est donnée par la norme NF EN 1990 (Eurocode 0 : Bases de calcul des structures), équation 6.10.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Combinaison d'actions fondamentale à l'ELU pour un effort normal :

\[ N_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot G_k + 1.5 \cdot Q_k \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les charges sont appliquées de manière statique et centrée sur le profilé, sans excentricité qui pourrait générer de la flexion.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge permanente, \(G_k = 80 \, \text{kN}\)
  • Charge d'exploitation, \(Q_k = 50 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vérifiez que les unités sont cohérentes. On additionne des kN et des kN, le résultat sera en kN. C'est simple, mais c'est un réflexe qui sauve des vies (et des projets) !

Schéma (Avant les calculs)
Combinaison des charges sur le tirant
Gk = 80 kNQk = 50 kN+=N_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule de combinaison :

\[ \begin{aligned} N_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot (80 \, \text{kN}) + 1.5 \cdot (50 \, \text{kN}) \\ &= 108 \, \text{kN} + 75 \, \text{kN} \\ &= 183 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Effort de calcul ELU résultant
N_Ed = 183 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort de calcul (183 kN) est 40% plus élevé que la somme des charges réelles (80 + 50 = 130 kN). C'est cette marge de sécurité qui va garantir la fiabilité de notre dimensionnement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas appliquer les coefficients de sécurité est une erreur grave qui met en péril la structure. Une autre erreur est de les appliquer deux fois (par exemple, sur des efforts déjà calculés avec des charges majorées).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul à l'ELU vise la sécurité et la résistance.
  • On majore les charges avec des coefficients : \(N_{\text{Ed}} = 1.35 G_k + 1.5 Q_k\).
  • Cet effort de calcul \(N_{\text{Ed}}\) est la sollicitation à comparer à la résistance de l'élément.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les calculs sismiques, les combinaisons d'actions sont différentes. On considère la charge sismique comme une action accidentelle et on utilise souvent des combinaisons comme \(G_k + 0.2 Q_k + A_{\text{Ed}}\), où \(A_{\text{Ed}}\) est l'action sismique. Les coefficients sont plus faibles car la probabilité que la charge d'exploitation maximale et le séisme maximal se produisent en même temps est très faible.

FAQ (pour lever les doutes)
Ces coefficients sont-ils toujours les mêmes ?

Non. Pour les ponts, par exemple, les coefficients sont différents car les charges (trafic) sont beaucoup plus variables. Pour les liquides en réservoir, le coefficient sur la charge permanente peut être de 1.2 au lieu de 1.35. Les valeurs de 1.35 et 1.5 sont spécifiques aux bâtiments.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort normal de traction de calcul à l'ELU est de 183 kN.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge d'exploitation \(Q_k\) était de 70 kN, quel serait le nouvel effort \(N_{\text{Ed}}\) en kN ?

Question 2 : Calculer la contrainte de traction (\(\sigma_{Ed}\)) dans le tirant

Principe (le concept physique)

La contrainte est la mesure de l'intensité de la force à l'intérieur du matériau. Elle est calculée en divisant l'effort de traction (\(N_{\text{Ed}}\)) par l'aire de la section transversale (\(A\)) du tirant. C'est cette valeur que nous comparerons ensuite à la capacité du matériau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte (\(\sigma\)) est un concept clé qui permet de comparer la sollicitation dans des pièces de tailles différentes. Une force de 10 kN n'a pas le même effet sur un fil de 1 mm² que sur une poutre de 10000 mm². En ramenant la force à une unité de surface, la contrainte permet de s'affranchir de la géométrie et de comparer directement la sollicitation à une propriété intrinsèque du matériau comme la limite d'élasticité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est ici que l'on passe d'une force "externe" (la charge appliquée) à une sollicitation "interne" (la contrainte dans la matière). C'est le cœur de la Résistance des Matériaux : comprendre ce qui se passe à l'intérieur d'une structure.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la contrainte (\(\sigma = N/A\)) est une définition de base de la mécanique des milieux continus. Les Eurocodes ne la redéfinissent pas mais l'utilisent comme point de départ pour toutes les vérifications de résistance.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Définition de la contrainte normale :

\[ \sigma_{\text{Ed}} = \frac{N_{\text{Ed}}}{A} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose une distribution de contrainte uniforme sur toute la section. C'est une hypothèse valide pour la traction simple, loin des points d'application de la charge (principe de Saint-Venant).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort de calcul, \(N_{\text{Ed}} = 183 \, \text{kN}\) (de Q1)
  • Profilé : Plat \(100 \times 10\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour obtenir une contrainte directement en Mégapascals (MPa), qui est l'unité de la limite d'élasticité, il faut utiliser la force en Newtons (N) and l'aire en millimètres carrés (mm²). Rappelez-vous que \(1 \, \text{MPa} = 1 \, \text{N/mm}^2\).

Schéma (Avant les calculs)
Effort appliqué à la section
A = 100x10 mm²÷N_Ed = 183 kN=σ_Ed?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'aire de la section :

\[ \begin{aligned} A &= 100 \, \text{mm} \times 10 \, \text{mm} \\ &= 1000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

2. Conversion de l'effort et calcul de la contrainte :

\[ N_{\text{Ed}} = 183 \, \text{kN} = 183000 \, \text{N} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{Ed}} &= \frac{183000 \, \text{N}}{1000 \, \text{mm}^2} \\ &= 183 \, \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \\ &= 183 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte résultante dans la section
Contrainteσ_Ed = 183 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Chaque millimètre carré de la section de notre tirant subit une "traction" de 183 Newtons. C'est cette valeur que nous allons maintenant comparer à la capacité intrinsèque du matériau, sa limite d'élasticité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est une erreur d'unités, par exemple en divisant des kN par des mm² et en oubliant le facteur 1000. Cela conduirait à une contrainte 1000 fois trop faible et à une conclusion dangereusement erronée sur la sécurité de l'élément.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte est la force divisée par l'aire : \(\sigma = N/A\).
  • Elle s'exprime en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa).
  • Utiliser les Newtons (N) et les millimètres (mm²) donne directement des MPa.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Au voisinage d'un trou de boulon ou d'un changement de section, les lignes de contrainte se resserrent et la contrainte locale peut être 2 à 3 fois plus élevée que la contrainte nominale (\(N/A\)). C'est le phénomène de "concentration de contrainte", un facteur majeur dans la fatigue des matériaux.

FAQ (pour lever les doutes)
La contrainte est-elle toujours uniforme ?

Non. En traction simple, elle est quasi-uniforme loin des perturbations. Mais en flexion, par exemple, la contrainte varie de manière linéaire sur la hauteur de la section : elle est maximale (en traction) sur la fibre inférieure et maximale (en compression) sur la fibre supérieure.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de traction de calcul dans le tirant est de 183 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la contrainte \(\sigma_{\text{Ed}}\) (en MPa) si le tirant était un plat de 120x10 mm (A = 1200 mm²) avec le même effort de 183 kN ?

Question 3 : Vérifier la contrainte par rapport à la limite d'élasticité

Principe (le concept physique)

C'est l'étape cruciale de la vérification de sécurité. On compare la contrainte que subit le matériau (\(\sigma_{\text{Ed}}\)) à la contrainte maximale qu'il peut endurer (\(f_y\)). Pour être en sécurité, la contrainte agissante doit être inférieure à la limite d'élasticité du matériau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La courbe contrainte-déformation de l'acier montre une première phase linéaire (élastique) où le matériau reprend sa forme si on le décharge. Le point où cette linéarité s'arrête est la limite d'élasticité \(f_y\). Au-delà, la déformation devient permanente (plastique). La vérification à l'ELU garantit que, même sous les charges les plus défavorables, la contrainte reste dans ce domaine élastique, assurant l'intégrité de la structure.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que la limite d'élasticité est la "force" maximale de votre matériau. La contrainte est la "force" qu'on lui applique. Le but du jeu est simple : ne jamais appliquer plus de force que ce qu'il peut supporter. C'est le principe de base de tout dimensionnement.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3, chapitre 6.2.3, impose la condition de vérification suivante, où \(\gamma_{\text{M0}}\) est un coefficient partiel de sécurité sur le matériau (généralement 1.0 pour ce type de vérification).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Critère de vérification à la limite d'élasticité :

\[ \sigma_{\text{Ed}} \le \frac{f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont celles des calculs précédents : charges et contraintes calculées conformément aux normes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte de calcul, \(\sigma_{\text{Ed}} = 183 \, \text{MPa}\) (de Q2)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de sécurité, \(\gamma_{\text{M0}} = 1.0\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le ratio de travail (\(\sigma_{\text{Ed}} / f_y\)) est un excellent indicateur. Il vous dit à quel pourcentage de sa capacité maximale le matériau travaille. Un ratio de 0.8 signifie qu'il travaille à 80% de sa limite.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte vs Limite d'Élasticité
Contrainte σ_Ed = 183 MPaLimite f_y = 235 MPaOK ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On vérifie l'inégalité :

\[ 183 \, \text{MPa} \le \frac{235 \, \text{MPa}}{1.0} \]
\[ 183 \, \text{MPa} \le 235 \, \text{MPa} \Rightarrow \text{CONFORME} \]

On peut aussi calculer le ratio de travail :

\[ \begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{\sigma_{\text{Ed}}}{f_y / \gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{183}{235} \\ &\approx 0.779 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance
Contrainte σ_EdLimite f_yOK ✔️ (Ratio = 78%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le tirant est adéquat. La contrainte qu'il subit (183 MPa) est inférieure à sa limite d'élasticité (235 MPa). Il travaille à 78% de sa capacité, ce qui représente un dimensionnement sûr et optimisé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais conclure qu'une structure est "OK" si le ratio est supérieur à 1.0, même de très peu (ex: 1.01). Les règles de sécurité sont strictes. Inversement, un ratio trop faible (ex: 0.2) devrait alerter sur un possible surdimensionnement et un manque d'optimisation économique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La condition de sécurité fondamentale est : Contrainte ≤ Résistance.
  • En traction, cela se traduit par \(\sigma_{\text{Ed}} \le f_y / \gamma_{\text{M0}}\).
  • Le ratio de travail \(\sigma_{\text{Ed}} / f_y\) est un excellent indicateur de l'optimisation du design.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La limite d'élasticité n'est pas la résistance ultime de l'acier ! Après avoir atteint \(f_y\), l'acier se déforme plastiquement (il s'allonge beaucoup sans effort supplémentaire) puis entre dans une phase d'écrouissage où sa résistance augmente jusqu'à la rupture (\(f_u\)). Cette ductilité est une propriété de sécurité essentielle : elle permet à la structure de "prévenir" avant de rompre brutalement.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi \(\gamma_{\text{M0}}\) vaut 1.0 ?

Pour la résistance des sections en acier, l'Eurocode considère que les propriétés du matériau et les dimensions du profilé sont connues avec une grande précision grâce au contrôle qualité en usine. Le coefficient de sécurité est donc de 1.0. Pour d'autres matériaux comme le béton ou le bois, ou pour d'autres types de vérifications (stabilité, assemblages), ce coefficient est supérieur à 1.0.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le tirant est validé car sa contrainte de calcul (183 MPa) est inférieure à sa limite d'élasticité (235 MPa).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'on utilisait un acier S355 (\(f_y = 355\) MPa), quel serait le nouveau ratio de travail pour la même contrainte de 183 MPa ?

Question 4 : Vérifier l'allongement à l'ELS

Principe (le concept physique)

Même si un tirant est assez solide pour ne pas casser, il s'allonge sous l'effet de la charge, comme un élastique. Un allongement excessif peut causer des problèmes : affaissement d'un plancher suspendu, fissures dans des éléments non structuraux (cloisons, vitrages), ou un aspect visuel inacceptable. La vérification à l'ELS garantit que cet allongement reste dans des limites raisonnables sous les charges de service (réelles).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'allongement est régi par la rigidité axiale du tirant, qui est le produit \(E \cdot A\) (Module de Young × Aire). La formule \(\Delta L = (N \cdot L) / (E \cdot A)\) montre que pour réduire l'allongement, on peut soit augmenter la section \(A\), soit utiliser un matériau plus rigide (E). Comme tous les aciers de construction ont le même module de Young E, la seule variable d'ajustement pour l'ingénieur est l'aire de la section.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'équivalent de la vérification de la flèche pour la flexion. On passe de la notion de "résistance" (ELU) à la notion de "rigidité" (ELS). Notez bien qu'on utilise les charges de service (\(N_{\text{ser}}\)), car on s'intéresse au comportement réel de la structure, pas à un scénario de quasi-effondrement.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de déformation pour les éléments structuraux sont généralement données dans les Annexes Nationales des Eurocodes. Une limite de L/300 pour l'allongement d'un tirant supportant des éléments courants est une valeur typique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Effort de service :

\[ N_{\text{ser}} = G_k + Q_k \]

2. Allongement :

\[ \Delta L = \frac{N_{\text{ser}} \cdot L}{E \cdot A} \]

3. Vérification :

\[ \Delta L \le \Delta L_{\text{adm}} = \frac{L}{300} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le matériau reste dans son domaine élastique, ce qui est le principe même des vérifications à l'ELS.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges, \(G_k = 80 \, \text{kN}\), \(Q_k = 50 \, \text{kN}\)
  • Longueur, \(L = 4.0 \, \text{m}\)
  • Aire de la section, \(A = 1000 \, \text{mm}^2\)
  • Module de Young, \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La gestion des unités est encore une fois cruciale. Le plus simple est de tout convertir en Newtons (N) et millimètres (mm) :

  • \(N_{\text{ser}}\) en N
  • \(L\) en mm
  • \(E\) en N/mm² (MPa)
  • \(A\) en mm²
Le résultat de l'allongement \(\Delta L\) sera alors directement en mm.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de l'Allongement
ΔL = ?Limite adm. = L/300
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'effort de service :

\[ \begin{aligned} N_{\text{ser}} &= 80 \, \text{kN} + 50 \, \text{kN} \\ &= 130 \, \text{kN} \\ &= 130000 \, \text{N} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'allongement :

\[ \begin{aligned} \Delta L &= \frac{N_{\text{ser}} \cdot L}{E \cdot A} \\ &= \frac{(130000 \, \text{N}) \cdot (4000 \, \text{mm})}{(210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (1000 \, \text{mm}^2)} \\ &= \frac{5.2 \times 10^{8}}{2.1 \times 10^{8}} \, \text{mm} \\ &\approx 2.48 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de l'allongement admissible et vérification :

\[ \begin{aligned} \Delta L_{\text{adm}} &= \frac{L}{300} \\ &= \frac{4000 \, \text{mm}}{300} \\ &\approx 13.33 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ 2.48 \, \text{mm} \le 13.33 \, \text{mm} \Rightarrow \text{CONFORME} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Allongement Calculé vs Admissible
ΔL = 2.5 mmΔL_adm = 13.3 mmOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vérification à l'ELS est largement satisfaite. L'allongement réel du tirant (environ 2.5 mm) est bien inférieur à la limite admissible (13.3 mm). Dans ce cas, c'est bien la résistance à l'ELU qui a été le critère dimensionnant, ce qui est typique pour les tirants courts et moyennement chargés.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur principale est d'utiliser l'effort de calcul ELU (\(N_{\text{Ed}}\)) pour le calcul de l'allongement. Il faut impérativement utiliser l'effort de service (\(N_{\text{ser}}\)). Utiliser \(N_{\text{Ed}}\) conduirait à un allongement surestimé et pourrait mener à un choix de profilé inutilement grand et coûteux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul à l'ELS vise le confort et la fonctionnalité.
  • On utilise les charges de service (non majorées) : \(N_{\text{ser}} = G_k + Q_k\).
  • L'allongement doit être inférieur à une limite normative (ex: L/300).
  • L'allongement dépend de la rigidité axiale \(E \cdot A\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'allongement dû à la température peut être bien plus important que celui dû aux charges ! Une barre d'acier de 4m qui subit une variation de température de 30°C s'allonge d'environ 1.4 mm (\(\Delta L = \alpha \cdot L \cdot \Delta T\)), ce qui est du même ordre de grandeur que l'allongement mécanique calculé ici. Les ingénieurs doivent en tenir compte en prévoyant des joints de dilatation dans les grandes structures.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette vérification est-elle toujours nécessaire ?

Pas toujours. Pour les éléments de contreventement qui ne sont tendus que sous l'effet du vent ou d'un séisme, un allongement temporaire est souvent acceptable. Elle est surtout critique pour les éléments qui supportent des charges permanentes et dont la déformation affecte d'autres parties de l'ouvrage (planchers, façades, etc.).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'allongement du tirant (2.48 mm) est inférieur à l'allongement admissible (13.33 mm). Le profilé est validé à l'ELS.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait l'allongement (en mm) si le tirant mesurait 8 mètres de long (avec les mêmes charges et la même section) ?

Outil Interactif : Paramètres du Tirant

Modifiez les paramètres du tirant pour voir leur influence sur sa contrainte et son allongement.

Paramètres d'Entrée
50 kN
Résultats Clés
Contrainte de Calcul (\(\sigma_{Ed}\)) (MPa) -
Ratio Limite Élasticité (ELU) -
Allongement (ELS) (mm pour L=4m) -

Le Saviez-Vous ?

Le pont du Golden Gate à San Francisco est un exemple spectaculaire de structure fonctionnant en traction. Chacun de ses deux câbles principaux, d'un diamètre de 92 cm, est composé de 27 572 fils d'acier individuels. Mis bout à bout, ces fils feraient plus de trois fois le tour de la Terre !

Foire Aux Questions (FAQ)

Un tirant ne peut-il pas flamber (buckling) ?

Non, le flambement est un phénomène d'instabilité qui n'affecte que les éléments comprimés. Un élément qui est purement tendu ne peut pas flamber. C'est pourquoi les tirants peuvent être très élancés (longs et fins) sans risque.

Quelle est la différence entre un tirant et un câble ?

Un tirant est un élément rigide (comme une barre, un plat, une cornière) qui peut reprendre la traction. Un câble est un élément souple qui ne peut également reprendre que de la traction. On choisit l'un ou l'autre en fonction de la conception : les câbles sont très efficaces pour de très longues portées (ponts suspendus) mais nécessitent des ancrages complexes, tandis que les tirants rigides sont plus faciles à connecter dans des structures treillis.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la force de traction \(N_{\text{Ed}}\) sur un tirant, la contrainte \(\sigma_{\text{Ed}}\) à l'intérieur...

2. Pour un même effort, si on utilise un acier avec une limite d'élasticité plus élevée (S355 au lieu de S235), on peut...

Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface dans un matériau (F/A). Exprimée en Mégapascals (MPa), elle mesure l'intensité de la sollicitation dans la matière.
Limite d'élasticité (\(f_y\))
Propriété intrinsèque d'un matériau. C'est la valeur de contrainte maximale qu'il peut supporter avant de commencer à se déformer de manière permanente (déformation plastique).
Tirant
Élément de structure conçu pour ne subir que des efforts de traction axiale.
Vérification de la limite d’élasticité

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